Intégral .pdf

Cours
http://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale.php
Exercice
https://www.youtube.com/playlist?
list=PL_ZtK1TB2InoWWNOdQgzRlI20pFd33qOr

1
1
Calculer l’intégrale ∫ 1/(1+2x).dx
0

On multiplie par k=2/2 pour avoir une intégrande de la forme u’/u
1

1

∫1/(1+2x).dx=∫(1/2).(2/(1+2x)).dx
0

0

1

1/2∫2/(1+2x).dx

où u’(x)=2 et u(x)=1+2x avec sur [0,1] 1+2x>0

0
1

1/2[ln(2x+1)] = 1/2(ln3-ln1) = 1/2.ln3
0

2
1
Calculer l’intégrale ∫ ℮-x+(6/℮2x).dx
0

1

1

∫ ℮-x+(6/℮2x).dx = ∫ ℮-x+6℮-2x.dx
0

0
1

1

[(℮-x/-1)+(6℮-2x/-2)] = [-℮-x - 3℮-2x]
0

ou a=2 et est ≠0

0

(-℮-1+3℮-2)-(-℮0+3℮0)=(-1/℮)+(3/℮²)+4
https://www.youtube.com/watch?v=yoebtasIaIk

3
2
Calculer l’intégrale ∫ x℮-x².dx
-1

2

2

∫ x℮ .dx = ∫ (-1/2) -2x℮-x².dx
-x²

-1

-1
2

2

-1/2 ∫ -2x℮ .dx = 1/2[ ℮ ]
-x²

-x²

-1

ou u’(x)=-2x et u(x)=-x²

-1
2
-1

-1/2[℮ - ℮ ] = (-1/2)(1/℮4+1/℮)
-4

-1

4
℮
Calculer l’intégrale ∫(6x²+4x-1)/x .dx
1

℮

℮

∫(6x²+4x-1)/x .dx = ∫6x+4-1/x.dx
1

1
℮

℮

[6.(1/2)x²+4x-lnx] = [3x²+4x-lnx]
1

1

(3℮²+4℮-lne)-(3+4-ln1)=3℮²+4℮-1-7+0
3℮²+4℮-8
5
1
Calculer l’intégrale ∫x²/(1+x3) .dx
0

1

1

∫x²/(1+2x ) .dx = ∫ (1/3).(3x²/(1+x3)) .dx
3

0

0
1

1

1/3∫3x²/(1+x ) .dx = 1/3 [ln(1+x )]
3

0

1/3 (ln2-ln1) = (1/3) ln2

3

0

où u’(x)=3x² et u(x)=x3+1
avec u>0 pour x∈ [0;1]

6
Intégrale et aire
La courbe C représente dans un repère orthogonale, la fonction ƒ
définie sur R par ƒ(x)=x²-2x-3. Les unités graphique sont:
1 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées.
1) Étudier la position relative de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.
2) En déduire l’aire A du domaine en unité d’aire puis en cm² compris entre
la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=-2 et x=3

1) ƒ est un polynôme du second degrés
Le coefficient directeur a étant positive C est ouverte vers le haut et admet un
minimum
(x²-2x)-3=0
(x-1)²-1-3=0
(x-1)²-4
Le minimum de C est le point M (1;-4) où α=1 et β =-4
(x-1-2)(x-1+2)
(x-3)(x+1)
Graphiquement C admet 2 racines où x1=-1 et x2=3
x
ƒ

-∞

-1
+

0

3
-

+∞

0

+

2) Calculer l’aire
ƒ est continue sur [-2;3]
pour x∈[-2;-1] ƒ⩾ 0
pour x∈[-1;3] ƒ⩽ 0
-1

-1

A=∫ƒ(x).dx + ∫ ƒ(x)/dx
-2

3

-1

3

A= ∫ƒ(x).dx - ∫ ƒ(x)/dx
-2

-1

-1

-1

∫ x²-2x-3.dx = [(1/3)x -x²-3x] = (-1/3-1+3)-(-8/3-4+6) =
3

-2

-2

-1/3+2+8/3-2 = 7/3
-1

-1

∫ x²-2x-3.dx = [(1/3)x -x²-3x] = (-1/3-1+3)-(9-9-9)=-1/3+11=32/3
3

3

3

A=7/3+32/3=39/3=13 unités d’aire
1 unité d’aire vaut 1cm x 0,5cm = 0,5cm²
A=13 x 0,5=
6,5cm²

7
Cƒ et Cg sont les courbes représentatives de deux fonctions ƒ et g
définies sur R par f(x)=x²−4 et g(x)=(x+2)²(x−2).
1) Etudier la position relative de leurs courbes représentatives.
2) En déduire l'air A du domaine en unité d'aire compris
entre les deux courbes sur l'intervalle [−2;2].

