Dr Djebbar Samir Cours Maths 2 2020 .pdf



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RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

C.U Relizane . Ahmed Zabana

Institut des Sciences et Technologies

𝒓

Année ST

Cours Maths 2 et TD corrigées
Dr Djebbar Samir

ssamirdjebbar@yahoo.fr

Année Universitaire 2019/2020

1

Dr Djebbar Samir

Table des matières
Introduction …………...…………....…………………………………………………….……………..1
Matrices et déterminants...…… ……………………………………………………….……………......2
Matrices.……...…………………….......………………………………………………….………..…...2
Opérations sur les matrices…………………………………....…………………….…………………..3
Les matrices particulières……………………………….…...…………………………….…………….7
Matrices carrées inversibles………………...……………….………………………..…….…………10
Déterminants………………………………………………....…...…………………………………..11
Comatrice d’une matrice…………………………………....………………………………………….13
Matrices et applications linéaires…………….......……………………………….……….…………...16
Matrice de passage, changement de bases……………………………………………………………..19
Fiche de TD 1…………………………………………………………………………………………..21
Correction de fiche TD 1……………….………...…...………………………………………………..23
Systèmes d’équations linéaires……….……..………………………………………….………...…….30
Généralités………………………………………....………………...…………………………………30
Rang d'un système linéaire……………………………………………….…………………………….31
Les méthodes de résolutions d’un système linéaire……………………………………………………32
Méthode de Cramer…………………………………………………………………………………….32
Méthode de la matrice inverse…………………………………………………………………………32
Méthode de Gauss……………………………………………………………..……………………….34
cas général………………………………………...……………………………………………………35
Fiche de TD 2………………………………………………………………….……………………….37
Correction de fiche TD 2…………………………………………………………………………....….38
Intégrales et calcul des primitives........................................................................................ ...................45
Introduction ……………………………………………………………………………………………45
Intégrale indéfinie....................................................................... ............................................................ 45
Techniques de calcul de primitives......................................................................................................... 46

2

Dr Djebbar Samir

I

Intégration par parties ………………………………………………………………………………….46
Intégration par changement de variable………………………………………………………………..47
Intégration des fonctions rationnelles.....................................................................................................50
Décomposition en éléments simples.......................................................................................................54
Intégration de certaines fonctions trigonométrique.................................................................................57
Intégrale définie....................................................................................................................................... 61
Fiche de TD 3…………………………………………………………………………………………..65
Correction de fiche TD 3…………………………………………………………………………….…66
Équations différentielles………………………………………………………………………………..74
Introduction…………………………………………………………………………………………….74
Équation différentielle linéaire ………………………………………………………………………...75
Equations différentielles du premier ordre……………………………………………………………..76
Equations différentielles à variables séparées………………………………………………………….77
Equations différentielles linéaires du premier ordre…………………………………………………...78
Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants…………………………..80
Fiche de TD 4..…………………………………………………………………………………………86
Correction de fiche TD 4………………………………………………………………………………87
Examen Maths 2 (2018/ 2019)…………………………………………………………………………97
Corrigée ………………………………………………………………………………………………..98
Bibliographie……………………………………...…………………………………………………..101

3

Dr Djebbar Samir

II

Introduction
Ce cours d’Analyse et Algèbre s’adresse aux étudiants du domaine Sciences et Technique (dans le
cadre du système L.M.D). Il couvre le programme officiel du module Mathématiques II qui est
consacré au programme du semestre 2 du module Analyse et Algèbre II. On a inclus dans ce cours de
nombreux exemples typiques d’applications et on a proposé les fiches TD avec corrigées à la fin de
chaque chapitre.
Elle comporte les chapitres suivants :
1. Matrices et déterminants.
2. Systèmes d'équations linéaires.
3. Intégrales et calculs des primitives.
4. Equations différentielles.

Le contenu du cours est inspiré des manuels de mathématiques couramment utilisés, ainsi que
du cours que j’ai enseigné de 2015 à 2020 pour les étudiants de première année L.M.D du domaine
Sciences de Technologie au sein du Département de Technologie de la Faculté de Technologie.
J’espère que ce support aidera l’étudiant de première année à assimiler les mathématiques et plus
particulièrement l’Analyse et Algèbre II qui constituent la base des mathématiques à l’université.
En fin, des erreurs peuvent être relevées, merci de me les communiquer par Email
à l’adresse : (ssamirdjebbar@yahoo.fr).

1
Dr Djebbar Samir

Chapitre 1
Matrices et Déterminants
Matrices
Définition
• Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de
= ℝ
= ℂ .
• Elle est dite de taille × (ou de type , ) si le tableau possède lignes et colonnes.
• Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A.
• Le coefficient situé à la i-éme ligne et à la j-éme colonne est noté
.
Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

=
Exemple

est une matrice
Notations


(

×

=(

)

avec, par exemple,

=



=

et

≤≤
≤ ≤

=

On note

.

= .

-L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté
- Les éléments de
, ℝ sont appelés matrices réelles
– Si

(

,

(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est dite matrice carrée.
au lieu de

,

.





)

2
Dr Djebbar Samir

Les éléments
,
,
,….,
forment la diagonale principale de la matrice.
– Une matrice qui n’a qu’une seule ligne ( = ) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne.

.
On la note
=

– De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne ( = ) est appelée matrice colonne ou
) .

=

vecteur colonne. On la note

– La matrice (de taille × ) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle
et est notée , ou plus simplement . Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue
le rôle du nombre pour les réels

Opérations sur les matrices
a) Egalité de deux matrices
=(

Soient

,

=(

.

,

=

=

b) Somme de deux matrices
=(

Soient

la matrice

+

,

=(

=(

,

=



,∀

. On définit la somme de

,

=(

,

Exemple

+

+

et

La matrice −
+ −

.

