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SINUS, COSINUS, TANGENTE
Un cercle trigonométrique (Le sens positif est la rotation inverse des aiguilles d’une
montre) de rayon 1 (convention arbitraire de l’unité de mesure) à un périmètre de

où P le périmètre, R le rayon et π la constante universelle défini par
P=2π ou π=P/2R
L’angle étant la mesure d’une proportion de surface du cercle exprimée en radian Cette
surface totale vaut 2π radians où 1 radian est l’angle formé par 1 unité d’arc de cercle.
La mise en relation entre l’angle, et les coordonnées d’un point du périmètre du cercle
est la fonction sinus valeur de l’axe Y des ordonnées [-1;1]
avec Sinus(Angle α) = y (Angle α) pour y = sin α. Comme Sin(π/2)=1
et la fonction cosinus valeur de l’axe X des abscisses [-1;1]
avec Cosinus (α) = x (α) pour x = cos α. Comme Cos π = -1

L’angle est invariant quel que soit la mesure du rayon au rayon de référence,
Y(α) = R sin(α) ; sin(α) = Y/R ; Y = R sin α
Exemple de calcule algébrique.
Y = R sin (π/2 - α)
Pour R=1 et α = π
Y = Sin (π/2 – α)
Y = Sin (π/2 - π)
Y = Sin ((π - 2π)/2)
Y = Sin (-π/2) Angle négatif au sens trigonométrique.
Y= Sin (2π - π/2) Angle équivalent positif au sens trigonométrique .
Y= Sin ((4π -π )/2)
Y= Sin (3π 2) ou sin (-π/2)
Y= -1

Il y a une relation entre le sinus de l’angle α et le cosinus de l’angle ((π/2)-α) le 3ième
angle étant un angle droit π/2

Sin(α)=Cos((π/2)-α) et Cos(α)=Sin((π/2)-α).
X = Cos (α) étant une simplification de l’écriture X = Sinus ((π/2)-α).
Pour toute valeur du rayon ∈ R+
Y = R Sin(α) ; X = R cos(α) ; Sin(α) = Y/R ; cos(α) = X/R
où R: hypoténuse, Y le côté opposé et X le côté adjacent
En généralisant à un triangle rectangle pour R=1.
Cos²(α) + Sin²(α) = R²
Cos² (α) + Sin² (α) = 1
Pour tout triangle quelconque, [Sin(α) / A] = [Sin(β) / b] = [Sin(γ) / c]
où A, B et C sont les côtés opposés de chaque angle respectif à α, β et γ
On retrouve cette égalité en traçant la hauteur H du côté A passant par α
On en déduit que H=B sin(γ) et H=C sin(β)
B sin(γ) = C sin(β)
Transformation algébrique on divise par C
[B sin(γ)]/C = [C sin(β)]/C
[B sin(γ)]/C = sin(β
Transformation algébrique on divise par B
{[B sin(γ)/C].(1/B)} = sin(β)/B
sin(γ)/C = sin(β)/B
Dans un cercle trigonométrique, X = R cos(α) ; Y = R sin(α)
R = X/cos(α) ; R = Y/sin(α)
Y = [X/cos(α)] . sin(α)
Y = X . [sin(α)/cos(α)]
Y = X . tg(α)
tg(α) ≡ sin(α)/cos(α)
La Tangente (tg) étant une simplification de l’écriture sin(α)/cos(α)
Y = R sin(α)
Y = X tg(α)

Formule d’addition du sinus. Sin(A+B)=SinA.CosB + Cos A.SinB

Formule d’addition du sinus

Formule d’addition du cosinus Cos(A+B) = CosA . CosB - SinA . SinB

Formule d’addition du cosinus

Signe addition et soustraction Fonction Antisymétrique
Tg(-α) = -Tg(α) ;
Sin(-α) = -Sin(α)
Le sinus d’un angle α négatif est égale au négatif du sinus de l’angle α positif.
Fonction Symétrique Cos(-α) = Cos(α)
L’angle α positif et négatif étant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses à lui
même, le cosinus reste invariant.

