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g : Maths n poche.
‰ : +212639052421

Prof: Said AMJAOUCH

Lycée AL Irfan Qualifiant

2Bac Biof
Étude des fonctions

EXERCICE CORRIGÉ
.
On considère les deux fonctions f et h définies sur R+ par :

ch


1
f (x) = (4x − 1) x − 4x2 +
2

1
h(x) = 3x − 4x x −
4
(Cf ) la courbe représentative dans un reprère orthonormé (O;~i; ~j).

ou

1) a) Calculer h0 (x) puis dresser le tableau de variations de h.

ja

b) Déduire que (∀x ∈ R+) , h(x) ≤ 0.

A
m

2) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter le résultat géométriquement.
3) Calculer lim f (x), puis déduire la branche infinie de (Cf ) au voisinage de +∞.

f.

x→+∞

ro

4) Montrer que (∀x ∈ R+∗ ) ,
de f .

h0 (x) =

2h(x)
et déduire le tableau de variations

x

P

5) Montrer que l’équation

f (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[ et
vérifier que α ∈

1 3
; .
2 4

6) Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle à déterminé.
7) Construire (Cf ) la courbe de f et (Cf−1 ) la courbe de f −1 dans le même repère

(O;~i; ~j).

On admet que (Cf ) admet un unique point d’inflexion

30 décembre 2020

1/ 6

1 1
;
4 4


.

2020/2021

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Prof: Said AMJAOUCH

Lycée AL Irfan Qualifiant

2Bac Biof
Étude des fonctions

Correction Proppsée
1) a) Calculer h0 (x) puis donner le tableau de variations de h.

0

1
h0 (x) = 3x − 4x x −
4

1
= 3 − (4 x + 4x. √ )
2 x



= 3−4 x−2 x=3−6 x
Tableau de variations de h :

⇐⇒



A
m

ja


h0 (x) = 0 ⇐⇒ 3 − 6 x = 0

ou

ch



x=

2

1

f.

⇐⇒ x =

1

1

+∞

4

P

Signe

0

ro

x

4

+



0

0

h (x)
h

Variations

h




1
4

=0

1
−∞

4


√ 1
1
lim h(x) = lim 3x − 4x x − = lim x 3 − 4 x − = −∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
4
4
b) Déduire que :

(∀x ∈ R+) : h(x) ≤ 0

0 est la valeur maximale absolue de h.
Par suite :

∀x ∈ [0; +∞[: h(x) ≤ 0

2) Étudier la dérivabilité de f à droite en : x0 = 0 puis donner une interprétation du
résultat.
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lim+

f (x) − f (0)

x→0

x−0


(4x − 1) x − 4x2 +

= lim+

1
2

2Bac Biof
Étude des fonctions



x

x→0

1
2

= lim+
x→0

4x − 1
− 4x =

x

−∞



1
lim − √ = −∞
x→0+
x

f (x) − f (0)

Puisque lim

= −∞ alors f n’est pas dérivable à droite en 0.

ch

x−0

x→0+

ou

(Cf ) admet une demi tangente verticale dirigée vers le bas au point (0; f (0))

ja

3) Calculer lim f (x) , déduire la branche infinie de (Cf ) au voisinage de +∞ .
x→+∞

A
m


1
lim (4x − 1) x − 4x2 +
x→+∞
2
!

(4x − 1) x
1
= lim x2

4
+
x→+∞
x2
2



1 √
4
1
− 2
= lim x2
x−4 +
x→+∞
x
x
2


4
1
1
= lim x2 √ − √ − 4 +
x→+∞
x
x x
2

lim f (x) =

P

ro

f.

x→+∞

= −∞
Pour déduire la branche infinie au voisinage de +∞ on calcule lim

x→+∞

lim

x→+∞

f (x)
x

x2
=



lim

x→+∞


=

lim x

x→+∞

√4
x



1

x x


−4 +

f (x)
x

.

1
2

x

4
1
1
√ − √ −4 +
x
x x
2x

= −∞.
Puisque lim

x→+∞

f (x)
x

= −∞ alors (Cf ) admet une branche parabolique de direc-

tion l’axe des ordonnées +∞ dirigée vers le bas ( car : lim f (x) = −∞) .
x→+∞

4) Montrer que :

2h(x)
(∀x ∈ R∗ +) ; f 0 (x) = √
Donner le tableau de variations de
x

f.
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Étude des fonctions

P

ro

f.

A
m

ja

ou


1
= 4. x + (4x − 1). √ − 8x
2 x
1

2
= 4 x + (4x − 1). √ − 8x
√x
1
4x + 2x − 2 − 8x x
=

√x 1
6x − 8x x − 2
=

x√
2(3x − 4x x − 41 )
=

x
2h(x)
= √
x
Tableau de variations de f :

ch

(∀x ∈ R∗ +) :

0

1
f 0 (x) = (4x − 1) x − 4x2 +
2


= (4x − 1)0 . x + (4x − 1).( x)0 − 8x

On a : (∀x ∈]0; +∞[) ; f 0 (x) =
pour tout x de ]0; +∞[

on a



2h(x)

x

x > 0 donc le signe de f 0 (x) est celui de h(x) (et

d’après 1-b ∀x ∈]0; +∞[: h(x) < 0 ) .

x

+∞

0

f 0 (x)


1

f

2

−∞

5) Montrer que l’équation : f (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[ puis



1 3
vérifier que α ∈
;
2 4





1 3
? f est continue sur R+ et notamment sur
; .
2 4

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Étude des fonctions




1 3
? f strictement monotone (strictement croissante)
;
.
2 4
1
? f ([0; +∞[) =] − ∞; ] Donc 0 ∈ f ([0; +∞[)
2
V rif ication :
r
1
1
1
f( ) =
− > 0
2
2
2

3

3−

7

< 0 D’où l’équation f (x) = 0


1 3
.
admet une unique solution α dans l’intervalle et α ∈
;
2 4
4

ou

,

ch

f( ) =
4



A
m

ja

6) Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle à déterminé.

f.

f est continue et strictement monotone sur [0; +∞[ donc elle admet une fonc-

−∞;

1
2


.

x→+∞

P



ro

tion réciproque f −1 définie sur l’intervalle f ([0; +∞[) =] lim f (x); f (0)] =

7) Construction de (Cf ) et (Cf −1 ) .


On admet que (Cf ) admet un unique point d’inflexion

1 1
;
4 4


.

(Cf −1 ) et (Cf ) sont symétrique par rapport à la droite d’équation y = x .
(Cf −1 ) en rouge.

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4

D

2

A0

−8

−6

−4

−2

A
m

ja

−10

ou

ch

B0
B

2

0

4

6

8

A

−2

f.

−4

ro

C

P

−6

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