chapitre1 .pdf



Nom original: chapitre1.pdfTitre: Complément de formation 1 : Géométrie affine et euclidienne . - Premier chapitre : Espaces affines-Auteur: Abdelilah Lamrani Alaoui

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par LaTeX with Beamer class version 3.33 / pdfTeX-1.40.14, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 27/12/2020 à 23:51, depuis l'adresse IP 41.249.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 43 fois.
Taille du document: 36.2 Mo (53 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Complément de formation 1 :
Géométrie affine. et euclidienne
- Premier chapitre : Espaces affinesAbdelilah Lamrani Alaoui
Département de mathématique
Centre régional des métiers de l’éducation et de formation - Fès - Meknès
-Siège principal-

Premier semestre

A.Lamrani

Géométrie : 1 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Principal directive !

Le symbole - signifie :
A vos stylos et papiers! pour des démonstrations, corrections
d’exercices ou des constructions.

A.Lamrani

Géométrie : 2 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Défs et qlqs prptés

I- Définitions et premières propriétés
Définition - Espace affineUn ensemble E est dit espace affine de direction un espace vectoriel V
−→
s’il existe une application ϕ : E × E −→ V , (A, B) 7→ ϕ(A, B) = AB
qui vérifie :
−→ −→ −→
∀A, B, C ∈ E , AB + BC = AC , ( Relation de chasles).
−→
∀A ∈ E , ∀~
u ∈ V , ∃!B ∈ E tel que AB = u~.
On dit que E est de dimension finie si V l’est, dans ce cas on dit que
dim E = dim V .
Notations, appellations et règles de calcul.


V est souvent noté E et est aussi appelé vectorialisé de E .
si dim E = 1(2, 3), on dit que E est une droite affine(plan affine,
espace affine).
−→
AB = u~ ⇐⇒ B = A + u~.
−→
−→
−→
(∀A ∈ E ) : AA = ~0, (∀(A, B) ∈ E 2 ) : AB = −BA.
A.Lamrani

Géométrie : 3 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Défs et qlqs prptés

I- Définitions et premières propriétés

Exemple




Un espace vectoriel E est un espace affine de direction E :
(ϕ(~
u , ~v ) = ~v − u~).
Vérifions ce fait !- .
-Choix de l’origine vectorialisé
Remarque
−−→
(∀A ∈ E ) : ϕA : E −→ E~ définie par ϕA (M) = AM est bijective.
On peut donc donner à E la structure d’un espace vectoriel -.

A.Lamrani

Géométrie : 4 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
Définition
Une partie non vide F d’un espace affine E est dite sous espace affine
de E ou variété affine de E si lui-même a la structure d’un espace affine.
Propositions Si F est un sous espace affine de E on a :
−−→
Pour tout point O ∈ F , l’ensemble {OM/M ∈ F } est un sous


espace vectoriel de E .
−−→
L’ensemble {OM/M ∈ F } est indépendant du choix de O ∈ F et on
−−→
−−→
a {OM/M ∈ F } = {MN/M, N ∈ F } est la direction du sous espace


affine F et est notée F .
Théorème
F est un sous espace affine de E si et seulement s’il existe un point






A ∈ E et un sous espace vectoriel F de E tel que F = A + F .


F est dit sous espace affine passant par A et de direction F .
A.Lamrani

Géométrie : 5 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
Définition
Une partie non vide F d’un espace affine E est dite sous espace affine
de E ou variété affine de E si lui-même a la structure d’un espace affine.
Propositions Si F est un sous espace affine de E on a :
−−→
Pour tout point O ∈ F , l’ensemble {OM/M ∈ F } est un sous


espace vectoriel de E .
−−→
L’ensemble {OM/M ∈ F } est indépendant du choix de O ∈ F et on
−−→
−−→
a {OM/M ∈ F } = {MN/M, N ∈ F } est la direction du sous espace


affine F et est notée F .
Théorème
F est un sous espace affine de E si et seulement s’il existe un point






A ∈ E et un sous espace vectoriel F de E tel que F = A + F .


