Vecteur3 .pdf



Nom original: Vecteur3.pdf

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par Writer / LibreOffice 7.1, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 15/05/2021 à 22:17, depuis l'adresse IP 86.252.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 12 fois.
Taille du document: 1.3 Mo (50 pages).
Confidentialité: fichier public
Ce document a été actualisé le 20/05/2021, son contenu peut ainsi différer des résultats présentés par les moteurs de recherche.


Aperçu du document


VECTEUR
Un vecteur se nome ⃗
u
AB etc...
AA ' , ⃗
Ses représentants se nome ⃗

AA '
A

A’


AB


u

B

A

La longueur d’un vecteur se nome la norme.
Caractéristique :
Direction, sens et norme.
Soi A la translation qui envoie sur A’
La direction est la droite AA’
Le sens va de l’origine à l’extrémité soit de A vers A’
La norme, la longueur AA’
2 vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et
la même norme.

AB et ⃗
BA sont opposés lorsque

A


AB

B


AB=−⃗
BA


BA

Somme de vecteur

u


u

m1

v

m2

m2

v


w = ⃗
u+⃗
v

m0

(addition)

m1
m0


w = ⃗
u−⃗
v

(soustraction)

La relation de Chasles
Pour tout point A,b c d’un plan on a :

AC =⃗
AB+⃗
BC ou ⃗
AB=⃗
AC +⃗
CB ou⃗
BC =⃗
BA+⃗
AC ou ⃗
CA=⃗
CB+⃗
BA etc ...
A
D
C
B
Dans un parallélogramme ⃗
AB+⃗
AD=⃗
AC puisque ⃗
BC =⃗
AD
B

C
A

D

Produit d’un vecteur par un réel
On appel produit d’un vecteur ⃗
u par une constante réel k
le vecteur noté k . ⃗
u
De même direction que ⃗
u
De même sens que ⃗
u si k>0 et de sens contraire si k<0
De norme égale à k fois la norme de ⃗
u si k>0
et de norme −k fois la norme de ⃗
u si k<0.
Multiplication positive

u
3. ⃗
u

Division positive

u
1/3. ⃗
u

Multiplication négative

u
− 3. ⃗
u

Division négative
− 1/3. ⃗
u


u

Colinéarité de vecteurs
2 vecteurs sont colinéaires si ils ont la même direction uniquement.
C’est à dire qu’il existe un nombre réel k tel que ⃗
u =k . ⃗
v
(Le sens peut être différent et la norme également)
Dire que les droite AB et CD sont parallèles revient à dire que
AB et ⃗
les vecteurs ⃗
CD sont colinéaires.
Dire que les points distincts A, B et C sont alignés
(c’est à dire qu’ils sont positionnés sur une même droite)
revient à dire que les vecteurs ⃗
AB et ⃗
AC sont colinéaires.

1
AB
Quel est le vecteur égal au vecteur ⃗

A ⃗
CD

C ⃗
− EC

B ⃗
FC


AB = ⃗
CE = ⃗
− CE
AB est le vecteur ⃗
le vecteur égal au vecteur ⃗
− CE

2
ABCD et ADEF sont deux parallélogramme alors :
AB = ⃗
ED
A ⃗

AD
B ⃗
CB = ⃗

B

C
A

F

D
E


FE ⇔ ⃗
EF
BC = ⃗
CB = ⃗
EF
Le vecteur ⃗
CB = ⃗

EF
C ⃗
CB = ⃗

3

AE = ?
BE + ⃗
BC − ⃗
A ⃗
AC

BE
B ⃗

C ⃗
0


AE = ⃗
AE = ⃗
EB + ⃗
BC + ⃗
EC + ⃗
AC
Réponse A

4
AF = 3.⃗
AB − 2.⃗
Le point F est tel que : ⃗
AC

5

Quelle égalité vectorielle est exacte?
A ⃗
a = 2. ⃗
u + 2. ⃗
v

Réponse B

B ⃗
a = 2. ⃗
u − 1,5. ⃗
v

C ⃗
a = 2. ⃗
u − ⃗
v

Repaire de plan

⃗j

Repaire orthogonal

1
⃗i

⃗j
1

1
⃗i

1

Repère orthonormé / orthonormal
‖i‖ = ‖ j‖ =1

⃗j

⃗i

Coordonnée d’un vecteur


u (2;1)


v (−1;−3)


w =(2;−1)


x =(−1;−2)

Calcule de coordonnées de vecteurs

A(4;1) B(1;2)

AB (𝑥b−𝑥a ; yb−ya)

C(−3 ;−1)

CB (𝑥b−𝑥c ; yb−yc)


AB (1−4:2−1)


CB (1+3 ; 2+1)


AB (−3;1)


CB (4;3)