,

+

+

𝜆
=

=

et

et on note

tel que



,∀

c) Multiplication d'une matrice par un scalaire
Soit

.

n'existent pas car ,

, alors 𝜆 = 𝜆(
,

=

,𝜆 =

ℝ et

.

= (𝜆
,

𝜆
𝜆

=

+

𝜆
𝜆
,



,∀ 𝜆

ℝ .

est l’opposée de A et est notée − . La différence

,∀

.

ℝ.


est définie par

3
Dr Djebbar Samir

Proposition
.. Soient
et
Soient , et trois matrices appartenant à
,
1. + = + : la somme est commutative,
2. +
+
=
+
+ : la somme est associative,
3. + = : la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition,
4. +
=
+ ,
5.
+
=
+
.
Exercice : Soient les matrices
1.Trouver une matrice

telle que

2.Trouver une matrice

telle que

=(


1)


− − × −
{ − × −
− × −
Alors :



=
=
=

=

(





=







=(

et

);



− + − −
{ + + −
+ − −

=

=
=
=

(



et



=(

=
=
=



)+(

)=(

)

)

)+(

+ − −
{ + + −
− + − −

)

)−(

)− (


=(

+

)

=

− × −
{ − × −
− − × −

2)

Alors :

+

=(

)





+

Solution de L’exercice :

+



deux scalaires.




=
=
=




)− (

)=(

)

4
Dr Djebbar Samir

=
d) produit de deux matrices


− )

(

Définition
. ( c'est à dire le nombre de colonnes de
. et = (
Soient = (
,
,
est égal au nombre de lignes de ). On définit alors le produit de et dans cet ordre par la
tel que
matrice = × =
de
,
=∑
=

.

On peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir :
=

Exemple

On a de taille
× .
×

Donc

=

×

et

+
=

de taille

×
)=(

× (−
×

=

+

+

+

= (−

)

, alors la matrice obtenue (

×
×

+ × −
+ × −

+
+

×
×

×

est de taille

× +
× +

× +
× +

Remarques importantes
1. Si le nombre de colonnes de est différent du nombre de lignes de , alors le produit
n'est pas défini.
2. En général, et lorsque le produit est bien défini, on a × ≠ ×
3. Le produit des matrices carrées d'ordre est toujours défini

×
)
×

×

5
Dr Djebbar Samir

Exemple

×

=(

)

=

n'est pas défini car le nombre de colonnes de

est différent du nombre de lignes de

.

Pièges à éviter
Premier piège. Le produit de matrices n’est pas commutatif en général
En effet, il se peut que
soit défini mais pas
, ou que
et
soient tous deux définis mais
pas de la même taille. Mais même dans le cas où
et
sont définis et de la même taille, on a
en général

Exemple

=


=

Deuxième piège.







n’implique pas

=

ou

=



=

Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d’autres termes, on peut
avoir ≠ et ≠ mais
=
Exemple

=

=

Troisième piège.
Exemple

Propriétés
Soient ,
1.
2.

+

et
=

la somme,
3. ∙ =



=



=

n’implique pas

=



=

= . On peut avoir
=

=

=
=

et



≠ .


trois matrices. Lorsque le produit est bien défini, on a
: associativité du produit,
+
et
+
=
+

=
et





: distributivité du produit par rapport à

=
6
Dr Djebbar Samir

Exercice : Soit

)

=(

On dit que deux matrices et commutent si ×
Trouver toutes les matrices qui commutent avec
Solution de L’exercice :

On cherche

il faut que
=
=
=
=
=
=
=
=
=

{

2)

{

+
+
+
+

)=(

(

=
=
=
=



é

) avec

,

+
+

=

+
+

=(

Les matrices particulières





)

)×(

)=(

=(

=

×

=

telle que

)×(

(

=

)

,

ℝ.

)

La matrice identité
La matrice carrée suivante s’appelle la matrice identité :

=
Est la matrice dont tous les coefficients

(


=

pour = et
7

)

=

pour ≠ .
Dr Djebbar Samir

Exemple

Proposition Si

est une matrice

=(

× , alors


Matrices triangulaires
Définition Soit
1) On dit que

exemple :

2) On dit que



=

est triangulaire supérieure si et seulement si
{ , , ,…, } ,
>
∀ ,
=

=

est triangulaire inférieure si et seulement si
{ , , ,…, } ,
=(

exemple :



est diagonale si et seulement si

{ , , ,…, } ,

∀ ,

=(

exemple :
Transposée d'une matrice
Définition Soit

=

.

∀ ,

3) On dit que

)

=

On appelle transposée de

,



)

)

<

=



=

.

la matrice notée

de

,

Exemple Soit
=

définie par

=

.


8
Dr Djebbar Samir

Alors
=(

Matrices symétriques

− )

Définition Une matrice carrée est dite symétrique si et seulement si
Exemple Les matrices suivantes sont symétriques :
(

Matrices antisymétriques



= .

− )



Définition Une matrice carrée est dite antisymétrique si et seulement si
Exemple Les matrices suivantes sont antisymétriques :


=− .

− )

(−


Remarquons que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls.
La trace
Définition On appelle trace d'une matrice carrée
éléments diagonaux de . Autrement dit,
tr

=

le nombre obtenu en additionnant les

+

+

+

Exemple
Si
Pour

=
=(

, alors tr A =

+

= .

), tr

=

+





= .

9
Dr Djebbar Samir

Matrices carrées inversibles
× . S’il existe une unique matrice carrée

Définition Soit une matrice carrée de taille
taille × telle que
on dit que

est inversible. On appelle
=

Exemple Soit
=

Étudier si

l’inverse de

Sa résolution est immédiate :


=

possible, à savoir

= ,

et on la note

= et

=

=

= ,

= . Or

+

+
=
+
=
{
=
=

=− ,

Exercice



Soit

=

. Pour prouver qu’elle convient, il faut aussi montrer l’égalité
est donc inversible et

.

