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Nombres complexes (géométriques)
1
1

Géométrie et nombres complexes
Affixe d’un point, affixe d’un vecteur
Définition 1.1 Soit z = a + ib un nombre complexe (a et b réels). On peut lui
associer :
• Un unique point
M(a; b) qui est appelé le point image de z.
a
• Le vecteur ~w
qui est appelé le vecteur image de z.
b
Réciproquement :
• A tout point M(a; b) du plan (avec a et b réels), on peut associer un unique
nombre complexe
z = a + ib. z est alors appelé l’affixe du point M.
a
• A tout vecteur ~w
(avec a et b réels), on peut associer un unique nombre
b
complexe z = a + ib. z est alors appelé l’affixe du vecteur ~w.

Exercice 1.2 Répondre aux différentes questions :

1) Donner l’affixe des points A, B, C et D.
2) Placer sur le repère : le point image et
le vecteur image du nombre complexe :
z1 = 2 − i.
3) Placer sur le repère : le point image et
le vecteur image du nombre complexe :
z2 = −1 + 3i.

1 Géométrie et nombres complexes

2

Propriété 1.3 Soient w
~ 1 et w
~ 2 deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective

z1 et z2 . On a alors :
• Le vecteur w
~1 + w
~ 2 a pour affixe z1 + z2 .
• Soit λ ∈ R. Le vecteur λ w
~ 1 a pour affixe λ z1 .
~ 1 et w
~ 2 deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective
Exercice 1.4 Soient w
z1 = 3i + 5 et z2 = 1 − i.
1) Déterminer l’affixe du vecteur 5w
~ 1.
2) Déterminer l’affixe du vecteur −w
~ 2.
3) Déterminer l’affixe du vecteur 5w
~1 − w
~ 2.
Propriété 1.5 Soient A et B deux points du plan complexe d’affixe respective zA et

zB . On a :
~ a pour affixe zB − zA .
• AB
• Le milieu du segment [AB] a pour affixe

zA +zB
2 .

~ et du milieu du
Exercice 1.6 Soient A(2; 4) et B(−1; 3). Donner les affixes de AB
segment [AB] que l’on appelera ici C.
Propriété 1.7 (Interprétation géométrique) Soit M un point d’affixe z. Alors :

• −z est l’affixe du symétrique de M
par rapport à l’origine du repère.
• z est l’affixe du symétrique de M par
rapport à l’axe des abcisses.

2

Module d’un nombre complexe
Définition 1.8 Soit M le point d’affixe z. On appelle module de z, noté | z |, la
distance OM (entre l’origine du
√ repère et le point M), ainsi on a | z |= OM.
Si z = a + ib alors on a | z |= a2 + b2 .
R


• Si z ∈ R alors z = a avec a ∈ R et | z |= √
a2 =| a | (valeur absolue de a).
• Si z ∈ iR alors z = ib avec b ∈ R et | z |= b2 =| b | (valeur absolue de b).

Exercice 1.9 Calculer le module du nombre complexe z = 6 − 8i.

Si | z |=| z0 | a t-on z = z0 ?
Propriété 1.10 Soit z un nombre complexe. On a :






| z |= 0 ⇐⇒ z = 0
| −z |=| z |
| z |=| z |
z × z =| z |2

1 Géométrie et nombres complexes

3

Propriété 1.11 Soient z et z0 deux nombres complexes. On a :






| z × z0 |=| z | × | z0 |
0
0
1
et | zz |= |z|z||
Si z 6= 0 alors | 1z |= |z|
Pour tout entier n, | zn |=| z |n
| z + z0 |≤| z | + | z0 | (Inégalité triangulaire)

Exercice 1.12 Déterminer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1 = (3 − 2i)(2 + 5i), z2 = (1 − 3i)3 et z3 =

1+i
3−2i .

Propriété 1.13 Soient A et B deux points du plan complexe d’affixe respective zA

et zB . La distance entre le point A et le point B notée AB est donnée par :
AB =| zB − zA |=| zA − zB |
3

Arguments d’un nombre complexe
Dans cette partie, on considère (O,~u,~v) un repère orthonormé.
Définition 1.14 Soit M un point d’affixe z (avec z 6= 0). On appelle argument

~
de z, noté arg(z), une mesure en radians de l’angle orienté (~u, OM).