Égalité de vecteurs avec coordonnées


u (2;1)


v =(2;1)

Si ⃗
u = ⃗
v alors 𝑥u=𝑥v et yu=yv

Sommes de vecteur avec coordonnées


u (𝑥;y)


v (𝑥’;y’)

Le vecteur ⃗
u + ⃗
v à pour coordonnées (𝑥+𝑥’;y+y’)

u (1;2) ⃗
v (1;−1)


w = ⃗
u + ⃗
v


w (1+1;2−1)

w (2;1)
(coordonnées de la translation du point de départ au point d’arrivé
résultantes des translations intermédiaires note personnelle)

Produit de vecteurs colinéaires avec coordonnées


v = 2. ⃗
u


u (1;−1)

⃗ à pour coordonnées (k𝑥;ky)
Le vecteur k. u

v (2.1 ; 2.−1)

v (2 ;−2)

Valeurs
3
4
3k=6
4k=8

Coefficient (k)
.2
.2
k=8/4
k=6/3

8/4=6/3
8.3=6.4

Valeurs résultantes
6
8

(8.3)−6.4)=0

⃗ (𝑥;y) ⃗
Soit u
v (𝑥’;y’)
Dire que ⃗
u et ⃗
v sont colinéaires revient à dire que les
coordonnées des 2 vecteurs sont proportionnelles.
Soit: 𝑥.y’−𝑥’y=0

Déterminant de 2 vecteurs
Soit ⃗
u (𝑥;y) et ⃗
v (𝑥’;y’)
Le nombre 𝑥y’−y’.𝑥 est appelé déterminant des vecteurs ⃗
u et ⃗
v
x x'
on note det ( ⃗
=𝑥.y’−𝑥’.y.
u ; ⃗
v )=
y y'

| |

⃗ et ⃗
Dire que u
v sont colinéaires revient à dire que le
det ( ⃗
u ; ⃗
v )=0

Soit 2 vecteurs ⃗
u (3;−1) ⃗
v (−9;3)
3 −9
det ( ⃗
=3.3−(−1.−9)=0
u ; ⃗
v )=
−1 3

|

|


u et ⃗
v sont colinéaires
k=−9/3=−3
k=3/−9


v =−3. ⃗
u
u =(−1/3). ⃗
v

Produit scalaire
Dans un repère orthonormé (o ; ⃗i; ⃗j)
x
x
u u et ⃗

v v
yu
yv
Le produit scalaire ⃗
u.⃗
v =x u . x v +y u . y v

()

()

Produit Scalaire - Démonstration

Définition :
Soit ⃗
u et ⃗
v deux vecteurs d’un plan. On appelle produit scalaire de

u par ⃗
v noté

u.⃗
v le nombre réel défini par :

u.⃗
v =0 si l’un des 2 vecteur est nul.

u.⃗
v =‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. cos( ⃗
u ;⃗
v ) dans le cas contraire.





⃗ =‖⃗
u⋅v
u‖⋅‖⃗
v‖⋅cos( ⃗
u;⃗
v)

NORME

SENS ET DIRECTION

ou


⃗ =‖⃗
u⋅v
u‖⋅‖⃗
v‖⋅cos(α )

⃗.v
⃗ et Norme ‖⃗
Produit scalaire u
u.⃗
v‖
1) Propriété :
Soit un vecteur ⃗
u on a :
u ²=⃗

u.⃗
u =‖⃗
u‖.‖⃗
u‖. cos(⃗
u;⃗
u)


u.⃗
u =‖⃗
u‖.‖⃗
u‖. cos0

u.⃗
u =‖⃗
u‖.‖⃗
u‖.1

On a donc

u ²= ⃗
u.⃗
u =‖⃗
u‖²
Norme d’une addition de 2 vecteurs ‖⃗
u+⃗
v‖
d, e et f sont les dimensions des côtés.

‖−⃗
BA‖+‖⃗
CA‖=d+e

Identité remarquable
‖− ⃗
v +⃗
u‖²=(− ⃗
v +⃗
u )²
‖⃗
v +⃗
u‖²=( ⃗
v +⃗
u )²
1) Identité remarquable 1
(⃗
u +⃗
v )2=⃗
u 2 +2 ⃗
u . ⃗v +⃗
v2
‖⃗
u +⃗
v‖2=⃗
u 2 +2 ⃗
u.⃗
v +⃗
v2
1
( − ⃗u2 − ⃗v 2 +‖⃗u +⃗v‖2 )
2
1
2
2
2

u.⃗
v = ( −‖⃗
u‖ −‖⃗
v‖ +‖⃗
u +⃗
v‖ )
2

u.⃗
v=

2) Identité remarquable 2
(⃗
u−⃗
v )2=⃗
u 2 −2 ⃗
u.⃗
v +⃗
v2
‖⃗
u−⃗
v‖2=⃗
u2 −2 ⃗
u.⃗
v +⃗
v2
1 2 2
( ⃗u +⃗v −‖⃗u − ⃗v‖2 )
2
1
2
2
2

