Probabilité conditionnelle .pdf



Nom original: Probabilité conditionnelle.pdf

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par Writer / LibreOffice 7.0, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 28/02/2021 à 22:41, depuis l'adresse IP 90.46.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 13 fois.
Taille du document: 1 Ko (40 pages).
Confidentialité: fichier public
Ce document a été actualisé le 28/02/2021, son contenu peut ainsi différer des résultats présentés par les moteurs de recherche.


Aperçu du document


Probabilité conditionnelle
PA(B) se lit probabilité de B sachant A
P ( A∩ B)
P A (B)=
P ( A)
Exemple initiale :
On lance un dé non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On considère les évènements suivant :
A « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » et
B « Obtenir un nombre pair.
Diagramme de Venn :
3
A

1

2
4

P(A)=4/6=2/3

B
6

5
Ω=6

P(B)=3/6=1/2

On sait maintenant qu’on a obtenu un nombre pair.
Quelle est la probabilité que ce nombre soit inférieur ou égal à 4.
Traduction mathématique : L’évènement est réalisé.
En l’occurrence on fait référence à l’évènement B.
On cherche donc la probabilité de A sachant B
On le note P B ( A)
2
Par lecture
P B ( A) =2/3

4 6
A

B

On lance un dé non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On considère les évènements suivant :
A « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » et
B « Obtenir un nombre pair.
On sait maintenant qu’on a obtenu un nombre pair.
Quelle est la probabilité que ce nombre soit inférieur ou égal à 4.
3
A

1

P ( A∩B)=2 /6

2
4

B
6

5
Ω=6

P (B )=3 /6

2
P ( A∩B) 6 2 6 12 2
P B ( A)=
= = . = =
P ( B)
3 6 3 18 3
6

Exemple 1
On lance deux dés, non truqués, un rouge et un bleu, dont les faces
sont numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité que la sommes des faces obtenues soit égale
à 6 sachant qu’on a obtenu 1 avec au moins un des 2 dés.
L’univers est composé de 6² issues soit Ω=36
Soit l’évènement A: « La sommes des faces est égale à 6 »
Soit l’évènement B : « On obtient au moins 1 avec un des 2 dés »

P(B)=11/36

P ( A∩B)=2 / 36
P B ( A)=

P ( A∩B) 2 36 2
= . =
P ( B)
36 11 11

Exemple 2
Dans une classe on considère les évènements F : « l’élève est une
fille » et B : « l’élève est blond(e) »
Traduire chaque phrase en terme de probabilité :
1) Un cinquième des fille sont blondes.
2) La moitie des blonds sont des filles.
3) Trois huitièmes des élèves sont des garçon .
4) Un élève sur huit est une fille blonde.
1) PF(B)=1/5
2) PB(F)=1/2
3)P(F)=5/8

P ( F )=

4) P (F ∩B)=

1
8

3
8

Propriétés des probabilités conditionnelles
Propriété 1

P ( A∩ B)
→ P ( A∩B)= P B ( A). P (B )
P (B)
P ( A∩B )
P A (B )=
→ P ( A∩B)=P A ( B). P ( A)
P ( A)
P B ( A)=

Propriété 2
0⩽PB(A)⩽1
Propriété 3
P ( Ā)=1− P ( A)
P B ( Ā)=1− P B ( A)

Connexion logique
A et B sont confondus

Propriété 4
P A ( A)=1
A et B sont incompatible.
A∩B=∅
Connexion logique A et B sont disjoint
Exemple
A et B sont deux évènements tels que :P(A)=1/3, P(B)=1/2
PA(B)=1/4. PB(A)
1 1 1
P ( A∩B)=P ( A). P A (B)= . =
3 4 12
P ( A∩B) 1
1
P B ( A)=
= .2=
P ( B)
12
6