) , trouver

=(

Proposition Soient ,
inversible et
Preuve On pose

+

= équivaut à :

= . Il n’y a donc qu’une seule matrice

= ,

= , dont la vérification est laissée au lecteur. La matrice
=



est inversible, c’est étudier l’existence d’une matrice

à coefficients dans K, telle que

Cette égalité équivaut au système :



=

de

=



.

deux matrices inversibles de







=



, alors la matrice


, il suffit de démontrer que
=

10

=

est aussi

.
.
Dr Djebbar Samir

=

On a



=

=

et

=



=



=



=



Proposition Soit

une matrice inversible. Alors


Déterminants











=






=



=

est aussi inversible et on a :

=

Attention : Les déterminants ne concernent que les matrices carrées
Définition Soit

=

, le déterminant de


… … |
|


est l'élément de

noté det A ou

Comment calculer det A ?

Exemple déterminant d'ordre 2
Soit

. Alors det

=

|=

=|



.

Exemple déterminant d'ordre 3
Calculer det A où

=(



)

1) Première méthode : Développement suivant la première ligne

11
Dr Djebbar Samir

|+ |

|− |

det

=

|

det

=

|

det

=

|

Soit

une matrice de





|= .

2) Deuxième méthode : Développement suivant la troisième ligne
|− −

|

|+ |

|= .

|+ |

|= .

3) Troisième méthode : Développement suivant la troisième colonne

Cas général



|− |



la matrice d'ordre (n - 1) déduite de A en supprimant

. On note

la ième ligne et la jème colonne. On appelle déterminant de

développé suivant la ième ligne

le scalaire
det

+

=∑ −
=

det

On appelle déterminant de A développé suivant la jème colonne le scalaire
det

+

=∑ −
=

det

Remarque Il est préférable de calculer le déterminant suivant la rangée (ligne ou colonne) qui
contient beaucoup de zéros.

La régle de Sarrus ( pour les matrices
|

|=

+

×

)
+







12
Dr Djebbar Samir

=(

Exemple Calculons le déterminant de la matrice

) . Par la règle de Sarrus




det

=

× −

×

+



× × +

× × −

× −
×

Attention : Cette méthode pour les matrices de taille
Comatrice d’une matrice
Définition On appelle comatrice de



= −

la matrice d'ordre

Théorème Soit



la matrice carrée d'ordre
=(

+



≤≤
≤ ≤

déduite de

=





=(…



× × −

× ×

=−

définie par
… ),

en supprimant la ième ligne et la jème colonne.

, alors


est la matrice identité.

Corollaire Soit

×

=

=



= det



inversible, alors


=

det

Remarque

est inversible

Exemple Soit la matrice de



=(



det




)

13
Dr Djebbar Samir

Calculer
On a det



si elle existe.
|=

=|

=

≠ , alors
+|


−|


( +|

|



est inversible
|

|

−|

|

−|

|

|

+|

+|

−|

+|



=

Espace vectoriel

=

det



|

|)

=(







)

− )


=(


Finalement,

|



.







)

Définition On dit que l’ensemble , non vide, est un espace vectoriel sur K
ou K-espace vectoriel si E est muni des deux lois de composition :

= ℝ

= ℂ

∎loi de composition interne "addition" : vérifiant :


, ,



,



tel que ∀



,∃−

+

+

=

,

tel que

+

+

+

+ −

=

+

=

(
=

+

élément neutre)
( − élément symétrique)

∎loi de composition externe "multiplication par un scalaire" : vérifiant :


,

+

+


=

=
=

,∀

=

Les éléments de

+

,

+

sont appelés "vecteurs", les éléments de

sont appelés "scalaires".

14
Dr Djebbar Samir

=ℝ

Exemple

= ℝ. ∎ℝ est un espace vectoriel sur ℝ

Un élément
est donc un couple (x, y) avec x élément de ℝ et y
élément de ℝ. Ceci s’écrit
– Définition de la loi interne. Si
– Définition de la loi externe. Si

ℝ ={ ,
,

,

et
+

/



ℝ}

′, ′ sont deux éléments de ℝ , alors :
, ′ = + ′, + ′



,

est un réel et
,

=

L’élément neutre de la loi interne est le vecteur nul
− , − que l’on note aussi − , .

est un élément de ℝ , alors :

,



=

, . Le symétrique de

,

est

∎ℝ est un espace vectoriel sur ℝ.
Base d’un espace vectoriel

ℕ∗ et

Définition Soient E un K-e.v,
1) On dit que la famille { ,
𝜆

On dit aussi que les vecteurs
2) On dit que la famille { ,
et 𝜆

+𝜆

+

+𝜆

3) On dit que la famille { ,


, ∃

,

,

,…,

=

,…,

,…,

,…,

+𝜆

=

} est libre si et seulement si ∀ 𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆

,…,

+𝜆

,

+

,…,
.

𝜆 =𝜆 =

sont linéairement indépendants

} est lièe si et seulement ∃ 𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆
} est génératrice si et seulement si
=

+

Définition On appelle base d’un espace vectoriel , toute famille
libre et génératrice de E.
Dans ce cas
base .

,

,…,

=𝜆 =

+

={ ,

−{

}

+
,…,

}

sont appelés les coordonnées (ou bien les composantes) de v dans la

15
Dr Djebbar Samir

Exemple
1)

={

=ℝ ,

=

, ,

, } est une base de . On l'appelle base canonique de ℝ .

=

a) B est libre, en effet : soient ,

ℝ:

+

=

b) B génératrice de ℝ , en effet, soit
2)

={

=ℝ ,

=

, , ,

,

=

,



+

=

,

,

+

=

=

=



= .

,

ℝ , donc ∃

, , ,

,

=

+

Définition Soit un -e.v. On appelle dimension de
=
.

,

=

=

,

ℝ, ∃

,

=

ℝ:

, , } la base canonique de ℝ
le cardinal d'une base

de

et on note

Exemple
a)

={

=

b) La famille
et

=

, ,

={
.