u.⃗
v = (‖⃗
u‖ +‖⃗
v‖ −‖⃗
u−⃗
v‖ )
2


u.⃗
v=

3) Identité remarquable 3

u ²+ ⃗
v ²=( ⃗
u−⃗
v )( ⃗
u +⃗v )
‖⃗
u−⃗
v‖2 −‖⃗
u +⃗
v‖2 =(⃗
u−⃗
v −(⃗
u +⃗
v ))(⃗
u−⃗
v +⃗
u +⃗
v)
2
2
‖⃗
u−⃗
v‖ −‖⃗
u +⃗
v‖ =2 ⃗
u.2⃗
v
‖⃗
u−⃗
v‖2 −‖⃗
u +⃗
v‖2 =4 (⃗
u.⃗
v)
1
2
2

u .⃗
v = (‖⃗
u−⃗
v‖ −‖⃗
u +⃗
v‖ )
4
ou par combinaison
2
2
2
‖⃗
u +⃗
v‖ =⃗
u +2 ⃗
u.⃗
v +⃗
v l1
2
2
‖⃗
u−⃗
v‖ =⃗
u −2 ⃗
u.⃗
v +⃗
v 2 l2
‖⃗
u +⃗
v‖2 −‖⃗
u−⃗
v‖2 =4 (⃗
u.⃗
v)
1
2
2

u .⃗
v = (‖⃗
u−⃗
v‖ −‖⃗
u +⃗
v‖ )
4

Identité remarquable cas particulier d’application dans un
triangle
AB un représentant du vecteur ⃗
Soit ⃗
u et ⃗
AC un représentant
du du vecteur ⃗
v

(⃗
u−⃗
v )²= ⃗
u ² −2 ⃗
u⋅⃗
v+⃗

⃗ ‖v‖²
⃗ −‖⃗
u⋅⃗

v =(1/2)(‖u‖²+
u−⃗
v‖²)

AB⋅⃗
AC =(1/2)(⃗
‖AB‖²+⃗
‖AC‖² −‖⃗
BC‖²)

AB⋅⃗
AC =(1/2)( AB ²+ AC ² − BC ²)

C

−⃗
BC

−⃗
v

B
A


u

Théorème d’Al Kashi
Dans un triangle ABC quelconque
c
A

B
b

a
C

Démonstration :

AB. ⃗
AC= AB . AC . cos( ^
A)=b . c . cos( ^
A)
et
1
1

AB. ⃗
AC= ( AB²+ AC ² −BC ² )= (c ²+ b² − a ²)
2
2
Donc

1
(c ²+ b² − a ²)= b. c . cos( ^
A)
2
c ²+b ²− a ²=2 b . c . cos( ^
A)
a ²=b ²+c ² −2 b. c . cos( ^
A)

Mise en évidence:
A)
a²=b²+c²− 2 bc . cos( ^
a²= ⃗
BC⋅⃗
BC
a²= ⃗
BC ²
a²= (⃗
BA+⃗
AC )²
a²= ⃗
BA²+2⃗
BA .⃗
AC +⃗
AC ²
a²= ⃗
BA² − 2⃗
AB .⃗
AC +⃗
AC ²
A)
a²=c²+b²− 2bc . cos( ^

Produit scalaire et orthogonalité
1) Vecteurs orthogonaux
Propriété : les vecteurs ⃗
u et ⃗
u sont orthogonaux si et seulement si

u.⃗
v =0
Démonstration :
u.⃗

v =‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. cos( π )
2

u.⃗
v =‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. 0

u.⃗
v =0
Projeté orthogonale

AB.⃗
AM=⃗
AB (⃗
AO+⃗
OM )

AB.⃗
AM=⃗
AB.⃗
AO+⃗
AB.⃗
OM

AB.⃗
AM=⃗
AB.⃗
AO+‖⃗
AB‖.‖⃗
OM‖. cos(⃗
AB.⃗
OM)

AB.⃗
AM=⃗
AB.⃗
AO+‖⃗
AB‖.‖⃗
OM‖.0

AB.⃗
AM=⃗
AB.⃗
AO
M

O

B

A
D
C
D’
C’

B
A


AB⋅(⃗
CC ' +⃗
C ' D' +⃗
D ' D)
AB⋅⃗
CD = ⃗

AB⋅⃗
CC ' +⃗
AB⋅⃗
C ' D ' +⃗
AB⋅⃗
D' D
AB⋅⃗
CD = ⃗

AB⋅⃗
C ' D'
AB⋅⃗
CD = ⃗

MA⋅⃗
MB
Transformation de l’expression ⃗
Révision : Triangle rectangle et cercle circonscrit

