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UNIVERSITÉ GUSTAVE EIFFEL
Calcul stochastique pour la finance

Sujet 3 : options asiatiques dans le
modèle de Black-Scholes
BAKIR Mélissa, COSSÉ Julie

Encadré par Damien LAMBERTON

Juin 2020

1

Table des matières
1 Introduction du sujet
1.1 Description d’une option asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Différentes expressions de valeurs d’une option asiatique . . . . . . . . . . . . .
1.3 Description rapide de la méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
3
4

2 Le cadre théorique
2.1 Cours des actifs sous-jacents à l’option dans le modèle de Black-Scholes
2.2 Caractérisation du prix d’un call dans le modèle de Black-Scholes . . .
2.3 Calcul de la valeur de l’option asiatique par la méthode de Monte Carlo
2.3.1 Dans un cadre de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Dans un cadre de dimension M . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4
4
5
5
6
6

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7
7
7
7
9
11
12
13
13
13

3 Calcul de CT par la méthode de Monte-Carlo
3.1 Description rapide de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Implémentation des mouvements browniens et cours d’actifs . . . .
3.2.1 Simulation d’un mouvement brownien standard . . . . . . .
3.2.2 Simulation de M trajectoires de MBS . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Simulation du cours d’un actif risqué . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Simulation des cours de M actifs risqués . . . . . . . . . . .
3.3 Application de la méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Approximation de l’intégrale par la méthode des rectangles à
3.3.2 Calcul du call asiatique CT dans la modèle de Black-Scholes

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. . . . .
. . . . .
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. . . . .
gauche
. . . . .

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.

4 Approximation de CT par CT˚
14
4.1 De la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Approximation de l’intégrale par la méthode des rectangles à gauche appliquée
à la moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Argument de différence des prix de l’option asiatique sous les différentes
moyennes
17
5.1 Explication dans le modèle discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Explication dans le modèle continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

1
1.1

Introduction du sujet
Description d’une option asiatique

Tout d’abord une option est un titre financier qui donne le droit (et non l’obligation) d’acheter
(call) ou de vendre (put) une quantité d’un actif financier (que l’on appelle actif sous-jacent)
à un prix fixé d’avance K et à une date fixé T.
Les options asiatiques fonctionnent comme les options européennes cependant le détenteur
dispose d’un droit supplémentaire. En effet, il peut :
- soit exercer l’option call ou put au prix d’exercice.
- soit à un prix moyen qui est une moyenne du prix du sous jacent pendant la durée de vie
de l’option.
Un des avantages est que la volatilité associée à une option asiatique est inférieure à celle
d’une option européenne (ou américaine), la rendant ainsi moins chère par rapport aux deux
dernières.
Si l’option asiatique est exercée, l’option nous donne le droit à un profit (payoff) dont la
valeur est la différence entre le prix moyen de l’actif sous-jacent sur la période [0,T] et le prix
d’exercice K.
Cette moyenne peut être arithmétique ou géométrique.

1.2

Différentes expressions de valeurs d’une option asiatique

La valeur d’une option (call) asiatique en temps continu de prix d’exercice K flottant à date
d’échéance T se note :
ˆ żT
˙
1
CT “
St dt ´ ST
T 0
`
La valeur d’une option (call) asiatique en temps continu de prix d’exercice K fixe à date
d’échéance T se note :
ˆ żT
˙
1
CT “
St dt ´ K
(1)
T 0
`
Tout au long de ce projet, nous nous intéresserons UNIQUEMENT à l’option donnant le droit
d’acheter (call), dans un modèle à temps continu, de prix d’exercice K fixe à date d’échéance
T.
´ ş
¯
ş
1 T
1 T
Dans l’équation (1), remplacer T 0 St dt par exp T 0 lnpSt q dt revient à remplacer la moyenne
arithmétique par la moyenne géométrique.
Ainsi la valeur de l’option asiatique de prix d’exercice K fixe à date d’échéance T se note :
ˆ
CT˚