,

=
,

, } est une base de ℝ , dim ℝ =

,

},

ℝ ne peut pas être une base de ℝ car dim ℝ =

Matrices et applications linéaires
Définition Soient
On dit que

et

deux espaces vectoriels sur

et

est une application linéaire si et seulement si




,

,∀

,

On note par

,

Remarque Si

est une application linéaire alors

,

+

=



=

l'ensemble des applications linéaires de

une application.

+
vers .

=
16
Dr Djebbar Samir

Exemple
1) L’application

∶ ℝ

définie par
, ,

, ,
=

est une application linéaire. En effet, soient
et ‚ un réel .
+

=

= −

= −

=

+





, +

, +

′,

+

2) L’application

Soient

={ ,

,...,

, +


+

+ −

+


′,

,

=



+


+

, ,



,

= −

, ,

et

′, ′, ′ deux éléments de ℝ

=

= −

=


, ,

,

=

={ ,

=

,

= n et

} une base de

=

Exemple Soit
∶ ℝ

est linéaire (à vérifier)

, ,



(







, ,

=

+





.

,

.

dans la base C comme suit :

Alors, la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de
pour
matrice associée à l'application
relativement aux bases et , et on écrit

B, C =

+

, +

=∑







,

+ , , −

et dim

,...,

,



=

Pour chaque de { , , . . . , }, écrivons le vecteur
(

=



deux -e.v. tels que dim
} une base de

et

, +

et

∶ ℝ

définie par

n’est pas linéaire car
Définition Soient ,







− ,















+

est appelée

)

.

17
Dr Djebbar Samir

={

={

On a

=

=

, , ,

=

, ,

=

, , ,

, , } une base de ℝ

=

, } une base de ℝ .

= ,
=
+
= ,− =

= − ,
= −
+

Donc,

,

Exemple Soit

=



∶ ℝ
est linéaire (à vérifier)
={

={

On a

= − , ,
=

=

− ,

=

On aura le système suivant

qui admet l'unique solution

On a

=

=−

,

,

,

=

+ ,− ,

.

, , ,

=

, , } une base de ℝ (à vérifier).

= − ,− ,− .

− ,− ,−

Donc − , − , −



, } une base de ℝ (à vérifier)

=

, , ,



=

,− ,

On aura le système suivant

=
=
=

,

, ,

,− ,
=
=
=

+
+
, , +
, , +
+
+ , +
+

,

+

{

=

+
+
+

+
+
+

, ,

+

= − , ,
+

.

, ,
, +

+

, ,
, +

+

.

=−
=−
=−
, ,

+

+
+
, , +
, , +
+ + , + +

.

18
Dr Djebbar Samir

,

qui admet l'unique solution

{

,

=

+
+
+
,

+
+
+

=
=−
=

, , − . Donc,
=(

Matrice de passage, changement de bases



) .



Définition Soient un -e.v. de dimension .
,
deux bases de . On appelle matrice de
passage de
à
la matrice de
dont les colonnes sont formées des composantes des
vecteurs de
exprimés dans la base , on la note
,
[ou bien
, ], c'est à dire,
si
= { , , . . . , } et
= { , , . . . , } alors
=

+

=

+

..

=

et

,

Exemple Soient

=ℝ ,

et

Donc

{

=
=
=

+

..

+

+
+

+

+

..

+





=

)

={

=

, , ,

=

, , ,

=

, , }

={

=

, , ,

=

, , ,

=

, , }

+
+
+

+
+
+



,

é

= (−

=
=
=

{




+
+

+

+

)

19
Dr Djebbar Samir

Changement de bases
Changement de bases pour un vecteur
Soient un -e.v. de dimension .
, deux bases de et
considérons , , . . . ,
les composantes de 𝑋 dans la base
de X dans la base . Alors
)=

) ou bien

=
et



) =

,

,
,...,

. Soit 𝑋
et
les composantes

)

Exemple
Soient

={

=

On a

, ,

=

, , } et

=

={

et



=

, ,



=

Si , sont les coordonnées d'un vecteur 𝑋 dans la base
dans la base
sont
,

=
Par exemple si ,
base
sont ,





, les composantes du même vecteur 𝑋
+



=

)



sont les coordonnées de 𝑋 dans la base

3

1
1

, } deux bases de ℝ .

=

, les composantes de 𝑋 dans la

𝑋

3

20
Dr Djebbar Samir

Centre universitaire de Relizane Ahmed Zabana
𝒓

2019-2020

année ST Maths 02
Fiche de TD 1

Exercice 1 : Dans
1. Calculer :
2· A-t-on

+

+

ℝ , on considère les matrices
×

,

×

,

²= ²+ ²+

² et ²

,

·

×

et B =

=

?

Exercice 2 : Effectuer les multiplications suivantes :
×(

Exercice 3 : Soit





)

la matrice



=(



× (− )





)

1) Vérifier que ² =
− où est la matrice identité dans
2) En déduire que est inversible et donner − .

Exercice 4 : I) Calculer les déterminants des matrices suivantes :
=

,



=(



II) Résoudre les équations suivantes :
|



− |=

III) 1. Trouver pour quelles de de la matrice

2. Déterminer la matrice inverse de

=(
si

)

+

=

|





(− ) × −


ℝ .














|=

suivante est inversible telle que :




{− , − , }.

+

)

Exercice 5 : I) On munit ℝ et ℝ de leurs bases canoniques respectives
considère les applications linéaires et définies par :

et

, on

21
Dr Djebbar Samir

∶ ℝ

, ,



et


− ,− +

− ,− −

+

∶ ℝ

, ,



,
et
,
.
1· Déterminer
2· Calculer
et déterminer
,
. par un calcul direct.
3· Vérifier que
,
=
,
×
,
.
II) On considère la famille ′ = { ′ = , , , ′ = , , , ′ = , ,
a) Montrer que ′ est une base de ℝ
à la base ′
b) Déterminer
, ′ : La matrice de passage de la base
c) Déterminer ′ , , : La matrice de passage de la base ′ à la base .