R

Un argument de z n’est pas
unique, il en existe une infinité
tous égaux à un multiple de 2π
près.
Si θ est un argument de z alors
arg(z) = θ + k × 2π avec k ∈ Z

Définition 1.15 On appelle argument principal de z l’unique mesure de l’angle

~ appartenant à l’intervalle ] − π; π].
(~u, OM)
R

~ n’est pas défini. On ne peut donc pas parler
Si z est nul, l’angle orienté (~u, OM)
d’argument de 0.

Propriété 1.16 Soit z un nombre complexe non nul.






z ∈ R+ ⇐⇒ arg(z) = 0 + 2kπ (k ∈ Z)
z ∈ R− ⇐⇒ arg(z) = π + 2kπ (k ∈ Z)
z ∈ iR+ ⇐⇒ arg(z) = π2 + 2kπ (k ∈ Z)
z ∈ iR− ⇐⇒ arg(z) = −π
2 + 2kπ (k ∈ Z)

Propriété 1.17 Liens entre arguments

• arg(−z) = arg(z) + π[2π]
• arg(z) = −arg(z)[2π]

2 Formes trigonométriques et exponentielles

4

Théorème 1.18 Soit z un nombre complexe non nul tel que z = a + ib avec a et

b
(deux réels. Alors un argument de z est le réel θ vérifiant :
a
cos(θ ) = |z|
sin(θ ) =

b
|z|



Exercice 1.19 Déterminer un argument du nombre complexe : z = −1 + i 3.

2
1

Formes trigonométriques et exponentielles
Formes trigonométriques d’un nombre complexe
Propriété 2.1 Pour tout nombre complexe non nul z = a + ib (avec a et b réels) on
a:
• a=| z | cos(θ )
• b=| z | sin(θ )
où θ est un argument de z.
Définition 2.2 Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme :

z =| z | (cos(θ ) + i sin(θ )) où θ est un argument de z. Cette forme est appelée
forme trigonométrique de z.
R

Un nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques
(car il a une infinité d’arguments).

Propriété 2.3 Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils

ont le même module et les mêmes arguments. Cela revient également à dire que
deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, l’ensemble de leurs formes
trigonométriques est identique.
Exercice 2.4
√ Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe :

z = −5 − 5i 3.
2

Relations trigonométriques et liens avec le calcul d’arguments
Propriété 2.5 (Formule d’addition)
Pour tous réels a et b on a :
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
• cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)
π
π
π
Exercice 2.6 On sait que π3 − π4 = 12
. Déterminer la valeur de cos( 12
) et de sin( 12
).
Propriété 2.7 (Formule de duplication)

Pour tout réel a on a :
• cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2cos2 (a) − 1 = 1 − 2sin2 (a)
• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

2 Formes trigonométriques et exponentielles

5

Propriété 2.8 Soient z et z0 deux nombres complexes non nuls. On a :

• arg(z × z0 ) = arg(z) + arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z
• arg(zn ) = n × arg(z) + 2kπ avec k ∈ Z et n ∈ N
• arg( zz0 ) = arg(z) − arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z
3

Formes exponentielles d’un nombre complexe
Définition 2.9 (Exponentielle imaginaire/complexe)
Pour tout réel α, on définit l’exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de α par : eiα = cos(α) + i sin(α).
Définition 2.10 Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme

z = reiθ où r =| z | et θ est un argument de z. Cette forme est appelée forme
exponentielle de z.
Réciproquement, si on peut écrire z sous la forme z = reiθ avec r > 0 alors r =| z |
et θ est un argument de z.
R

Un nombre complexe non nul admet une infinité de formes exponentielles (car
il a une infinité d’arguments).

Propriété 2.11 (Quelques règles de calculs)

Pour tous réels θ et θ 0 on a :
0
0
• eiθ × eiθ = ei(θ +θ )
• e1iθ = e−iθ = eiθ


0

• eiθ 0 = ei(θ −θ )
e
• Pour tout n ∈ Z, (eiθ )n = einθ
• Pour tout k ∈ Z, (ei(θ +2kπ) ) = eiθ
Théorème 2.12 (Formule de Moivre)

Pour tout réel θ et tout entier relatif n on a :
cos(nθ ) + i sin(nθ ) = (cos(θ ) + i sin(θ ))n
Théorème 2.13 (Formule d’Euler)

Pour tout réel θ on a : cos(θ ) = 21 (eiθ + e−iθ ) et sin(θ ) = 2i1 (eiθ − e−iθ )


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