1
expp
T

żT

˙
lnpSt q dtq ´ K

0

(2)
`

3

1.3

Description rapide de la méthode de Monte-Carlo

Le projet consiste à faire le calcul par la méthode de Monte-Carlo et à tester une approximation consistant à remplacer CT par CT˚ .
L’approche de Monte-Carlo consiste à simuler un grand nombre de réalisations de variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) pYn qn de même loi que Y , puis de
prendre ensuite la moyenne sur ces répétitions. Les méthodes de Monte-Carlo sont ainsi basées sur la loi des grands nombres (LGN), qui assure la convergence de cette moyenne vers
l’espérance de cette variable Y .
Méthodes de Monte-Carlo appliquées à la finance
Si la variable aléatoire est solution d’une équation différentielle stochastique (EDS), une des
méthodes de Monte-Carlo réside à recourir à une approximation de cette variable, qui correspond à une discrétisation en temps.
Ainsi les méthodes de Monte-Carlo en finance reposent sur la capacité à simuler l’évolution
des processus de prix.
De ce fait, nous nous intéresserons aux méthodes de simulation d’une diffusion de la forme
suivante (que nous étudierons dans la Section (2)) :
dSt “ rSt dt ` σSt dWt

2
2.1

Le cadre théorique
Cours des actifs sous-jacents à l’option dans le modèle de BlackScholes

Le modèle de Black-Scholes est un modèle mathématique du marché pour une action dans
lequel le prix de cette dernière est un processus stochastique en temps continu, par opposition
au modèle de Cox Ross-Rubinstein qui suit un processus stochastique en temps discret.
Ici, notre étude se place dans le cadre d’une option dans le modèle de Black-Scholes, composé d’un actif sans risque et d’un actif risqué.
Le prix de l’actif sans risque pSt0 q vérifie l’équation différentielle stochastique suivante, tel
que r ě 0 représente le taux d’intérêt sans risque sur une période et S00 “ 1 :
dSt0 “ rSt0 dt
Le prix de l’actif risqué pSt q vérifie l’équation différentielle stochastique suivante, tel que µ et
σ > 0 où σ correspond à la volatilité et pBt qtPr0,T s est un mouvement brownien standard.
dSt “ µSt dt ` σSt dBt
D’après le théorème de Girsanov dans le modèle Black-Scholes, pWt qtPr0,T s est un mouvement
brownien standard sous la probabilité risque-neutre, tel que Wt “ Bt ` θt où θ “ µ´r
.
σ

4

On obtient alors l’EDS suivante :
dSt “ rSt dt ` σSt dWt
Et on en déduit ainsi, le prix de l’actif risqué, donné par la formule suivante : @t ě 0,
ˆ

σ2
St “ S0 exp pr ´ qt ` σWt
2

˙
(3)

tel que pWt qtPr0,T s , on le rappelle, est un mouvement brownien standard pour t P r0, T s.
Rappelons rapidement que @t P r0, T s, Wt „ N p0, tq car pWt qtPr0,T s est un MBS qui est un
processus à accroissements indépendants stationnaires (PAIS).

2.2

Caractérisation du prix d’un call dans le modèle de Black-Scholes

Le résultat d’un call de prix d’exercice K à date d’échéance T se nomme "pay-off" : ce dernier
représente le profit que peut réaliser le détendeur de l’option.
Dans le cas d’une option européenne (nous nous ramenons à un cas connu et étudié), le pay-off
s’exprime de la manière suivante :
P ayof f :“ pST ´ Kq` “ maxp0, ST ´ Kq
Le prix d’un call européen de prix d’exercice K à date d’échéance T est donné par l’espérance
sous la probabilité risque-neutre du payoff terminal actualisé :
CT “ E pexpp´rT qP ayof f q

(4)

En réalisant la méthode de Monte-Carlo, nous pourrons ainsi procéder à une estimation du call
asiatique qui s’exprime sous la même forme que l’expression (4). En effet, le prix du call s’écrit
sous la forme d’une espérance, ce qui permet d’avoir recourt à la loi forte des grands nombres,
sur laquelle la méthode Monte-Carlo est basée.

2.3

Calcul de la valeur de l’option asiatique par la méthode de
Monte Carlo

Dans un premier temps, nous étudierons la valeur de l’option asiatique dans le cas de la moyenne
arithmétique. Notre objectif étant de calculer la formule du prix du call donné par l’équation
şT
(1), intéressons nous alors à la variable suivante : IT “ 0 St dt.
Rappelons qu’une des méthodes de Monte-Carlo réside à recourir à une approximation de
cette variable, qui se réalise à partir d’une discrétisation en temps, comme expliqué ci-dessus
en section (1.3).
Une bonne approximation de cette intégrale peut se faire à l’aide de la méthode dite :
Méthode des rectangles à gauche
Tout d’abord, nous discrétisons l’intervalle [0,T] en N parties égales :
De ce fait, on note respectivement h (subdivision régulière ou pas de division), la longueur
de chaque sous-intervalle formé par la discrétisation de l’intervalle [0,T] en N parties et tk les
5

points équidistants formés par ces sous-intervalles notés rtk , tk`1 s, tels que : h “
@ 0 ď k ď N ´ 1 avec k P N.

