Série des suites numériques .pdf
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g: Maths n poche.
: 0639052421
Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH
Exercice 1. .
c- Calculer Vn en fonction de n puis déduire un
On considère la suite numérique(Un )n définie
u0
= 1
par :
2
un+1 =
un + 1 ∀n ∈ N
5
1) Calculer u1 , u2 , u3 . Est ce que un géomé-
en fonction de n.
4)a- Calculer la somme Sn = V0 + V1 . . . + Vn en
fonction de n .
b- Calculer la limite de un puis celle de Sn .
trique ;arithmétique ?
5
ch
∀n ∈ N , 1 ≤ un ≤
2) Montrer que :
Exercice 3. .
3
4) On pose :
vn = un −
On considère la suite numérique définie par :
u0
= 4
1
3
un+1 =
Un +
∀n ∈ N
2
2
ou
3) Étudier la monotonie de (un )n
5
3
of
.A
m
ja
a- Montrer que la suite (vn )n est géométrique
en déterminant sa raison et son premier
terme.
2Bac PC & SVT
Les suites numériques
Pour tout n de N on pose : Vn = Un − 3
1) Montrer que (Vn )n est une suite géométrique
et déterminer sa raison.
b- Calculer vn et puis un en fonction de n .
2)a- Déduire que : ∀n ∈ N :
5) Pour tout n de N on pose :
Sn = v0 + v1 . . . + vn
Un = 3 +
1
2n
b- Calculer lim Un .
S0n = u0 + u1 . . . + un
On pose : Sn = U0 + U1 + . . . + Un pour tout
a- Calculer Sn en fonction de n .
Pr
n de N.
b- Déduire S0 en fonction de n.
a- Montrer :
6) Calculer :lim Un , lim Vn , lim Sn et lim Sn0
Sn = 3n + 5 −
1
2n
b- Calculer la limite lim Sn .
Exercice 2. .
On pose
u0
=
un+1 =
2
3
3un + 2
2un + 3
Exercice 4. .
∀n ∈ N
Calculer les limites suivantes :
√
n
1) lim
n+1
(−1)n
2) lim
n+1
√
√
3
3) lim n + 1 − 3 n
1) Calculer u1 , u2 .
2) Montrer que :
3) On pose Vn =
(∀n ∈ N) 0 ≤ un ≤ 1
un − 1
un + 1
.
a- Étudier la monotonie de (Vn )n .
4) lim
b- Montrer que la suite (Vn )n est une suite géométrique.
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1/ 6
3n + 5n
3n + 2.5n
n
5
5) lim −3
3
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6) lim
√
3
√
n−2 n
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Les suites numériques
3) Exprimer Vn en fonction de n .
7) lim 3n − 5n
4) Déduire Un en fonction de n puis calculer
limUn .
Exercice 5. .
Exercice 8. .
Un = 2n + n(−1)n pour tout n de N.
On considère la suite (Un )n≥0 définie par :
u0
= 2
3Un − 1
un+1 =
∀n ∈ N
2Un
Un ≥ n
ou
1) Montrer que ∀n ∈ N :
ch
On considère la suite définie par :
2) Déduire la limite de (Un )n .
∀n
Exercice 6. .
of
.A
m
ja
1) Montrer par récurrence que :
Un − 1 > 0
N
Soit (Un )n une suite géométrique de raison q tel
2) On pose :
que : 125U7 = 8U4 .
4
25
.
b- Déterminer Un en fonction n puis calculer
Pr
lim Un .
Vn =
Un − 1
2Un − 1
∀n ∈ N
a- Montrer que (Vn )n est une suite géomé1
trique de raison puis déduire que (Vn ) =
2
1 1 n
( ) pour tout n de N .
3 2
Vn − 1
b- Montrer que Un =
puis déduire que
2Vn − 1
lim Un = 1 .
1) Déterminer la valeur de q .
2) a- Déterminer U0 sachant que U3 =
∈
c- Soit la somme : Sn = U0 + U1 . . . + Un−1
3) Calculer lim Wn avec (Wn ) est la suite définie
avec n de N∗ .
n
par : Wn = ln(Un )
2
Montrer que Sn =
1−
puis cal6
5
Exercice 9. .
culer lim Sn .
25
On considère la fonction numérique f définie sur
Exercice 7. .
Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par :
u0
= 0
3
un+1 = p
6 − Un 2
1) Montrer que ∀n ∈ N
2) On pose :Vn =
R par :
∀n ∈ N
2
(Un ) 6= 3
x
∀x ∈ R
2 + x2 √
On pose I =]0; 2[ et (Un )n la suite numérique
f(x) =
définie par
:
U0
U2n
= 1
Un+1 = f(Un )
∀n ∈ N
3−
Montrer que (Vn )n est une suite arithmétique. 1) Résoudre dans R l’équation f(x) = x.
.
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U2n
2)a- Calculer f 0 (x) pour tout x de R .
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Les suites numériques
b- Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N
I
1) Montrer que (Vn )n est une suite géométrique de
1
raison . et calculer Vn en fonction de n puis Un
; Un ∈
3
en fonction de n .
ou
3) a- Vérifier que : f(I) ⊂ I
ch
b- Montrer que f est strictement croissante
√
Exercice 11. .
sur [0; 2] et strictement décroissante sur
√
Soit (Un )n la
suite numérique définie par :
[ 2, +∞[.
u0
= 3
Un − 6n − 5
c- Dresser le tableau de variations de f sur R
un+1 =
n∈N
3
(Remarquez que f est impaire).
On pose
Vn = Un + 3n − 2 n ∈ N
of
.A
m
ja
c- En utilisant la monotonie de f prouver que 2) Calculer la somme Sn = U0 + U1 + . . . + Un en
fonction de n .
(Un )n est strictement décroissante et déduire
qu’elle est convergente.
d- Déterminer la limite de (Un )n .
3) Calculer lim Vn et lim Un et lim Sn .
Exercice 12. .
On considère
la suite numérique définie par :
3
U0
=
2
1
2
a- Montrer que g admet une fonction réciproque
Un+1 =
(Un +
) n∈N
2
Un
−1
g définie sur un intervalle J que l’on déter1) Montrer que :
∀n ∈ N∗ Un > 0
√
minera.
∗
2) Montrer que
:
∀n
∈
N
U
−
2 =
n+1
√ 2
1 (Un − 2)
b- Déterminer g−1 (x) pour tout x de J .
.
2
Un
√
Exercice 10. .
3) Déduire que : ∀n ∈ N∗ Un > 2
Pr
4) Soit g la restriction de f sur l’intervalle I .
∗
Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par : 4) Montrer que : ∀n ∈ N ,
√
√
u0
1
1
1
= 2
Un+1 − 2 = .(Un − 2) +
−√
5Un
2
Un
2
un+1 =
∀n ∈ N
√
1
2Un + 3
Déduire que :
∀n ∈ N∗ Un+1 − 2 < n
2
1) Montrer que : ∀n ∈ N Un > 1
5) Déterminer lim Un .
Un − 1
2) On pose :
Vn =
∀n ∈ N
Un
Exercice 13. .
a- Montrer que (Vn )n est géométrique de raiSoit f la fonction numérique définie sur ]1; +∞[
3
son puis écrire Vn en fonction de n .
par :
5
−1
x
b- Montrer que Un = 1 3 n
pour tout n
f(x) = √
x−1
( 2 ( 5 ) − 1)
de N puis calculer la limite de (Un ) .
(Cf ) sa courbe dans un repère orthonormé.
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1) a- Étudier la dérivabilité de f à droite en 0.
3)a- Montrer que (Wn )nN est une suite arithmétique de raison 5 .
b- Montrer que :
√
x−2
√
2( x − 1)2
b- Écrire Wn en fonction de n .
4)a- Montrer que :
Dresser le tableau de variations de f .
(∀n ∈ N∗ ) ; 0 < Un <
ch
∀x ∈]1; +∞[ f 0 (x) =
c- Étudier la position relative de (Cf ) et la droite
2
5
Un
b- Déduire que :
ou
d’équation (∆) : y = x .
∗
(∀n ∈ N ) ; 0 < Un+1 <
2) Soit (Un )n∈N la suite numérique définie comme
n
2
5
Calculer lim Un .
of
.A
m
ja
suit
:
u0
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Les suites numériques
= 5
un+1 = f(Un )
Exercice 15. .
n∈N
a- Montrer que :
Soit
la suite (Un )n définie par :
u0
= 1
∀n ∈ N : Un ≥ 4
3un+1 = 2Un + n + 3 ∀n ∈ N
Et soit (V)n la suite numérique telle que : ∀n ∈
b- Montrer que la suite (Un )n est décroissante.
c- Déduire que la suite (Un ) est convergente et N ; Vn = Un − n
1)a- Montrer que (Vn )n est une suite géométrique
Pr
déterminer sa limite.
et déterminer son terme général .
n
2
b- Déduire que ∀n ∈ N ; Un = n +
3
Calculer lim Un .
