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1. VOCABULAIRE ET RACINES CARRÉES
A. RAPPEL
1. COMPLETE les informations sur le triangle rectangle
Les triangles rectangles sont appelés ainsi car il possède ..............................................................
A
..............................................................

B

C

Ce triangle ABC est rectangle en ...........
Le côté opposé à l'angle droit se nomme l'.............................................. . C'est aussi le plus ............................... côté
dans un triangle rectangle.
2. COMPLETE les informations sur le carré
Quelle est la formule d'aire d'un carré ? ...............................................

A

B
Si tu sais qu'un carré a une aire de 16 cm², quelle est la longueur de ses
côtés ? ............................

16 cm²

EXPLIQUE comment tu as déterminé la longueur de ce carré :
..............................................................................................................................................

C

D

..............................................................................................................................................
.

B. DÉCOUVERTE DE LA RACINE CARRÉE
Aire du carré = ........................................
16 = .......................................
................ = côté
................. = côté

_______________

1. COMPLETE les informations manquantes

4 ou (-4)

16

Comme nous travaillons avec des longueurs, nous
ne retiendrons que la racine positive

La racine carrée d'un nombre est l'opération inverse de l'élévation au carré d'un nombre

2. CALCULE ces nombres élevés au carré sans utiliser ta calculatrice.



1² = ...............

6² = ................

11² = ................

2² = ................

7² = ................

12² = ................

3² = ................

8² = ................

13² = ................

4² = ................

9² = ................

14² = ................

5² = ................

10² = ................

15² = ................

3. CALCULE ces nombres élevés au carré à l'aide de ta calculatrice.
3,5² = ...............

6,5² = ................

10,2² = ................

4. CALCULE les racines carrées suivantes sans utiliser ta calculatrice.
"Quel nombre multiplié par lui même donne 16 ,
donne 4 , donne 25 ... ? "
_____

_____

√16 = ...............

√49 = ................

___

_____

√4 = ................

√81 = ................

_____

________

√25 = ................

√100 = ................

_____

√64 = ................
___

√9 = ................
________

√400 = ................

5. Après avoir découvert comment calculer une racine carrée à l'aide de la calculatrice.
ENTRAINE-toi
CAS n°2

CAS n°1

Arrondi au 0,1 près.
______

√13

1) Racine
2) Nombre
3) =

= ...............

______

√4,5 = ................

________

√900 = ................

___

√2 = ................
1) Shift ( orange)

_

2) Touche x2 avec V
en orange
3) Nombre
4) EXE (=)

2. LE THÉORÈME DE PYTHAGORE
A. DÉCOUVERTE
1. Situation :
Soit un triangle ABC rectangle en A.
Le côté [BC], opposé à l'angle droit et étant le plus grand côté se nomme alors ............................................
Sur chacun des côtés a, b, c ont été construits des carrés ayant respectivement pour longueur de côtés a, b et c.

2. Matériel :
- Un triangle ABC rectangle en A.
- Un grand carré ayant pour longueur de côté l'hypoténuse (|BC|)
- Un petit carré ayant pour longueur de côté |AB|
- Un carré moyen ayant pour longueur de côté |AC| et étant découpé en 4 polygones.

3. Défi par groupe ( détails à l'oral)
A l'aide des deux carrés construits sur les côtés adjacent à l'angle droit, tentez de reconstituer un carré en
utilisant tous les "morceaux"
Que remarquez-vous ?
...................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................

4. Mise en commun
a) Après avoir confronté les résultats de ton groupe avec les autres,
TRADUIS ce que tu as constaté par une relation
Dans tout triangle rectangle de côté a, b ,c où a est le
plus grand côté (l'hypoténuse) on a découvert que
En langage mathématique :

....................

c

a

......................................

b
En français

.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
....................................................................................
b) PROUVE par calcul que c'est le cas pour chacun des triangles rectangles utilisés dans l'activité

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

Tu viens de découvrir le théorème de Pythagore
Il te permettra de trouver la longueur d'un côté lorsque tu connais les 2 autres
Enonce oralement avec ta classe des situations de la vie courante ou le théorème de Pythagore peut te servir.
Tu en découvriras davantage dans les exercices

B. SYNTHÈSE
b

Je suis

Le plus grand côté
Le côté opposé à l'angle droit
..............................................................

a

rectangle
c
Théorème de Pythagore :
Dans tout triangle rectangle,
le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

2

[

2

[

[

2

A quoi ca sert ?