T
N

et tk “ kh,

L’intégrale IT (interprétation géométrique : l’aire sous la courbe de la fonction) peut alors
être approchée en utilisant des sommes de Riemann. L’idée d’approximation revient ainsi à
approcher la courbe par une somme de fonctions constantes puis à additionner les aires des
rectangles ainsi formés.
2.3.1

Dans un cadre de dimension 1

Nous obtenons alors l’approximation suivante :
1
IT :“
T

żT
St dt „
0

´1
h Nÿ
St
T k“0 k

Tels que les termes de la somme sont les aires des rectangles de largeur
T
le k-ème rectangle (où on le rappelle, tk vaut k N
).

(5)

T
N

et de taille Stk pour

Il reste à savoir comment calculer les Stk , @ 0 ď k ď N ´ 1.
Pour cela il suffit de calculer les accroissements du mouvement pWt qtPr0,T s .
Nous savons que le mouvement brownien standard pWt qtPr0,T s est un PAIS, c’est-à-dire que les
accroissements pWtk`1 ´ Wtk q sont indépendants et stationnaires.
Ainsi, on a :
pWtk`1 ´ Wtk q „ pWtk`1 ´tk q „ N p0, hq

(6)

De ce fait, pour trouver la valeur d’une option asiatique, d’après la méthode de Monte-Carlo,
il suffit de simuler la variable aléatoire IT plusieurs fois ou plus exactement, d’après la section
(2.2), simuler e´rT pIT ´ Kq` plusieurs fois.
Bien qu’on ne connaisse pas explicitement la loi de IT , on sait simuler des trajectoires de
mouvement brownien standard pWt qtPr0,T s . Ce qui nous emmène au cadre suivant.
2.3.2

Dans un cadre de dimension M

Ici, on fixera M P N un entier assez grand.
De ce fait, en réalisant M simulations où :
´
¯
piq
piq
piq
- pSt q1ďiďM “ pStk , ..., Stk q0ďkďN ´1

représente le prix des M actifs simulés re-

1ďiďM

gardés aux dates t´k
¯
piq
piq
piq
- pWt q1ďiďM “ pWtk , ..., Wtk q0ďkďN ´1

représente les mouvements des M trajec-

1ďiďM

toires browniennes simulées regardés aux dates tk .

6

Nous pouvons ainsi déduire le prix d’un call asiatique sous la moyenne arithmétique dans le
modèle de Black-Scholes.
Le prix d’un call asiatique de prix d’exercice K fixe à date d’échéance T est donné par :
M
e´rT ÿ
M i“1

3

˜

´1
h Nÿ
piq
S ´K
T k“0 tk

¸
(7)
`

Calcul de CT par la méthode de Monte-Carlo

Tout au long de ce projet, l’implémentation informatique se fera sur le logiciel Rstudio.

3.1

Description rapide de la méthode

Notons les paramètres généraux suivants :
- T, date d’échéance de l’option asiatique.
- N, nombre de divisions de l’intervalle [0,T].
- M, nombre de simulations pour effectuer une approximation par la méthode de M-C.
On rappelle que le but du projet, dans un premier temps, est d’effectuer - par la méthode
de Monte-Carlo - le calcul de CT , valeur de l’option asiatique dans le modèle de Black-Scholes
à la date T.
Pour cela, l’implémentation informatique de CT s’effectuera de la manière suivante :
- Discrétisation de l’intervalle de temps [0,T].
piq
piq
- Simulation des accroissements de M trajectoires browniennes (Wtk`1 ´ Wtk ),
@ 1 ď i ď M par l’équation (6).
piq
- Simulation de ces M trajectoires browniennes pWt q1ďiďM par l’équation (8).
piq
- Simulation des cours des M actifs risqués (St q1ďiďM par l’équation (3).
- Approximation de l’intégrale IT par l’équation (5).
- Simulation de CT par l’équation (7).

