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Titre: Calcul incrémental de l'homologie : vers une mise à jour en temps linéaire ?
Auteur: Charly Finette

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Calcul incrémental de l’homologie : vers une
mise à jour en temps linéaire ?
Charly Finette

Juin 2020

Charly Finette

Soutenance de mémoire

1 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Introduction
Contexte du stage

Stage encadré par :
Alexandra Bac, Maître de conférences, HDR
Aldo Gonzalez-Lorenzo, Maître de conférences

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2 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Introduction
Problématique et objectifs

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Soutenance de mémoire

3 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Introduction
Problématique et objectifs

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Soutenance de mémoire

4 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Introduction
Problématique et objectifs

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Soutenance de mémoire

5 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Table of contents

1

Introduction

2

Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

3

Mise à jour incrémentale de l’homologie

4

Conclusion

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6 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Topologie algébrique

La topologie analyse la structure essentielle d’un objet
La topologie algébrique classifie les espaces topologiques

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7 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Topologie algébrique

La topologie analyse la structure essentielle d’un objet
La topologie algébrique classifie les espaces topologiques

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8 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Topologie algébrique

La topologie analyse la structure essentielle d’un objet
La topologie algébrique classifie les espaces topologiques

−→ Analyse de la structure des trous

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9 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Topologie algébrique

Si deux espaces topologiques sont homéomorphes alors ils ont la
même homologie.

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

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11 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

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12 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

Figure – Objets discrets : Ensemble semi-simplicial, complexe
simplicial, complexe cubique
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13 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

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14 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

Definition
Un complexe de chaînes (C, ∂) est une suite de groupes abéliens
{Cq }q≥0 munie de morphismes {∂q }q≥0 tels que ∂q−1 ∂q = 0








3
2
1
0
... −→
C2 −→
C1 −→
C0 −→
0

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15 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

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16 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

Definition
Les groupes d’homologie d’un complexe de chaîne (C, ∂) sont les
quotients
Hq = ker(∂q )/im(∂q+1 )
Hq = Zβq × Z/λ1 Z × ... × Z/λk Z
(λ1 , ..., λn ) sont les coefficients de torsion de dimension q.
On appelle l’entier βq « nombre de Betti de dimension q ».

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Théorie de l’homologie

Les groupes d’homologie du tore sont :
H0 = Z donc β0 = 1 ;
H1 = Z2 donc β1 = 2 ;
H2 = Z donc β2 = 1 ;
Hn = 0, pour tous n > 2.

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19 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

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20 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

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21 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

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22 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

Definition
Une réduction ρ : (C 0 , ∂ 0 )  (C 1 , ∂ 1 ) est un diagramme :

avec
gf = 1C 0 − dh − hd,
f g = 1C 1 gh ,
hh, f h, hg = 0.
Une telle réduction assure que (C 0 , ∂ 0 ) et (C 1 , ∂ 1 ) ont les
mêmes groupes d’homologie.
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23 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

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24 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie

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25 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Introduction au problème

Problème du calcul de l’homologie

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Introduction au problème

Problème de la mise à jour incrémentale de l’homologie

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
État des lieux de la recherche

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28 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Etat des lieux de la recherche

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
HDVF

Definition
Un HDVF (Homological Discrete Vector Field) X = (P, S) sur
un complexe simplicial K est une partition K = P t S t C telle
que d(Sq+1 ) Pq est une matrice inversible dans Z, pour tout
q ≥ 0, où Pq et Sq sont les restrictions de P et S aux q-cellules
et d(Sq+1 ) Pq est la sous-matrice de la matrice de bord dq+1
dont les colonnes sont associées aux (q+1)-cellules secondaires
et les lignes sont associées aux q-cellules primaires.

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
HDVF

Partition entre cellules primaires, secondaires et critiques
Nombres de cellules critiques de dim q ≥ β q
Chaque HDVF implique une réduction

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31 / 51

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
HDVF

Ajout d’une cellule

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
HDVF

Division d’une cellule

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33 / 51

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
HDVF

Identification de deux cellules

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Definition
Une équivalence d’homologie Υ entre deux complexes de
chaînes, (C, ∂) et (C S , ∂ S ) est une paire de réductions ρ et ρS en
relation avec un complexe de chaîne (C B , ∂ B ), telles que :
ρ

ρS

Υ : (C, ∂)  (C B , ∂ B )  (C S , ∂ S )
On note parfois :
Υ : (C, ∂)  (C S , ∂ S )

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Opération de cône

Le cône d’un ensemble semi-simplicial quelconque a
toujours la même homologie
On lui associe donc une équivalence d’homologie en temps
linéaire
on utilise pas l’équivalence d’homologie initiale
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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Opération d’identification

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37 / 51

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

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Soutenance de mémoire

38 / 51

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

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Soutenance de mémoire

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Opération d’identification

Pas d’estimation de la complexité en temps de calcul
La complexité dépend de Υ1 qui est quelconque.
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40 / 51

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Construction par identification des simplexes de dimension
croissante
1 Décomposition de l’ESS K

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41 / 51

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Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

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42 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Construction par identification des simplexes de dimension
croissante
1 Décomposition de l’ESS K
2

On associe Υ1 à la décomposition

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43 / 51

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Figure – Υ1

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44 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Construction par identification des simplexes de dimension
croissante
1 Décomposition de l’ESS K
2
3

On associe Υ1 à la décomposition
On identifie les simplexes de dimension 0 et on obtient Υ2
grâce au SES theorem

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45 / 51

Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Construction par identification des simplexes de dimension
croissante
1 Décomposition de l’ESS K
2
3

On associe Υ1 à la décomposition
On identifie les simplexes de dimension 0 et on obtient Υ2
grâce au SES theorem

4

...

5

On identifie les simplexes de dimension n − 2 et on obtient
Υn , une équivalence d’homologie associée à K.

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46 / 51

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Mise à jour incrémentale de l’homologie
Poitiers

Theorem
La complexité en temps du calcul de Υn est linéaire par rapport
à n fois la taille de Υ1 .
Usuellement, on estime la complexité par rapport à la taille
de K (le nombre de ses simplexes)
Un de mes résultats estime que Υ1 est de taille
exponentielle par rapport à K dans certains cas.

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Introduction
Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Conclusion
Résultats et réponse à la problématique

Traduction en termes matricielles de la méthode de Poitiers
et simplification
L’identification et la construction ne sont pas linéaires
Le cône est linéaire
On ne peut pas améliorer les HDVF à l’aide de la méthode
de Poitiers.

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48 / 51

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Conclusion
Perspectives

Les réductions calculées par Poitiers pour l’opération de
cône et d’identification peuvent être décrites par des HDVF.
Il est probablement possible de créer un SES theorem pour
les HDVF

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Méthodes algorithmiques de calcul de l’homologie
Mise à jour incrémentale de l’homologie
Conclusion

Contexte
Homologie d’un espace topologique

Definition
Un ensemble semi-simplicial S = (K, (dj )j=0,...,n ) de dimension
n est défini par :
S
K = i=0,...,n Ki , où Ki est un ensemble dont les éléments
sont nommés i-simplexes.
∀j ∈ {0, ..., n}, dj : K −→ K , appelé opérateur de face, est
tel que :
1

2

∀i ∈ {1, .., n}, ∀j ∈ {0, .., i}, dj : Ki −→ Ki−1 ; ∀j > i, dj
n’est pas défini sur Ki , et aucun opérateur de face n’est
défini sur K0 ;
Soit σ un i-simplexe, ∀j, k ∈ {0, .., i}, dj dk = dk dj−1 pour
k < j.
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