− ,



}

22
Dr Djebbar Samir

Correction de fiche TD 1
Solution de L’exercice 1:
1)

×

×

²=

2)

²=



=
=

×

×

+

+



+



=

=

=

+ ²+

×
×

=

+

+ ²+

×

×



×



²+ ²+



× +
× +

=
=

+
+

=

=

=

×
×

× +
× +

× +
× +

?

=

×
×

× +
× +

=

×
×

+
+

=

+
+

+
+

+
+

+
+

+

+
+

=

× +
× +
×
×

× +
× +

×
×
×
×

× +
× +

×
×

× +
× +

×
×

× +
× +
+

×
×

+
+

=
×
×

=

×
×

×
×

=

=

=

+ ×
+ ×

=

car le produit entre matrices est non commutatif

Solution de L’exercice 2:
×(



scalaire .





)=
=

× (− ) = − × +

(− ) × −


× −

× −
= − × −
− × −

+ −
+ +



+

× −
×
− ×
− ×

=−
×
− ×
− ×

− + +
− + +

+
+

+
+

ce nombre s’appelle le produit

=(






)

23
Dr Djebbar Samir

Solution de L’exercice 3:
=(






=

)×(


(

Donc

×

+






− ) alors



On a



)−(



= (−

alors



=

=

×[

) = (−








+







)=(
=

]=

.

+

.

Solution de L’exercice 4: 1) calcul des déterminants
=|

det

=|

|=



=−

× − −
|=



×



+

=

=


− )

.

+

=

|− −

×|





) + (−


=

est bien inversible et son inverse est donnée par :

det


− )

×|

|+

×|

Développement suivant la troisième ligne.

|=

× −

×

Remarque : On peut calculer le déterminant selon n’importe quelle ligne ou n’importe quelle
colonne.
è

Méthode : Règle de SARRUS ( pour matrices 3×3) :


det

= ×
× + × −
=− − −
=−
det

=|







× +

− |=



× × −
|


×

× +


|− |




24

× −



×

|− |




+ ×

×

− |


Dr Djebbar Samir

=

Faites les calculs
II) Résolution des équations :
|

1)

− |=




|

+

2) |





Par la règle de SARRUS :
[

−[−

3)

𝒓









det



+





+



est inversible 
=|

+





× ×





|=


+

+



× ×



+



   .

+

+

×























|−




|










+





+

×

× − ]





×



=−

+

.

|+|









|=

− 

− .

]

 .

|

Méthode Par la règle de SARRUS :
 detA  t  t − t +   −  × × + ×  −  × ]
 × t −  ×  ×   × t +  +  −  × × t + 
 det  t +
 det  t +
 det  t +
 det  t +
est inversible

t − t +  −
− t+
+ t+
t − t +  + t + 
t² −  + 
t² −  t + t + t − 


t≠−
t ≠−
t ≠+ .

+ t + 

25
Dr Djebbar Samir

è

Méthode

det

=|

+





+

est inversible 

t≠−

L’inverse de



:

),

=




= −|


( +| −



=

+

1)


,



et

+

,

{




( +|

− ,− +
=
=
=

+



=

|+|

+




|


|+|

+

+

t ≠+ .

−|



Solution de L’exercice 5
PARTIE I :
, ,

+

+

+

+|




|

= −

+|

Finalement,

+

t ≠−

=

=(

|=

|

|

×{

|


|
+

+
+

+|
| −|
|
+

+

+
|
|
+|
−|
− )
|

−|

+

|
+

|


− ,−

le déterminant d′ ordre inférieur
}
en éliminant la iè 𝐞 ligne et la jè 𝐞 colonne

|

−|

+|

−|



+



+

+

+|

+

|

+

|


et

, , = ,− ,− = −
, , = − , ,− = − +
, , = − ,− , = − −

|

+|

−|

+|

, ,





+

+

|

|


|
− )
− ,





+

26
Dr Djebbar Samir



= (−


,


− )



et
=
=
=

{
,

2) Calcul


, ,
, ,

=




et

,

, ,
, ,
, ,

= , =
+
= , =
+
= − ,− = − −

. par un calcul direct.

, , = 
, , 
− − ,− + − ,− − +
− − − − − + , − +

ℝ :
=
=



− − −

+

Donc


, ,

, ,



=

=?

,



{

3)

,

,

=



=





,− +



=
=
=



,




.

, , = ,− =

, , = − , =− +
, , = − ,− = −

×

× (−


,




?


− )=








27
Dr Djebbar Samir

PARTIE II :
On considère ′ = { ′ =


En effet

′ famille libre
′ +

{

+

+

+

=

=

, ,

∀ , ,

′ + ′ =
, ,

=

′ famille génératrice
𝑋 = 𝜆 ′ +𝜆 ′ +𝜆



Cherchons 𝜆 , 𝜆 , 𝜆 ?
, ,

=𝜆

, ,

+𝜆

, ′ =

=
{ =
=

, ,

=?

=



+

, ,

, ,

}

=

+

, ,

=

=𝜆 +𝜆 +𝜆
{ =𝜆 +𝜆
=𝜆

, ,

𝜆 = −
{𝜆 = −
𝜆 =

d’où ′ est une famille génératrice.

à ′ :

Il suffit d’écrire les vecteurs de la base ′ en fonction de la base

Donc :

′ =
{ ′ =
′ =

c) Matrice de passage de ′ à


,

, ,

d’où ′ est une famille

+𝜆

Donc ′ est une base de ℝ .
, ′

, ′ =

∀𝑋 = , ,

′ tels que 𝜆 , 𝜆 , 𝜆
ℝ.

𝜆 = − 𝜆 +𝜆
{𝜆 = −
𝜆 =

b) Matrice de passage de

, ,

, ′

:

, ,
, ,
, ,

=(

=
=
=

+
+
+
)

, alors :

+
+
+

=?

