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Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

Étude d’une fonction

Problème
g(x) = (x − 1)ex + 1

I - Soit g la fonction numérique définie sur R par :

1 - Calculer les deux limites lim g(x) et lim g(x) .
x→+∞

x→−∞

(∀x ∈ R) ; g 0 (x) = x.ex puis dresser le tableau de variations de g .

2 -a - Montrer que :

(∀x ∈ R) ; g(x) ≥ 0 .

b - Déduire que :

(∀x ∈]0; 1[) ; g(x) < x .

a - Montrer que :

(∀n ∈ N) ; Un+1 = g(Un ) et U0 =

1
2

.

ja
ou
c

4 - Soit (Un )n la suite numérique définie par :

h

3 - Montrer que

(∀n ∈ N) ; 0 < Un < 1 .

b - Étudier la monotonie de (Un )n puis déduire qu’elle est convergente.

Pr
of
.A
m

c - Déterminer la limite de (Un )n .

f (x) = (x − 2)(ex + 1)

II - Soit la fonction f définie sur R par :

1 - Calculer les limites : lim f (x) et lim f (x) .
−∞

+∞

2 - Montrer que (∀x ∈ R) ; f 0 (x) = g(x) puis dresser le tableau de variations de f .
3 -a - Montrer que la courbe (Cf ) admet la droite (∆) d’équation y = x − 2 comme asymptote oblique
au voisinage de −∞ .
b - Étudier la position relative de (Cf ) et son asymptote oblique .
c - Montrer que lim
+∞

f (x)
x

puis déduire la nature de la branche infinie de (Cf ) au voisinage de +∞ .

4 -a - Étudier la concavité de (Cf ) puis déterminer son point d’inflexion.
b - Construire (Cf ) dans un repère orthonormé.
5 - Soit h la restriction de f sur I = [0; +∞[ .
a - Montrer que h admet une fonction réciproque h−1 définie sur un intervalle J dont on déterminera.
b - Montrer que

0
h−1 (0) =

1
1 + e2

.

Bonne chance

13 juin 2020

1/ 1

2019/2020


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