Série des suites numériques .pdf

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g: Maths n poche.
‰ : 0639052421

Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH
Exercice 1. .

c- Calculer Vn en fonction de n puis déduire un

On considère la suite numérique(Un )n définie

 u0
= 1
par :
2

 un+1 =
un + 1 ∀n ∈ N
5
1) Calculer u1 , u2 , u3 . Est ce que un géomé-

en fonction de n.
4)a- Calculer la somme Sn = V0 + V1 . . . + Vn en
fonction de n .
b- Calculer la limite de un puis celle de Sn .

trique ;arithmétique ?
5

ch

∀n ∈ N , 1 ≤ un ≤

2) Montrer que :

Exercice 3. .

3

4) On pose :

vn = un −

 On considère la suite numérique définie par :

 u0
= 4
1
3

 un+1 =
Un +
∀n ∈ N
2
2

ou

3) Étudier la monotonie de (un )n
5
3

of
.A
m
ja

a- Montrer que la suite (vn )n est géométrique
en déterminant sa raison et son premier
terme.

2Bac PC & SVT
Les suites numériques

Pour tout n de N on pose : Vn = Un − 3
1) Montrer que (Vn )n est une suite géométrique
et déterminer sa raison.

b- Calculer vn et puis un en fonction de n .

2)a- Déduire que : ∀n ∈ N :

5) Pour tout n de N on pose :
Sn = v0 + v1 . . . + vn

Un = 3 +

1
2n

b- Calculer lim Un .

S0n = u0 + u1 . . . + un

On pose : Sn = U0 + U1 + . . . + Un pour tout

a- Calculer Sn en fonction de n .

Pr

n de N.

b- Déduire S0 en fonction de n.
a- Montrer :

6) Calculer :lim Un , lim Vn , lim Sn et lim Sn0

Sn = 3n + 5 −

1
2n

b- Calculer la limite lim Sn .
Exercice 2. .
On pose



 u0

=


 un+1 =

2
3
3un + 2
2un + 3

Exercice 4. .
∀n ∈ N

Calculer les limites suivantes :
√
n
1) lim
n+1
(−1)n
2) lim
n+1
√
√
3
3) lim n + 1 − 3 n

1) Calculer u1 , u2 .
2) Montrer que :
3) On pose Vn =

(∀n ∈ N) 0 ≤ un ≤ 1
un − 1
un + 1

.

a- Étudier la monotonie de (Vn )n .
4) lim
b- Montrer que la suite (Vn )n est une suite géométrique.
10 janvier 2021

1/ 6

3n + 5n

3n + 2.5n
 n
5
5) lim −3
3
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Prof: Said AMJAOUCH

6) lim

√
3

√
n−2 n

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Les suites numériques

3) Exprimer Vn en fonction de n .

7) lim 3n − 5n

4) Déduire Un en fonction de n puis calculer
limUn .

Exercice 5. .

Exercice 8. .

Un = 2n + n(−1)n pour tout n de N.

 On considère la suite (Un )n≥0 définie par :

 u0
= 2
3Un − 1

 un+1 =
∀n ∈ N
2Un

Un ≥ n

ou

1) Montrer que ∀n ∈ N :

ch

On considère la suite définie par :

2) Déduire la limite de (Un )n .

∀n

Exercice 6. .

of
.A
m
ja

1) Montrer par récurrence que :
Un − 1 > 0

N

Soit (Un )n une suite géométrique de raison q tel

2) On pose :

que : 125U7 = 8U4 .

4

25

.

b- Déterminer Un en fonction n puis calculer

Pr

lim Un .

Vn =

Un − 1
2Un − 1

∀n ∈ N

a- Montrer que (Vn )n est une suite géomé1
trique de raison puis déduire que (Vn ) =
2
1 1 n
( ) pour tout n de N .
3 2
Vn − 1
b- Montrer que Un =
puis déduire que
2Vn − 1
lim Un = 1 .

1) Déterminer la valeur de q .

2) a- Déterminer U0 sachant que U3 =

∈

c- Soit la somme : Sn = U0 + U1 . . . + Un−1

3) Calculer lim Wn avec (Wn ) est la suite définie

avec n de N∗ .


 n 
par : Wn = ln(Un )
2
Montrer que Sn =
1−
puis cal6
5
Exercice 9. .
culer lim Sn .
25

On considère la fonction numérique f définie sur

Exercice 7. .
Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par :



 u0
= 0
3


 un+1 = p
6 − Un 2
1) Montrer que ∀n ∈ N
2) On pose :Vn =

R par :

∀n ∈ N
2

(Un ) 6= 3

x

∀x ∈ R
2 + x2 √
On pose I =]0; 2[ et (Un )n la suite numérique

f(x) =

définie par
 :

 U0

U2n

= 1


 Un+1 = f(Un )

∀n ∈ N
3−
Montrer que (Vn )n est une suite arithmétique. 1) Résoudre dans R l’équation f(x) = x.
.