F est dit sous espace affine passant par A et de direction F .
A.Lamrani

Géométrie : 5 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
Définition
Une partie non vide F d’un espace affine E est dite sous espace affine
de E ou variété affine de E si lui-même a la structure d’un espace affine.
Propositions Si F est un sous espace affine de E on a :
−−→
Pour tout point O ∈ F , l’ensemble {OM/M ∈ F } est un sous


espace vectoriel de E .
−−→
L’ensemble {OM/M ∈ F } est indépendant du choix de O ∈ F et on
−−→
−−→
a {OM/M ∈ F } = {MN/M, N ∈ F } est la direction du sous espace


affine F et est notée F .
Théorème
F est un sous espace affine de E si et seulement s’il existe un point






A ∈ E et un sous espace vectoriel F de E tel que F = A + F .


F est dit sous espace affine passant par A et de direction F .
A.Lamrani

Géométrie : 5 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Une variété affine est entièrement définie par la donnée d’un point et
d’une direction.
Exercice
Montrer que :
1

2
3







(∀B ∈ A + F ) : A + F = B + F .




−→ →

A + F ⊂ B + G ⇐⇒ AB ∈ G et




−→ →

A + F = B + G ⇐⇒ AB ∈ G et





F ⊂ G.




F = G.

-

A.Lamrani

Géométrie : 6 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines


Remarque: Si dim E = n, on appelle hyperplan affine tout sous-espace
affine de dimension n − 1.
Exemples
Les points et les droites du plan géométrique ainsi que le plan
géométrique lui même sont des sous espaces affines du plan
géométrique.
Les points, les droites et les plans de l’espace géométrique ainsi que
l’espace géométrique lui même sont des sous espaces affines de
l’espace géométrique.

− →



Si f ∈ L( E , F ) et b ∈ F . Les solutions de l’équation f (x) = b, s’il


existent, forment un sous-espace affine de E passant par une
solution particulière et de direction Ker f .
Les solutions d’une équation différentielle linéaire avec second
membre est un sous espace de l’espace des fonctions passant par une
solution particulière et de direction l’espace vectoriel des solutions de
l’équation homogène associée.
A.Lamrani

Géométrie : 7 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines


Remarque: Si dim E = n, on appelle hyperplan affine tout sous-espace
affine de dimension n − 1.
Exemples
Les points et les droites du plan géométrique ainsi que le plan
géométrique lui même sont des sous espaces affines du plan
géométrique.
Les points, les droites et les plans de l’espace géométrique ainsi que
l’espace géométrique lui même sont des sous espaces affines de
l’espace géométrique.

− →



Si f ∈ L( E , F ) et b ∈ F . Les solutions de l’équation f (x) = b, s’il


existent, forment un sous-espace affine de E passant par une
solution particulière et de direction Ker f .
Les solutions d’une équation différentielle linéaire avec second
membre est un sous espace de l’espace des fonctions passant par une
solution particulière et de direction l’espace vectoriel des solutions de
l’équation homogène associée.
A.Lamrani

Géométrie : 7 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
-Parallélisme

Définition
Si F1 et F2 sont deux sous-espaces affines d’un espace affine E dirigés par




F1 et F2 :
F1 et F2 sont sécants si F1 ∩ F2 6= ∅.




F1 et F2 sont dits parallèles si F1 = F2 .




On dit que F1 est parallèle à F2 si F1 ⊂ F2 .
Remarques :
Une droite est parallèle à un plan, l’inverse est faux.
On a deux postulats d’Euclide:
- Par deux points distincts passe une unique droite.
- Par un point extérieur à une droite passe une unique droite
parallèle à une droite donnée.

A.Lamrani

Géométrie : 8 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
-Intersection de sous espaces affines

Théorème
Une intersection de sous espaces affines Fi avec i ∈ I d’un espace affine
E est soit vide soit un sous espace affine. En plus on a :
−−−−→


∩i∈I Fi = ∩i∈I Fi .
Preuve : -.
Sous espace affine engendré par une partie A noté Aff (A) d’un sous
espace affine.
Théorème




−→ →



(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ ⇐⇒ AB ∈ F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ si E = F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) est un singleton si E = F 1 ⊕ F 2 .
Preuve : -.
A.Lamrani

Géométrie : 9 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
-Intersection de sous espaces affines

Théorème
Une intersection de sous espaces affines Fi avec i ∈ I d’un espace affine
E est soit vide soit un sous espace affine. En plus on a :
−−−−→


∩i∈I Fi = ∩i∈I Fi .
Preuve : -.
Sous espace affine engendré par une partie A noté Aff (A) d’un sous
espace affine.
Théorème




−→ →



(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ ⇐⇒ AB ∈ F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ si E = F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) est un singleton si E = F 1 ⊕ F 2 .
Preuve : -.
A.Lamrani

Géométrie : 9 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

II- Sous espaces affines
-Intersection de sous espaces affines

Théorème
Une intersection de sous espaces affines Fi avec i ∈ I d’un espace affine
E est soit vide soit un sous espace affine. En plus on a :
−−−−→


∩i∈I Fi = ∩i∈I Fi .
Preuve : -.
Sous espace affine engendré par une partie A noté Aff (A) d’un sous
espace affine.
Théorème




−→ →



(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ ⇐⇒ AB ∈ F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) 6= ∅ si E = F 1 + F 2 .