Exercice 14. .
on considère la suite numérique (Un )n∈N définie
par
:
U0
= 0
U1
= 1
Un+2 = 2 Un+1 − 1 Un
5
25
Pour tout n de N on pose :
1
Vn = Un+1 − Un
5
.
et
Wn =
a- Calculer les deux sommes suivantes :
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 99
99
1 2
2
2
2
0
S =1+
+
+ ... +
.
3
3
3
n∈N
b- Déduire que :
U1 + U2 + . . . U99 = 4953 −
5n .Un
399
Exercice 16. .
1) Calculer U0 et W0 .
2) Montrer que (Vn )nN est une suite géométrique
1
de raison puis écrire Un en fonction de n .
5
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2100
4/ 6
Soit
(un )n la suite numérique définie par :
u
= 0
0
un+1 =
−3
√
un + 2 3
∀n ∈ N
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a- Montrer que f(I) ⊂ I
1) Calculer u1 , u2 , u3
∀n ∈ N∗ −
2) Montrer que :
√
b- Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N; Un ∈
3 < un < 0
I
3) Étudier la monotonie de (un )n
1
c- Étudier la monotonie de (Un )n .
ch
√
un + 3
Montrer que (vn )n est une suite arithmétique
4) On pose : vn =
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Les suites numériques
d- Déduire que la suite (Un )n est convergente
et déterminer sa limite.
ou
et déterminer son terme général .
Exercice 19. .
Exercice 17. .
2) On pose :
of
.A
m
ja
On considère la suite numérique Un définie
Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par :
u0
= 2
comme
suit :
1
5Un
U0 = −
un+1 =
∀n ∈ N
3
2Un + 3
3Un
Un+1 =
1) Montrer que : ∀n ∈ N Un > 1
1 − 2Un
Vn =
Un − 1
Un
∀n ∈ N
Pr
a- Montrer que (Vn )n est géométrique de rai3
son puis écrire Vn en fonction de n .
5
−1
b- Montrer que Un = 1 3 n
pour tout n
( 2 ( 5 ) − 1)
de N puis calculer la limite de (Un ) .
1) Calculer U1 et U2 .
2) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N , Un <
0
3) On considère la suite Vn définie par : Vn = 1 +
1
Un
a- Montrer que : (Vn )n est géométrique.
Exercice 18. .
On considère la fonction numérique f définie sur
c- Calculer, en fonction de n , la somme :
1
1
1
Sn =
+
+ .......... +
U0
U1
Un
R∗ comme suit :
∀x ∈ R∗
f(x) =
1
2
x+
b- Calculer Vn puis Un en fonction de n.
1
x
4) Calculer : lim Un et lim Sn .
1) Montrer que f est strictement croissante sur
√
[ 2; +∞[ .
Exercice 20.
.
U0 = 2
2) Résoudre dans ]0; +∞[ l’équation f(x) = x .
On pose :
7Un − 9
Un+1 =
4Un − 5
3)
Soit (Un )n la suite numérique définie par :
et
u0
= 2
1
Vn =
2Un − 3
un+1 = f(Un ) ∀n ∈ N
3
√
1) Montrer que :
∀n ∈ N ; < Un
On pose :
I =] 2; 2]
2
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Les suites numériques
2) Étudier la monotonie de (U)n et (Vn )n
3) Montrer que :
∀n ∈ N ; Vn = 2n + 1
4) Déduire l’expression de Un en fonction de n .
S = 9 + 11 + 13 + . . . + 99 .
ch
5) Calculer :
On pose ;pour tout n de N :
Vn = 5
1
−
2n
1
3n
of
.A
m
ja
et
ou
Exercice 21. .
Sn = V0 + V1 + . . . + Vn
Calculer Sn en fonction de n.
Exercice 22. .
Soit
la
U0 =
Un+1
et
3
suite
2
−4Un − 2
=
Un − 7
1) Montrer que :
(Un )n
∀n ∈ N
Pr
Vn =
Un − 1
Un − 2
∀n ∈ N ; 1 < Un < 2
2) Étudier la monotonie de (Un )n .
3) Montrer que
∀n ∈ N ; Vn = −
n
5
6
4) Calculer Un en fonction de n ,puis calculer
lim Un .
5) Pour tout n de N on pose :
Sn = V0 + V1 + . . . + Vn
1
1
1
Sn0 =
+
+ ... +
U0 − 2
U1 − 2
Un − 2
0
a- Calculer Sn puis Sn en fonction de n.
b- Calculer lim Sn0 et lim Sn .
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