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Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

g : Maths ε n poche.
‰ : +212639052421

Exercice 1. .

1 Bac SM Biof

Ensembles et applications

4 On considère les ensembles :

Soit A et B et C des parties d’un ensemble E.

E = {(x; y) ∈ R2 : y 2 − 2xy + 2x − 2y = 0}

F = {(x; y) ∈ R2 : y = x + 1 + x 2 + 1}

G = {(x; y) ∈ R2 : y = x + 1 − x 2 + 1}

Montrer que :
1 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

a Montrer que

3 (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∩ B ∩ C

b Déterminer

(A∩B)

= CEA ∩ CEB

Exercice 5. .

5 (A ∪ B ⊂ A ∪ C)et(A ∩ B ⊂ A ∩ C) Ñ B ⊂ C

1 Déterminer l’ensemble :

ou

Exercice 2. .

ja

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

l’implication suivante est fausse :

C ⊂ A ∪ B Ñ (C ⊂ A ou C ⊂ B)

m

A ∩ B = {1; 2}

3 Soit E et F deux ensembles. Montrer que :

f.
A

A − B = {5}

P(E) ∪ P(F) ⊂ P(E ∪ F)
4 Soit A et B et C trois parties d’un ensemble E.

ro

Exercice 3. .

On considère la fonction affine f telle que :

Montrer que :

P

On Considère :

E = {y ∈ R/∃x ∈ R : x 2 + 2xy + y 4 = 0}

2 En donnant un contre exemple, montrer que

Déterminer A et B sachant :

f(x) = −2x + 3

E ∩ A.

ch

4 CE

E =F ∪G

A∆B = A∆C ⇔ B = C

A = {x ∈ R : −2 < f(x) ≤ 3}

Exercice 6. .

B = {y ∈ R : y = f(x) et x ∈ [−3; 2[}

Soit a et b deux réels distincts .On pose :

Déterminer :

E = {x ∈ R : x 2 + 2bx + a = 0}

A ∪ B ; A ∩ B ; A − B ; A ∩ N ; B ∩ Z.

F = {x ∈ R : x 2 + 2ax + b = 0}
.

Exercice 4. .

1 Soit x un élément de R

On pose :

Montrer que : x ∈ E ∩ F Ñ x =

A = {(x; y) ∈ R2 : x + y = 0}

−1
4
−1
3 Montrer que : E ∩ F = Φ ⇔ a + b 6=
4

B = {(x; y) ∈ R2 : x 2 − xy − 2y 2 = 0}
1 Montrer que

1
2

2 Montrer que : E ∩ F 6= Φ Ñ a + b =

A ⊂ B.

2 Déterminer y d R telle que (1; y) ∈ B

Exercice 7. .

Est-ce-que B ⊂ A ?

Soit f : I 7Ï J une application définie par :

3 Montrer que B = A ∪ C tel que C une partie

f(x) = x 2

que l’on déterminera.

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g : Maths ε n poche.
‰ : +212639052421

Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

1 Bac SM Biof

Ensembles et applications

1 Donner deux ensembles I et J tel que f soit in- Exercice 11. .
jective et non surjective.

On considère l’application :

f : [−1; +∞[7Ï [−1; +∞[

2 Donner deux ensembles I et J tel que f soit sur-

x

jective et non injective.

x 2 + 2x

1 Montrer que f est injective.

3 Donner deux ensembles I et J tel que f soit ni
surjective ni injective.

jective.

ch

2 Déterminer l’image réciproque de l’intervalle

4 Donner deux ensembles I et J tel que f soit bi-

[3; +∞[ par l’application f .

ou

3 Montrer que f est une bijection et déterminer

Exercice 8. Déterminer (en justifiant) si l’applica-

ja

f : RÏ R

m
f : RÏ R

f : R+ Ï R+

1 Montrer que :

x 7Ï x + x 3

ro

x 7Ï x 2

x 7Ï


x−2
≤1.
−1 ≤ √
x+2

∀x ∈ [0; +∞[:

f : [0; 1] Ï [0; 2]

P

x2

Exercice 12. .

f.
A

chacune des cas suivants :

sa bijection réciproque f −1 (x) pour tout x de

[−1; +∞[ .

tion f est ; injective, surjective ou bijective dans

x 7Ï



2 Soit l’application :

x2

f : [0; +∞[ Ï

[−1; 1]

x−2


7
x+2
Montrer que f est une bijection et déterminer

Exercice 9. .
Soit l’application :

f : RÏ R

sa bijection réciproque f −1 .

x 7Ï x 2 + 4x + 1
1 Résoudre dans R l’équation :

f(x) = 0

Exercice 13. .