1) Soit le O le milieu du segment [AB].
MA⋅⃗
MB=0
2) On a ⃗

3) ⃗
MO+⃗
OA⋅⃗
MO+⃗
OB=0

MO+⃗
OA⋅⃗
MO −⃗
OA=0
2 ⃗2

MO − OA =0
2
2
‖⃗
MO‖ −‖⃗
OA‖ =0
MO − OA=0
MO=⃗
OA
M appartient donc au cercle de centre O et de rayon OA c’est à dire
le cercle de diamètre [AB]
Propriété :
Un point M distinct de A et B appartient au cercle de diamètre AB
si et seulement si le triangle ABM est rectangle en M.
Justification :

MA⋅⃗
MB=0 si est seulement si les vecteur ⃗
MA et ⃗
MB sont
orthogonaux.

Produit scalaire dans un repaire orthonormé.
Le plan est muni d’un repaire orthonormé (o ; ⃗i; ⃗j)
Propriété :
Soit ⃗
u et ⃗
v 2 vecteurs de coordonnées respectives (x;y) et (x’;y’)
on a ⃗
u⋅⃗
v =xx ' +yy '
Démonstration
u .⃗

v =( x i⃗ +y ⃗j).(x ' ⃗i+ y ' ⃗j )
u.⃗

v =( x i⃗ . x ' ⃗i)+( x ⃗i . y ' ⃗j)+(y ⃗j . x ' ⃗i)+(y ⃗j . y ' ⃗j)
u.⃗

v =( x i⃗ . x ' ⃗i)+(y ⃗j . y ' ⃗j)

u.⃗
v =x . x ' +y . y '

(⃗
oi)⊥( ⃗
❑oj)
(‖⃗i‖=‖⃗j‖=1)

Propriété de symétrie du produit scalaire:
Propriété de symétrie :

u et/ou ⃗
v = ⃗
0

u.⃗
v =⃗
v.⃗
u =0
⃗ et v
⃗ sont non nul.
On suppose que u

u.⃗
v =‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. cos( ⃗
u ;⃗
v)

u.⃗
v =‖⃗
v‖.‖⃗
u‖. cos( ⃗
u ;⃗
v)

u.⃗
v =‖⃗
v‖.‖⃗
u‖. cos(−( ⃗
u ; ⃗v ))
La fonction cosinus est une fonction pair, cos(𝑥)=cos(−𝑥)

u.⃗
v =‖⃗
v‖.‖⃗
u‖. cos(( ⃗
v;⃗
u ))

u.⃗
v =⃗
v.⃗
u

Propriété de bilinéarité

u⋅( ⃗
v+⃗
w )=⃗
u⋅⃗v+ ⃗
u⋅⃗
w

u⋅(⃗
k v)=⃗
k u⋅⃗
v où k∈ℝ
Aucun sens

u⋅⃗
v ∈ℝ

u⋅⃗
v⋅⃗
w n'a aucun de sens

1 Calculer un produit scalaire avec les projetés orthogonaux
ABCD est un carré de centre O et de côté 2.
Calculer les produits scalaires suivants:

D
C
AB⋅⃗
CD

AB⋅⃗
BD

O
CB⋅⃗
AO

AO⋅⃗
OB
A
B
1


AB⋅⃗
BA
AB⋅⃗
CD = ⃗

AB⋅⃗
BA = ‖⃗
AB‖⋅‖⃗
BA‖⋅cos( π )

AB⋅⃗
BA = 2.2.−1=−4

AB⋅⃗
BD = ⃗
AB⋅⃗
BA

AB‖⋅‖⃗
BA‖⋅cos( π )
AB⋅⃗
BA = ‖⃗

AB⋅⃗
BA = 2.2.−1=−4


CB⋅⃗
BO '
CB⋅⃗
AO = ⃗

CB⋅⃗
BO ' ‖⃗
CB‖⋅‖⃗
BO '‖⋅cos( π )

CB⋅⃗
AO =2.1.−1=−2

C
O
O’
A

B


AO⋅⃗
OB sont perpendiculaires

AO⋅⃗
OB = ⃗
0

2 Calculer un produit scalaire avec la formule du cosinus
ABCD est un carré de côté 4.
Calculer les produits scalaires suivants:
1 ⃗
CE⋅⃗
CB
2 ⃗
EB⋅⃗
EC
3 ⃗
CD⋅⃗
EC
4 ⃗
CD⋅⃗
CA
1


CE⋅⃗
CB = ‖⃗
CE‖⋅‖⃗
CB‖⋅cos( π / 6)

CE⋅⃗
CB =4.4.(1/2)=8

2

EB⋅⃗
EC = ‖⃗
EB‖⋅‖⃗
EC‖⋅cos( π / 6)