3.2
3.2.1

Implémentation des mouvements browniens et cours d’actifs
Simulation d’un mouvement brownien standard

Nous cherchons à simuler le MBS suivant : Wt “ pWt0 , Wt1 , ..., WtN q.
La première étape consiste à discrétiser l’intervalle de temps [0,T] en N+1 points équidistants
comme expliqué dans la section (2.3).
T
, ainsi que les N+1
Nous souhaitons alors créer un pas de division noté h tel que h “ N
points équidistants afin de générer les sous-intervalles rtk , tk`1 s pour 0 ď k ď N ´ 1.

7

On obtient alors le code suivant :

On obtient ainsi la séquence des tk qui divise bien l’intervalle [0,T] en N = 10 parties (sousintervalles).

La deuxième étape est de simuler les accroissements d’un mouvement brownien standard.
La propriété sur les accroissements d’un mouvement brownien standard nous rappelle que les
accroissements (Wtk`1 ´ Wtk ), @ k P 0 ď k ď N ´ 1 sont des variables aléatoires centrées et
de variance h, indépendantes et identiquement distribuées (iid). De plus, rappelons que tk “ kh.
Pour simuler ces accroissements, nous allons donc simuler un vecteur d’accroissements, noté
acc tel que chaque accroissement suit une loi N p0, hq.
On obtient alors le code suivant :

La troisième étape consiste à générer la trajectoire brownienne formée de ses accroissements
simulés. Elle se réalise facilement grâce à la formule : @ n P r0, N s
Wtn “

n´1
ÿ

Wtk`1 ´ Wtk

(8)

k“0

De ce fait, sur R, la fonction cumsum permet de calculer les sommes cumulées et permet ainsi
de simuler un mouvement, auquel il ne faut pas oublier d’ajouter le point de départ Wt0 “ 0.

Nous avons ici simulé un seul mouvement brownien, nous pouvons alors afficher sa trajectoire grâce au code suivant :

8

Figure 1 – Simulation d’un mouvement brownien sur [0,T] où N=10
Afin de pouvoir observer un graphique ressemblant à ceux étudiés et ainsi reconnaître plus
facilement un mouvement brownien, il est possible ici, d’augmenter le nombre de sous-intervalles
de l’intervalle [0,T].
Le graphique suivant sert uniquement à se rapprocher visuellement des modèles étudiés.

Figure 2 – Simulation d’un mouvement brownien sur [0,T] où N = 200
3.2.2

Simulation de M trajectoires de MBS

Nous avons vu que pour utiliser la méthode de Monte-Carlo, il faut générer
un certain nombre
ş
1 T
de fois la variable aléatoire qui nous intéresse (en l’occurence IT :“ T 0 St dt). Pour cela il faut
donc, d’après la forme d’un actif pSt qtPr0,T s donnée par l’équation (3), générer un assez grand
nombre de trajectoires browniennes.
De la même manière que précedemment, on peut tracer M trajectoires de mouvements browniens notées :
´
¯
piq
piq
piq
pWt q “ pWtk , ..., Wtk q0ďkďN ´1
1ďiďM

9

Pour M = 50, le code suivant permet de réaliser M trajectoires browniennes :

Le code ci-dessus se traduit de la manière suivante :
Nous réalisons 500 accroissements où chaque accroissement suit une loi normale N p0, hq. On
crée ensuite une matrice stockant par ligne 10 accroissements afin d’obtenir par la suite un
piq
piq
mouvement brownien de la forme pWtk , ..., Wtk q0ďkďN ´1 pour chaque i allant de 1 à M.
Ainsi, en effectuant la somme cumulée des coordonnées de ces 50 lignes, nous obtenons une
nouvelle matrice composée d’un mouvement brownien différent pour chaque ligne (ne pas oublier d’ajouter les points de départ).
On affiche ensuite simplement chacun de ces mouvements simulés.