10 janvier 2021

U2n

2)a- Calculer f 0 (x) pour tout x de R .
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Les suites numériques

b- Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N
I

1) Montrer que (Vn )n est une suite géométrique de
1
raison . et calculer Vn en fonction de n puis Un
; Un ∈
3
en fonction de n .

ou

3) a- Vérifier que : f(I) ⊂ I

ch

b- Montrer que f est strictement croissante
√
Exercice 11. .
sur [0; 2] et strictement décroissante sur
√
Soit (Un )n la
suite numérique définie par :
[ 2, +∞[.

 u0
= 3
Un − 6n − 5
c- Dresser le tableau de variations de f sur R

 un+1 =
n∈N
3
(Remarquez que f est impaire).
On pose
Vn = Un + 3n − 2 n ∈ N

of
.A
m
ja

c- En utilisant la monotonie de f prouver que 2) Calculer la somme Sn = U0 + U1 + . . . + Un en
fonction de n .

(Un )n est strictement décroissante et déduire
qu’elle est convergente.

d- Déterminer la limite de (Un )n .

3) Calculer lim Vn et lim Un et lim Sn .
Exercice 12. .

On considère
la suite numérique définie par :
3

 U0
=
2
1
2
a- Montrer que g admet une fonction réciproque

 Un+1 =
(Un +
) n∈N
2
Un
−1
g définie sur un intervalle J que l’on déter1) Montrer que :
∀n ∈ N∗ Un > 0
√
minera.
∗
2) Montrer que
:
∀n
∈
N
U
−
2 =
n+1
√ 2
1 (Un − 2)
b- Déterminer g−1 (x) pour tout x de J .
.
2
Un
√
Exercice 10. .
3) Déduire que : ∀n ∈ N∗ Un > 2

Pr

4) Soit g la restriction de f sur l’intervalle I .

∗
 Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par : 4) Montrer que : ∀n ∈ N ,

√
√
 u0
1
1
1
= 2
Un+1 − 2 = .(Un − 2) +
−√
5Un
2
Un
2

 un+1 =
∀n ∈ N
√
1
2Un + 3
Déduire que :
∀n ∈ N∗ Un+1 − 2 < n
2
1) Montrer que : ∀n ∈ N Un > 1
5) Déterminer lim Un .
Un − 1
2) On pose :
Vn =
∀n ∈ N
Un
Exercice 13. .
a- Montrer que (Vn )n est géométrique de raiSoit f la fonction numérique définie sur ]1; +∞[
3
son puis écrire Vn en fonction de n .
par :
5
−1
x
b- Montrer que Un = 1 3 n
pour tout n
f(x) = √
x−1
( 2 ( 5 ) − 1)
de N puis calculer la limite de (Un ) .
(Cf ) sa courbe dans un repère orthonormé.

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1) a- Étudier la dérivabilité de f à droite en 0.

3)a- Montrer que (Wn )nN est une suite arithmétique de raison 5 .

b- Montrer que :

√

x−2
√
2( x − 1)2

b- Écrire Wn en fonction de n .
4)a- Montrer que :

Dresser le tableau de variations de f .

(∀n ∈ N∗ ) ; 0 < Un <

ch

∀x ∈]1; +∞[ f 0 (x) =

c- Étudier la position relative de (Cf ) et la droite

2
5

Un

b- Déduire que :

ou

d’équation (∆) : y = x .

∗

(∀n ∈ N ) ; 0 < Un+1 <

2) Soit (Un )n∈N la suite numérique définie comme

 n
2
5

Calculer lim Un .

of
.A
m
ja

suit
 :

 u0

2Bac PC & SVT
Les suites numériques

= 5


 un+1 = f(Un )

Exercice 15. .

n∈N

a- Montrer que :

Soit
 la suite (Un )n définie par :

 u0
= 1

∀n ∈ N : Un ≥ 4


 3un+1 = 2Un + n + 3 ∀n ∈ N
Et soit (V)n la suite numérique telle que : ∀n ∈

b- Montrer que la suite (Un )n est décroissante.

c- Déduire que la suite (Un ) est convergente et N ; Vn = Un − n
1)a- Montrer que (Vn )n est une suite géométrique

Pr

déterminer sa limite.

et déterminer son terme général .
 n
2
b- Déduire que ∀n ∈ N ; Un = n +
3
Calculer lim Un .