EB⋅⃗
EC =4.4.(1/2)=8
3
D

C

^
C


EC

^
C

E
A

B

En positionnant l’origine du vecteur ⃗
EC au point C
^

EC ,⃗
CD= π + π =5 π
2 3
6

CD‖⋅‖⃗
EC‖⋅cos(5 π )
CD⋅⃗
EC = ‖⃗
6
− √3

CD⋅⃗
EC =4.4.
2

CD⋅⃗
EC = − 8 √ 3

4

CD⋅⃗
CA = ‖⃗
CD‖⋅‖⃗
CA‖⋅cos π
4

( )

CA²=DA²+DC²=16+16=32
CA= √ 32= √ 2 . √16=4 √ 2

CD⋅⃗
CA =4. 4 √ 2 .

CD⋅⃗
CA =16

√2
2

3 Calculer un produit scalaire avec la formule du cosinus
ABCD est un losange de côté 2 et BD=2
Calculer les produits scalaire suivant.
1 ⃗
2 ⃗
DB⋅⃗
CA
CD⋅⃗
AB
BD⋅⃗
DA
3 ⃗
4 ⃗
CA⋅⃗
DC
BD⋅⃗
DB
5 ⃗
6 ⃗
DC⋅⃗
AD

Un losange à ses 4 côtés égaux
DO=OB, AO=OC,
DO=0,5.DB
DO=0,5.2=1

1


DB et ⃗
CA sont orthogonaux donc, ⃗
DB⋅⃗
CA =0

2

CD et ⃗
AB sont collinaire de sens opposé.

CD⋅⃗
AB = −‖⃗
CD‖⋅‖⃗
AB‖

CD⋅⃗
AB =−2.2=−4

3

CA⋅⃗
DC = ⃗
CA⋅− ⃗
CD

CA⋅⃗
DC = −⃗
CA⋅⃗
CD
O est le projeté orthogonale de D sur AC

CA⋅⃗
CO
CA⋅⃗
DC = −⃗
−⃗
CA⋅⃗
CO = −‖⃗
CA‖⋅‖⃗
CO‖
AD²=AO²+OD²
AO²=AD²−OD²
AO²=4−1=3
AO= √ 3
CO= √ 3

CA=2AO
CA= 2 √ 3

−‖⃗
CA‖⋅‖⃗
CO‖ = − 2 √ 3 . √ 3 = −6

4 ABD est un triangle équilatérale les 3 angles valent π radians.
3

BD⋅⃗
DA = −⃗
DB⋅⃗
DA
DB‖⋅‖⃗
DA‖⋅cos π
−⃗
DB⋅⃗
DA = −‖⃗
3
1
−⃗
DB⋅⃗
DA = − 2.2. = −2
2
5

BD et ⃗
DB sont colinéaires de sens opposé.

BD et ⃗
DB = −‖⃗
BD‖⋅‖⃗
DB‖ = −2.2 = −4

( )

6
^
ODC =π
3

^
ADC =2 π
3


DC⋅⃗
AD = ⃗
DC⋅− ⃗
DA = −⃗
DC⋅⃗
DA
DC‖⋅‖⃗
DA‖⋅cos 2 π
−⃗
DC⋅⃗
DA = −‖⃗
3
1
=2
−⃗
DC⋅⃗
DA =− 2.2. −
2

( )

4 Les 6 techniques pour calculer un produit scalaires
Dans chaque cas, calculer le produit scalaire ⃗
AB⋅⃗
AC .

1 ⃗
AB⋅⃗
AC = −‖⃗
AB‖⋅‖⃗
AC‖ = −4.3=−12
2 ⃗
AB⋅⃗
AC = (1/2) (AB²+AC²−BC²)=(1/2)(16+36−49)

AB⋅⃗
AC = (1/2).3 = 3/2
3
C’ est le projeté orthogonal de C sur AB

AB⋅⃗
AC = −‖⃗
AB‖⋅‖⃗
AC‖ = −2.2=−4
4
Pitbull d’accord théorème Options ft. Stephen Marley
AC²=4²+2²=16+4=20
AC= √ 20=2 √ 5

AB⋅⃗
AC =(1/2) (AB²+AC²−BC²)

AB⋅⃗
AC =(1/2) ( 20+20−16)=(1/2).24=12

5

AB‖⋅‖⃗
AC‖⋅cos π
AB⋅⃗
AC = ‖⃗
4
6


AB − 2
AC +1
−3
−1

AB⋅⃗
AC =−2.1+−3.−1=1

( )

( )

( )

=5.6.