28
Dr Djebbar Samir

Il suffit d’écrire les vecteurs de la base

Donc :

′ =
{ ′ =
′ =

, ,
, ,
, ,

=
=
=
′ ,

+
+

=(

en fonction de la base

+



{
− )

=
=
=

′ , alors :

, , = ′
, , =−
, , =−





+ ′
+ ′

29
Dr Djebbar Samir

Chapitre 2
Systèmes d’équations linéaires
L'une des nombreuses applications des déterminants est la résolution des systèmes linéaires
Généralités
Définition On appelle système de
, tout système de la forme

équations linéaires à
+
+

{
=
de .

,

>

<

, où les

+
+

+

+

inconnues et à coefficients dans un

+
+

=
=

+

sont les inconnues, les

=

et les

sont des éléments

Appellations :
1) On appelle solution du système
tout élément
, ,...,
vérifiant
.
2) On appelle système homogène associé à (S) le système tiré de
avec = , = , . . . ,
Remarque Un tel système homogène
solution triviale



possède au moins la solution

, ,..,

dite

.

Définition On dit que deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble
de solutions.
Théorème Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit à une seule solution,
soit à une infinité de solutions.
Notation matricielle
Peut s’écrire sous la forme matricielle :


=(





),

𝑋=
),

𝑋=

=

).

est la matrice associée au système

30
Dr Djebbar Samir

+ +
{ −

− =

Exemple Soit

=(

La matrice associée est



Rang d'un système linéaire

=
=
− ), et 𝑋 =


et

=(

).

Définition : rang d’une matrice
Le rang d’une matrice quelconque est égal au plus grand entier tel que l’on puisse extraire de
une matrice carrée d’ordre inversible, c’est-à-dire de déterminant non nul. On note
= .
Définition On appelle rang du système linéaire (S) le rang de sa matrice associée
=
Exemple 1) Soit
Le rang de

=

la matrice suivante

est 2 :


de taille × , donc = , ou .
 comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la deuxième
colonne est nul, on ne peut pas conclure
est − ≠ , donc =

 comme le déterminant de la sous-matrice
2) Soit

=(



− )



de taille × , donc
.
 le déterminant de est 0 donc



 comme le déterminant de la sous-matrice
3) Soit

=




. On a

=

est

≠ , donc

=

.

.

, car tous les déterminants d’ordre

sont nuls.

31
Dr Djebbar Samir

Les méthodes de résolutions d’un système linéaire
a) Méthode de Cramer
Le système
=

= . Dans ce cas,

=

est carrée et inversible c’est-à-dire

est dit de Cramer si et seulement si

admet une unique solution donnée par




|

|



det

c'est les formules de Cramer.

,

=




|



Exemple Résoudre le système linéaire suivant :

(

On a
det

donc

=


=

; ;

Remarque :

donc

= ( ),

{



− |
− =

|
= −

,

est une solution unique de ce système.
si

,…,

+
+
+

=

|



|

− =

=
− = .

est un système de Cramer et admet une solution unique donnée par

− |
− =

|


− )




|




𝑋=

alors 𝑋 =

|
= −

|

=

est la solution unique du système de cramer

b) Méthode de la matrice inverse
Soit

un système carré, avec l’interprétation matricielle :

Si la matrice
comme suit :
On a

𝑋= .

est inversible on peut résoudre ce système par la méthode de la matrice inverse
𝑋=



𝑋=



𝑋=



32
Dr Djebbar Samir

+

=

+
=−
+ − = .

Exemple Résoudre {

det

=



alors

=(

=(







=


+|



|



−|

(+ |−


)

= (− )

|

−|

|

−|

| +|


| −|


| +|



est inversible.

=




+|

)

=(

=

det

Donc

𝑋=

alors



=

;− ; −


(






)

× (− ) =



(





(




×

×
×

est une solution unique de ce système.

+


+



|

|

|
− )

)






× −

× −
× −

.

)

+




×

×
×

)

= (− )


Les opérations élémentaires
Définition Soit
un système linéaire de équations, inconnues et à coefficients dans ℝ.
Notons , , … , les équations de
.
On appelle opération élémentaire sur les lignes de
l’une des opérations suivantes :
- Multiplier une équation par un scalaire non nul .
Cette opération est notée :
-Ajouter à l’une des équations un multiple d’une autre équation .
Cette opération est notée :
+
.
-Echanger deux équation

et

: Cette opération est notée :
33



.

Dr Djebbar Samir

c) Méthode de Gauss
Par une suite d’opérations élémentaires, on transforme le système
équivalent et dont la matrice est triangulaire supérieure.

en un système



Exemple
Soit le système linéaire {

+
+
+
+

+
+
+
+

1. Résolution par la méthode de Gauss :

{



+
+
+
+






+
+
+
+

+

{

+
+
+
+



=

Donc



+


,

=


=

=
= .

+

+
+
=

,





=
=
=
=

+
+
+
+

=
=
=
= .
+

{





+


=



,

+




{

=

+

+






.

+



=
=
=
=

+

+

=
=
=
=









2. Résolution par la méthode de Gauss en écriture matricielle :

|




Donc

=




=



|


,





=

,






− |
=

,






=

.

+










|
− |



Exercice Résoudre par méthode de Gausss le système linéaire suivant : {
− −
Solution : (15; 4; -8) est la solution unique du système. ( faites les calculs )

+
=
+ =

=

34
Dr Djebbar Samir

Le cas général
Soit

le système suivant :
+
+

{
Comment résoudre
On extrait de





le système
+

+

+

+

{

+

+



+
+

+

=
=

+

𝑋=

=

suivant :
=

+

−(

=

+

≠ .

−(



) ,

, +

−(

=

𝑋 ′ = ′ avec 𝑋 ′ =



det

+

?

