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Corrigé de l’épreuve d’analyse et probabilités
Concours Externe d’Agrégation Mathématiques 2020
abdelbaki.attioui@gmail.com
I. Exercices préliminaires
1. Par définition, @ t ą 0 et @ s P C, ts “ exp ppRe psq ` iIm psqq lnptqq “ exp pRe psq lnptqq exp piIm psq lnptqq.
Comme, |exp piIm psq lnptqq| “ 1, alors |ts | “ exp pRe psq lnptqq “ tRepsq .
ÿ
xn
2. (a) La série
p´1qn , x P r0, 1s, est alternée et pour n � 1 et x P r0, 1s,
n
n� 1

0�
Alors, pour tout x P r0, 1s, la suite

` xn ˘

xn`1
xn
1

� .
n`1
n
n

est décroissante et elle converge uniformément vers 0 sur r0, 1s.
ÿ
xn
converge uniformément sur r0, 1s et sa
p´1qn
D’après le critère d’Abel uniforme, la série de fonctions
n
n

n

n� 1

somme est continue car ses sommes partielles sont des fonctions polynomiales.

(b) Le critère de D’Alembert affirme que le rayon de convergence de la série entière

ÿ

n� 1

p´1qn

xn
vaut 1. Par
n

convergence uniforme sur tout compact de s ´ 1, 1r, @ x Ps ´ 1, 1r,
żx ÿ
żx
ÿ
xn
dt

“ ´ lnp1 ` xq
p´1qn
p´1qn tn´1 dt “ ´
n
1
`t
0
0
n� 1

n� 1

(c) D’après (a) et (b),
ÿ p´1qn
ÿ
ÿ
xn
xn

“ lim
“ ´ lnp2q
p´1qn lim
p´1qn
n
n
xÑ1´ n
xÑ1´

n� 1

n� 1

n� 1

3.(a) Soit f la fonction, localement intégrable et 1-périodique, définie par: f pxq “ txu ´ 12 . On a ttu “ t,
@ t P r0, 1r, alors
˙
ż1ˆ
1
1
1
c0 pf q “
dt “ rtpt ´ 1qs0 “ 0

2
2
0
Pour n P Z˚ ,

„ˆ
1 ż 1
˙
˙
ż1ˆ
1 ´i2πnt
1 ´i2πnt
´i2πn cn pf q “ ´i2πn
dt “

´
e´i2πnt dt “ 1

e
e
2
2
0
0
0
#
1
1
an “ ´i2πn
` i2πn
“0
Par conséquent, a0 pf q “ 0 et @ n P N˚ ,
.
1
1
1
bn “ ´2πn ´ 2πn “ ´πn
ÿ sinp2πnxq
n’est autre que la série de Fourier de f qui est C 1 sur RzZ et le
(b) D’après (a), la série
´πn
n� 1

théorème de Jordan-Dirichlet assure la convergence simple ver f i.e

ÿ sinp2πnxq
1
“ txu ´ , @ x P RzZ
´πn
2

n� 1

4.(a) Comme lim

xÑ0

@ X ą 1,

l’intégrale

ş`8
1

ş`8
sinpxq
“ 1, il suffit de montrer que l’intégrale généralisée 1
x

X ż X
żX
sinpxq
cospxq
´ cospxq
dx,
´
dx “
x
x
x2
1
1
1

cospxq
x2 dx

est convergente car

|cospxq|
� x12 ,
x2

1

d’où le résultat

sinpxq
x dx

converge. Par IPP,

(b) Soit 0 ă ε ă R, la fonction F pzq “

eiz
z

est holomorphe sur l’intérieur du contour

γε,R “ r´R, ´εs Y arcp0, ε, ´πq Y rε, Rs Y arcp0, R, πq
Par le théorème de Cauchy,
ż ´ε ix
ż
ż R ix
ż
ż
e
eiz
e
eiz
eiz
dz “
dx `
dz `
dx `
dz “ 0
γε,R z
´R x
arcp0,ε,´πq z
ε x
arcp0,R,πq z
ş´ε ix
şR ´ix
Mais, ´R ex dx “ ´ ε e x dx, alors
ż ´ε ix
ż R ix
żR
e
sinpxq
e
dx `
dx “ 2i
dx
x
´R x
ε x
ε
Par le théorème des résidus,
ż

arcp0,ε,´πq

eiz
eiz
dz “ ´iπRespF, 0q “ ´iπ lim z
“ ´iπ
zÑ0
z
z

D’autre part,
ż

arcp0,R,πq

eiz
dz “
z

żπ
0

it

eiRe
iReit dt “ i
Reit

żπ
0

it

eiRe dt “ i

żπ

eiR cosptq´R sinptq dt,

0

par le théorème de convergence dominée,
ˇż
ˇ ż
ˇ
π
eiz ˇˇ
ˇ
e´R sinptq dt Ñ 0, R Ñ `8
dz ˇ �
ˇ
ˇ arcp0,R,πq z
ˇ
0