Arbre pondéré

Exemple :
Dans une école d’ingénieurs, 20 % des élèves sont admis directement sur
dossier. Tout les autres candidats, passent une épreuve écrite. Ceux qui l’ont
ratée sont éliminés.
Ceux qui ont réussi l’épreuve écrite, passe ensuite un oral.
75 % des élèves qui passent l’oral, réussissent et sont admis.
On considère les évènements suivant :
D : « L’élève est admis sur dossier »
E: « L’élève passe et réussit l’épreuve écrite »
O : « L’élève passe et réussit l’épreuve oral »
1) Traduisez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2) On choisit un élève au hasard :
a) Déterminez la probabilité qu’il ait passé et raté l’épreuve écrite.
b) Déterminez la probabilité qu’il soit admis en ayant passé l’épreuve
écrite.

1)

2a)

P ( D̄∩ Ē )=

8 25 1
.
= =0,2
10 100 5

2b)
P ( D̄∩E ∩O)=

8 75 2 2
.
. = =0,4
10 100 3 5

Exemple
blondes
a) 1/4 des filles est blondes.
Phrase mentale : quelle est la
certitude ?
La certitude est qu’il s’agit de filles
Quelle est la probabilité ?
C’est qu’elles soient blondes.

Ω=filles

Pfilles(BLONDES)=1/4

La probabilité d’être blond sachant qu’on n’est une fille est de
un quart.

b) La moitié des blond sont des filles.
Phrase mentale : quelle est la
filles
certitude ?
La certitude est qu’il s’agit des blonds
Pblond(FILLES)=1/2
La probabilité d’être une fille
sachant qu’on est blond est 1/2

D’après la formule des probabilités totales.
P (B 1)= P ( A 1∩ B 1)+ P ( A 2∩ B1 )

Ω=Blond

Évènements
évènement incompatible

évènement indépendant

Les 2 évènements ne peuvent pas
La connaissance des
se produire en même temps.
évènements ne s’influe pas.
PA(B)=P(B)
Exemple :
1 jeté d’un dé
A : « On obtient un nombre pair »
{2,4,6}
B : « On obtient un nombre impair »
{1,3,5}
L’évènement A et B ne peuvent pas
se réaliser en même temps.
P(A∩B)=∅

Formule des probabilités totales
Événement indépendant
Partition de l’univers
Faire une partition de l’univers c’est découper l’univers en sous−ensemble qui
soit :
− Non vide
− 2 à 2 disjoint
− Quand on réunit les sous ensemble, on obtient l’univers tout entier.
Propriété :
A1∪A2∪A3=Ω

A2
A3

Ensemble
A1

Ω

A1, A2 et A3 forme une partition et lorsque l’on réunit A1, A2 et A3 on obtient
l’univers.
Note personnelle :
Deux à deux est une locution qui désigne une relation binaire.
Il y a 2 éléments uniquement et non 2 éléments distincts avec 2 autres
éléments distincts et différents.
Propriété :
A2
(A1∩B)∪(A2∩B)∪(A3∩B)=B

A3
B

Ensemble

Ω
A1

A1∩B

A3∩B

A2∩B
P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)=B

P(B)=P(A1).PA1(B)+P(A2).PA2(B)+P(A3).PA3(B)

Condition : A1, A2 et A3 partition de Ω et P(A1), P(A2) et P(A3) ≠0

B

P(A1∩B)

PA1(B)
+
A1

P A 1 ( B̄)



B
P(A1)
A2

PA2(B)

P(A2∩B)

P A 2 ( B̄)

P(A2)



P(A3)
PA3(B)
A3
P A 3 ( B̄)

B

P(A3∩B)

+


P(B)

P(B) est égal à la somme des probabilités des
chemins de B

Événement indépendant
Exemple 2 jetés d’un dé consécutifs.
PB (A )=P (A )
P(A∩B)
PB ( A)=
P(A∩B)=P B ( A ). P(B)
P(B)
P(A∩B)=P B ( A ). P(B)
P(A∩B)=P ( A). P (B)
P A (B)=P(B)
P(A∩B)=P ( A). P (B)