1) ƒ(x)-g(x)=(x²-4)-(x+2)²(x-2)
ƒ(x)-g(x)=(x-2)(x+2)-(x+2)²(x-2)
ƒ(x)-g(x)=(x-2)(x+2).[1-(x+2)]
ƒ(x)-g(x)=(x-2)(x+2)(-x-1)
ƒ-g admet 3 racines évidentes 2, -2 et -1
x
-∞
-2
x-2
x+2
- 0
-x-1
+
ƒ-g
+
ƒ est au
dessus de
g

-1
+
+
ƒ est en
dessous de
g

2
0

+
+

0

ƒ est au
dessus de
g

2) ƒ et g sont continue sur R
Pour x∈[-2;-1] , ƒ(x) ⩽ g(x)
Pour x∈[-1;2] , ƒ(x) ⩾ g(x)

+∞
+
+
-

ƒ est en
dessous de
g
-1

2

A=∫g(x)-ƒ(x).dx + ∫ƒ(x)-g(x).dx
-2

-1

ƒ(x)-g(x)=(x-2)(x+2)(-x-1)=(x²+2x-2x-4)(-x-1)=(x²-4)(-x-1)
ƒ(x)-g(x)=-x3-x²+4x+4
2

2

2

∫ƒ(x)-g(x).dx= ∫-x -x²+4x+4.dx = [(-x /4)-(x /3)+2x²+4x] =
3

-1

-1

4

3

-1

[-(24/4)–(23/3)+2.2²+4.2 - ((-1/4)+(1/3)+2-4) = (-4-(8/3)+8+8)-(-23/12) =
(28/3)+(23/12)=45/4
-1

-2

-2

∫g(x)-ƒ(x).dx = ∫ƒ(x)-g(x).dx = [(-x /4)-(x /3)+2x²+4x] =
4

-2

-1

3

-1

[(-16/4)+(8/3)+8-8)-((-1/4)+(1/3)+2-4)]= (-4/3)-(-23/12=7/12
A=(45/4)+(7/12)= 71/6 ua

8
1
Pour tout entier naturel n, on pose un ∫ 1/(1+xn) dx ,
0

ƒn désigne la fonction définie sur [0;1] par ƒn(x) = 1/(1+xn)
Cn désigne la courbe de ƒn
On a tracé C0, C1, C2, C3, C4 dans un repère orthonormé.
1) A l’aide du graphique conjecturer le sens de variation de (u n)
2) Déterminer le sens de variation de (un) par le calcul.
3) Démontrer que pour tout entier naturel n et tout x ∈ [0;1] :
1/(1+xn) ⩽ 1
4) En déduire que la suite (un) est convergente

1) Comme ƒn est continue et positive sur [0,1]
Un correspond à l’air sous la courbe de ƒn entre la droite d’équation x=0 et
x=1 et l’axe des abscisses.
Selon le graphique, il semble que pour x∈[0,1]
ƒ0(x)<ƒ1(x)<ƒ2(x)<ƒ3(x)>ƒ4(x) et donc
u0<u1<u2<u3<u4
Il semble que l’air de un soit croissante lorsque n est croissant pour x∈[0,1]
Pour n∈N
1

1

2) ∫ 1/(1+x ) - 1/(1+x ) dx = ∫ ((1+xn)-(1+xn+1))/((1+xn+1)(1+xn)) dx=
n+1

n

0

0

1

1

∫(x -x ) /((1+x )(1+x )) dx= ∫ xn(1-x) / ((1+xn+1)(1+xn)) dx
n

0

n+1

n+1

n

0

Pour x ∈ [0,1]

xn
⩾0
1-x ⩾0
1+xn+1⩾0
1+xn ⩾0

xn(1-x) / ((1+xn+1)(1+xn)) ⩾ 0

1

0<1 donc ∫ xn(1-x) / ((1+xn+1)(1+xn)) dx ⩾0
0

donc un+1-un⩾0 donc un est croissante
3) x ∈ [0;1] et n∈N
x⩾0
xn⩾0
1+xn⩾1

1/ 1+xn ⩽1

4) Pour toute entier naturel n
Pour x ∈ [0;1]
1/ 1+xn ⩽1
1

L’intégrale conserve l’ordre 0<1
1

∫ 1/ 1+xn dx ⩽ ∫ 1 dx

0

0

1

un ⩽ [x] = 1-0=1
0

un ⩽ 1
(Un) est majoré et est croissante d’après la 2ième question donc (un) est
convergente.

