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Nombres premiers
1

Définition et premières propriétés
Définition 1.1 Un entier naturel p est dit premier s’il admet exactement deux

diviseurs positifs : 1 et lui-même.
R

• Un entier naturel qui a au moins trois diviseurs positifs est dit composé.
• 1 n’a qu’un seul diviseur positif (lui-même), il n’est donc ni premier ni
composé.
• 2 est le plus petit des nombres premiers et c’est le seul nombre premier
pair.
• Si un entier naturel n ≥ 2 n’est pas premier, il admet un diviseur strict d
tel que 1 < d < n.

Exercice 1.2 Faire la liste des nombres premiers inférieurs à 100 (Il y en a 25) :

Théorème 1.3 Tout entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
Théorème 1.4 Tout entier naturel composé n admet un diviseur premier p tel

que 2 ≤ p ≤


n.

Propriété 1.5 (Test de primalité) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si

aucun des entiers compris entre 2 et



n ne divise n alors n est premier.

Exemple 1.6 Montrer que 419 est un nombre premier en utilisant la propriété

précédente.



Théorème 1.7 Il existe une infinité de nombres premiers.

2

Nombres premiers et divisibilité
Propriété 2.1 Soit n un entier naturel et p un nombre premier. Alors :

• soit n et p sont premier entre-eux ;
• soit p divise n.
Propriété 2.2 (Application du théorème de Gauss) Soient a et b deux entiers relatifs.

Si p est un nombre premier qui divise a × b alors p divise a ou p divise b.

3 Décomposition en produit de facteurs premiers

3

2

Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème 3.1 Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en

un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre des
facteurs près.
Certains facteurs premiers peuvent être égaux et la décomposition peut alors
α
s’écrire : n = pα1 1 × p2α2 × · · · × pk k où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers
deux à deux distincts et α1 , α2 , . . . , αk des entiers naturels non nuls.


Exemple 3.2 Décomposer 60 en produit de nombres premiers.



Propriété 3.3 Si un entier naturel n, supérieur ou égal à 2, admet pour décomposiα

tion en produit de facteurs premiers : n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pk k alors ses diviseurs
β
β
β
positifs sont l’ensemble des entiers s’écrivant : n = p1 1 × p2 2 × · · · × pk k avec
0 ≤ βi ≤ αi pour tout i ∈ J1; kK.


Exemple 3.4 En appliquant la propriété précédente, faire la liste des diviseurs de

60.



Propriété 3.5 Si la décomposition en produit de facteurs premier d’un entier n ≥ 2
α

est : n = pα1 1 × pα2 2 × · · · × pk k alors n admet (α1 + 1)(α2 + 1)...(αk + 1) diviseurs
positifs.

4

Le petit théorème de Fermat
Théorème 4.1 Soit p un nombre premier et a un entier naturel qui n’est pas

multiple de p alors on a : a p−1 ≡ 1[p].
Si a est un entier naturel quelconque, on a : a p ≡ a[p].


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