Figure 3 – Implémentation des M = 50 trajectoires browniennes sur Rstudio
10

3.2.3

Simulation du cours d’un actif risqué

Maintenant, nous cherchons à simuler le cours de l’actif sur [0,T] noté : St “ pSt0 , St1 , ..., StN q
D’après l’équation (3) et (8), nous pouvons écrire que : @ k tel que 0 ď k ď N ´ 1,
˙
ˆ
σ2
Stk “ S0 exp pr ´ qtk ` σWtk
2
Le code suivant permet ainsi de simuler le cours d’un actif St :

Le code ci-dessus se traduit de la manière suivante :
On créé un vecteur de taille N dans lequel on stocke le prix de l’actif à chaque date tk grâce à
la formule exprimée précedemment. On affiche simplement à l’aide de la fonction plot le cours
de l’actif sur [0,T].

Figure 4 – Affichage du cours d’un actif risqué dans le modèle de Black-Scholes
11

3.2.4

Simulation des cours de M actifs risqués

Nous avons vu que pour utiliser la méthode de Monte-Carlo, il faut générer
un certain nombre
ş
1 T
de fois la variable aléatoire qui nous intéresse (en l’occurence IT :“ T 0 St dt).
piq

De la même manière que précedemment, on peut tracer le cours de M actifs risqués pSt qtPr0,T s
pour i allant de 1 à M :
´
¯
piq
piq
piq
pSt q “ pStk , ..., Stk q0ďkďN ´1
1ďiďM

Pour cela nous avons réaliser le code suivant :

Le code ci-dessus permet de générer 50 cours d’actifs risqués différents. En effet, nous avons pour
cela créer une matrice de taille 50 x 11 où le cours de chaque actif est stocké par ligne. Pour cela,
il suffit de remplir la matrice par ligne et de stocker les prix de l’actif concerné à chaque date tk .
Cependant, il faut faire attention à retirer, dans la matrice mat-mbs implémentée précédemment, le point de départ Wt0 “ 0 afin de ne pas générer un St0 en trop, déjà fixé.

Le code ci-dessus permet d’afficher les cours des 50 actifs risqués simulés. Pour pouvoir différencier les trajectoires de mouvements browniens et les cours des actifs , nous avons affiché
ces derniers en couleurs dans le graphique suivant :

12

Figure 5 – Simulation des cours sur [0,T] des 50 actifs risqués simulés

3.3
3.3.1

Application de la méthode de Monte-Carlo
Approximation de l’intégrale par la méthode des rectangles à gauche

Ici nous utilisons la méthode d’approximation vu dans la partie (2.3) qui consiste à approximer
l’intégrale IT par des sommes de Riemann. C’est l’équation (5) qui nous donne cette approximation :
ż
´1
h Nÿ
1 T
St dt „
St
IT :“
T 0
T k“0 k
piq

Comme nous avons calculé juste avant, les prix aux dates tk des M actifs risqués St , pour

´1
piq
1 ď i ď M , il nous reste à implémenter la somme suivante : Th
Stk , donnée sur R par :
k“0

En effet ici, il convient de retirer la dernière colonne de la matrice des cours des M actifs,
car nous avons discrétisé l’intervalle [0,T] en sous-intervalles rtk`1 , tk s, @ 0 ď k ď N ´ 1.
3.3.2

Calcul du call asiatique CT dans la modèle de Black-Scholes

Rappelons que nous cherchons à estimer le prix d’un call asiatique par la formule suivante
donnée par l’équation (7) :
˜
¸
M
´1
e´rT ÿ
h Nÿ
piq
S ´K
M i“1 T k“0 tk
`

Pour cela nous allons créer un vecteur du pay-off tel que, rappelons le :
˜
¸
˜
¸
´1
N
´1
ÿ
h Nÿ
h
piq
piq
P ayof f :“
Stk ´ K
“ max 0,
Stk ´ K
T k“0
T k“0
`

13

Le code suivant permet de réaliser le calcul du prix de l’option asiatique dans le modèle de
Black-Scholes de prix d’exercice K fixé à date d’échéance T :

On rappelle que le payoff d’une option asiatique dépend du prix moyen du sous-jacent sur
une période donnée. Ici, la moyenne est arithmétique.
Le code précédent calcule dans un premier temps le max entre 0 et le payoff de l’option pour
chacun de ces M sous-jacents, stockés dans un vecteur "payoff". On effectue ensuite la somme
des coordonnées
ˆ de ce vecteur, ˙afin d’obtenir la concordance entre la variable sum(pay-off) et
M
´1
ř h Nř
piq
Stk ´ K .
la variable
T
i“1

k“0

`

Dans le cadre de la moyenne arithmétique, on obtient alors la valeur du call asiatique dans
le modèle de Black-Scholes de prix d’exercice K fixé à date d’échéance T :

Il est alors intéressant de se poser la question de ce qu’il advient du prix de l’option asiatique,
lorsque la moyenne arithmétique est remplacée par la moyenne géométrique dans le modèle de
Black-Scholes.

