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On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par
un+1=3-un et u0=-1.
1) Calculer u1,u2 et u3.
2) Soit n un entier naturel, conjecturer les valeurs de u2n et u2n+1.
3) Démontrer maintenant que quelque soit la valeur de u0, on a
pour tout entier naturel n, un+2=un
1) Pour u0=1 et n=0
u0+1=3-u0
u1=3+1
u1+1=3-u1
u2=3-4
u2+1=3-u2
u2=3+1

u1=4
u2=-1
u3=4

2) Pour n∈N
u2n correspond aux valeurs pair de n et u2n+1 correspond aux valeurs
impaire de n.
2n étant la suite des nombres pairs et 2n+1 étant la suite des nombres
impaires.
Il semble que lorsque n est pair, un=-1 et que lorsque n est impaire
un=4
u2n=-1 et u2n+1=4
3) Pour n∈N et un∈R
un+1=3-un
u(n+1)+1=3-un+1
un+2=3-3+un
un+2=un
un+2=un