Fonction Antisymétrique

Fonction Symétrique

Addition de 2 Angles A et B

Sin(A-π/2) Angle A=A et Angle B= -π/2
Sin(A-π/2)= Sin A . Cos B + Cos A . sin B
Le Cosinus de B soit -π/2=0 donc Sin A . Cos B=0
Le Sinus de B soit -π/2=-1 donc Cos A . Sin B = -Cos A
Sin(A-π/2)= 0 - Cos A
Sin(A-π/2)= -Cos A
Formule de soustraction de sinus pour 2 angles A et B
Sin(A+B)=SinA . CosB + CosA . SinB
B=-B
Sin(A-B) = SinA . CosB + CosA . -SinB
cos(-b)=cos(b) ; sin(-b) = - sin(b)
Sin(A-B) = SinA . CosB - CosA . SinB
formule d’addition de sinus pour 2 angles identiques
Sin(A+B)=Sin A . Cos B + Cos A . Sin B
B=A
Sin(A+A)=Sin A .Cos A + Cos A . Sin A
Sin(2A)=2 Sin A.CosA
Formule d’addition de cosinus pour 2 angles identiques
Cos(A+B)= CosA . CosB - SinA . SinB
B=A
Cos(2A) = Cos²A - Sin²A
Pour R=1 Cos²A + Sin²A = 1
Sin²A= 1 - Cos² A et Cos²A= 1 - Sin² A
Cos(2A) = Cos² A - (1-Cos² A)
Cos(2A) = Cos² A - 1+Cos² A
Cos(2A) = 2Cos²A - 1
Cos(2A) = 1 - Sin² A - Sin² A
Cos(2A) = 1 - 2 Sin²A

POLYNOME
n^0=1 (dans ce ca c=1)
n^1=n (n représente le monôme c)
Polynôme du 1er degrés: ax+b=0
x=-b/a ; a=-b/x
De la forme d’une fonction affine où b est le point d’intersection avec l’axe des ordonnées
et a un paramètre de l’angle de la droite.
x représentant les valeur de l’axe des abscisses. ax>0 angle positif ax<0 angle négatif
pour x différent de 0

b=0 pour f(x)=ax la droite passe par l’origine du repaire orthonormé avec ax=o (x=0) ;
a=0 pour f(x)=b la droite est une constante parallèle à l’axe des abscisses avec
quelque soit x f(x)=b
Polynome de second degrès: ax²+bx+c=0 Pour: B=0 ; c=0
f(x)=ax²
f(0)= ax²=0
parabole passant par le centre du repère orthonormé.
- Pour b=0 ou h=c
f(x) = ax²-h
f(0)=-h
f(x)=-h la parabole coupe l’axe des ordonnées en -h
la valeur de h représentant la hauteur négative de la position de la parabole.
f(x)= ax²-h=0
ax²=h
x²=h/a
x=±√(h/a)
Forme canonique
f(x)=a(x-e)²-h
Analyse graphique
a est le coefficient de l’ouverture ou de la fermeture de la parabole
(x-e)² est le paramètre de translation de la parabole sur l’axe des abscisses mise en
évidence par
f(x)=(x-e)²=0 quand x=e
h est l’extremum
f(x)=a(x-e)²-h=0
a(x-e)²=h
(x-e)²=h/a
x-e= ±√(h/a)
x=e±√(h/a)

x ayant été défini pas cette égalité développons
f(x)=a(x-e)²-h=0
f(x)=a(x²-2ex+e²)-h=0
f(x)=ax²-2aex+ae²-h=0
f(x) est de la forme d’un polynôme de second degrés avec
ax² est le monôme ax² ;
- 2aex le monôme bx
ae²-h le monôme c.
On cherche à remplacer e et h dans
x=e±√(h/a) par b et c
b et c s’exprime ainsi dans leur monôme respectif dans
[(- 2aex le monôme bx ) et (ae²-h le monôme c)]
par
1) b= -2ae ;
2) c=ae²-h
On en déduit que e s’exprime ainsi
1) b=-2ae
-e=b/2a
e=-b/2a
On en déduit que h s’exprime ainsi
2) c=ae²-h
h=ae²-c
Connaissant e,
h=ae²-c peut s’exprimer en fonction de -b/2a=e
e²=(-b/2a)²
e²=b²/4a²
h=a(b²/4a²)-c
h=(b²/4a)-c
h=(b²-4ac)/4a
Dans x=e±√(h/a)
l’expression h/a se simplifie en
h/a = [(b²-4ac/4a)]/a
h/a = [(b²-4ac/4a)] . 1/a
h/a = (b²-4ac)/4a²
On a donc
√(h/a) = √(b²-4ac)/√4a²
√(h/a)= √(b²-4ac)/2a
On a donc tout les termes dans
x=e±√(h/a) pour exprimer x
x= -b/2a ± √(b²-4ac)/2a
x= [-b±√(b²-4ac)] / 2a