+

+
+

=

, +






+

+

+

, +

+

+

+

, +

, +

, +



+

+

+

+

= ′

+

= ′

+

= ′

une matrice carrée d’ordre

) et

det
det

,

=

,…,

=

sont les matrices obtenues en remplaçant la colonne dans
𝒓 cas

: Si le vecteur 𝑋 =

alors 𝑋 est solution de

,

.

telle que

= ,

=

On extrait de
on trouve

=

𝑘

,…,

,

+

,

+

,…,

par la colonne ′.

vérifie le système

n’a pas de solutions.

cas : sinon

{

Exemple Soit le système
On a

+

+

est donc un système de Cramer , qui a pour solution unique 𝑋′ telle que :
=

è

+

le système





et b′ =

+



suivant : {
, det

=
=
=−
+


=−

…………
=
=



, par méthode de Cramer on obtient :

35
Dr Djebbar Samir

Alors



=





|



=−

=


+

+

+

+

{

=

=

,

. Donc le système

Exemple Soit le système
= ,

=
,

admet une unique solution

l'équation

On a

|

|

|



=

,

. La solution

ne vérifie pas

n'admet pas de solutions.
− =
+ =
− = .……..

Tous les déterminants d'ordre 3 extraits de la matrice associée au système
On extrait de
on trouve
obtient :



le système
=

=


|

+







|

et b′ =

+

suivant : {

=





+


+



=

et

=



=



=
Donc le système

=



, det

On remplace dans la troisième équation (3)
+

=− +
=




=−



|





+

+

∀ ,

admet une infinité de solutions
={



,



+
|


+



+

+ −


+

+



}

,

+

ℝ.

, ,

, par méthode de Cramer on

=



sont nuls.

+

.

+





ℝ.

36
Dr Djebbar Samir

Centre universitaire de Relizane Ahmed Zabana
𝒓

2019-2020

année ST Maths 02
Fiche de TD 2

Exercice 1 : Résoudre par la méthode de Cramer les systèmes suivants :
{

+


=

{

+


=
=



+

=
=−
=

=

+ +

+

{
+ +

=
=−
=

+ +
=
{ − +
=
− − =−

Exercice 2 : Résoudre par la méthode de la matrice inverse les systèmes suivants :
+ = −
{ − + =
+ = −

+ +

{− +
+ +

Exercice 3 : Résoudre par la méthode de Gauss les systèmes suivants :
{

+

+

− + +
{ − +
+ −

=
=−
=

+
+
+

=
=
=

Exercice 4 : Résoudre les systèmes suivants :

{

+ + =

+
=

+
=

{

Exercice 5 : 1. Soit la matrice suivante :

+
+
+

=

=
=−
=

+ +

+

{
+ +

=
=−
=

+
+ =−
+ − =
{
− + +
=−
+ + =

)

a. Démontrer que

est inversible et calculer son inverse.
− + =
=
b. Déduire la solution du système suivant :
{− +
− − =

2. Résoudre suivant les valeurs de α le système suivant :

{

+





+

+

=

=

=−

37
Dr Djebbar Samir

Correction de fiche TD 2
Solution de L’exercice 1:
* Résolution par la méthode de Cramer
1/ {
det

+


=

matrice associée au système 𝑋 =

=

=− ≠

=−
=

=
=−
=



|−



− |

+ +
=
3/ { − +
=
− − =−
det

=− |
|
= −







|

=

=

+ +

2/ {− +
+ +
det

,



𝑋=

et

=

|

|

le système est de Cramer , donc une seule solution

,

Donc

=



,



=

,

|−|
|

Solution de L’exercice 2:

=

=
=(

et



|
= −

,

=



=

− |









=


=




et
et

), 𝑋 =

.

= (− )

et

− ), 𝑋 =

|−

|=− ≠


=


=


= (−

on a

on a



|

=

|−



− |

=

=( )


, par la méthode de Cramer on obtient :






|

=



et

|
= −







|

=

* La méthode de la matrice inverse
1/ {

On a

+


=
=

=

𝑋=



𝑋=

,



=

𝑋=

38
Dr Djebbar Samir

det

=−



la solution est unique ( est inversible )
=

alors



donc

𝑋=

+ = −
2/ { − + =
+ = −
det

=− ≠

=


On a

=

=

=

=



est inversible (


+|
−|

=

(+ |−

|

|

−|

| +|

𝑋=
𝑋=

|

+|



−|


= (−






× (−




(

+|









)

), 𝑋 =



existe ).

−|

=



.

=(

|

|






×



det

𝑋=



+ + =
, on a
{ − + =
+ +
=

alors

=



=







|

|

|)


= (−





− )


− )=


×( ) =


(



et

=( )

− )




.

)

( )

39
Dr Djebbar Samir

+ +

3/ {− +
+ +
det

= |

=
=−
=


|−|



=



= (−

;

=





+|

−|

(+ |



|=

−|

|

−|

|

det
𝑋=
𝑋=



|



(













|

+|

=

𝑋=

On a

|+ |

= (− )

− ) et



|

= (−




× (−






)



|

|

−|

| +|




+|



|)


− )


− )=

× (− ) =

Solution de L’exercice 3: La méthode de Gauss

1/ {

+

+



+

Donc la solution :

=
=−
=






=− ,

L’ensemble de solutions




=

+
{ −
et

= { − ,− ,


+



=− .

=
=−
=

=(
















(





)

.

)


(

+

)

+
{ −





=
=−
=−

}

40
Dr Djebbar Samir

− + +
2/ { − +
+ −




=
=−
=

+
+



− + +
=
+
=
{
+
=
=

+ +
=
− =−
3/ { − +
+ + = ……

{

det

=

det

={(

+ =−

=−

)}

,

=

par la méthode de Cramer :

= −
|

ℝ,

={ −

,







2/ par méthode de Gauss
+
+
+

=

la matrice associée





|


=−

Donc finalement l’ensemble de solutions

{

=

,

,−

′ suivant :

le système

=− ≠

+
+
+

et

)}

système homogène la matrice associée

On remplace dans l’équation (3) :

soit

,



=(

( n’est pas inversible ) le système n’est pas de Cramer car det

On extrait de
′ ∶ {

= {(

=

− + +
=
{
+
=

=−



après calculs l’ensemble de solution

Solution de L’exercice 4:
+ + =

+
=

+
=

,



=
=
=



,

={ −

/

+
{−


+


et y =
=

et

,𝑋 =
|


,


|

=


,

/







ℝ}

)




= .

