Produit scalaire .pdf


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g: Maths n poche.
‰ : +212639052421

Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

1Bac Sciences exp
Produit scalaire

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé

→ −

(O; i ; j .

1 A(1, 2); B(−1, 3); C(−3; 1)

Exercice 1. .

3 A(−2, −2); B(3, −4); C(5; 3)




u (−3, 4) et −
v (4, −1)







u = i + 3 j et −
v =




4j −1i

Exercice 7. .

ja
ou
ch



Calculer le produit scalaire des vecteurs −
u et −
v dans
chacun des cas suivants :

2 A(0, 0); B(5, 2); C(−1; 2)




u (−b, a) et −
v (a, b)




u ( 2 + 1, 3 − 1)




v ( 2 − 1, 3 + 1)

Exercice 2. .

1 Trouver l’équation de la droite (D) passant par A

et de vecteur normal −
n .

a A(4; 3) ; −
n (1; −1)

b A(1; −1) ; −
n (2; −3)
√ √
√ √

c A( 2; 3) ; −
n (1 − 2; 3)

soient orthogonaux.



u (1, m) et −
v (4, −3)

2 On
considère
A(−2, −2); B(3, −4); C(5; 3).

les

points

a Trouver l’équation de la droite (D) et (D0 ) les
médiatrices de [AB] et [AC] respectivement.
b Donner l’équation de la hauteur de ABC passant par A .

Exercice 8. .
Écrire l’équation du cercle C dans les cas suivants :

of
.A




u (m, 3 − m) et −
v (2, −m)

m



1 Est ce que −
u et −
v sont orthogonaux dans chacun
des cas suivants :
3
7 7



u ( , −1) et −
v( , )
4 √
3 4√ √





u ( 2, 3) et v (− 8, 3)


2 Déterminer le nombre réel m pour que −
u et −
v

Exercice 3. . .

1 C est le cercle du centre Ω(2; 4) et de rayon r = 3.

On considère les points A(−4; 1) et B(−1; 2) et
C(1; −4)
−−→ −→
Calculer BA.BC puis déduire la nature du triangle
ABC.

2 C le cercle de centre Ω(2; 1) et passant par A(4; 6).
3 C le cercle de diamètre [AB] tel que A(3; 2) et
B(−6; 3).

Exercice 9. .

Pr

Exercice 4. .

Soient les points A(−5, 4) ; B(−3, 6); C(−1; 2)

1 Calculer la distance AB dans les cas suivants :
5 7
1 2
A(1, 3) et B(3.4) ;
A( , ) et B( ; )
2 3
3 2
\
\




2 Calculer cos(−
u;−
v ) et sin(−
u;−
v ) dans les cas sui-

a Écrire l’équation de (∆1 ) la médiatrice de [AB] .
b Écrire l’équation de (∆2 ) la médiatrice de [AC] .
c Déterminer les coordonnées de Ω le point d’intersection de (∆1 ) et (∆2 ).

vants :


a −
u (0, −4) et −
v (4, 4)




b −
u ( 3 − 1, 3 + 1) et −
v (−2, 2)

d Déduire l’équation du cercle circonscrit au triangle
ABC.

Exercice 10. .
Exercice 5. .

1 Donner une équation cartésienne du cercle (C) définie par sa représentation paramétrique


x = 3 + √5cos(θ)
(θ ∈ R)
y = 1 + 5sin(θ)

Soient les points E(−1; 2) et A(3; 5) et .C(6; 1)
\
\
−→
−→
−→
−→
Calculer cos(EA; EB) et sin(EA; EB)
\
−→
−→
Déduire la mesure principale du vecteur (EA; EB).

2 Déterminer une représentation paramétrique du
cercle (C 0 ) définie par l’équation cartésienne : x2 +
y2 − 6x − 4y + 9 = 0

Exercice 6. .
Calculer l’aire du triangle ABC dans les cas suivants :

12 janvier 2021

1/ 2

2020/2021

g: Maths n poche.
‰ : +212639052421

Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

1Bac Sciences exp
Produit scalaire

Exercice 11. .

2
3

(D) : x + 2y + 3 = 0
(C) : x2 + y2 − 2x − 2y − 3 = 0
(D) : x − 2y − 1 = 0
(C) : x2 + y2 − 2x − 8y − 1 = 0

Exercice 12. .

2

m

On considère
√le point A(1, 1) et le cercle (C) de centre
A et de rayon 2.

of
.A

1 Donner une inéquation cartésienne du (C) .

\
\
−−→
−−→

−→
−−→
c Calculer cos(AB; AC) et sin(AB; AC)
\

−→
−−→
Déduire la mesure principale de (AB; AC)

d Déduire la nature ABC.

3

a Écrire une équation cartésienne de la droite
(∆) médiatrice de [AB] .
b Déterminer une équation cartésienne de la
droite (D) tangente de (C) à C
BONNE CHANCE

2 Vérifier que O ∈ (C) puis écrire une équation cartésienne de la droite (∆) tangente de (C) en O O (le
point O est l’origine du repère ). .
3

b Vérifier que C ∈ (C) .
−−→ −−→
a Calculer AB.AC .
b Calculer le distances AB et AC.

Résoudre graphiquement l’ inéquations suivante :
x2 + y2 − 2x ≤ 0 ; (x2 + y2 − 6y)(x − y) ≥
0 ; (x2 + y2 − 2x)(3x + 2y − 1) < 0

Exercice 13. .

:

ja
ou
ch

Exercice 15. .
On considère dans√ le√ plan les points
Déterminer la position relative de (C 0 ) et la droite (D)
A(1, −1) ; B(−1, 1); C( 3; 3)
dans chacun des cas suivants :
Soit (C) un cercle de centre A et passant B
1
(D) : −2x + 3y = 0
1
a Donner une équation cartésienne de (C).
(C) : x2 + y2 + 4x − 2y = 0

a Montrer que que la droite (T ) d’équation x −
y − 2 = 0 tangente de (C).

Pr

b Vérifier que (T ) et (∆) sont orthogonales et que
son intersection est E(1; −1).

Exercice 14. .

On considère
dans

√ le plan les points
A(2, 3) ; I(4, 3); J(5; 0)
Soit (C) l’ensemble des points M(x; y) tels que :
x2 + y2 − 6x + 5 = 0

1 Montrer que (C) est un cercle puis déterminer son
centre et son rayon .
2 Vérifier que A ∈ (C) puis donner une équation cartésienne de la droite (D) tangente de (C) en A.
3 déterminer une équation de la droite (∆) perpendiculaire à (D) en I puis montrer que (∆) coupe (C)
en I et J.
\
\
−→
−→
−→
−→
4 Calculer
cos(AI; AJ) et sin(AI; AJ)
5 Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

2
x2 + y
√ − 6x + 5
√> 0

(x − 3y + 1)( 3x + y − 5 3) < 0

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