La torsion simpl Doc élève 21 .pdf


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La torsion simple
Objectifs :
-

Identifier la sollicitation subie par un solide de type poutre
Vérifier la résistance d’un composant
Dimensionner un composant.
I - Manipulation:

I-

(voir livre d’activité pages 238—241).
Hypothèses :
Les formules et les propriétés établies dans ce qui suit supposent que :
• Le solide étudié est une poutre cylindrique de diamètre constant et de
poids négligé pleine ou creuse.
• Les couples sont appliqués dans les sections extrêmes.
• La variation de longueur des génératrices est négligée.
• Les déformations seront limitées au domaine élastique.

II - Définition de la torsion simple.
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Exemple d’application :
FB

La barre d’axe xx’ se tord
sous l’action des couples
(FA,FB) (FC,FD)
de sens contraires.

Encastrement

FA
FC

FD
FA
FB

1

III - Équation de contrainte :
(section circulaire pleine fig-1- ).
So

S1

S2

S

Fig-1-

Considérions un cylindre d’axe xx’ (Voir figure ci-dessus ) de section constante S.
Soient S0 et S deux sections droites, distantes de x et de même génératrice MoM
Sous l’action du moment de torsion Mt la génératrice MoM initialement rectiligne,
devient un arc d’hélice MoM’. Les points M1,M2 et M tourne autour de l’axe de
l’éprouvette pour venir respectivement en M’1,M’2 et M’.
On relève les angles (α1) ,(α2) et (α) et on constate que :
α1/X1 = α2/X2 = ……….= α/X = constante
Cette constante est appelée θ : angle unitaire de torsion.

 : est exprimé en rd/mm.
...............
L : Longueur de l’éprouvette en mm

α : est exprimé en rd
.
On donne :

Mt = ................

Io : moment quadratique polaire de la section S par
rapport à O.
G : module d’élasticité transversal.

1- Expression de la contrainte maximale en fonction du moment de torsion.

τ =........

ρ : La distance de la fibre dont on calcule la contrainte par rapport au centre de gravité
de la poutre

La contrainte est maximale lorsque ρMaxi = R ; R rayon de la poutre étudié.

Maxi = … … … ….

avec : Io /R : Module de torsion.

Répartition de contrainte dans
une section droite de la poutre

2 - Condition de résistance:
Répartition de contrainte dans une section droite
..................
avec:

* Rpg = résistance pratique au glissement
τp = Rpg = Reg /s * s : coefficient de sécurité.
* Reg : résistance élastique au glissement.( Reg = τe ).
* s : coefficient de sécurité.

τ
ρφ

τ

2

3 - Équation de déformation : (Section circulaire pleine).
Angle de déformation par unité de longueur:

θ =....................
4 - Décalage angulaire.

α= ........
6 - Condition de rigidité.
Unités :

.....................

* θ : ………….. en rad /m ou rad/mm
* Mt : ………….en N.m ou N.mm.
* G : ………… en N/mm2
* Io : …………. en mm4 ou m4

IV- Moment quadratique polaire :
Io

R

Io/ R

D
2

(



)/16D

Application:

Un moteur électrique entraine un récepteur
En rotation à l'aide d'un arbre plein de
diamètre d et de longueur 0.6 m. Le moteur
est relié au récepteur par l'intermédiaire
de deux accouplements.
La puissance transmise est de 2 kW à une
Vitesse de rotation de 1500 tr/min.
L'arbre est constitué d'un acier de limite élastique au glissement Reg = 380 MPa, de
module d'élasticité transversal G = 8,2.104 N/mm2 ,le coefficient de sécurité choisi s=4.
1- Calculer le couple fourni par le moteur.
2- Pour le matériau de l'arbre choisi, déterminer son diamètre d pour qu'il résiste en toute
sécurité .
3- Le diamètre adopté est d= 22 mm, calculer la valeur de la contrainte de torsion et
représenter la répartition de contrainte dans une section droite de la poutre.
4- Déterminer graphiquement la valeur de la contrainte dans un point H situé à une
distance ρ = 8 mm du centre de gravité de la poutre. Vérifier cette valeur
analytiquement.

3


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