(A + F 1 ) ∩ (B + F 2 ) est un singleton si E = F 1 ⊕ F 2 .
Preuve : -.
A.Lamrani

Géométrie : 9 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre
Soit E un espace affine associé à l’espace vectoriel E~ sur le corps des
réels R. On appelle point A ∈ E affecté au coefficient α ou point pondéré
tout élément (A, α) ∈ E × R.
Théorème
Soit {(Ai , αi )/i = 1, ..., p} une famille finie de p points pondérés de
i=p
X
E × R telle que
αi 6= 0. Alors il existe un unique point de G ∈ E tel
que

i=1
i=p
X

−−→
αi GAi = ~0.

i=1

Preuve : -.

A.Lamrani

Géométrie : 10 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
Définition
Le point G dans le théorème précédent est appelé barycentre du
système de points pondérés ((Ai , αi ))i=1,...,p et est noté:
1
G = bary({(Ai , αi )/i = 1, ..., p}) ou encore G = Pi=p
i=1

i=p
X

αi

αi Ai .

i=1

Propriétés:
1

Commutativité : le barycentre ne dépend pas de l’ordre des points.

2

Stabilité: si k ∈ R∗ alors :
i=p
X

1
Pi=p
i=1

αi

i=1

αi Ai = Pi=p

A.Lamrani

i=p
X

1

i=1

kαi

Géométrie : 11 / 31

i=1

kαi Ai .

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
Définition
Le point G dans le théorème précédent est appelé barycentre du
système de points pondérés ((Ai , αi ))i=1,...,p et est noté:
1
G = bary({(Ai , αi )/i = 1, ..., p}) ou encore G = Pi=p
i=1

i=p
X

αi

αi Ai .

i=1

Propriétés:
1

Commutativité : le barycentre ne dépend pas de l’ordre des points.

2

Stabilité: si k ∈ R∗ alors :
i=p
X

1
Pi=p
i=1

αi

i=1

αi Ai = Pi=p

A.Lamrani

i=p
X

1

i=1

kαi

Géométrie : 11 / 31

i=1

kαi Ai .

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

1

Associativité: le barycentre d’une famille de points pondérés ne
change pas si on remplace un nombre d’entre eux par leurs
barycentre affectés à la somme - non nulle - des coefficients
correspondants.

A.Lamrani

Géométrie : 12 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
On a aussi les définitions suivantes:
Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est
appelé isobarycentre.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle droite passant
par A et B l’ensemble des barycentres de ces points et est notée
(AB). c’est à dire :
(AB) = {bary((A, α), (B, β))/α et β des réels avec : α + β 6= 0}.
En particulier, le barycentre de deux points pondérés distincts est sur
la droite passant par ces points.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle segment
d’extrémités A et B noté [AB] l’ensemble des barycentres des
systèmes pondérés ((A, λ), (B, 1 − λ))λ∈[0,1] .
L’isobarycentre de deux points A et B est appelé milieu du segment
[AB].
A.Lamrani

Géométrie : 13 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
On a aussi les définitions suivantes:
Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est
appelé isobarycentre.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle droite passant
par A et B l’ensemble des barycentres de ces points et est notée
(AB). c’est à dire :
(AB) = {bary((A, α), (B, β))/α et β des réels avec : α + β 6= 0}.
En particulier, le barycentre de deux points pondérés distincts est sur
la droite passant par ces points.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle segment
d’extrémités A et B noté [AB] l’ensemble des barycentres des
systèmes pondérés ((A, λ), (B, 1 − λ))λ∈[0,1] .
L’isobarycentre de deux points A et B est appelé milieu du segment
[AB].
A.Lamrani

