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Lycée AL IRFAN qualifiant
AMJAOUCH said

Exercices résolus
1Bac exp Biof
Page facebook: Maths εn poche Rappels :Les fonctions numérique
3x + 2
≥ 0.
x−1
−2
1
3

Résolvons l’inéquation
−∞
3x + 2



0

x−1





+

+
+

0

+
de

f

est

ch

3x + 2
+

0
x−1
Le domaine de définition
−2
]∪]1; +∞[
Df = ] − ∞;
3

x
7 f(x) = √
x−1
Réponse:
Df = {x ∈ R/x ≥ 0 et x − 1 > 0}

+∞

ja

ou

Exercice 1. .
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f dans les cas suivants :
1
1 f(x) =
x+1
Réponse :
Df = {x ∈ R/x + 1 6= 0}
Résolvons l’équation x + 1 = 0
x + 1 = 0 équivaut x = −1
d’où Df = R − {−1}.
1
2 f(x) =
2x − 1
Réponse :
1
Df = {x ∈ R/2x − 1 6= 0} = {x ∈ R/x 6= }
2
1 1
1
= R − { } =] − ∞; [∪] ; +∞[.
2
2 2

= [0; +∞[∩]1; +∞[= ]1; +∞[.

m

3 f(x) = x + x + 1
1
8 f(x) = p
Réponse :
|x| + 7
Puisque f est une fonction polynomiale alors
Df = {x ∈ R/|x| + 7 > 0} = R car |x| + 7 est
son domaine de définition est R.

toujours strictement positif.

4 f(x) = x − 3
x+3
Réponse :
9 f(x) = √
[à faire]
x

5
Df = {x ∈ R/x − 3 ≥ 0}

10 f(x) = x 2 + x − 4
[à faire]
Résolvons l’inéquation x − 3 ≥ 0.

x − 3 ≥ 0 équivaut x ≥ 3 d’où Df = [3, +∞[ .
x2 + 4
11 f(x) =
[à faire]
x
7x

5 f(x) =
12 f(x) = x − 1 + x 2 − 3
[à faire]
|x| + x
Réponse
x+1
13 f(x) = 2
[à faire]
Df = {x ∈ R/|x| + x 6= 0}
x + 3x + 4
Résolvons l’équation |x| + x = 0
Exercice 2. .
? Si x ≥ 0 l’équation précédente devient
Étudier la parité de la fonction f dans les cas
2x = 0 donc x = 0.
suivants :
? Si x < 0 l’équation précédente devient
1 f(x) = x 2 + 2
−x + x = 0 donc x.0 = 0.
Réponse:
Ce qui signifie que tous les nombres réels
? Df = R (Fonction polynomiale). Df est
négatifs sont des solutions de l’équation |x| +
symétrique par rapport à 0.
x = 0.
? Soit x ∈ R f(−x) = (−x)2 + 2 = x 2 + 2 = f(x)
Conclusion : Df = R∗ + =]0; +∞[.
Conclusion : f est une fonction paire.
r
3x + 2
6 f(x) =
2 f(x) = x 3 − x
x−1
Réponse:
Réponse
? Df = R (Fonction polynomiale). Df est
3x + 2
Df = {x ∈ R/
≥ 0 et x − 1 6= 0}
symétrique par rapport à 0.
x−1

P

ro

f.

A

2

17 septembre 2020

1/ 3

2020/2021

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AMJAOUCH said

Exercices résolus
1Bac exp Biof
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? Soit x ∈ R

f(−x) = (−x)3 − (−x) = −x 3 + x = − x 3 − x
= −f(x)
Conclusion : f est une fonction impaire.
3 f(x) = x 2 − 3x + 2

[à faire]

4 f(x) = |x + 3| + |x − 3|

5 f(x) = x 2 + 3

[à faire]

x3
|x| − 1

Exercice 3. .
Soit f la fonction numérique définie par :

Réponse:
Df = R (f est polynomiale)

m

Déterminer Df .

A

1

ja

f(x) = 2x 2 − 3x + 1

ch

[à faire]

ou

6 f(x) =

[à faire]

4

f.

2 Soient x et y deux nombres réels différents.

f(x) − f(y)
= 2(x + y) − 3 .
x−y

ro

Montrer que T(x; y) =

P

Réponse:
2x 2 − 3x + 1 − 2y 2 + 3y − 1
f(x) − f(y)
=
x−y
x−y
2(x 2 − y 2 ) + 3(y − x)
=
x−y
2(x − y)(x + y) − 3(x − y)
x−y
(x − y) (2(x + y) − 3)
x−y
= 2(x+y)-3 .

Dresser le Tableau de variations de f.
Réponse:
x

−∞

variations
de f
=

5

2/ 3

3
4

+∞

−1
8


3
−1
f
=
4
8

=

3 Étudier les variations de f sur les intervalles :
3
3
[ ; +∞[ et ] − ∞; ].
4
4
Rappel:
? T(x, y) ≥ 0 alors f est Croissante.
? Si T(x, y) ≤ 0 alors f est Décroissante.
Réponse:
3
? Soient x et y deux éléments de [ ; +∞[ :
4
3
3
Donc x ≥ et y ≥ par suite :
4
4
3 3
3
x + y ≥ + c-à-d x + y ≥ donc 2(x + y) ≥ 3
4 4
2
d’où 2(x + y) − 3 ≥ 0.
17 septembre 2020


3
T(x; y) ≥ 0 sur l’intervalle
; +∞ par suite
4

3
f est Croissante sur l’intervalle
; +∞ .
4
3
? Soient x et y deux éléments de ] − ∞; ] :
4
3
3
Donc x ≤ et y ≤ par suite :
4
4
3 3
3
x + y ≤ + c-à-d x + y ≤ donc 2(x + y) ≤ 3
4 4
2
d’où 2(x + y) − 3 ≤ 0.
3
T(x; y) ≤ 0 sur l’intervalle ] − ∞; ] par suite
4
3
f est Décroissante sur l’intervalle ] − ∞; ].
4
Conclusion :
3
f est Décroissante sur ] − ∞; ] et Croissante
4
3
sur [ ; +∞[.
4

Déterminer les extremums de f.
Rappel:
les extremums sont : les valeurs minimales et
les valeurs maximales.
Réponse:
1
− est la valeur minimale de f sur R.
8

2020/2021

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Exercice 4.
[à faire] .
Soit f la fonction numérique telle que :
f(x) = −x 2 + 2x
1 Déterminer le domaine de définition de f .
2 Vérifier que f(x) = −(x − 1)2 + 1.
3 Montrer que pour tout a et b différents on a :

5 Dresser le tableau des variations de f.

ja

6 Déduire les extremums de f.

ou

4 Étudier les variations de f sur l’intervalle [1 :
+∞[ puis sur l’intervalle ] − ∞; 1].

ch

T(a; b) = 2 − a − b

A

1
x

f.

f(x) = 4x 2 +

m

Exercice 5.
[à faire] .
On considère la fonction f définie sur R∗ par :

ro

1 M.q pour tout x et y de R∗ tels que (x 6= y) :

P

f(x) − f(y)
1
= 4(x + y) −
x−y
xy
2 Étudier les variations de f sur les intervalles
suivantes :


1
1
]−∞; 0[ et 0; et ; +∞
2
2
3 Dresser le tableau de variations de f.

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17 septembre 2020

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