Propriété où A et B sont indépendant:
1) P(A∩B)=P(A).P(B)
2) PB(A)=P(A) avec P(B)≠0
3) PA(B)=P(B) avec P(A)≠0
3 méthodes :
Calculer P(A∩B), P(A) et P(B)
Si P(A∩B)=P(A).P(B)
Alors l’évènement A et B sont indépendants sinon ils ne le sont pas
Calculer PA(B) et P(B)
Si PA(B)=P(B)
Alors l’évènement A et B sont indépendants sinon ils ne le sont pas.
Calculer PB(A) et P(A).
Si PB(A)=P(A)
Alors l’évènement A et B sont indépendants sinon ils ne le sont pas.
Exemple :
On écrit les entier de 1 à 20 sur 20 cartons. On tire au hasard un
carton. On appelle A l’évènement « Obtenir un nombre impair »
et B « Obtenir un multiple de 5 »
1) Les évènements A et B sont−ils indépendants ? A et B sont−ils
incompatible ?
2) Même question, mais cette fois si, on rajoute un carton numéroté
21.

1)
L’univers est composé de 20 issues possibles soit Ω=20
Les issues sont équiprobables.
P(A)=10/20=1/2=0,5
P(B)=4/20=1/5=0,2

P(A∩B)=2/20=1/10=0,1

P(A∩B)=0,5.0,2=0,1
Donc l’évènement A et l’évènement B sont indépendant.
P(A∩B)≠0 A et B ne sont pas incompatibles.
2)
P(A)=11/21
P(B)=4/21

P(A∩B)=2/21

P(A).P(B)=(11/21).(4/21)=44/441≠2/21
Donc l’évènement A et B sont dépendants.
Exercices 1: Calculer des probabilités conditionnelles

On lance deux dés, non truqués, un rouge et un bleu, dont les faces
sont numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité que la somme des faces obtenues soit égale
à 6 sachant qu'on a obtenu 1 avec au moins un des 2 dés.
L’univers est composé de 62 issues soit Ω=36.
Les issues sont équiprobables.
Soit les évènements A : « la somme des de dés vaut 6 » et
B : « On obtient 1 avec au moins un des 2dés. »
Calcul de PB(A)
P(A∩B)=2/36
P(B)=11/36
PB(A)=P(A∩B)/P(B)=(2/36).(36/11)=2/11

Exercices 2: Savoir traduire un énoncé en terme de probabilité
conditionnelle
Dans une classe, on considère les évènements F:« l'élève est une
fille» et B:« l'élève est blond(e)».
Traduire chaque phrase en terme de probabilité:
1) Un cinquième des filles sont blondes.
2) La moitié des blonds sont des filles.
3) Trois huitièmes des élèves sont des garçons.
4) Un élève sur huit est une fille blonde.
1)PF(B)=1/5
2) PB(F)=1/2
4)P(B∩F)=1/8

3) P ( F̄ )=3 /8

Exercices 3: Déterminer la probabilité d'une intersection à l'aide
d'un arbre pondéré
E et F sont deux évènements tels que P(E)=0,4 et PE(F)=0,9
Déterminer P ( E∩ F̄ ) .
0,9

F
E

0,4

0,1

P ( E ∩ F̄ )=0,4.0,1=

1
25

Exercices 4: Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
Dans une classe, 80% des élèves ont un téléphone portable.
Parmi eux, 60% ont une connexion internet sur leur téléphone.
Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait un portable
sans connexion internet.
Soit A l’évènement : « Les élèves ont un téléphone portable »
Soit B l’évènement : « Les élèves ont une connexion internet. »
B
0,6
A
0,8



0,4
0,2

P ( A∩ B̄)=

8 4 8
. =
10 10 25



La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait un portable sans
connexion internet est de 0,32.

