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Prof: Said AMJAOUCH

Lycée AL Irfan Qualifiant

g : Maths n poche.
‰ : +212639052421

2Bac Biof
Fonctions continues

Exercice 1. .

p
Soit f la fonction numérique définie sur I = [1; +∞[ par : f (x) = 2 − x2 − 1
1 Montrer que f est continue sur I .
2 Montrer que ∀x ∈]1; ∞[ , f 0 (x) = √

−x
x2 − 1

et dresser le tableau de variations

de f .

ch

3 Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J à

ou

déterminé .

P

ro

f.

A
m

ja

4 Déterminer f −1 (x) pour tout x de J .

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Fonctions continues

Correction proposée
.

p
Soit f la fonction numérique définie sur I = [1; +∞[ par : f (x) = 2 − x2 − 1
1 Montrer que f est continue sur I .

ja

D’où f est continue sur [1; +∞[.

ou

ch

p
x 7→ x2 − 1 est continue sur I comme composée de deux fonctions continues


√
x 7→ x2 − 1 est continue et positive sur [1; +∞[ et x 7→ x sur R+

A
m

2 Montrer que ∀x ∈]1; ∞[ , f 0 (x) = √

x2 − 1

f.

de f .

−x

Puisque x ∈]1; +∞[ alors x > 0 Donc

ro

f est dérivable sur ]1; +∞[.

p
x2 − 1 > 0
−x
D’où f 0 (x) = √
<0
x2 − 1
Alors f est strictement décroissante sur
−x < 0 et

P

∀x ∈]1; +∞[
0

f (x) =
=
=
=

et dresser le tableau de variations

0
p
2
2− x −1
(x2 − 1)0
0− √
2 x2 − 1
2x
− √
2 x2 − 1
−x
√
x2 − 1


[1; +∞[.
x

1

+∞

2
Var f

−∞

3 Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J à
déterminé.

? f est continue (d’après la question 1).
? f est strictement monotone (d’après la question 2).
Donc f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J .

J = f ([1; +∞[) =

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lim f (x); f (1) =] − ∞; 2].

x→+∞

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Fonctions continues

4 Déterminer f −1 (x) pour tout x de J .
soient x ∈] − ∞; 2] et y ∈ [1; +∞[ :

f.

⇐⇒ |y|

ro

⇐⇒ y

f −1 (x) =

ch

= −x + 2

= (−x + 2)2

= (−x + 2)2 + 1
p
=
(−x + 2)2 + 1
p
=
(−x + 2)2 + 1
p
=
(−x + 2)2 + 1

(car y > 0)

p
(−x + 2)2 + 1

P

∀x ∈] − ∞; 2] ,

= x−2

= (−x + 2)2

A
m

⇐⇒ y 2
p
⇐⇒
y2

= x

ja

⇐⇒ y 2 − 1

= x

ou

y = f −1 (x) ⇐⇒ f (y)
p
⇐⇒ 2 − y 2 − 1
p
⇐⇒ − y 2 − 1
p
⇐⇒
y2 − 1
p
2
y2 − 1
⇐⇒

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