Géométrie : 13 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
On a aussi les définitions suivantes:
Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est
appelé isobarycentre.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle droite passant
par A et B l’ensemble des barycentres de ces points et est notée
(AB). c’est à dire :
(AB) = {bary((A, α), (B, β))/α et β des réels avec : α + β 6= 0}.
En particulier, le barycentre de deux points pondérés distincts est sur
la droite passant par ces points.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle segment
d’extrémités A et B noté [AB] l’ensemble des barycentres des
systèmes pondérés ((A, λ), (B, 1 − λ))λ∈[0,1] .
L’isobarycentre de deux points A et B est appelé milieu du segment
[AB].
A.Lamrani

Géométrie : 13 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
On a aussi les définitions suivantes:
Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est
appelé isobarycentre.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle droite passant
par A et B l’ensemble des barycentres de ces points et est notée
(AB). c’est à dire :
(AB) = {bary((A, α), (B, β))/α et β des réels avec : α + β 6= 0}.
En particulier, le barycentre de deux points pondérés distincts est sur
la droite passant par ces points.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle segment
d’extrémités A et B noté [AB] l’ensemble des barycentres des
systèmes pondérés ((A, λ), (B, 1 − λ))λ∈[0,1] .
L’isobarycentre de deux points A et B est appelé milieu du segment
[AB].
A.Lamrani

Géométrie : 13 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.
On a aussi les définitions suivantes:
Si tous les coefficients sont égaux et non nuls, le barycentre est
appelé isobarycentre.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle droite passant
par A et B l’ensemble des barycentres de ces points et est notée
(AB). c’est à dire :
(AB) = {bary((A, α), (B, β))/α et β des réels avec : α + β 6= 0}.
En particulier, le barycentre de deux points pondérés distincts est sur
la droite passant par ces points.
Si A et B sont deux points distincts de E , on appelle segment
d’extrémités A et B noté [AB] l’ensemble des barycentres des
systèmes pondérés ((A, λ), (B, 1 − λ))λ∈[0,1] .
L’isobarycentre de deux points A et B est appelé milieu du segment
[AB].
A.Lamrani

Géométrie : 13 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

L’associativité des barycentres est précieuse. Elle permet par exemple de
montrer que :
Les trois médianes d’un triangle concourent en un point G situé au
tiers de la base de chacune d’elle. Que l’isobarycentre des sommets d’un parallélogramme coı̈ncide avec
les milieux des diagonales, et appartient aux droites passant par les
milieux de deux cotés opposés. -

A.Lamrani

Géométrie : 14 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

L’associativité des barycentres est précieuse. Elle permet par exemple de
montrer que :
Les trois médianes d’un triangle concourent en un point G situé au
tiers de la base de chacune d’elle. Que l’isobarycentre des sommets d’un parallélogramme coı̈ncide avec
les milieux des diagonales, et appartient aux droites passant par les
milieux de deux cotés opposés. -

A.Lamrani

Géométrie : 14 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

L’associativité des barycentres est précieuse. Elle permet par exemple de
montrer que :
Les trois médianes d’un triangle concourent en un point G situé au
tiers de la base de chacune d’elle. Que l’isobarycentre des sommets d’un parallélogramme coı̈ncide avec
les milieux des diagonales, et appartient aux droites passant par les
milieux de deux cotés opposés. -

A.Lamrani

Géométrie : 14 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

Exercice
Un segment [AB] est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de
A et B.
Exercice
Considérons quatre points A, B, C et D d’un espace affine E , soit G
l’isobarycentre des quatre points, G 0 l’isobarycentre de A, B et C . Alors
G , G 0 et D sont sur une même droite.
Si I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [CD], alors G est le milieu
de [IJ].
-

A.Lamrani

Géométrie : 15 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

Exercice
Un segment [AB] est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de
A et B.
Exercice
Considérons quatre points A, B, C et D d’un espace affine E , soit G
l’isobarycentre des quatre points, G 0 l’isobarycentre de A, B et C . Alors
G , G 0 et D sont sur une même droite.
Si I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [CD], alors G est le milieu
de [IJ].
-

A.Lamrani

Géométrie : 15 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

III- Barycentre.

Exercice
Soit E un espace affine
1

Soient A 6= B ∈ E , montrer que :
−−→
−→
(AB) = {M ∈ E /AM = k AB}.

2

Soit C une partie de E , montrer que :
C est un sous-espace affine de E ⇐⇒ ∀(A, B) ∈ C 2 : (AB) ⊂ C.