Donc,

ż `8

żR
π
sinpxq
sinpxq
dx “ lim
dx “
RÑ`8
x
x
2
0
εÑ0 ε
II. Autour de la transformée de Mellin
ş
1. Soit f :s0, `8rÑ R mesurable telle que Ipf q “ tσ P R : s0,`8r |f ptq| tσ´1 dt ă 8u ­“ H. Soient
σ1 , σ2 P Ipf q avec σ1 � σ2 et σ P rσ1 , σ2 s,
tσ´1 � 1s0,1s ptqtσ1 ´1 ` 1s1,`8s ptqtσ2 ´1 , @ t ą 0

alors

ż

s0,`8r

|f ptq| t

σ´1

dt �

ż

s0,`8r

|f ptq| t

σ1 ´1

dt `

ż

s0,`8r

|f ptq| tσ2 ´1 dt ă 8

Donc, σ P Ipf q. Ainsi, Ipf q est un intervalle.
ş
2. Soit f P L2 ps0, `8rq telle que f “ 0 p.p sur s1, `8r. Soit σ ą 12 , alors s0,1s t2pσ´1q dt “
l’inégalité de Cauchy-Schwarz
ż
ż
||f ||2
|f ptq| tσ´1 dt “
|f ptq| tσ´1 dt � ?
2σ ´ 1
s0,`8r
s0,1s
Donc, s 12 , `8rĂ Ipf q.
3. Soit s P Dpf q i.e. Re psq P Ipf q, d’après I.1.,
ż
ż
ˇ
ˇ
ˇf ptqts´1 ˇ dt “
s0,`8r

s0,`8r

1
2σ´1

et par

|f ptq| tRepsq´1 dt ă 8

Donc, Mf est bien définie sur la bande verticale du plan complexe Dpf q.
ş
4. σ P Ip1s0,1s q ssi s0,1s tσ´1 dt ă 8 ssi σ ą 0 (Intégrale de Riemann). Alors, Ip1s0,1s q “s0, `8r et Dp1s0,1s q
est le demi plan ouvert supérieur tRe psq ą 0u. Pour s P Dp1s0,1s q,
ż
1
Mp1s0,1s qpsq “
ts´1 dt “
s
s0,1s
2

5. Soit λ ą 0 et f :s0, `8rÑ R mesurable. Pour σ P R,
ż
ż
ż
|Tλ f ptq| tσ´1 dt “
|f pλtq| tσ´1 dt “ λ´σ
s0,`8r

s0,`8r

s0,`8r

|f psq| sσ´1 ds

Donc, IpTλ f q “ Ipf q et pour tout s P Dpf q,
MpTλ f qpsq “ λ´s Mpf qpsq
III. Fonction zeta de Riemann.
1.(a) Soit s P C et n � 1. On a, d’après I.1,
ˇ
ˇ ˇ ˇ
ˇ 1 ˇ ˇ p´1qn ˇ
1
ˇ
ˇ ˇ“ˇ
ˇ ns ˇ ˇ ns ˇ “ nRepsq

qui est le terme général d’une série de Riemann dont la convergence est équivalent à Re psq ą 1, alors les séries
ζ et G convergent simplement dans le demi-plan Ω1 :“ ts P C : Re psq ą 1u.
(b) Pour n � 1 et s P Ω1 , soit fn psq “ n1s “ expp´s lnpnqq. On a fn est holomorphe dans Ω1 (même dans C).
Soit K un compact de Ω1 . Par continuité de s ÞÑ Re psq, le nombre réel mK :“ min Re psq ą 1 et on a
sPK

|fn psq| “ expp´Re psq lnpnqq � expp´mK lnpnqq “

1
, @sPK
nm K

ř
Ainsi, la série fn converge normalement sur tout compact de Ω1 . Donc, la fonction ζ est holomorphe dans
Ω1 . De même, la fonction G est holomorphe dans Ω1 (par un raisonnement identique).
2.. Soit s P Ω1 , la convergence absolue des séries ζpsq et Gpsq permet d’écrire
Gpsq “

ÿ

n� 1

ÿ
1
1
1
1
1
´
“ s ζpsq ´ pζpsq ´ s ζpsqq “ p s´1 ´ 1qζpsq
s
p2nq
p2n ` 1qs
2
2
2
n� 0

Alors
ζpsq “

2s´1
Gpsq
1 ´ 2s´1

3.(a) Soit s P C et N P N avec N ą 0, on a Bε pnq ´ Bε pn ´ 1q “

p´1qn
,


@ n � 1, alors

N
N
N
N
N
Nÿ
´1
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
p´1qn
Bε pnq ´ Bε pn ´ 1q
Bε pnq
Bε pn ´ 1q
Bε pnq
Bε pnq


´

´
s
s´ε
s´ε
s´ε
s´ε
n
n
n
n
n
pn
` 1qs´ε
n“1
n“1
n“1
n“1
n“1
n“1

ˆ
˙
N
N
ÿ
ÿ
1
1
Bε pN q
p´1qn

Bε pnq
´
`
s

ε

ε
n
n
pn ` 1q
pN ` 1qs´ε
n“1
n“1
¸
˜ˆ
˙s´ε
N
N
ÿ
ÿ
Bε pN q
1
p´1qn
Bε pnq
´1 `

1`
s

ε
n
pn ` 1q
n
pN ` 1qs´ε
n“1
n“1

(b) Pour ε ą 0, on pose Ωε “ ts P C : Re psq ą εu. On a la suite réelle pBε pN qqN converge comme les sommes
partielles d’une série vérifiant le théorème spécial des séries alternées. Alors
ˇ
ˇ
ˇ Bε pN q ˇ
|Bε pN q|
ˇ “ lim
lim ˇˇ
“ 0, @ s P Ωε
N Ñ`8 pN ` 1qs´ε ˇ
N Ñ`8 pN ` 1qRepsq´ε
D’après l’égalité de (a),

