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Vecteurs et coordonnées

Bases normées, orthogonales et orthonormées
Définition 0.1 On dit que deux vecteurs ~i et ~j forment une base (= un repère) s’ils ne

sont pas colinéaires. On note cette base (O;~i; ~j).
Des bases particulières

Base normée
Les vecteurs ~i et ~j sont de
même norme
R



Base orthogonale
Les vecteurs ~i et ~j sont
"perpendiculaires"

Base orthonormée
Les vecteurs ~i et ~j sont de
même norme et
"perpendiculaires"

Vous verrez en première que l’on n’utilise pas le terme "perpendiculaires" pour des
vecteurs mais que l’on parle de vecteurs orthogonaux.

Exemple 0.2

Déterminer les coordonnées des points A et B dans la base
~ OJ).
~
(O; OI;



Coordonnées d’un vecteur
Propriété 0.3 Soit ~u un vecteur du plan. On note M le point de coordonnées (x; y) dans

~ Dans ce cas, les coordonnées du vecteur ~u sont celles du
une base (0;~i; ~j) tel que ~u = OM.
x
point M ; on note alors ~u
.
y

~ = x~i + y~j
~u = OM

2
Propriété 0.4 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété 0.5 Soient A(xA ;
yA ) et B(x B ; yB ) deux points dans le repère (O;~i; ~j). Le vecteur

~ a pour coordonnées ~AB xB − xA .
AB
yB − yA


Exemple 0.6 Soient A(2; −6) et B(−4; 5) dans le repère (O;~i; ~j). Quelles sont les

~ ?
coordonnées du vecteur AB



Somme de vecteurs
0
x
x
Propriété 0.7 Soient ~u
et ~v 0 deux vecteurs dans le repère (O;~i; ~j) et k un réel.
y
y


x + x0
• le vecteur ~u +~v a pour coordonnées
y + y0


k×x
• le vecteur k~u a pour coordonnées
k×y


3
2
Exemple 0.8 Soit ~
u
et ~v
deux vecteurs du plan.
−6
0

1) Dessiner un représentant de chaque vecteur dans le repère puis un représentant du
vecteur ~u +~v.
2) Calculer avec la formule du cours les coordonnées de ~u +~v.

3) Calculer grâce au graphique les coordonnées de ~u +~v et comparer le résultat avec la
question précédente.
4) Calculer les coordonnées de 1, 5~u.

Colinéarité de vecteurs

0
x
x
Propriété 0.9 Soient ~u
et~v 0 deux vecteurs dans le repère (O;~i; ~j). Les vecteurs ~u
y
y
et ~v sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire
s’il existe un réel k tel que x0 = kx et y0 = ky.


3
6
Exemple 0.10 Les vecteurs ~
u
et ~v
sont-ils colinéaires ?
2
4


−2
−5
Qu’en est-il des vecteurs ~u
et ~v
?

10
20
Norme d’un vecteur

p
x
Propriété 0.11 La norme d’un vecteur~u
, notée ||~u ||, est donnée par la formule : x2 + y2
y

3
Exemple 0.12 Quelle est la norme du vecteur ~
u
?

−4


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