Exercices 5: Lien entre probabilité conditionnelle, intersection et
union
A et B sont deux évènements tels que P(A)=0,4, PB(A)=0,2 et
P(A∪B)=0.8.
Déterminer P(A∩B).
Calcul de P(B)
P(A∪B)=P(B)+P(A)−P(A∩B)
0,8=P(B)+0,4−P(A∩B)
0,8=P(B)+0,4−PB(A).P(B)
0,8=P(B)+0,4−0,2.P(B)
0,4=0,8.P(B)
P(B)=(4/10).(10/8)=1/2
Calcul de P(A∩B)
P(A∩B)=−P(A∪B)+P(B)+P(A)
P(A∩B)=−0,8+0,5+0,4
P(A∩B)=0,1

Exercices 6: Déterminer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un
diagramme de Venn
A et B sont deux évènements tels que P(A)=0,4
P(B)=0,16 et P ( A∩ B̄)=0,3
Déterminer P Ā ( B̄)
P( Ā )=0,6

P ( B̄)=0,84

P ( A∩ B̄)=0,3

0,54
A

0,3

0,1

0,06

B

Ω=1

P(A)=0,4−0,3=0,1
P(B)=0,16−0,1=0,06
P( Ā∩ B̄)=1 −(0,3+0,1+0,06)=0,54
P Ā ( B̄)=

P( Ā∩ B̄) 0,54
=
=0,9
P( Ā)
0,6

B1
0,25
A1
0,4

0,75

B̄1

B1
0,6

0,1
Ā 1
0,9

P ( A∩ B̄)=0,1
P ( A∩ B̄)=0,3
P ( A∩ B̄)=0,06

B̄1
P ( Ā∩ B̄)=0,54

P A ( B̄)=0,3/ 0,4=0,75
PA(B)=1−0,75)0,25
Selon la formule des probabilités totales.
P(B)=0,1+B1 ⇔ 0,16=0,1+B1 B1=0,16−0,1=0,06
P( B̄)=0,3+B̄1 ⇔ 0,84=0,3+B1 B̄1=0,84 − 0,3=0,54
0,54
P Ā ( B̄)=
=0,9
0,6

Exercices 7: Comment faire un arbre pondéré quand on ne connaît
pas toutes les probabilités
Dans une tombola, il y a des tickets bleus et d'autres pas bleus.
Un tiers des tickets bleus sont gagnants.
Un ticket sur sept est bleu et gagnant.
On nous donne un ticket au hasard. Déterminer la probabilité
d'avoir un ticket pas bleu.
Soit l’évènement A : « tirer un ticket bleu »
Soit l’évènement B : « tirer un ticket gagnant »
PBleu(Gagnant)=1/3
1/3
A

B P(A ∩B)=1/7


3/7
B




Calcul de la probabilité de tirer un ticket bleu
P(A)=(1/7).3=3/7
Calcul de la probabilité de tirer un ticket pas bleu
P( Ā)=1 − 3 /7=4/7

Exercice 8: Traduire l'énoncé, construire un arbre pondéré, calculer
des probabilités
En France, la proportion de gauchers est de 16%.
On compte 3 gauchers hommes pour 2 gauchères.
Quelle est la probabilité qu'un français choisi au hasard soit une
gauchère?
On note l’évènement A : « être gaucher »
On note l’évènement B : « être un homme »
B
3/5
A
4/25
2/5
21/25

3/5



P ( A∩ B̄)=

4 2 8
. =
≃0,064
25 5 125

B



2/5



la probabilité qu'un français choisi au hasard soit une gauchère
est de 6,4 %

Exercice 9: Probabilité conditionnelle, arbre, espérance maximum
Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise 2 boules d'une
urne. Pour jouer, il faut payer 3€ . Cette urne contient k boules, avec
k≥10, dont 7 noires. Les autres boules sont blanches.
• Si aucune des boules tirées n'est noire, le joueur reçoit 3€.
• Si une seule boule est noire, le joueur reçoit 13€.
• Dans les autres cas, il ne reçoit rien.
On note X, la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du
joueur.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
14(10 k − 79)
2) Montrer que l'espérance E(X)=
k ²− k
3) Déterminer k de façon à ce que E(X) soit maximale.
L’univers est composé de k≥10 + 7 issues possibles soit Ω=k.
Les issues sont équiprobables.
Soit X la variables aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
X peut prendre comme valeur : −3, 0 et 10.