`8
ÿ

`8
ÿ Bε pnq
p´1qn

Gpsq “
s
n
pn ` 1qs´ε
n“1
n“1

˜ˆ

1
1`
n

˙s´ε

¸

´1 ,

@ s P Ωε

(c) i. Soit t P R et u ą 0, on a lnp1 ` uq � u et | sinpxq| � |x|, @ x P R, alors
ˇ
ˇ
ˇp1 ` uqit ´ 1ˇ “ |exppit lnp1 ` uqq ´ 1| “ 2 |sinpt lnp1 ` uq{2q| � |t lnp1 ` uq| � |t|u
3

ii. Soit x P r0, 1s et u ą 0, on a expptq “

`8
ÿ

tn
, @ t P R, alors
n!
n“0

|p1 ` uqx ´ 1| “ |exppx lnp1 ` uqq ´ 1| �

`8
ÿ

xn lnn p1 ` uq
� xpexpplnp1 ` uqq ´ 1q “ xu
n!
n“1

iii. Soit s “ σ ` it, avec t P R et σ P rε, 1 ` εs, on a

¸ ˆ
˙s´ε ˆ
˙σ´ε ˆ
˙it ˆ
˙it ˜ˆ
˙σ´ε
˙it
ˆ
1
1
1
1
1
1
“ 1`
´1 ` 1`
“ 1`
,
1`
1`
1`
n
n
n
n
n
n

ˇ`
˘it ˇˇ
ˇ
et comme ˇ 1 ` n1 ˇ “ 1, alors

ˇ ˇˆ
ˇ ˇˆ
ˇ
ˇˆ
˙s´ε
˙σ´ε
˙it
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
1
1
1
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
´ 1ˇ � ˇ 1 `
´ 1ˇ ` ˇ 1 `
´ 1ˇ ,
ˇ 1`
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
n
n
n

d’après i. et ii.,

ˇ
ˇˆ
˙s´ε
ˇ σ ´ ε |t| 1 ` |t|
ˇ
1
ˇ
ˇ
`
´ 1ˇ �

ˇ 1`
ˇ
ˇ
n
n
n
n
´`
¯
˘s´ε
Bε pnq
1 ` n1
(d) On pose fn psq “ pn`1q
´ 1 , pour s P Ωε . On a pour tout n � 1, fn est holomorphe sur
s´ε
Ωε . Soit K un compact de Ωε tel que Re pKq Ăsε, 1 ` εs. La quantité MK :“ 1 ` max |Im psq| est finie, par
sPK
continuité de s ÞÑ Im psq. De même, par continuité de s ÞÑ Re psq, le nombre réel mK :“ min Re psq ´ ε ą 0.
sPK

Alors, d’après iii. on a

|fn psq| �

|Bε pnq|
|Bε pnq|
1 ` |Im psq|
� MK 1`m ,
k
n
n
pn ` 1qRepsq´ε

@sPK

Ainsi, la série des fn converge normalement sur K. Donc, G est holomorphe sur Ωε X psε, 1 ` εs ˆ Rq.
Maintenant, si K est un compact de Ωε tel que Re pKq Ăs1 ` ε, `8r, alors min Re psq � 1 ` ε et
sPK

ˇ
ˇ
ˇ p´1qn ˇ
1
1
ˇ
ˇ
ˇ ns ˇ “ nRepsq � n1`ε ,

@ s P K.

Donc, G est holomorphe sur Ωε X ps1 ` ε, `8s ˆ Rq. Par conséquent, G est holomorphe sur Ωε , @ ε ą 0, et
comme l’holomorphie est une propriété locale, on en déduit que G est holomorphe sur ts P C : Re psq ą 0u.
4. On a
2s´1
Gpsq, @ s P C : Re psq ą 1
ζpsq “
1 ´ 2s´1
s´1

2
Comme G est holomorphe sur ts P C : Re psq ą 0u et s ÞÑ 2s´1
´1 est holomorphe sur Czt1u. Par principe de
prolongement analytique, ζ se prolonge en une fonction holomorphe sur ts P C : s ­“ 1 et Re psq ą 0u et

ζpsq “
Alors,

2s´1
Gpsq,
1 ´ 2s´1

lim ps ´ 1qζpsq “ ´ lim

sÑ1

@ s P C : s ­“ 1 et Re psq ą 0.
2s´1

s´1 ´1
sÑ1 2
s´1

Gpsq “ ´

Gp1q
B
s´1 q|
s“1
Bs p2

“ 1,

car d’après I.2. Gp1q “ ´ lnp2q. Donc, s ÞÑ ps ´ 1qζpsq est holomorphe sur ts P C : Re psq ą 0u et on a donc
prolongé ζ en une fonction méromorphe sur ts P C : Re psq ą 0u, avec un pôle simple en s “ 1, de résidu 1.
IV. Fonction partie fractionnaire.
ı
ı
` ˘
1
1.(a) Soit n un entier ą 0, x P n`1
, n1 ðñ x1 P rn, n ` 1rñ ρpxq “ x1 ´ n et ρ n1 “ 0.

x Ps1, `8rðñ
(b)

1
x

Ps0, 1rñ ρpxq “ x1 .

4

(c) D’après (a), ρ est continue en tout point de

ď

ną0

1
1
,
n`1 n



“s0, `8rz

"

ρps0, `8rq “ r0, 1r, alors ρ est bornée.
ş1
2. On a ρ est mesurable et 0 � ρ ă 1, alors 0 ρ2 pxqdx � 1. Sur s1, `8|, ρpxq “
ż `8
0

?

