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+ 2019/2020
Pr: Fakraoui Jaouad

2 Bac sc exp

Examen blanc
Exercice 1 (2 pts)

+

1

2

a Résoudre dans R l’équation suivante: x2 + ex − e2 = 0.

0.5pt

b Conclure dans R les solutions de l’équation : ex−1 − e1−x + 1 = 0

0.5pt

a Résoudre dans R l’inéquation suivante: x2 − 3x − 2 ≤ 0.

0.5pt

b Conclure dans R les solutions de l’équation : ln(x − 3) + ln(x + 1) ≤ ln(x − 1)

0.5pt

Exercice 2 (4.5 pts)
+ Soit (un ) la suite numérique définie par :



u0

=2


un+1

=

2un + 2
un + 3

; (∀n ∈ N)

1 Montrer par récurrence que ∀n ∈ N ; un > 1
2

0.75pt

a Vérifier que (∀n ∈ N) : un+1 − un = (1 − un ) (un + 2)
un + 3

0.75pt

b En déduire que la suite (un ) est décroissante et qu’elle est convergente

3 On considère la suite (vn ) définie par: vn =

0.5pt

un − 1
; (∀n ∈ N)
un + 2

a Montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison 1
4
b Écrire vn en fonction de n puis en déduire un en fonction de n .
c Calculer lim un

0.75pt
1pt
0.75pt

x→+∞

Exercice 3 (4.5 pts)
1 Résoudre dans C l’équation (E) : z 2 − 6z + 10 = 0

1pt
(

)



2 Dans le plan complexe associé a un repère orthonormé direct O; −
e1 ; −
e2 .


On considère les point A , B et C d’affixes respectives a = 2 − 2 , b = 3 − i et c = b


2
2
c−a
a
3
Montrer que
=
+
i
b−a
2
2(
)
−→ −→
π
b En déduire que AB = AC et AB, AC ≡ [2π]
4
(
)20
c Montrer que c − a
= −1
b−a

4 Soit R la rotation de centre O et d’angle

1pt
0.5pt


2

a Montrer que l’affixe du point D l’image de B par la rotation R est d = −1 − 3i
b En déduire la nature du triangle OBD

- Pr:Fakraoui Jaouad

0.5pt

1/2

1pt
0.5pt

- 2020

f ′ (x) = 4 · x4 +2xx2 +1

Problème (9 pts)
Partie I:
On Considère la fonction g définie sur ]0; +∞[ par: g(x) = ln (x) − x + 1
Le tableau ci-contre est le tableau de variation de g sur ]0; +∞[

1 Calculer g(1)

0.25pt

x

0

g ′ (x)

2 En déduire ,à partir du tableau de variation,

+∞

1
+

0

que g(x) ≤ 0 pour tout x de ]0; +∞[ 0.75pt



g (1)
g
−∞

Partie II:

−∞





x2
f (x) = x ln (x) −
On Considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par: 
2
f (0) = 0

, x>0

( )

→−

On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ; j ). (Unité: 1cm)

1 Étudier la continuité de f à droite en 0

0.5pt

2 Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat

0.5pt

3

a Montrer que lim f (x) = −∞
(

b Montrer que Cf
voisinage de +∞

4

0.5pt

x→+∞

)

admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés au
0.75pt

a Montrer que ∀x ∈ ]0; +∞[ ; f ′ (x) = g (x)

0.5pt

b En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation

0.5pt

(

)

(

)

a Montrer que le point I 1; − 1 est un point d’inflexion de Cf
2
( )
1
b Montrer que y = − est l’équation de (T ) la tangente à Cf au point I
2

→−

6 Construire ,dans le même repère(O; i ; j ) , la tangente (T ) et la courbe (Cf )

5

7 Résoudre graphiquement l’inéquation 2x ln (x) ≤ x2 − 1 ; x ∈ ]0; +∞[
8

a En utilisant une intégration par parties montrer que

∫ e

x ln (x) dx =
1

(

)

0.5pt
0.5pt
1.5pt
0.75pt

e2 + 1
4

0.75pt

b Calculer , en cm2 , l’aire du domaine délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses et
les droites d’équations respectives x = 1 et x = e
0.75pt

BONNE CHANCE

- Pr:Fakraoui Jaouad

2/2

- 2020


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