Est ce que f est injective ?
2 Montrer que :

On considère l’application définie par :

f : N2 Ï

(∀x ∈ R) : f(x) ≥ −3

N

(m; n) 7Ï 2m (2n + 1)

Est que f est surjective ?

Montrer que f est injective.
Exercice 10. .
Exercice 14. .

Soit l’application définie par :

f : RÏ R
2x + 9
x 7Ï
x2 + 1
1 Déterminer :

f −1 ({1})

1 Soit f et g deux applications définies par :

f : N2 Ï

N

(n; m) 7Ï mn

g : N Ï N2
n 7Ï (n; (n + 1)2 )

Est-ce-que f et g injectives ? surjectives ? bijec-

2 Est ce que f est bijective ?

tives ?

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Prof: Said AMJAOUCH

2 Soient f et g définies par :

g : NÏ N

f : NÏ N

n 7Ï E

n 7Ï 2n

(E est la partie entière )

jective.

n
6 Que peut-on déduire dans les cas suivants ?

2
gof = IdE
gof = IdF

tives ?

fof = IdE

ch

Déterminer fog et gof

Exercice 17. .

Que remarquez-vous ?

ja

On considère l’application h définie par :

ou

Soit f la fonction définie sur R − {0; 1} telle que :

Exercice 15. .


∀x ∈ R − {−1; 2}
x−2
x+1
+ 2f
=x
f
x−2
x+1

m

h : R+ Ï [0; 1[
x
x 7Ï
x+1
1 Montrer que h est une bijection et déterminer

P

h(n) = hoho . . . oh

∀t ∈ R − {0; 1}

Exercice 18. .
( n fois).

Soit A une partie d’un ensemble E .

= h(x)

On considère l’application :

Déterminer h (x) ; h (x)
(2)

f : P(E) Ï P(E)

(3)

X 7Ï

3 Conjecturer l’expression h(n) (x) et démontrer

A∩X

1 Déterminer :

la conjecture.

f(A) ; f(A) ; f(E)

2 Est-ce-que f est une bijection ? (justifier).

Exercice 16. .
Soient f et g deux applications telles que :

f :EÏF


1
2t + 1
=
f(t) + 2f
t
t−1

2 Déduire l’expression de f(t) en fonction de t .

2 Soit n de N − {0; 1}

Avec h

1 Montrer que :

f.
A

ro

sa réciproque h−1 .

(1)

Ensembles et applications

5 Montrer que si gof est surjective alors f sur-

Est-ce-que f et g injectives ? surjectives ? bijec-

On pose :

1 Bac SM Biof

Exercice 19. .

g :F ÏG

déterminer toutes les applications f de R vers R

1 Montrer que si f et g Sont injectives alors gof

telles que :

est injective .

(∀(x, y) ∈ R2 ) :

2 Montrer que si f et g Sont surjectives alors gof

f(xy) = f(x)f(y) − x − y

Exercice 20. .

est surjective .

Soit f une application de N∗ vers N∗ telle que :

3 Que peut-on déduire pour gof si f et g sont
bijectives ?

∀nN∗ : f(f(n)) = f(n + 1) − f(n)
Montrer que :

4 Montrer que si gof est injective alors f injec-

∀n ∈ N∗ : f(n) ≥ n

tive.

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Prof: Said AMJAOUCH

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1 Bac SM Biof

Ensembles et applications

P

ro

f.
A

m

ja

ou

ch

Andrew John Wiles est un mathématicien britannique, professeur à l’université d’Oxford, en Angleterre. Il est célèbre pour avoir démontré Le grand
théorème de Fermat en 1994. Ce problème avait
résisté à la sagacité des mathématiciens pendant
350 ans.

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