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On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par
un+1=un+4n-6 avec u0=1
1) Calculer à la main u1, u2 et u3
2) Vérifier vos résultats à la calculatrice puis afficher sur l’écran de
votre calculatrice le nuage de points associé aux sept premiers
termes de la suite. A quel type de fonction ce nuage de point fait-il
penser ?
3) On admet maintenant qu’il existe 3 réel a, b et c tel que pour tout
entier naturel n on ait
un=an²+bn+c. Déterminer les réel a,b et c.
4) Vous assurer alors que la suite (an²+bn+c) obtenue vérifie la
relation de récurrence qui définit la suite (un)
1) Pour u0=1 et n=0
u0+1=u0+4n-6
u1=1+(4.0)-6
u1+1=u1+4n-6
u2=-5+(4.1)-6
u2+1=u2+4n-6
u3=-7+(4.2)-6

u1=-5
u2=-7
u3=-5

2) Ce nuage de point fait penser
à une fonction polynôme de
degrès 2.
3) D’après 1) nous savons que:
u0=1 pour n=0
u0=(a.0)²+(b.0)+c
1=c
1)

u1=-5 pour n=1 et u2=-7 pour n=2
-5=an²+bn+c
-7=an²+bn+c
-5=a+b+1
-7=4a+2b+1
b=-a-6
-7=4a+2(-a-6)+1
a=2, b=-8 et c=1

2)

b=-a-6
-7=4a-2a-12+1

b=-a-6
4=2a

b=-a-6 b=-8
a=2
a=2