ρ2 pxqdx � 1 `

ż `8
1

*
1
: n ą 0 et par définition,
n
1
x

alors

dx
“2
x2

Donc, ρ P L2 ps0, `8|q et ||ρ||2 � 2.
ş`8
3. Soit s P C tel que Re psq ă 1. Alors,
l’intégrale
de Riemann 1 xRepsq´2 dx converge car Re psq ´ 2 ă ´1.
ˇ
ˇ
Comme, @ x ą 1, ρpxqxs´1 “ xs´2 et ˇxs´2 ˇ “ xRepsq´2 , alors x ÞÑ ρpxqxs´1 est intégrable sur s1, `8r et
ż `8

I1 psq “

1

ρpxqxs´1 dx “

ż `8
1

xs´2 dx “

1
.
1´s

ˇ
ˇ
ş1
4.(a) Soit s P C tel que Re psq ą 0. Sur s0, 1s, ˇρpxqxs´1 ˇ � xRepsq´1 et l’intégrale de Riemann 0 xRepsq´1 dx
converge car Re psq ´ 1 ą ´1, alors x ÞÑ ρpxqxs´1 est intégrable sur s0, 1s.
Soit ε ą 0 et Ωε “ ts P C : Re psq ą εu. On a
ˇ
ˇ
• ˇρpxqxs´1 ˇ “ ρpxqxRepsq´1 � ρpxqxε´1 , @ ps, xq P Ωε ˆs0, 1s
• s ÞÑ ρpxqxs´1 est holomorphe sur Ωε , de dérivée s ÞÑ ρpxq lnpxqxs´1 , @ x Ps0, 1s.
ş1
D’après le théorème d’holomorphie sous l’intégrale, l’application s ÞÑ I 2 psq “ 0 ρpxqxs´1 dx est holomorphe
sur Ωε , @ ε ą 0. Alors, I2 est holomorphe sur ts P C : Re psq ą 0u et
ż1
1
ρpxq lnpxqxs´1 dx, @ s P C, Re psq ą 0
I2 psq “
0

(b). Soit s P C, Re psq ą 1,

`8
`8
ÿ ż n1
ÿ ż n1
1
s´1
ζpsq “
“s
x dx “ s
n
xs´1 dx
s
1
n
0
n“1
n“1
n“1
n`1
`8
ÿ

On a, pour tout entier n � 1, ρpxq “
n

ż

1
n
1
n`1

xs´1 dx “

En sommant on obtient,

ż

1
n
1
n`1

ˆ

1
´ n, @ x Ps n`1
, n1 s, alors

˙
˙ ż 1
ˆ
n
1
1
1
1
´ ρpxq xs´1 dx “
´
ρpxqxs´1 dx
´
s´1
s´1
1
x
s´1 n
pn ` 1q
n`1
`8
ÿ

n“1

Donc,

1
x

ζpsq “

n

ż

1
n
1
n`1

xs´1 dx “

s
´s
s´1

ż1

1
´
s´1

ρpxqxs´1 dx,

0

ż1

ρpxqxs´1 dx

0

@ s P C, Re psq ą 1

ş1
(c) D’après 4.(a), s ÞÑ 0 ρpxqxs´1 dx est holomorphe sur ts P C : Re psq ą 0u. D’après le principe de
prolongement analytique l’égalité de 4.(b) s’étend à ts P C : Re psq ą 0, s ­“ 1u. Donc, 1 est l’unique pôle de ζ
dans le demi-plan ts P C : Re psq ą 0u et Respζ, 1q “ lim ps ´ 1qζpsq “ 1.
sÑ1

5

5. Soit σ Ps0, 1r, d’après les propriétés de ρ, voir IV.1.(a), on a
ż `8

ρpxqx

σ´1

0

dx �

ż1

x

σ´1

0

dx `

ż `8
1

xσ´2 dx “

1
1
`
ă8
σ 1´σ

Donc, s0, 1rĂ Ipρq. Soit s P C tel que 0 ă Re psq ă 1, alors s P Dpρq et d’après IV.3. et IV.4.,
Mρpsq “

ż `8

ρpxqx

s´1

0

dx “

ż1
0

ρpxqxs´1 dx `

ζpsq
1
“´
1´s
s

V. Distance de 1s0,1s à un espace de fonctions.
1. Soit f P BN , alors f pxq “
ρpnxq “

1
nx

et f pxq “

1
x

N
ÿ

n“1

N
ÿ

n“1

cn ρpnxq, @ x ą 0, où c1 , . . . , cN des réels. Soit x ą 1 alors, @ n � 1, nx ą 1,

cn n´1 “

1
Ą
Qf p1q. Donc, f “ 0 sur s1, `8r ssi Qf p1q “ 0 i.e. f P B
N.
x

2. Soit f P BN et f˜ “ f ´ Qf p1qρ.
N
ÿ
(a) f pxq “
cn ρpnxq, @ x ą 0, où c1 , . . . , cN des réels. Alors,
n“1

N
ÿ

f˜ “ pc1 ´ Qf p1qqρpxq `
Par suite, f˜ P BN et
Qf˜p1q “ pc1 ´ Qf p1qq `
(b) On a f pxq “