N −3€

P=42/k²−k

B 10€

P=7k−49/k²−k

6/k−1
N
7/k
(k−7)/k−1
B

7/k−1

(k−7)/k
k−8/k−1

N
10€

P=(7k−49)/k²−k

B
0€

p=k−8/k

P(X=𝑥3)=14k−98/k²−k
Loi de probabilité
X=𝑥i
P(X=𝑥i)

−3
42/k²−k

0
k−7/k

10
14k−98/k²−k

Calcul de l’espérance
−126+140 k − 980 140 k − 1006 14(10 k − 79)
E ( X )=
=
=
k ²− k
k²−k
k²−k
3) E(X) est une fonction où les variable k est un entier naturel
supérieur ou égal à 10.
∀𝑥∈ℝ
14(10 𝑥 −79)
E (X)=
𝑥²−𝑥
E(X) est une fonction dérivable sur [10;+∞[ comme le quotient de 2
fonctions u et v dérivable sur ℝ et où v ne s’annule pas.
E(X)=u/v et E’(X)=(u’v−v’u)/v²
u(𝑥)=140𝑥−1106 u’(𝑥)=140 v(𝑥)=𝑥²−𝑥 v’(𝑥)=2𝑥−1
v²(𝑥)=(𝑥²−x)²
E’(X)=[140𝑥²−140𝑥−(280𝑥²−2212𝑥−140𝑥+1106)]/(𝑥²−x)²
E’(X)=(−140𝑥²+2212𝑥−1106)/(𝑥²−x)²

Le signe de E’(X) est du signe du numérateur car (𝑥²−x)²>0
−140𝑥²+1580𝑥−790 est un polynôme du second degrés
a<0, −140<0 la parabole est ouverte vers le bas
−140𝑥²+2212−1106=0
−10𝑥²+158−79=0
Δ=b²−4ac=158²−(4.−10.−79)=21 804.
𝑥1=(−b−√Δ)/2a=−158−147,66/−20=15,28
𝑥2=(−b+√Δ)/2a=−158+147,66/−20=0,52
𝑥

10

E’(X)

15,28
+

+∞



E(X)
E(15))=71/15=4,73…

E(16)=189/40=7,725

E(X) est maximal quand k=15 boules.

Exercice 10: Paradoxe des deux enfants - Probabilité conditionnelle
- piège !!!!
Vos voisins ont deux enfants. Vous avez vu par la fenêtre que l'un
des enfants est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit
aussi une fille?
On considère qu'à la naissance, les évènements "avoir une fille" et
"avoir un garçon" sont équiprobables et indépendants.
(note personnelle : Proba non temporelle. Sûrement
commutatives.)

?
Soit

l’évènement A: « Voir au moins une fille »
Soit l’évènement B : « Voir une deuxième fille »
Les évènement étant indépendant PA(B)=P(B)

PA(B)=P(A∩B)/P(A)
PA(B)=1/4.4/3=1/3
la probabilité que l'autre soit aussi une fille est de environs 33 %

Exercices 11:
Probabilités conditionnelles - Événements indépendants
Préciser dans chaque cas si les événements A et B sont
indépendants:
a. P(A∩B)=0,36 et P(A)=0,4 et P(B)=0,9
b.P(A∩B)=0,4 et P(A)=0,5 et P(B̄)=0,2 .
c. P(A∪B)=0,8 et P(A)=0,6 et P(B)=0,4.
a) Si PB(A)=P(A) et PA(B)=P(B) alors A et B sont indépendants et
P(A∩B)=P(A).P(B)
4 9 36
P (A). P(B)= . =
=0,36 et P(A∩B)=0,36
10 10 100
A et B sont indépendants.
b) Calcul de P(B)

P(B)=1 − P(B̄)=1 − 0,2=0,8

5 8
40
. =
=0,4
10 10 100
A et B sont indépendants.
P(A ).P (B)=

c) P ( A∪ B)=P ( A)+ P (B)− P ( A∩B )
6 4
24
P(A ).P (B)= . =
=0,24
10 10 100
60 40 24
76
P ( A)+ P ( B)− P ( A∩ B)=
+

=
=0,76
100 100 100 100
P(A∪B)=0,8≠0,76
A et B sont dépendants.