Ce théorème permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle si j'en connais déjà 2

Je cherche la longueur de l'hypoténuse
Je connais les longueurs des 2 côtés de l'angle droit

6

Je cherche la longueur d'un côté de l'angle droit
Je connais la longueur de l'hypoténuse et d' un côté
de l'angle droit

35

8
28

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

C. EXERCICES
1 Voici plusieurs configurations où l'on retrouve des triangles.
a) ENTOURE ceux pour lesquels on peut appliquer le théorème de Pythagore
b) SURLIGNE les hypoténuses.

9

2. CALCULE la longueur des hypoténuses manquantes.
A

A
4 cm

8 cm

4 cm

B
B

15 cm

C

C

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

3. CALCULE la longueur des côtés adjacents à l'angle manquants.
A

20 cm

24 cm

B

26 cm

B

C

A

12 cm

C

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

4. Voici un triangle scalène FGE où [FH] est la hauteur issure de F.
F

5 cm

a) NOMME les triangles rectangles
.............................................................................................
Il faut toujours

E

4 cm

H

2 cm

regarder si tu

G

as toutes les

b) CALCULE |FH| et |EF| en indiquant dans quel triangle rectangle tu te trouves.
1) Je cherche ................ dans
le triangle rectangle ............

données pour
faire le calcul

2) Je cherche ................ dans
le triangle rectangle ............

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

5. SCHÉMATISE les situations suivantes et COCHE si on cherche l'hypoténuse ou un côté adjacent
à l'angle droit
On cherche la largeur d'une tv en connaissant sa taille en pouce (") et la hauteur de l'écran.
L'inconnue est :
L'hypoténuse
Un côté adjacent à l'angle droit

On cherche la longueur d'une tirolienne accrochée au sommet d'un batiment dont on connait la
hauteur ainsi que la distance à laquelle le cable est accroché au sol par rapport à ce dernier.
L'inconnue est :
L'hypoténuse
Un côté adjacent à l'angle droit

On cherche l'altitude à laquelle vole un avion au dessus de Paris sachant la distance en km qui
sépare paris de la destination et sachant la distance en km de descente lors de l'aterrisage.

L'inconnue est :
L'hypoténuse
Un côté adjacent à l'angle droit

6. Suite à la demande d'un client, CALCULE précisément la longueur des diagonales de son carrelage
carré dont les dimensions sont 60 x 60 cm.
Schéma :

Calcul :

........................................

Un schéma à main
levée t'aidera à
comprendre le calcul à
réaliser

........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
Réponse pour le client :

......................................................................................................................

7. Ton collègue jure connaitre la hauteur d'un immeuble sans l'avoir mesurée de bas en haut avec un
télémètre. Selon les données que tu vois sur son positionnement, a-t-il raison d'affirmer que
l'immeuble mesure 20 m de haut ?
ECRIS ton raisonnement et tes calculs.

..............................................................
..............................................................
10
1

m

..............................................................
..............................................................
..............................................................

99 m

..............................................................

8. Martin a remarqué que la foudre à frappé l'arbre à côté de sa maison et ce, à 2 m à partir du sol.
La cime touche le sol à 7 m du pied de l'arbre.
CALCULE la hauteur de l'arbre avant l'orage.
ECRIS ton raisonnement et tes calculs.

........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
.........................................................................................

................................................................................

........................................................................................

................................................................................