1
x Qf p1q,

@ x ą 1, alors
ż `8
1

N
ÿ

n“2

2

cn ρpnxq,

n“2

2

|f pxq| dx “ |Qf p1q|

@xą0

Ą
cn n´1 “ 0 ñ f˜ P B
N

ż `8
1

dx
2
dx “ |Qf p1q|
x2

(c)
ż `8 ˇ
ˇ2
ˇ
ˇ
ˇf pxq ´ f˜pxqˇ dx
0



2

|Qf p1q|

ż `8

ρpxq2 dx

0

2

2 |Qf p1q| , d’après IV.2.
ż `8
2
|f pxq| dx, d’après (b)
“ 2
1
ż `8
ˇ
ˇ
ˇf pxq ´ 1s0,1s pxqˇ2 dx
“ 2
1
ż `8
ˇ
ˇ
ˇf pxq ´ 1s0,1s pxqˇ2 dx
� 2


0

ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
? ˇˇ
? ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ ˜
ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ � ˇˇf ´ f˜ˇˇ ` ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ2 � 2 ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ2 ` ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ2 “ p1 ` 2q ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ2
2

2

Ą
3. Soit s P C, 0 ă Re psq ă 1, et f˜ P B
N, f “
f˜ “

N
ÿ

n“1

N
ÿ

cn Tn ρ, où c1 , . . . , cN des réels. Alors,

n“1

cn Tn ρ ´ Qf p1qρ “

6

N
ÿ

n“1

cn pTn ρ ´ n´1 ρq

ż1
0

f˜pxqxs´1 dx






N
ÿ

cn

0

n“1
N
ÿ

cn
cn

n“1
N
ÿ

˘
Tn ρpxq ´ n´1 ρpxq xs´1 dx

ż `8
ż `8
0

n“1
N
ÿ

`

0

n“1
N
ÿ

ż1

`

˘
Tn ρpxq ´ n´1 ρpxq xs´1 dx,

Tn ρpxqxs´1 ´ cn n´1

ż `8

car Tn ρpxq “ n´1 ρpxq “ pnxq´1 , x ą 1

ρpxqxs´1 dx

0

cn MTn ρpsq ´ cn n´1 Mρpsq
cn n´s Mρpsq ´ cn n´1 Mρpsq,



n“1



´



´pQf psq ´ Qf p1qq

N
ÿ

cn n´s

n“1

ζpsq
ζpsq
` cn n´1
,
s
s

d’après II.5.
d’après IV.5.

ζpsq
ζpsq
“ ´Qf˜psq
s
s

4. On suppose qu’il existe β P C tel que 1{2 ă Re pβq ă 1 et ζpβq “ 0. Soit f une fonction de BN .
L’application x ÞÑ xβ´1 1s0,1s pxq P L2 ps0, `8rq car 2Re pβq ´ 1 ą 0, alors d’après Cauchy Schwarz
ż `8
0

ou encore

|x

2pβ´1q

ˇż 1
ˇ2
ż `8 ˇ
ˇ2
ˇ
ˇ
ˇ˜
ˇ
β´1
˜
ˇ
|1s0,1s pxqdx.
dxˇˇ
ˇf pxq ´ 1s0,1s pxqˇ dx � ˇ pf pxq ´ 1qx
0

0

ˇˇ
ˇˇ
1
1
ˇˇ ˜
ˇˇ
a
ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ �
|β|
2
2Re pβq ´ 1

ş1
car, 0 f˜pxqxβ´1 dx “ ´Qf˜pβq ζpβq
β “0
5. S’il existe β P C tel que 1{2 ă Re pβq ă 1 et ζpβq “ 0, alors
a
ˇˇ
ˇˇ
2Re pβq ´ 1
ˇˇ ˜
ˇˇ
, @ f P BN , d’après V.4.

ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ
|β|
2
a
? ˇˇ
ˇˇ
2Re pβq ´ 1
, @ f P BN , d’après V.2.
p1 ` 2q ˇˇf ´ 1s0,1s ˇˇ2 �
|β|
a
ˇˇ
ˇˇ
2Re pβq ´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
?
dp1s0,1s , BN q “ inf f ´ 1s0,1s 2 �
ą0
f PBN
|β|p1 ` 2q

Donc, 1s0,1s R BN , d’où le résultat par contraposée.
VI. Applications linéaires de L2 ps0, `8rq.
?
1. Soit θ un réel ą 0, f P L2 ps0, `8rq et Dθ f :s0, `8rÑ R définie par: Dθ f pxq “ θf pθxq, pour x ą 0.
(a) Par le changement de variable y “ θx, on a
2

||Dθ f ||2 “

ż `8
0

2

|Dθ f pxq| dx “

ż `8
0

2

θ |f pθxq| dx “

ż `8
0

2

2

|f pyq| dy “ ||f ||2

Ainsi, Dθ est un endomorphisme
de L2 ps0, `8rq injectif et continu (isométrie). Soit g P L2 ps0, `8rq, alors
`x˘
1
2
f : x ÞÑ f pxq “ ?θ g θ P L ps0, `8rq et Dθ f “ g i.e. Dθ est un isomorphisme isomérique de L2 ps0, `8rq.
(b) tDθ , θ ą 0u est une partie non vide du groupe des isomorphismes de L2 ps0, `8rqq ( pour la loi de
composition). Soient θ1 et θ2 ą 0, pour tout f P L2 ps0, `8rq,
a
a
pDθ1 ˝ Dθ2 qf pxq “ Dθ1 pDθ2 f qpxq “ θ1 Dθ2 f pθ1 xq “ θ1 θ2 f pθ1 θ2 xq, @ x ą 0
Alors,