Exercices 2: Probabilités conditionnelles - Événements
indépendants
On lance deux dés bien équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6,
un bleu et un rouge.
On note A l'événement «le dé bleu donne 1» et B l'événement «la
somme des dés donne 7».
Montrer que A et B sont indépendants.
1) L’univers est composé de 6² issues possibles soit Ω=36.
Les issues sont équiprobables.

Il y a un élément commun possibles à A et B {1;6}
P(A∩B)=1/36
P(A).P(B)=(1/6).(1/6)=1/36
Comme P(A).P(B)=P(A∩B) alors A et B sont indépendants.

Exercices 3: Formule des probabilités totales
Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de
marques A, B ou C référencés au service de maintenance.
a. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15%
sont des portables.
b.30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux
sont des portables.
c. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux
sont des portables.
On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la
probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable ?

D’après la formule des probabilité totales:
9
6
5
20
P(P)
+
+
=
=0,2
100 100 100 100
La probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable est de
20 %.

Exercices 4 :Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré intersection
A et B sont deux évènements tels que P(A)=0,4 ; P(B)=0,16 et
P(A∩ B̄) =0,3 Déterminer P Ā ( B̄)
P( A∩ B̄) 3 10 30 3
= . = = =0,75
P( A)
10 4 40 4
75
25
P A (B)=1 − P A ( B̄)=1 −
=
100 100
P A ( B̄)=

16 21
=
100 25
D’après la formule des probabilités totales
27
6
21 3
6
= +( . P Ā ( B̄)) →
=( . P Ā ( B̄)) →
25 10 10
50 10
27 10 9
P Ā ( B̄)=
. = =0,9
50 6 10
P ( B̄)=1− P (B)=1 −

Exercices 5: Formule des probabilités totales et arbre pondéré
Une maladie se propage dans une population. On sait que:
20% de la population est vaccinée.
95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
6% de la population est malade.
Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être
malade. Commenter ce résultat.
Soit l’évènement A « Les personnes vaccinées »
Soit l’évènement B « Les personnes non malades »

P( B̄)=0,06
D’après la formule des probabilité totale.
0,06=0,01+0,8P Ā ( B̄)
0,8P Ā ( B̄)=0,05
P Ā ( B̄)=0,0625
la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade est de
6,2 %

On remarque que la probabilité d’une personne malade vacciné
est similaire, à savoir 5 %
Il s’avère par conséquence que ce vaccin n’est pas efficace.

Exercices 6: Probabilités conditionnelles - D'après sujet de Bac
Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un
contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif». D'après les
statistiques, on admet que P(T)=0,05.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:
Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des
cas.
1) On note p la probabilité de D. Déterminer p à l'aide d'un arbre
pondéré.
2) Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne
soit pas dopé?

1)
P ( T̄ )=1 − P (T ) P ( D̄)=1− P(D)
D’après la formule des probabilités totales :
P (T )=P ( D). P D (T )+ P ( D̄ ). P D̄ (T )
P (T )= P (D). P D (T )+(1 − P ( D)). P D̄ (T )
0,05=P (D)0,97 +(1− P (D))0,01
0,05=P ( D)0,97 +0,01 − P (D).0,01
P (D).0,96=0,04
P (D)=0,041
Il y a 4,1 % des coureurs dopés.

2)

Calcule de P( D̄)
1 23
P( D̄)=1 − =
24 24
Calcul de P (T ∩ D̄)
P (T ∩ D̄)=P ( D̄). P D̄ (T )=

23 1
23
.
=
24 100 2400

Calcul de P T ( D̄)
P (T∩ D̄)
23 100 23
P T ( D̄)=
=
.
=
=0,191
P(T)
2400 5
120
la probabilité qu'il ne soit pas dopé est de 19,1 %

Exercices 7: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales D'après sujet de Bac
Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel
quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. Le thème A reste pour
beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage
de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen,
on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :
• 30% des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.