Exercice 14. .

on considère la suite numérique (Un )n∈N définie
par
:


U0
= 0



U1
= 1




 Un+2 = 2 Un+1 − 1 Un
5
25
Pour tout n de N on pose :
1
Vn = Un+1 − Un
5
.
et
Wn =

a- Calculer les deux sommes suivantes :
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 99
 99
 1  2
2
2
2
0
S =1+
+
+ ... +
.
3
3
3

n∈N

b- Déduire que :
U1 + U2 + . . . U99 = 4953 −

5n .Un

399

Exercice 16. .

1) Calculer U0 et W0 .
2) Montrer que (Vn )nN est une suite géométrique
1
de raison puis écrire Un en fonction de n .
5
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2100

4/ 6

Soit
 (un )n la suite numérique définie par :

 u
= 0
0


 un+1 =

−3

√
un + 2 3

∀n ∈ N

2020/2021

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Prof: Said AMJAOUCH

a- Montrer que f(I) ⊂ I

1) Calculer u1 , u2 , u3
∀n ∈ N∗ −

2) Montrer que :

√

b- Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N; Un ∈

3 < un < 0

I

3) Étudier la monotonie de (un )n
1

c- Étudier la monotonie de (Un )n .

ch

√
un + 3
Montrer que (vn )n est une suite arithmétique

4) On pose : vn =

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Les suites numériques

d- Déduire que la suite (Un )n est convergente
et déterminer sa limite.

ou

et déterminer son terme général .

Exercice 19. .

Exercice 17. .

2) On pose :

of
.A
m
ja

On considère la suite numérique Un définie
 Soit (Un )n≥0 la suite numérique définie par :

 u0
= 2
comme
 suit :
1

5Un
 U0 = −

 un+1 =
∀n ∈ N
3
2Un + 3
3Un

 Un+1 =
1) Montrer que : ∀n ∈ N Un > 1
1 − 2Un
Vn =

Un − 1
Un

∀n ∈ N

Pr

a- Montrer que (Vn )n est géométrique de rai3
son puis écrire Vn en fonction de n .
5
−1
b- Montrer que Un = 1 3 n
pour tout n
( 2 ( 5 ) − 1)
de N puis calculer la limite de (Un ) .

1) Calculer U1 et U2 .
2) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N , Un <
0
3) On considère la suite Vn définie par : Vn = 1 +
1
Un
a- Montrer que : (Vn )n est géométrique.

Exercice 18. .
On considère la fonction numérique f définie sur

c- Calculer, en fonction de n , la somme :
1
1
1
Sn =
+
+ .......... +
U0
U1
Un

R∗ comme suit :
∀x ∈ R∗

f(x) =

1
2

x+

b- Calculer Vn puis Un en fonction de n.

1
x

4) Calculer : lim Un et lim Sn .
1) Montrer que f est strictement croissante sur
√
[ 2; +∞[ .
Exercice 20. 
.

 U0 = 2
2) Résoudre dans ]0; +∞[ l’équation f(x) = x .
On pose :
7Un − 9

 Un+1 =
4Un − 5
3) 
Soit (Un )n la suite numérique définie par :
et

 u0
= 2
1
Vn =

2Un − 3
 un+1 = f(Un ) ∀n ∈ N
3
√
1) Montrer que :
∀n ∈ N ; < Un
On pose :
I =] 2; 2]
2
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Prof: Said AMJAOUCH

2Bac PC & SVT
Les suites numériques

2) Étudier la monotonie de (U)n et (Vn )n
3) Montrer que :

∀n ∈ N ; Vn = 2n + 1

4) Déduire l’expression de Un en fonction de n .
S = 9 + 11 + 13 + . . . + 99 .

ch

5) Calculer :

On pose ;pour tout n de N :

Vn = 5

1

−

2n

1



3n

of
.A
m
ja

et

ou

Exercice 21. .

Sn = V0 + V1 + . . . + Vn

Calculer Sn en fonction de n.
Exercice 22. .
Soit

la

U0 =




Un+1
et

3

suite

2
−4Un − 2
=
Un − 7

1) Montrer que :

(Un )n

∀n ∈ N

Pr





Vn =

Un − 1

Un − 2

∀n ∈ N ; 1 < Un < 2

2) Étudier la monotonie de (Un )n .
3) Montrer que

∀n ∈ N ; Vn = −

 n
5
6

4) Calculer Un en fonction de n ,puis calculer
lim Un .
5) Pour tout n de N on pose :
Sn = V0 + V1 + . . . + Vn
1
1
1
Sn0 =
+
+ ... +
U0 − 2
U1 − 2
Un − 2
0
a- Calculer Sn puis Sn en fonction de n.
b- Calculer lim Sn0 et lim Sn .

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