D θ1 ˝ D θ2 “ D θ1 θ2 ,
7

@ θ1 , θ2 ą 0

Il suit, tDθ , θ ą 0u est une partie stable, IdL2 “ D1 et Dθ´1 “ D θ1 , @ θ ą 0. .
` ˘
2. Pour f P L2 ps0, `8rq, on définit Jf :s0, `8rÑ R par Jf pxq “ x1 f x1 , pour x ą 0.
(a) Par le changement de variable y “ x1 , on a
2
||Jf ||2



ż `8
0

1
x2

ˇ ˆ ˙ˇ2
ż `8
ˇ
ˇ
2
2
ˇf 1 ˇ dx “
|f pyq| dy “ ||f ||2
ˇ
x ˇ
0

Alors, J est un endomorphisme de L2 ps0, `8rq injectif et continu (isométrie) et |||J||| “ 1.
(b) Soit θ ą 0,
? ˆ ˙
ˆ
˙
θ
θ
1
1
f
JDθ “ Dθ1 J ðñ
“? f
, @ f P L2 ps0, `8rq, @ x ą 0
x
x
θ1 x
θ1 x
En particulier, pour f “ 1s0,1s ceci donne θ1 “ θ1 .

3. Pour f P L2 ps0, `8rq, on définit Hf :s0, `8rÑ R par Hf pxq “
(a) Par Cauchy Schwarz,


ˇż x
ˇ
x
ˇ
ˇ ?
ˇ f ptqdtˇ � x
f ptq2 dt,
ˇ
ˇ
0

0

On en déduit qu,

1
x

żx
0

@ x ą 0 ñ xHf pxq2 �

f ptqdt, pour x ą 0.

żx
0

f ptq2 dt,

@xą0

lim xHf pxq2 “ 0

xÑ0`

şx
Par un théorème d’analyse x ÞÑ 0 f ptqdt est p.p.t dérivable pour un f P L2 ps0, `8rq, on peut aussi montrer
l’inégalité pour f P Cc ps0, `8rq, l’espace des fonctions continues à support compact, puis utiliser la densité
de cet espace dans L2 ps0, `8rq. Soit 0 ă ξ ă X,
żX
ξ

Hf pxq2 dx

˙2
ˆż x
1
f
ptqdt
dx
2
ξ x
0
«
˙2 ffX
˙
ˆż x
ˆż x
żX
´1
f pxq

f ptqdt
`2
f ptqdt dx,
x
x
0
ξ
0
ξ





żX



´XHf pXq2 ` ξHf pξq2 ` 2

X



2

ξHf pξq ` 2 ||f ||2

Lorsque ξ Ñ 0, on obtient

d
żX
0


X
ξ

ξ

X

f pxq2 dx

ξ

Hf pxq2 dx,

par Cauchy Schwarz

Hf pxq2 dx

Hf pxq2 dx � 2 ||f ||2 ,

@X ą0

Alors, Hf P L2 ps0, `8rq et ||Hf ||2 � 2 ||f ||2 .
(b) H est un endomorphisme de L2 ps0, `8rq et il est continu d’après (a).
4.(a) Soit f P L2 ps0, `8rq. On prolonge f à R, en posant f pxq “ f p´xq, pour x ă 0 et f p0q “ 0, on note
encore f ce prolongement. Alors, f P L2 pRq. D’après le Théorème de Plancherel, pour presque tout ξ P R,
şT
fˆpξq est la limite au sens de la norme quadratique de L2 pRq, lorsque T tend vers l’infini, de ´T f puqeiξu du.
De plus,
ż
ż
1
|f ptq|2 dt “
|fˆpξq|2 dξ

R
R
Par parité on a @ T ą 0,
2

żT
0

f puq cosp2πxuqdu “

żT

´T

f puq cosp2πxuqdu “
8

żT

´T

f puqei2πxu du

Alors, pour presque tout x P R, la limite au sens de la norme quadratique, lorsque T tend vers l’infini, de
şT
2 0 f puq cosp2πxuqdu est égale à fˆp2πxq. On a, alors
Gpxq “ fˆp2πxq “

De plus, G P L2 pRq car
ż

R

|Gpxq|2 dx “

ż

R

ż

R

ei2πxu f puqdu “ 2

1


|fˆp2πxq|2 dx “

ż

R

ż `8
0

|fˆpξq|2 dξ “

ż

f puq cosp2πxuqdu

R

|f ptq|2 dt “ 2

ż `8
0

|f ptq|2 dt

(b) Soit C : L ps0, `8rq Ñ L ps0, `8rq qui à f P L ps0, `8rq associe Cf P L ps0, `8rq telle que,
2

2

2

2

Cf pxq “ Gpxq,

ppt x ą 0

Puisque Cf pxq “ fˆp2πxq ppt et f ÞÑ fˆ est linéaire, alors C est un endomorphisme de L2 ps0, `8rq et il est
continu car pour tout f P L2 ps0, `8rq, d’après (a),
ż `8
0

1
|Cf pxq| dx “
2
2

ż

R

2

|Gpxq| dx “

ż `8
0

|f ptq|2 dt ñ |||C||| “ 1

5. Soit V “ pH ´ IqCJ, où I est l’identité de L2 ps0, `8rq.
(a) On a V est un endomorphisme continu de L2 ps0, `8rq car C,H, I et J le sont.
(b) Soit f P Cc ps0, `8rq alors supppf q Ă ra, bs , avec 0 ă a ă b. Pour x ą 0,
V f pxq