√2
2

= 15 √ 2

5 Maîtriser les formules pour calculer un produit scalaire et des
normes
Dans un repère orthonormé, on considère deux vecteurs ⃗
u et ⃗
v
u ;⃗

v )=5 π .
tels que : ‖⃗
u‖=2 et ‖⃗
v‖=5 et ( ^
6
Calculer 1 ⃗
2 (⃗
3 ‖⃗
4 ‖⃗
v−⃗
u )( ⃗
u +3 ⃗v)
u+⃗
v‖
u −2⃗
v‖
u.⃗
v
1

√3 = − 5 √3

u‖.‖⃗
v‖. cos 5 π = 2.5. −
u.⃗
v = ‖⃗
6
2
2
(⃗
v−⃗
u )( ⃗
u +3 ⃗v) = ⃗
v.⃗
u +3 ⃗v ²− ⃗
u ² − 3 ⃗v ⃗
u = − 5 √ 3 +75−4+ 15 √ 3
(⃗
v−⃗
u )( ⃗
u +3 ⃗v) = 10 √ 3 +71

( )

3

Cercle trigonométrique

()

u 2

0


w‖
w =⃗
u+ ⃗
v et w= ‖⃗
√3 = − 5 √3
𝑥v= 5 cos 5 π =5. −
6
2
2

( )

yv= 5 sin 5 π
6

( )

=5.

1
=2,5
2

w²=(𝑥v−𝑥u)²+(yv−yu)²=
w²=

(

√3 − 2
−5
2

)

2

+

(

√3 − 2
−5

25
4

75
25
− 10 √ 3 +4+
4
4
w²=29− 10 √ 3
w= √ 29 − 10 √ 3

w²=

2

)

2

+(2,5−0)2

4
‖⃗
u −2⃗
v‖² = ( ⃗
u − 2 ⃗v)² = ⃗
u ²−2⃗
u 2 ⃗v +⃗
v² = ⃗
u²−4 ⃗
u⃗
v+⃗

‖⃗
u −2⃗
v‖² =4− (− 20 √ 3) +4.25=104+ (20 √ 3)
‖⃗
u−2⃗
v‖ = ( √ 104+20 √ 3)

6: Calculer un produit scalaire de deux façons différentes
ABCD est un rectangle. AD=6 et DC=8.
I est le milieu de [AB] et J celui de [BC].
DI .⃗
DJ .
1. A l'aide d'un repère bien choisi, calculer ⃗
DI .⃗
DJ .
2. Sans utiliser de coordonnées, calculer ⃗

1 Soit 0; ⃗i ; ⃗j un repaire orthonormé avec ‖⃗i‖=‖⃗j‖=1

( )


DI 4
−6

( )


DJ 8
−3


DI .⃗
DJ =4.8+(−6.−3)=50
DI .⃗
DJ = (⃗
2 ⃗
DA+⃗
AI )(⃗
DC +⃗
CJ ) = (⃗
DA . ⃗
CJ )+(⃗
AI .⃗
DC ) =
(‖⃗
DA‖.‖⃗
CJ‖)+(‖⃗
AI‖.‖⃗
DC‖) = 6.3+4.8=14=50

7 Calculer un angle à l'aide d'un produit scalaire
ABCD est un carré de côté 1.
I est le milieu de [BC].
DI .⃗
DB ,
En calculant de deux manières ⃗
BDI à 0,1 degré près.
Déterminer la mesure de l'angle ^

DI²=1+
DI=

√5

1
5
=
4
4

DB=

√2

2

Dans le triangle DBI
5
1
3

DI .⃗
DB = (1/2) (DB²+DI²−BI²)=(1/2) (2+

)=
4
4
2

DI .⃗
DB = ‖⃗
DI‖.‖⃗
DB‖. cos( ^
BDI )
5
3
= √ . √ 2 . cos( ^
BDI )
2
2
3
√ 10 . cos( ^
=
BDI )
2
2
6
cos( ^
BDI ) =
≈18,4 °
2 √ 10

DI .⃗
DB = (⃗
DC +⃗
CI ). (⃗
DC +⃗
CB) = ⃗
DC ²+ ⃗
CI . ⃗
CB =
1 3
‖⃗
DC‖²+‖⃗
CI‖.‖⃗
CB‖ = 1+ =
2 2

8 Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont
perpendiculaires
ABCD est un carré de côté 1.
I est le milieu de [BC] et J celui de [AB].
Démontrer que (AI) et (DJ) sont perpendiculaires:
a) à l'aide d'un repère.
b) sans utiliser de repère.

a)
Soit 0; ⃗i ; ⃗j un repaire orthonormé avec ‖⃗i‖= AB=1⊥‖⃗j‖= AD=1
Par lecture graphique :
1
1


AI 1
DJ 2
2
−1

()

()

1
1

AI .⃗
DJ = +− =0 donc ⃗
AI ⊥⃗
DJ
2
2

b)

AI .⃗
DJ = (⃗
AB+⃗
BI )(⃗
DA+⃗
AJ ) = (⃗
AB .⃗
AJ )+(⃗
BI . ⃗
DA) =
1
1
(‖⃗
AB‖.‖⃗
AJ‖)+(−‖⃗
BI‖.‖⃗
DA‖) =1.
− .1 =0
2
2
AI ⊥⃗
DJ
donc ⃗

9 Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont
perpendiculaires
ABCD et AEFG sont des carrés.
Démontrer que
les droites (AI) et (ED) sont
perpendiculaires.