-

A.Lamrani

Géométrie : 16 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
1- Coordonnées cartésiennes.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère cartésien de E est la
donnée d’un point O de E et d’une base (e~1 , ..., e~n ) de E~ .
Si (O, e~1 , ..., e~n ) est un repère cartésien, les coordonnées cartésiennes
−−→
d’un point M de E dans ce repère sont les coordonnées de OM dans la
base (e~1 , ..., e~n ). se sont les scalaires x1 , ..., xn qui vérifient:
n

−−→ X
OM =
xi e~i .
i=1

Dans les conditions de la définition 1, si F est un sous-espace affine de E
de dimension p passant par A(xA,1 , ..., xA,n ) et de direction


F = Vect(~
u1 , ..., u~p ). Si (α1,j , ..., αn,j ) désignent les coordonnées de u~j
dans la base (~
e1 , ..., e~n ) et si (x1 , ..., xn ) représentent les coordonnées de
M dans (O, e~1 , ..., e~n ), on a
−−→
M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , ..., λp ) ∈ Rp /AM = λ1 u~1 + ... + λp u~p
A.Lamrani

Géométrie : 17 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
1- Coordonnées cartésiennes.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère cartésien de E est la
donnée d’un point O de E et d’une base (e~1 , ..., e~n ) de E~ .
Si (O, e~1 , ..., e~n ) est un repère cartésien, les coordonnées cartésiennes
−−→
d’un point M de E dans ce repère sont les coordonnées de OM dans la
base (e~1 , ..., e~n ). se sont les scalaires x1 , ..., xn qui vérifient:
n

−−→ X
OM =
xi e~i .
i=1

Dans les conditions de la définition 1, si F est un sous-espace affine de E
de dimension p passant par A(xA,1 , ..., xA,n ) et de direction


F = Vect(~
u1 , ..., u~p ). Si (α1,j , ..., αn,j ) désignent les coordonnées de u~j
dans la base (~
e1 , ..., e~n ) et si (x1 , ..., xn ) représentent les coordonnées de
M dans (O, e~1 , ..., e~n ), on a
−−→
M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , ..., λp ) ∈ Rp /AM = λ1 u~1 + ... + λp u~p
A.Lamrani

Géométrie : 17 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
1- Coordonnées cartésiennes.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère cartésien de E est la
donnée d’un point O de E et d’une base (e~1 , ..., e~n ) de E~ .
Si (O, e~1 , ..., e~n ) est un repère cartésien, les coordonnées cartésiennes
−−→
d’un point M de E dans ce repère sont les coordonnées de OM dans la
base (e~1 , ..., e~n ). se sont les scalaires x1 , ..., xn qui vérifient:
n

−−→ X
OM =
xi e~i .
i=1

Dans les conditions de la définition 1, si F est un sous-espace affine de E
de dimension p passant par A(xA,1 , ..., xA,n ) et de direction


F = Vect(~
u1 , ..., u~p ). Si (α1,j , ..., αn,j ) désignent les coordonnées de u~j
dans la base (~
e1 , ..., e~n ) et si (x1 , ..., xn ) représentent les coordonnées de
M dans (O, e~1 , ..., e~n ), on a
−−→
M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , ..., λp ) ∈ Rp /AM = λ1 u~1 + ... + λp u~p
A.Lamrani

Géométrie : 17 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.

ou encore:

 x1 = xA,1 + λ1 α1,1 + ... + λp α1,p
...
M ∈ F ⇐⇒ (S)

xn = xA,n + λ1 αn,1 + ... + λp αn,p

A.Lamrani

Géométrie : 18 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
2- Coordonnées barycentriques.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère affine (ou une base
affine) de E est un (n + 1) − uplet (A0 , A1 , ..., An ) tel que le système
−−−→
−−−→
(A0 A1 , ..., A0 An ) est une base de E~ .
Par définition,
−−−→
−−−→
E = Aff (A0 , A1 , ..., An ) = A0 + Vect(A0 A1 , ..., A0 An ),
et tout point M ∈ E s’écrit comme barycentre des points A0 , A1 , ..., An
affectés de coefficients convenables.
Définition 2
Soit R = (A0 , A1 , ..., An ) un repère affine de E , et M ∈ E . On appelle
système de coordonnées barycentriques de M dans R toutes
(n + 1)−liste de réels (α0 , α1 , ..., αn ) telle que M soit le barycentre de
(A0 , α0 ), (A1 , α1 ), ..., (An , αn ).
n
X
Le système est dit normalisé si
αi = 1
A.Lamrani
i=0