4
4.1

Approximation de CT par CT˚
De la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique

Maintenant que nous avons calculé la valeur d’un call asiatique avec la moyenne arithmétique,
nous allons nous pencher sur l’implémentation d’une approximation consistant à remplacer la
moyenne arithmétique par la moyenne géométrique (méthode de Kemna et Vorst).
Cela revient à implémenter la formule suivante donnée par l’équation (2) :
ˆ
˙
ż
1 T
˚
lnpSt q dtq ´ K .
CT “ expp
T 0
`
Dans un premier temps, nous allons calculer la formule de lnpSt q à l’aide de la formule d’Itô :
żt
ż
1
1 t ´1
lnpSt q “ lnpS0 q `
dSs `
d ă S, S ąs
2 0 Ss2
0 Ss
De plus, nous avons l’équation stochastique différentielle suivante : dSt “ rSt dt ` σSt dWt .
14

Ainsi, nous obtenons facilement la formule ci-contre :
σ2
lnpSt q “ lnpS0 q ` pr ´ qt ` σWt
2
Nous allons donc procéder de la même manière en remplaçant la formule du calcul de St par
celle obtenue ci-dessus pour lnpSt q “ plnpSt0 q, lnpSt1 q, ..., lnpStN qq.
Pour cela, nous avons donc réaliser le code suivant :

L’algorithme ci-dessus est basé sur le même principe que celui implémenté sur la représentation d’un cours de l’actif risqué pSt qtPr0,T s sur [0,T].
Il suffit simplement de remplacer la formule des Stk par celle des ln(Stk ).

15

L’algorithme précédent est basé sur le même principe que celui implémenté sur la représenpiq
tation des cours des M actifs risqués pSt qtPr0,T s sur [0,T].
piq

piq

Il suffit simplement de remplacer la formule des Stk par celle des ln(Stk ).
Le code ci-dessus permet d’afficher le log des cours des 50 actifs risqués simulés. Pour pouvoir différencier les trajectoires de mouvements browniens et le log des cours des actifs , nous
avons affiché ces derniers en couleurs dans le graphique suivant :

Figure 6 – Simulation du log des cours sur [0,T] de 50 actifs risqués simulés

4.2

Approximation de l’intégrale par la méthode des rectangles à
gauche appliquée à la moyenne géométrique

Dans le cadre de la moyenne arithmétique, l’approximation de l’intégrale IT reposait sur la
méthode d’approximation
´ ş vue dans¯la partie (2.3). De la même manière, l’approximation de
T
˚
l’intégrale : IT “ exp T1 0 lnpSt q dt par des sommes de Riemann est tout à fait adéquate ici,
dans le cadre de la moyenne géométrique.
Le code suivant réalise dans un premier temps, l’approximation de cette intégrale par la méthode des rectangles à gauche :

16

Le code précédent calcule dans un premier temps le max entre 0 et le payoff (qui ne dépend
que du prix des sous-jacents) de l’option pour chacun de ces M sous-jacents, stockés dans un
vecteur "payoff2". On effectue ensuite la somme des coordonées
ce vecteur, afin˙d’obtenir
˙
ˆ de ˆ

´1
M
ř
piq
h
lnpStk q ´ K .
la concordance entre la variable sum(payoff2) et la variable
exp T
i“1

k“0

`

Dans le cadre de la moyenne géométrique, on obtient alors la valeur du call asiatique dans le
modèle de Black-Scholes de prix d’exercice K fixé à date d’échéance T :

On remarque alors que le prix de l’option asiatique de prix d’exercice K fixe à date d’échéance T
sur la moyenne géométrique est moins élevé que celui de l’option sur la moyenne arithmétique.

5

Argument de différence des prix de l’option asiatique
sous les différentes moyennes

Nous avons remarqué que le prix d’une option asiatique avec une moyenne géométrique était
plus faible que celle avec une moyenne arithmétique.
Nous avons réalisé 5 simulations du programme en entier pour pouvoir classer 5 résultats du
prix du call selon les différentes moyennes, afin de pouvoir mieux les comparer.