=

+




=



ℝ.

ℝ} une infinité de solutions .

+
=

=

=

La dernière équation est impossible donc



+
{−

+

=

= ∅ , n’admet aucune solution .

=
=

41
Dr Djebbar Samir

+
+ =−
+ − =
{
− + +
=−
+ + = …….

3/

,

étant un système de 4 équations à 3 inconnues

+
+
+

{
− + +



on considère le sous-système extrait carrée
par exemple par la méthode de Gauss

=−

=

=−

+
+
{ + −
− + +



+

+
{−

+

+

=−
=
=

admet une infinité de solutions de la forme





=−
=
=−
+
+
{−

∙ =

+

+ ,− − ,

Cherchons parmi ces solutions celles qui vérifient l’équation (4)
+

Donc

+

=

+





+

admet unique solution

Solution de L’exercice 5:
a)

det

est inversible

|
Calcul de

|=|


|− |

=

si et seulement si
,− ,

.

=

; ∀

=−
=

ℝ.





.

≠ .
|+|

| = − ≠ . Donc

est inversible .

:

=

+|

|

−|

|

+|

| −|

|

−|

(

|

|

+|

=

+|

|

+|

|

−|


(



|
)

=


(




)



)

42
Dr Djebbar Samir



b) le système
avec




= (−

=

=

det
s’écrit :









𝑋=

et

) , 𝑋=


×

𝑋=




(

=( )



𝑋=

𝑋=

)


= (−

𝑋=





).

.

.

)( ) =

2. Posons
=
det

=|



|=



|

=

²−

=

Si det

Si det



=

 Si det





= ²

et



+

|−|


+

≠− .





− −
.


|



+

admet une seule solution .

admet une infinité de solutions ou il n’admet aucune solution .

≠ . La solution est :
=

|







|

=

+

²

+



=


²

43
Dr Djebbar Samir

=

 Si det
situation :

Donc
è

=

=
=

|



|

− |



=

+
+

²
+

=
=

{

− ……

En remplace (4) dans (2) :

− −
+

.

Si (4) et (5) vérifient (1) alors
solution :
(4) et (5) dans (1) : −


=

=


² +

+

=



+
.
²

.



donc



+



+

… … . impossible

=
{ +
= .

n’admet pas de solution .
situation :
=− .

De (3) :

|

=

……

= − ……

+

=

+

− +

=−

+ −

=





……………..

=

.

admet une infinité de solutions, sinon

admet une infinité de solutions , avec
= {(

− ……

− , − , ) /



n’a aucune

ℝ }.

44
Dr Djebbar Samir

Chapitre 3
Intégrales et calcul des primitives
Introduction
Nous avons vu dans le chapitre de dérivation ( Maths 1 ) le problème suivant : étant donnée une
fonction , trouver sa dérivée
c'est à dire la fonction
= ′
.
Dans ce chapitre, nous considérons le problème inverse : étant donnée une fonction , trouver
une fonction telle que sa dérivée soit égale à , c'est à dire ′
=
.

Intégrale indéfinie



Définition Soit

ℝ une fonction,

est un intervalle quelconque de ℝ .

On appelle primitive (ou intégrale indéfinie) de

⟼ ² est la primitive de

Exemple

Remarque (non unicité de primitives)
=

Soit

+ . On a
=

+

sont deux primitives de .
Théorème Si

,





,

Notation

+

sont deux primitives de

.

+

ℝ dérivable telle que

⟼ cos

est

⟼ sin

( est une constante )

, alors


=

de , toutes les autres primitives de

sont de

+ .

L’ensemble des primitives d’une fonction
C’est-à-dire :


,



. La primitive de

=

Conclusion : Si on connait une primitive
la forme

=

toute fonction



est une primitive de

.

=

+

est noté ∫ ou encore ∫

45
Dr Djebbar Samir

Proposition ( Linéarité )
Soit un intervalle de ℝ ,
et 𝜆 ℝ. Alors


et

+



ℝ deux fonctions intégrables ( admettent des primitives )

=∫

+∫

Primitives des fonctions usuelles

,

=
=
= sin
= cos

ℝ − {− }

=

L’intervalle

] , +∞[

]−∞, [ ou ] , +∞[

+
= − cos +
= sin +

Techniques de calcul de primitives

= 𝜆∫

ℝ .

La primitive de
(
=
+
+
=
+
+
= ln| | +

La fonction
=
=

∫𝜆





a) Intégration par parties
Proposition Soient
On a

et

deux fonctions dérivables sur un intervalle .





=



−∫

Preuve On a

∫(





(





=∫



=

=∫




+

+∫

=

−∫

+∫








46
Dr Djebbar Samir

Exemple

= ∫ sin

. Posons



Donc

= sin

∫ sin
Exercice calculer



=

=

= − cos

= − cos + ∫ cos

= − cos + sin +

=∫ ²

Solution Intégration par parties en posant :



Donc

=

∫ ²
Calculons

d'où :
et

=∫

=∫

= ²



= ²

= ²



=



−∫



=

=

=



+ =



b) Intégration par changement de variable
Proposition Soit une primitive de

est intégrable et l’on a
Autrement dit, en posant

=

et

∫ (

=

= ′

on obtient


+

=

+

=

+

une fonction dérivable. Alors la fonction



∫ (

=

− ∫


par parties en posant



=

=∫

+ .

, soit encore
=

+

= ′

et donc

47
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