Géométrie : 19 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
2- Coordonnées barycentriques.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère affine (ou une base
affine) de E est un (n + 1) − uplet (A0 , A1 , ..., An ) tel que le système
−−−→
−−−→
(A0 A1 , ..., A0 An ) est une base de E~ .
Par définition,
−−−→
−−−→
E = Aff (A0 , A1 , ..., An ) = A0 + Vect(A0 A1 , ..., A0 An ),
et tout point M ∈ E s’écrit comme barycentre des points A0 , A1 , ..., An
affectés de coefficients convenables.
Définition 2
Soit R = (A0 , A1 , ..., An ) un repère affine de E , et M ∈ E . On appelle
système de coordonnées barycentriques de M dans R toutes
(n + 1)−liste de réels (α0 , α1 , ..., αn ) telle que M soit le barycentre de
(A0 , α0 ), (A1 , α1 ), ..., (An , αn ).
n
X
Le système est dit normalisé si
αi = 1
A.Lamrani
i=0

Géométrie : 19 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.
2- Coordonnées barycentriques.
Définition 1
Soit E un espace affine de dimension n. Un repère affine (ou une base
affine) de E est un (n + 1) − uplet (A0 , A1 , ..., An ) tel que le système
−−−→
−−−→
(A0 A1 , ..., A0 An ) est une base de E~ .
Par définition,
−−−→
−−−→
E = Aff (A0 , A1 , ..., An ) = A0 + Vect(A0 A1 , ..., A0 An ),
et tout point M ∈ E s’écrit comme barycentre des points A0 , A1 , ..., An
affectés de coefficients convenables.
Définition 2
Soit R = (A0 , A1 , ..., An ) un repère affine de E , et M ∈ E . On appelle
système de coordonnées barycentriques de M dans R toutes
(n + 1)−liste de réels (α0 , α1 , ..., αn ) telle que M soit le barycentre de
(A0 , α0 ), (A1 , α1 ), ..., (An , αn ).
n
X
Le système est dit normalisé si
αi = 1
A.Lamrani
i=0

Géométrie : 19 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.

Exemples
1

- Dans le repère affine (A, B) d’une droite affine (AB) le milieu du
segment [AB] a pour système de coordonnés barycentriques (1, 1).

2

- Le centre de gravité G d’un triangle non aplati ABC est de
coordonnées barycentriques (1, 1, 1) dans le repère affine (A, B, C ).

3

- Si ABCD est un parallélogramme, un système de coordonnées
barycentriques de D dans le repère affine (A, B, C ) est -

Exercice On considère dans l’espace affine un cube ABCDEFGH. Donner les
coordonnées barycentriques des sommet du cube dans le repère affine
(A, B, C , F ).

A.Lamrani

Géométrie : 20 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.

Exemples
1

- Dans le repère affine (A, B) d’une droite affine (AB) le milieu du
segment [AB] a pour système de coordonnés barycentriques (1, 1).

2

- Le centre de gravité G d’un triangle non aplati ABC est de
coordonnées barycentriques (1, 1, 1) dans le repère affine (A, B, C ).

3

- Si ABCD est un parallélogramme, un système de coordonnées
barycentriques de D dans le repère affine (A, B, C ) est -

Exercice On considère dans l’espace affine un cube ABCDEFGH. Donner les
coordonnées barycentriques des sommet du cube dans le repère affine
(A, B, C , F ).

A.Lamrani

Géométrie : 20 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.

Théorème Deux systèmes de coordonnées barycentriques d’un même point sont
proportionnels. Le système de coordonnées barycentriques normalisé d’un
point est unique.
Expliquer ce qui suit:
Si I est le milieu de [AB] Alors I est le barycentre de (I , 0), (A, 1), (B, 1)
mais aussi de (I , 1), (A, 0), (B, 0). et pourtant les listes (0, 1, 1) et
(1, 0, 0) ne sont pas proportionnelles. -

A.Lamrani

Géométrie : 21 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

IV- Repérage.