La forme canonique peut s’écrire
f(x)=a(x-e)²-h
et s’écrire aussi
f=a(x+(b/2a))²- (b²-4ac)/4a
Type d’écriture et de lecture Polynôme du second degrés 3 formes d’écriture
1) La forme canonique f(x) = a(x-α)² +β Où α et β sont les coordonnées de l’extremum de
la fonction
2) La forme factorisé f(x) = a(x-x1)(x-x2) Où x1 et x2 sont les deux racines du polynôme et
représente l’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses pour
f(x)=0 quand Δ>0
Quand Δ<0 de faite le polynôme n’est pas factorisable (racine négative).
Quand Δ=0 l’écriture se simplifie en f(x) = a(x-x0)²
3) La forme développée f(x) = ax²+bx+c Où a informe sur le degrés d’ouverture (valeur
faible) ou de fermeture (valeur élevée) de la parabole. Le signe de a informe sur
l’orientation haute ou basse d’accroissement de la fonction et détermine l’extremum en
maximum quand a est négatif et minimum quand a est positif. c est l’ordonnée à l’origine.

Type de résolution
Factoriser la forme développée d’un trinôme pour en déterminer ces racines.
f(x)=4x²-20x+24
Calcule de Δ pour connaître la forme de la factorisation
Δ=b²-4ac=-20²-(4.4.24)=16 Δ>0
X1=(20-4)/(2.4) X2=(20+4)/(2.4)
X1=2
X2=3
La forme factorisée s’écrit
f(x)=a(x-x1)(x-x2) f(x)=4(x-x1)(x-x2) avec a=4
Variante 1
f(x)=4x²-20x+24
Factorisons le terme “4x²-20x” en utilisant l’identité remarquable (a’-b’)²=a’²-2a’b’-b’²
a’=2x et
-2a’b’=-20x
-2.2x.b’=-20x
4x.b=20x
b=20x/4x
b=5
On a donc (2x-5)²=4x²-20x+25
Remplaçons par ce nouveau terme en ajoutant -25 pour annuler le b² qui a été ajouté afin
de conserver l’égalité.
f(x)=(2x-5)²-25+24
f(x)=(2x-5)²-1
On note que cette forme s’approche de la forme canonique à savoir f(x)=a(x-α)-β
On en déduit f(x)=4(x-5/2)²-1 par l’identité (a’.c’-b’.c’)²=c’²(a’-b’)²
Factorisons (2x-5)²-1 en utilisant l’identité remarquable a’²-b’²=(a’+b’)(a’-b’)
a’=(2x-5) et b’=1
on a donc
f(x)= (2x-5+1)(2x-5-1)
f(x)= (2x-4)(2x-6)
f(x)= 2(x-2)2(x-3) en utilisant l’identité E(a+b).F(c+d)=E.F(a+b).(c+d)
on a
f(x)=4(x-2)(x-3)
Les racines du polynôme f(x)=4x²-20x+24 sont x1=2 et x2=3
Variante 2
f(x)=4x²-20x+24
f(x)=4(x²-5x)+24
f(x)=4(x-5/2)²+24- (4.( 25/4))
f(x)=4(x-5/2)²+24-25
f(x)=4(x-5/2)²-1
Résolvons algébriquement le polynôme f(x)=4x²-20x+24
Identification des 3 monôme 4x² avec a=4 ; bx avec b=-20 ; c=24
Δ= b²-4ac = (-20)²-4.4.24 Δ=16 ou 4² Δ>0 ce polynôme admet de solution x1 et x2 pour
f(x)=0 x1=(-b-√Δ)2a et x2=(-b+√Δ)2a
x1=(20-4)/2a et x2=(20+4)2a
x1=16/8 et x2=24/8 x1=2 et x2=3

Analyse géométrique d’un polynôme du second degrés

Étude du signe et de variation de la fonction

Étude de variation de la fonction

ff


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