5 des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.
6

On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout
traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le
résultat à 0,001 près.

Soit S l’évènement : « L’élève à suivi le stage »
Soit E l’évènement : « L’élève à traité l’exercice »

Calcul de P Ē (S)
P ( Ē ∩S)
P Ē (S)=
P ( Ē )
D’après la formule des probabilités totales
1 6
41
P ( Ē )= + =
30 25 150
1
P ( Ē∩ S)= P S ( Ē ). P (S)=
30
Donc
1 150 5
P Ē ( S)=
.
= ≃0,122
30 41 41

Exercices 8: Évènements indépendants
Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes
couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements R et I sont-ils
indépendants?
2) Les évènements B et I sont-ils
indépendants?
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
V :« le jeton tiré est vert »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »

Par lecture de l’arbre pondéré PR(I)=2/3
Les issues sont équiprobables.
Nombre d ' impaires
6 2
P ( I )=
= = = PR(I)=2/3
nombre de cas possibles 9 3
Donc, les évènements R et I sont indépendants
2) Par lecture de l’arbre pondéré PB(I)=1/2
P(I)=2/3 ≠ PB(I)
Donc, les évènements R et I sont dépendants

Exercices 9: Condition pour que deux évènements soient indépendants
Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
2) Combien faut-il rajouter de jetons bleus numérotés 1
pour que les évènements B et I soient indépendants?

1) Probabilité conditionnelle par lecture de l’urne.
PB(I)=1/2
Soit I l’évènement : « Tirer un jeton impair »
L’univers est composé de 10 issues possibles soit Ω=10
Les issues possibles sont équiprobables.
cas favorables 6 3
P ( I )=
= =
Ω
10 5
PB(I)=1/2 ≠ P(I)=3/5
2) Pour que B et I soit indépendant il faut que
PB(I)=P(I)
Calcul du nombres de jetons à ajouter.
6+ x 2+ x
6+ x 2+ x

=

=0
10+ x 4+ x
10+ x 4+ x
6+ x 2+ x 24+4 x +6 x + x ² −(20+10 x +2 x + x ²)
−2 x +4

=
=
=0
10+ x 4+ x
(10+ x )(4+ x )
(10+ x )(4+ x )
Hors (10+𝑥)(4+𝑥)≠0
Donc 𝑥=2
6+2 8 2
= =
P(I)=
10+2 12 3
2+2 4 2
= =
PB(I)=
4+2 6 3
Donc B et I soient indépendants

Ω σ

∀ ∈℮ ∫

β α

∈ ⩾ ⩽ ⇔ ≠ Δ√ ∞ π ∅✼≃ ∩ ∪

Exercice 11: Paradoxe des anniversaires - Probabilité Surprenant !!!!
Dans une classe de 35 élèves, quelle est la probabilité qu'au moins 2
élèves fêtent leur anniversaire le même jour. ,
(On considèrera qu'une année est constituée de 365 jours).

Figure 1: A l'échelle artistique

Ω σ
∀ ∈℮ ∫

β α

∈ ⩾ ⩽ ⇔ ≠ Δ√ ∞ π ∅✼≃ ∩ ∪


Aperçu du document Probabilité conditionnelle.pdf - page 1/40
 
Probabilité conditionnelle.pdf - page 3/40
Probabilité conditionnelle.pdf - page 4/40
Probabilité conditionnelle.pdf - page 5/40
Probabilité conditionnelle.pdf - page 6/40
 




Télécharger le fichier (PDF)


Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


www mathovore fr les probabilites exercices mathematiques troisieme 13
probabilites exercice correction
probabilitesexoscorriges
denombrement et probabilite
cours probabilites
td 2proba stat partie i 2012

🚀  Page générée en 0.023s