Théorème Deux systèmes de coordonnées barycentriques d’un même point sont
proportionnels. Le système de coordonnées barycentriques normalisé d’un
point est unique.
Expliquer ce qui suit:
Si I est le milieu de [AB] Alors I est le barycentre de (I , 0), (A, 1), (B, 1)
mais aussi de (I , 1), (A, 0), (B, 0). et pourtant les listes (0, 1, 1) et
(1, 0, 0) ne sont pas proportionnelles. -

A.Lamrani

Géométrie : 21 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

Nous passons maintenant à quelques exercices niveau première année du
baccalauréat qui introduisent les coordonnées barycentriques de quelques
points remarquables d’un triangle (les exercices de 80 à 84 pages 184
et 185 du manuel Almoufid Fi Arriadiat Algèbre et géométrie).

A.Lamrani

Géométrie : 22 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

Exo 80 page ...
Dans cet exercice on note la surface d’un triangle (T ) par σ(T ). Soit
ABC un triangle.
1
Soit M un point intérieur au triangle ABC , la droite (AM) coupe le
segment [BC ] en A0 .
σ(MAC )
σ(MAB)
=
.
CA0
BA0
b) Montrer que M est le barycentre du système pondéré
{(A, σ(MBC )), (B, σ(MCA)), (C , σ(MAB))}.
a) Montrer que

2

Application :
Soit N un point intérieur au triangle ABC , Montrer que : N est le
centre de gravité du triangle ABC si et seulement si les triangles
NBC , NCA et NAB ont la même surface.

A.Lamrani

Géométrie : 23 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

exo .....
Soit ABC un triangle, et soient a, b et c des nombres réels strictement
positifs et H le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C , c).
Soient α, β, γ et s les surfaces respectives des triangles HBC , UCA, HAB
et ABC .
Montrer que α, β, γ et s sont proportionnels ( dans cet ordre ) avec
a, b, c et a + b + c.

A.Lamrani

Géométrie : 24 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

A.Lamrani

Géométrie : 25 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

A.Lamrani

Géométrie : 26 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

A.Lamrani

Géométrie : 27 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

Quelques exercices pour et par les groupes.

A.Lamrani

Géométrie : 28 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

V- Convexité
Définition
On dit qu’une partie F d’un espace affine E est convexe s’elle contient
les segments [AB] tels que (A, B) ∈ F 2 .

Exemples
Un sous-espace affine, une demi-droite [AB), un segment [AB] sont
des parties convexes de E .
Les convexes de R sont les intervalles. (à démontrer)

A.Lamrani

Géométrie : 29 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

V- Convexité
L’intersection de parties convexes est encore convexe.
Définition
Soit S une partie non vide d’un espace affine E , On appelle enveloppe
convexe de S et on note conv(S), l’intersection de toutes les parties
convexes contenant S. C’est pour l’inclusion le plus petit ensemble
convexe contenant S.
Exemples
Si A et B sont deux points distincts dans E alors :
Conv({A, B}) = [AB].
Si A, B et C sont trois points non alignés dans E alors :
Conv({A, B, C }) est l’intérieur du triangle ABC .
Théorème
Soit F une partie non vide d’un espace affine E , F est convexe si et
seulement si tout barycentre de points de F affectés à des coefficients
dans R+ est dans F .
A.Lamrani

Géométrie : 30 / 31

Espaces affines Sous espaces affines Barycentre

Repérage Convexité

V- Convexité
L’intersection de parties convexes est encore convexe.
Définition
Soit S une partie non vide d’un espace affine E , On appelle enveloppe
convexe de S et on note conv(S), l’intersection de toutes les parties
convexes contenant S. C’est pour l’inclusion le plus petit ensemble
convexe contenant S.
Exemples
Si A et B sont deux points distincts dans E alors :
Conv({A, B}) = [AB].
Si A, B et C sont trois points non alignés dans E alors :
Conv({A, B, C }) est l’intérieur du triangle ABC .
Théorème
Soit F une partie non vide d’un espace affine E , F est convexe si et
seulement si tout barycentre de points de F affectés à des coefficients
dans R+ est dans F .
A.Lamrani

Géométrie : 30 / 31


Aperçu du document chapitre1.pdf - page 1/53
 
chapitre1.pdf - page 3/53
chapitre1.pdf - page 4/53
chapitre1.pdf - page 5/53
chapitre1.pdf - page 6/53
 




Télécharger le fichier (PDF)


chapitre1.pdf (PDF, 36.2 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


chapitre1
geometrie 2018
geometrie 2009
04 espaces vectoriels et affines cours complet
validationgeometriecrmeffes
chapitre 2 imprimable

Sur le même sujet..