Soit ( A ; i⃗ ; ⃗j ) un repaire orthonormé avec
‖⃗i‖= AB=1⊥‖⃗j‖= AD=1

Théorème du milieu
1
1
( )(1+0)
( )
I 2
I 2
1
AG
( )( AG )
(
)
2
2
Par lecture graphique
1
AG


ED AG
AI
;−
2
2
1
Calcul du produit scalaire par les coordonnées.
AG AG

AI .⃗
ED =

=0
2
2

( )( )
(

)

( )

AI .⃗
ED =0 alors ( AI )⊥( ED )
Comme ⃗

10 Utiliser un produit scalaire pour savoir quand des droites sont
perpendiculaires
ABCD est un rectangle. AB=5 et AD=3. E est un point de [DC].
Où placer le point E sur [DC] pour que les droites (AE) et (BD)
soient perpendiculaires?

Soit ( A ; i⃗ ; ⃗j ) un repaire orthonormé avec
1
1
‖⃗i‖= AB=1 ⊥‖⃗j‖= AD=1
5
3
AE .⃗
DB=0
Pour que ( AE)⊥( BD) il faut que ⃗
Par lecture graphique:


DB 5
AE x
−3
3

AE .⃗
DB =5𝑥+(−3.3)=0
5𝑥−9=0 → 𝑥=9/5

( )

()

E doit être positionner à 1,8 de D sur [DC]

11 Droite perpendiculaire
Sur la figure ci-contre, ABCD est
un carré.
E est un point de [AB] et F un
point de [AD] tel que AE=AF.
G est le milieu de [DE].
Montrer que (AG) et (BF) sont
perpendiculaires.

Soit ( A ; i⃗ ; ⃗j ) un repaire orthonormé avec
‖⃗i‖= AB=1⊥‖⃗j‖= AD=1
D’après le théorème du milieu où G est le milieu de [DE]
1
AE
AE
( )( AE +0)
(
)
(
)
2
2
2
G
AG
→ G
→ ⃗
1
1
1
( )(0+1)
( )
( )
2
2
2
Par lecture graphique :

FB 1
− AE
Calcul du produit scalaire par les coordonnées.
AE AE


=0
AG . ⃗
FB =
2
2

) ( ) ( )

(

(

)

Comme ⃗
AG . ⃗
FB , alors ( AG)⊥( BF )

12 Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a placé les points A, B et
C.
H est le projeté orthogonal de C
sur (AB).

Déterminer la valeur exacte de
AH.

Par lecture graphique
−5
−3

BC
et ⃗
BA
1
−1
Calcul du produit scalaire

BC .⃗
BA = 5.3−1=14
Comme H est le projeté orthogonal de C sur (AB)

BH . ⃗
BA = 14
BC .⃗
BA = ⃗
BH et ⃗
BA sont colinéaires de même sens.
Comme ⃗
BH‖.‖⃗
BA‖
14 = ‖⃗

( )

( )

D’après le théorème de Pythagore
AB²=9+1=10 ⇔ AB= √ 10
14 √ 10
7 √ 10
14
BH‖ ⇔ ‖⃗
BH‖ =
. ‖⃗
=
=
10
5
√ 10
Calcul de AH
[AH]=[BH]−[BA]
7 √ 10
7 √ 10− 5 √ 10
2 √ 10
[AH]=
− √ 10 =
=
≈1,26
5
5
5

14=

√ 10

13 Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire
On sait que AB=8m, BC=6m et AC=4m.
Déterminer la longueur AH.

Calcul du produit scalaire
1

(AB²+AC²−BC²) =
AC . ⃗
AB =
2
1

.44 = 22
AC . ⃗
AB =
2

()
()

( ) (64+16−36)
1
2

Comme H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)

AH . ⃗
AB
AC . ⃗
AB = ⃗
AH et ⃗
AB sont colinéaires
Comme ⃗

AH . ⃗
AB = ‖⃗
AH‖.‖⃗
AB‖ = ‖⃗
AH‖ .8
‖⃗
AH‖ = 22/8 = 11/4m

14 Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire
Benjamin doit calculer les longueurs des côtés du triangle ABC
ci-dessous rectangle en A.
H est le pied de la hauteur issue de A.
Une tache d'encre l'en empêche. Comment peut-il faire?