9
n
Pour toute entier naturel n on pose un = ∫ 1/(1+x²) dx
0

1) Démontrer que la suite un est croissante
1

n

2) Justifier que pour tout entier n⩾1 , un⩽ ∫ 1/(1+x²) dx +∫ 1/x² dx
0

1

1

3) Démontrer que ∫1/(1+x²) dx⩽1. En déduire que la suite (un) est
0
convergente
n+1

n

1) un+1-un= ∫1/(1+x²) dx - ∫1/(1+x²) dx =
0
n

0
n+1

n

n+1

∫1/(1+x²) dx + ∫1/(1+x²) - ∫1/(1+x²) dx = ∫1/(1+x²)
0

n

n∈N
x∈[n;n+1]
x² ⩾0
1+x⩾1
1/(1+x²)⩾0

0

n

n+1

∫1/(1+x²) ⩾0
n

un+1-un⩾0 donc Un est croissante
2) 1+x² >x²
1/(1+x²) <1/x²
n

Passage à l’inverse
L’intégrale conserve l’ordre
n⩾1

n

∫1/(1+x²) dx<∫ 1/x² dx
1

1

1

n

1

n

∫1/(1+x²) dx +∫1/(1+x²) dx < ∫1/(1+x²) dx + ∫1/x²
0

1

n

0
1

1
n

∫1/(1+x²) dx < ∫1/(1+x²) dx + ∫1/x² dx
0

0

1

1

n

Donc un⩽ ∫ 1/(1+x²) dx +∫ 1/x² dx
0

1

3) n∈N
Pour tout x∈N
x²⩾0
1+x²⩾1
1/(x²+1)⩽1

1

1

∫1/(1+x²) dx⩽∫1 dx L’intégrale conserve l’ordre 0<1

0

1

1

0

0

0

∫1/(1+x²) dx⩽[x]
1

∫1/(1+x²) dx⩽1-0

0

1

∫1/(1+x²) dx⩽1

0

n∈N*
Pour tout x∈N*
n

n

1

1

∫ 1/x² dx = [-1/x] = (-1/n)+1 = 1-(1/n) ⩽ 1
n

∫ 1/x² dx ⩽ 1

D’après le 2) un⩽2 donc (un) est majoré

1

D’après le 1) un est croissante

1

∫1/(1+x²) dx⩽1
0

(un) est convergente

10
1) Démontrer que pour tout réel t⩾1, 1/t²⩽1/t⩽ 1/√t
2) En déduire que pour réel x⩾1 , 1-(1/x)⩽lnx⩽2√x-2
3) En déduire un encadrement de ln2. Vérifier la cohérence du résultat à
l’aide d’une calculatrice.
Pour t⩾1
t²⩾t
1/t²⩽ 1/t

Multiplication par t

Pour t⩾1
√t⩾1
t⩾√t
1/t⩽√t

Multiplication par √t

Passage à l’inverse

Multiplication par √t

2) Pour t⩾1
1/t²⩽1/t⩽ 1/√t
Pour x⩾1
x

x

x

∫1/t²⩽∫1/t⩽ ∫1/√t
1

1

x

1

x

x

[-1/t]⩽[lnt]⩽[2√t]
1

1

1

(-1/x)-(-1/1)⩽lnx⩽2√x-2
1-(1/x)⩽lnx⩽2√x-2
3)
1-(1/2)⩽ln2⩽2√2-2
1/2⩽0,693⩽0,828

℮ ∫ ∞ β α

∈ ⩾ ⩽ √

℮ ∫ ∞ β α

∈ ⩾ ⩽

https://www.youtube.com/watch?v=YJQ3nLv8v-I
https://www.youtube.com/watch?v=bPumyyXECvk