“ pH ´ IqpCJf qpxq
ż
1 x
CpJf qptqdt ´ CpJf qpxq

x 0
ż `8
ż ż
2 x `8
Jf puq cosp2πtuqdudt ´ 2
Jf puq cosp2πxuqdu

x 0 0
0
ˆ ˙
ˆ ˙
ż ż1
ż a1
1
1
1
2 x a 1
f
f

cosp2πtuqdudt ´ 2
cosp2πxuqdu
1
x 0 1b u
u
u
u
b
ˆ
ˆ
˙
˙
ż ż
żb
2πt
2πx
1
2 x b1
f pvq cos
f pvq cos
dvdt ´ 2
dv

x 0 a v
v
v
a v
ˆ
ˆ
˙
˙
ż
żb
2πx
1
2πx
1 b
f pvq cos
f pvq sin

dv ´ 2
dv
πx a
v
v
a v
ˆ
ˆ
ˆ
˙
˙˙
żb
2πx
2πx
1
2
sin
f pvq

´ cos
dv
πx
v
v
v
a
ˆ
˙
ż `8
B sinp2πx{vq
f pvq

dv
Bv
πx{v
0

Cette égalité s’étend à tout f P L2 ps0, `8rq par densité en utilisant le théorème de convergence dominée.
(c) Soit θ ą 0, f P L2 ps0, `8rq et x ą 0, On a
CDθ f pxq “ 2

Ainsi,
Donc,
(d)

ż `8 ?

ż `8

1
1
? f pvq cosp2πxv{θqdv “ ? Cf px{θq “ D1{θ pCf qpxq
θ
θ
0
0
? żx
ż θx
?
θ
1
f pθtqdt “ ?
f psqds “ θHf pθxq “ Dθ pHf qpxq
HDθ f pxq “
x 0
θx 0
θf pθuq cosp2πxuqdu “ 2

JDθ “ D1{θ J,

CDθ “ D1{θ C,

pH ´ IqDθ “ Dθ pH ´ Iq

V Dθ “ pH ´ IqCJDθ “ pH ´ IqCD1{θ J “ pH ´ IqDθ CJ “ Dθ pH ´ IqCJ “ Dθ V
9

i. Soit n un entier ą 0 et x Ps0, `8rzt1{n, nu,
ρpxq1s1{n,ns pxq



ρpxq1s1{n,1s pxq ` ρpxq1s1,ns pxq

n´1
ÿ



j“1

ρpxq1s1{pj`1q,1{js pxq ` ρpxq1s1,ns pxq

n´1
ÿˆ



j“1

˙
1
1
´ j 1s1{pj`1q,1{js pxq ` 1s1,ns pxq
x
x



n´1
ÿ
1
j1s1{pj`1q,1{js pxq
1s1{n,ns pxq ´
x
j“1



Jp1r1{n,nr qpxq ´

n´1
ÿ
j“1

j1s1{pj`1q,1{js pxq

ii. Soit x Ps0, `8rzt1{n, nu,
V pρ1s1{n,ns qpxq



V pJp1r1{n,nr qqpxq ´

n´1
ÿ
j“1

jV p1s1{pj`1q,1{js qpxq

ˆ
˙
ˆ
˙
n´1
ÿ ż 1{j
1 B sinp2πx{vq
B sinp2πx{vq
j

dv ´
dv
πx{v
πx{v
1{n v Bv
1{pj`1q Bv
j“1
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon
żn

A



A



n´1
ÿ



n

żn

sinp2πx{vq
dv
πxv
1{n
1{n
ż 2πx{n
sinpuq
sinp2πx{nq sinp2πxnq
´
´
du
πx
πx
πxu
2πxn



B

sinp2πx{vq
πx

B

j“1



n´1
ÿ



´

j“1

`

n´1
ÿ sinp2pj ` 1qπxq
sinp2jπxq
´
j
πx
pj ` 1qπx
j“1

n
n
sinp2jπxq ÿ sinp2jπxq ÿ sinp2jπxq
´
`
πx
πx
jπx
j“2
j“2

n
sinp2nπxq ÿ sinp2jπxq
`
πx
jπx
j“1

Donc,
1
V pρ1s1{n,ns qpxq “
πx

˜

sinp2πx{nq `

ż 2πxn

2πx{n

iii. On a lim sinp2πx{nq “ 0, @ x P R et d’après I.4.

n
ÿ
sinpuq
sinp2jπxq
du ´
u
j
j“1

¸

nÑ`8

lim

ż 2πxn

nÑ`8 2πx{n

D’après I.3.

sinpuq
du “
u

ż `8
0

n
ÿ
1
sinp2jπxq
“ txu ´ ,
nÑ`8
´πj
2
j“1

lim

Donc,

π
sinpuq
du “ ,
u
2

1
lim V pρ1s1{n,ns qpxq “
nÑ`8
πx

ˆ

@ x ą 0.

