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2BACSPF-1&2 — Lycée Wallada
Bac Blanc

Exercice 1
2

1. Résoudre dans R l’inéquation ex < e3x−2 . (1pt).
2. Résoudre dans R l’équation e2x − 3ex + 2 = 0.
(1pt).
3. Résoudre dans R2 le système d’équations
x
e + ey = 3,
x + y = ln 2. (1pt).

2019-2020
I. Soit g la fonction définie sur l’intervalle I =
x−1
]0, +∞[ par: g(x) = ln x −
.
x
x−1
. (0.5pt).
1) Montrer que ∀x ∈ I; g 0 (x) =
x2
2) Dresser le tableau de variation de g sur I.
(0.5pt).
3) En déduire que ∀x ∈ I; g(x) ≥ 0. (0.5pt).
II. Soit f la fonction définie sur I par:

(
I. Soit (un )n∈N la suite définie par:

1
un+1 = un + 1,
2
u0 = 1.

1) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N; un ≤ 2.
(0.75pt).
2) Montrer que (un )n∈N est croissante. (0.5pt).
3) Déduire que (un )n∈N est convergente. (0.25pt).

afi
d

f (x) = x ln x + ln x − 2x + 2.

Exercice 2

Et soit (Cf ) sa courbe représentative dans un
repère orthonormé (O,~ı, ~), d’unité graphique:
k~ık = 1cm.
1) a/ Montrer que lim f (x) = −∞ (0.75pt).
x→0+

b/ En déduire que (Cf ) admet une asymptote verticale dont on donnera l’équation.
(0.5pt).
2) a/ Montrer que lim f (x) = +∞
x→+∞

∀n ∈ N; vn = un − 2.

f (x)
= +∞. (1pt).
et lim
x→+∞ x
b/ En déduire que (Cf ) admet une branche
parabolique dont on déterminera la direction. (0.5pt).
a/ Montrer que ∀x ∈ I; f 0 (x) = g(x). (0.75pt).
b/ Déduire que f est croissante sur I. (0.5pt).
c/ Dresser le tableau de variation de f sur I.
(0.5pt).
d/ Vérifier que f 0 (1) = 0 puis interpréter le
résultat géométriquement. (0.5pt).
Montrer que A(1, 0) est le point d’inflexion de
(Cf ). (0.5pt).
Construire (Cf ). (0.75pt).
a/ Montrer que la fonction f admet sur
l’intervalle ]0, 1] une fonction réciproque
f −1 définie sur un intetvalle J que l’on
déterminera. (0.5pt).
b/ Construire la courbe (Cf −1 ) dans le même
repère (O,~ı, ~). (0.5pt).
a/ Montrer que la fonction H : x 7→ x ln x − x
est une primitive de la fonction h : x 7→ ln x
sur l’intervalle K = [1, e] puis montrer que

ou
st

II. Soit (vn )n∈N la suite définie par:

1) Montrer que (vn )n∈N est une suite géométrique
1
de raison q = . (0.5pt).
2
n
1
. (0.5pt).
2) En déduire que ∀n ∈ N; vn = −
2
3) Calculer la limite lim un . (0.5pt).

3)

n→+∞

Exercice 3

a.
m

I. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes
C l’équation: z 2 − 4z + 8 = 0. (0.75pt).

II. Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère
orthonormé direct (O, ~u, ~v ) on considère les points
A et B d’affixes respectives a = 2−2i et b = 2+2i
π
et la rotation R de centre O et d’angle qui trans2
forme un point M (z) en un point M 0 (z 0 ).
1) Montrer que z 0 = iz est l’écriture complexe de
la rotation R. (0.5pt).
2) Vérifier que le point B est l’image du point A
par la rotation R. (0.25pt).
3) En déduire la nature du triangle OAB. Justifier votre réponse! (0.5pt).

4)

5)
6)

7)

Ze

ln(x) dx = 1. (1pt).
1

Lycée Wallada

III. Soit E l’ensemble de point M (z) tel que:
AM 2 + BM 2 = AB 2 .

b/ À l’aide d’une intégration par parties monZe

trer que x ln x dx =
1) Montrer que AB = 4. (0.25pt).
2) Vérifier que O ∈ E. (0.25pt).
3) Déterminer la nature de E. (0.5pt).
Exercice 4

e2 + 1
. (0.5pt).
4

1

c/ Calculer en cm2 l’aire A du domaine D
limité par la courbe (Cf ) l’axe des abscisses
(O,~ı) et les droites d’équations x = 1 et
x = e. (0.75pt).
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