Nous avons pu donc remarquer que le prix avec la moyenne géométrique était en effet toujours
moins élevé que celui avec la moyenne arithmétique.
On peut donc se demander, pourquoi le prix de l’option sous la moyenne géométrique est-t-il
plus faible que celui sous la moyenne arithmétique.

5.1

Explication dans le modèle discret

En effet, dans notre projet, nous nous étions intéressées uniquement à un modèle à temps
continu. Cependant, dans un modèle à temps discret, la moyenne géométrique reste moins
élevé que la moyenne arithmétique. Cela résulte de l’inégalité de Jensen à temps discret.
Dans un premier temps, il est intéressant de comprendre ce résultat en temps discret.
17

L’expression du call asiatique en fonction des moyennes s’écrit de la manière suivante :
ˆ
˙
N
ř
- Le prix d’un call asiatique avec une moyenne arithmétique est N1
Si ´ K .
ˆ i“1
˙`
N
ś
1
- Le prix d’un call asiatique avec une moyenne géométrique est p Si q N ´ K .
i“1

`

Dans un premier temps, rappelons l’inégalité de Jensen en temps discret :
Si f est une fonction convexe, px1 ...xn q est un n-uplet de nombres réels et pλ1 ...λn q est nuplet de nombres réels positifs tel que leur somme est égale à 1. Alors on obtient l’inégalité
suivante :
n
n
ÿ
ÿ
f p λi xi q ď
λi f pxi q
i“1

i“1

Cette inégalité implique ainsi, en utilisant la concavité de la fonction logarithme, l’inégalité
arithmético-géométrique :
n
n
ź
1
1ÿ
n
xi
p xi q ď
n i“1
i“1

(9)

En utilisant l’inégalité (9) dans notre contexte, on obtient le résultat escompté :
N
N
ź
1
1 ÿ
p Si q N ď
Si
N i“1
i“1

5.2

Explication dans le modèle continu

Dans le modèle continu, nous procédons de la même manière, en appliquant l’inégalité de Jensen avec intégrale.
Rappelons que cette inégalité s’écrit sous la forme suivante :
ˆż
˙ ż
Φ
g dµ ď pΦ ˝ gq dµ




où Φ est une fonction convexe et g une fonction µ-intégrable.
Dans notre contexte d’utilisation de l’inégalité de Jensen, comme l’exponentielle est convexe, il
suffit d’utiliser la fonction logarithme pour g afin d’obtenir l’inégalité souhaitée :
ˆ żT
˙
ż
1 T
1
lnpSt q dt ď
exp plnpSt qq dt
exp
T 0
T 0
ż
1 T
ď
St dt
T 0
Ainsi, nous obtenons l’inégalité attendue, explicative de la différence de prix entre un call
asiatique sous la moyenne arithmétique et sous la moyenne géométrique :
ˆ
ˆ żT
˙
˙
ˆ żT
˙
1
1
exp
lnpSt q dt ´ K
ď
St dt ´ K
T 0
T 0
`
`
18

Références
[1] D.LAMBERTON et B.LAPEYRE, Introduction au calcul stochastique appliqué à la
finance, 1997, Ellipses
[2] J-P.ARGAUD et O.DUBOIS, Méthodes mathématiques pour la finance : Valorisation de
produits et gestion des risques de marché, 2006, Ellipses
[3] R.PORTAIT et P.PONCET, Finance de marché : Instruments de base, produits dérivés,
portefeuilles et risques, 2008, Dalloz
[4] I.BARRY et J-M.FRELET, Pricing d’options asiatiques par les méthodes
de
Monte
Carlo,
2010,
https: // www. doyoubuzz. com/ var/ f/ Go/ Mk/
GoMk-5mF3Kl2JnxP79ABNYjeuC1REDHiypgOhQt4rc6wbISzV8. pdf
[5] B.BOUCHARD, Méthode de Monte Carlo en Finance, 2007, https: // www. math.
univ-toulouse. fr/ CREMMA/ BouchardNotes. pdf ,
[6] A.CHARPENTIER
Méthode
numériques
en
finance,
2007,
freakonometrics. github. io/ documents/ teaching/ NTF. pdf? fbclid=
IwAR0xze5_ i_ GH-0xbe2BHTws8wZJAHYhv8exT6UJIntvY0AVUWFMIvIOBjww

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