9. Tu as commandé une armoire ikea de 2,10 m de haut et de 70cm de large.
Cependant, tu l'as montée à même le sol sans savoir si tu pouvais la lever sans toucher le plafond situé à 2,20m
du sol.
a) ANNOTE le schéma avec les bonnes dimensions
b) Pourras-tu mettre ton meuble debout ?
ECRIS ton raisonnement et tes calculs.

Ton raisonnement :

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

Correction :

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

3. LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
A. UN PEU D'HISTOIRE...LA CORDE À 13 NOEUDS
Après avoir découvert à quoi servait la corde à 13 noeuds, utilisée au Moyen-Age par les bâtisseurs qui
pouvaient ainsi transmettre leurs ordres de construction même aux ouvriers ne possédant que peu de
connaissances dans les domaines de la lecture et du calcul.
COMPLETE ce mindmap

...............................................................

13 noeuds

Pour fermer les formes le 1er et
le 13e nœuds se superposent

........ intervalles

...............................................................

...............................................................

B. DÉCOUVERTE
Lucas a posé le premier lit de briques de son nouveau barbecue.
Avant de poursuivre la construction de cet ouvrage, il souhaite vérifier la perpendicularité des murs ainsi formés
sans avoir d'équerre précise en sa possession.
Pour ce faire, il prend différente mesures.
Réalité

Schéma

Dimensions prises

La relation vue précédemment (Relation de Pythagore) s’applique dans un triangle rectangle.
VERIFIE si c’est le cas pour les triangles suivants et NOTIFIE si l'angle A et B sont droits ou non.

Triangle ABD
Schéma :

Raisonnement :
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
.........................................................................................
Le triangle ABD est-il rectangle ? .............
L'angle A est-il droit ? .............

Triangle ABC
Schéma :

Raisonnement :
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
.........................................................................................
Le triangle ABD est-il rectangle ? .............
L'angle B est-il droit ? .............

B. SYNTHÈSE
Le plus grand côté
.

Le terme hypoténuse
n'est valable que dans
un triangle que l'on
sait rectangle

a
b Je cherche
à savoir si je
suis rectangle
c
Réciproque du théorème de Pythagore
SI le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
ALORS le triangle est rectangle

2

2

[ [

2

2

[ [

[ [

2

Le triangle est rectangle

2

Le triangle n'est pas rectangle

A quoi ca sert ?

La réciproque de ce théorème permet de verifier si un angle est droit
/ si un triangle dont on connait les 3 longueurs de côté est rectangle

Exemple 1

Exemple 2

12

13

7
5

4
10

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

............. = ............................

Le triangle ABC ....................................................

Le triangle ABC ....................................................

C. EXERCICES
1. Les triangles ABC et DEF sont-ils rectangles ?
A

........................................................................................
........................................................................................

17 cm

........................................................................................

8 cm

........................................................................................
C

B

15 cm

.........................................................................................

........................................................................................

D

........................................................................................
6,6 m

11 m

........................................................................................
........................................................................................

F

8,8 m

E

.........................................................................................

2. Dans chaque cas, VERIFIE si les triangle ABC est rectangle, les mesures étant exprimées dans la même
unité. Si oui, DETERMINE le sommet de l'angle droit.

3. Pour vérifier que deux montants d’une huisserie sont perpendiculaires, le menuisier trace deux traits :
l’un a 60 cm de coin, l’autre a 80 cm. Il mesure alors la distance entre ces deux traits, « 1m, c’est d’équerre ! »
déclare l’artisan. JUSTIFIE sa conclusion.
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

4. Sur un présentoir en verre, Isaac dépose une bille d’acier.
Le mur est parfaitement vertical et tu disposes des données du schéma ci-contre.
La bille va-t-elle rouler ?
ECRIS ton raisonnement et tes calculs.
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

Tout travailleur en batîment et travaux public connaît le
triplet pythagoricien 3-4-5 ainsi que tous ses multiples
tel que 60, 80, 100 ( 60 cm , 80cm , 1m) afin de vérifier si
les angles construits sont droits. Par exemple, afin de
savoir si les murs construits sont bien perpendiculaires.


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