@ x Ps0, `8rzN˚

ˆ
˙˙
1
π
txu
` π txu ´
“ Jρpxq,

2
2
x
10

@ x Ps0, `8rzN˚

iv. D’après IV.2., ρ P L2 ps0, `8r et on a pρ1s1{n,ns ´ ρq2 pxq Ñ 0, @ x ą 0 et 0 � pρ1s1{n,ns ´ ρq2 � ρ2 , @ n � 1.
ż `8
ˇˇ
ˇˇ
alors, d’après le théorème de convergence dominée,
pρ1s1{n,ns ´ ρq2 pxqdx Ñ 0 i.e. ˇˇρ1s1{n,ns ´ ρˇˇ2 Ñ 0.
0

Par ailleurs, l’endomorphisme V de L2 ps0, `8r est continu, alors V pρ1s1{n,ns q Ñ V ρ dans L2 ps0, `8r. D’après
une réciproque (partielle) du théorème de convergence dominée, il existe une sous suite de pV pρ1 s1{n,ns qqn qui
converge simplement vers V ρ ppt sur s0, `8r. Donc, d’après iii., V ρ “ Jρ ppt sur s0, `8r.
Ť
VII. Convergence d’une suite de N BN vers 1s0,1s .
1. Le résultat est vrai pour n “ 1. Soit n un entier � 2, on désigne par P pnq l’ensemble des nombres premiers
divisant n et soit r “ cardpP pnqq.
Soit Dpnq l’ensemble des diviseurs positifs de n et Ipnq “ td P Dpnq : µpdq ­“ 0u. Alors, par définition de la
fonction µ,
ź
p
d P Ipnq ðñ il existe Pd Ă P pnq, unique, tel que d “
pPPd

avec la convention: le produit vide vaut 1. Alors,
ÿ

dPDpnq

µpdq “

ÿ

dPIpnq

µpdq “

ÿ

dPIpnq

p´1qcardpPd q “

r
ÿ

p´1qk Crk “ 0

k“0

2. Soir y P r0, `8r. Si y P r0, 1r, la somme en question est vide, par convention elle vaut 0. Si y � 1,
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ ÿ
µpnq ty{nu “
µpnq
1“
µpnq “ 1
1 � n� y

1 � n� y

3. Soit N P N˚ , x Ps0, `8r et SN pxq “

N
ÿ

n“1

(b) Soit x Ps0, `8r.
1
nx ,

@ n � 1 et

Si 0 ă x � 1, soit N ą
SN pxq “
car

X

1
nx

\

“ 0, pour

1
x

1
x

alors,
ÿ

1
1 � n� x

N Ñ`8

Z

ă n � N et

^
1
`
nx
ÿ

1
1 � n� x

N
ÿ

n“1

p´µpnqqTn ρ, alors SN P BN .

`8
´1 ÿ µpnq
“ 0, voir résultats admis.
x n“1 n

lim SN pxq “

µpnq

1�m�y n|m

p´µpnqqρpnxq.

(a) Avec les notations de la partie V, on a SN “
Si x ą 1, ρpnxq “

k�y{n

ÿ

µpnq

�N

1
x ăn

µpnq

Z

1
nx

^

Z

^
N
N
1 ÿ µpnq
1
1 ÿ µpnq
“1´
´
nx
x n“1 n
x n“1 n

“ 1, d’après (a). Ainsi, SN pxq Ñ 1. Donc, la suite

pSN pxqqN converge simplement vers 1s0,1s sur s0, `8r.
4.(a) Soit N � 1,
ˇ2
ż N1
ż N1 ˇˇ ÿ
N
ˇ
ˇ
ˇ
2
|V SN pxq| dx “
p´µpnqqV ρpnxqˇ dx, par linéarité de V
ˇ
ˇ
0
0 ˇn“1
ˇ
ˇ
ż N1 ˇ ÿ
N
ˇ2
ˇ
ˇ

p´µpnqqJρpnxqˇ dx, d’après VI. 5.(d)
ˇ
ˇ
0 ˇn“1
ˇ
ˆ ˙ˇˇ2
ż N1 ˇ ÿ
N
1 ˇ
1
ˇ
p´µpnqq ρ

ˇ
ˇ dx, par définition de J
nx
nx ˇ
0 ˇn“1
ˇ2
ż N1 ˇˇ ÿ
N
ˇ
1
ˇ
ˇ
pnx ´ tnxuqˇ dx, par définition de ρ
p´µpnqq

ˇ
ˇ
ˇ
nx
0
n“1
ˇ2
ˇ
N
ˇ
1 ˇˇ ÿ
ˇ
µpnqˇ .

ˇ
ˇ
N ˇn“1
11

(b) Si la suite pSN qN converge dans L2 ps0, `8rq, alors sa limite n’est autre que 1s0,1s car par la réciproque
vers
du théorème de convergence dominée, il existe une sous suite de pSN qN qui converge simplement
ˇˇ
ˇˇ cette
limite. Mais, toute la suite pSN qN converge simplement vers 1s0,1s , d’après VII.3. Donc, ˇˇSN ´ 1s0,1s ˇˇ2 Ñ 0.
ˇˇ
ˇˇ
Par continuité de V , ˇˇV SN ´ V 1s0,1s ˇˇ2 Ñ 0. D’après VI.5,
V 1s0,1s pxq “

ż1
0

B
Bv

ˆ

sinp2πx{vq
πx{v

˙

dv “

sinp2πxq
,
πx

@xą0

D’après VII.4.(a),
N
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
1 ÿ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇ
?
µpnq “ ˇˇV SN .1s0, 1 s ˇˇ � ˇˇV SN ´ V 1s0,1s ˇˇ2 ` ˇˇV 1s0,1s .1s0, 1 s ˇˇ
N
N
2
2
N n“1

et

ˇˇ
ˇˇ2 ż
ˇˇ
ˇˇ
ˇˇV 1s0,1s .1s0, 1 s ˇˇ “
N

Alors, la suite

˜

?1
N

N
ÿ

n“1

µpnq

¸

2

1
N

0

ˇ
ˇ
ˇ sinp2πxq ˇ2
ˇ
ˇ
ˇ πx ˇ dx Ñ 0, quand N Ñ `8

converge vers 0, ce qui est contraire au résultat admis.

N

12


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