H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC)

BC .⃗
BA = ⃗
BH . ⃗
BC

BH . ⃗
BC sont 2 vecteurs colinéaires de même sens.

BH . ⃗
BC = ‖⃗
BH‖.‖⃗
BC‖ = 16.20=320
A est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)

BA. ⃗
BA = ‖⃗
BA‖.‖⃗
BA‖ =320
BC .⃗
BA = ⃗
BA=

√ 320

= 4 √ 20 = 8 √ 5

D’après le théorème de Pythagore
CB²=CA²+AB² ⇔ CA²=CB²−AB² = 400−320 80 = 80
CA= √ 80 = 2 √ 20 = 4 √ 5

18 Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire
ABC est un rectangle avec
AB=6 et AD=4
Montrer que ⃗
AC . ⃗
BD =−20
En déduire que EF

10 √ 13
13

Soit ( A ; i⃗ ; ⃗j ) un repaire orthonormé avec
1
1
‖⃗i‖= AB=1⊥‖⃗j‖= AD=1
6
4
Par lecture graphique

AC =6 ⃗
BD=− 6
4
4


AC . ⃗
BD =6.−6 + 4.4=
−36+16=−20
D’après le théorème de Pythagore
BD²=16+36=52

BD= √ 52 = 2 √ 13
Calcul avec les coordonnées

DB .⃗
DC =(6.6)=36
Calcul du produit scalaire

DB . ⃗
DF = 2 √ 13 . ⃗
DF =36
DB .⃗
DC = ⃗
DF‖
Calcule de la norme de ‖⃗
18 √ 13
18
36

DF =
=
=
13
2 √ 13
√ 13

Calcul avec les coordonnées

DA. ⃗
DB =(4.4)=16
Calcul du produit scalaire

DA. ⃗
DB = ⃗
DE . ⃗
DB = ⃗
DE . 2 √ 13 =16
DE‖
Calcule de la norme de ‖⃗
8 √ 13
16
8
‖⃗
DE‖ =
=
=
13
2 √ 13
√ 13
EF=DF−DE=

18 √ 13
8 13
10 √ 13
− √
=
13
13
13

16 calculer un angle à partir d’un produit scalaire.
Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré.
BCE un triangle équilatéral de côté 1.

ACE
1) Déterminer la mesure de l'angle ^
en radians.
2) On se place dans le repère orthonormé
( A⃗
AB ⃗
AD)
a) Déterminer les coordonnées du point
E.
b) Calculer ⃗
CE . ⃗
CA
2+ 6
3) En déduire que cos π = √ √
12
4

( )

4π −3 π π
ACE = ^
1) ^
ECB − ^
ACB= π − π =
= radians
3 4
12
12
2a)
D’après le théorème de Pythagore dans
le triangle rectangle FBG.
EB²=EF²+FB² ⇔ EF²=EB²−FB²
1 3
EF²= 1− =
4 4
√3
EF=
2
3 2− √ 3
GE=GF−EF= 1− √ =
2
2
2 − √3
2
E
1
2

( )

2b) ⃗
CE . ⃗
CA = −⃗
EC . −⃗
AC
Par lecture graphique
√3


EC 2
AC 1
1
1
2

()

()

Calcule du produit scalaire avec les coordonnées
√ 3 + 1 = √ 3+1
−⃗
EC . −⃗
AC =
2 2
2
3 ⃗
CE . ⃗
CA=‖⃗
CE‖.‖⃗
CA‖. cos( ^
ACE )
3+1
√ 3+1 =1. √ 2 cos( ^
ACE ) ⇔ cos( ^
ACE )= √
2
2 √2
√ 3+1 = √2 ( √ 3+1) = √ 6+ √ 2
cos( ^
ACE )=
4
4
2√2
2+ 6
cos π = √ √
12
4

( )

17
Le but de cet exercice est de montrer que les hauteurs d'un triangle
sont concourantes.
Soit ABC un triangle.
1) Démontrer que pour tout point M du plan, on a :

AM .⃗
BC +⃗
BM . ⃗
CA+⃗
CM .⃗
AB=0
2) Soit H le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC issues
de A et B.
Démontrer à l'aide de l'égalité précédente que la troisième hauteur
passe aussi par le point H et conclure.
1)

Décomposition de 2 vecteurs avec A via la relation de Chasles
afin de factoriser.

AM .⃗
BC +(⃗
BA+⃗
AM ). ⃗
CA+(⃗
CA +⃗
AM ).⃗
AB=0

AM .⃗
BC +(⃗
BA . ⃗
CA+⃗
AM . ⃗
CA)+(⃗
CA .⃗
AB+⃗
AM .⃗
AB)=0

AM .(⃗
BC +⃗
CA +⃗
AB)+⃗
CA .(⃗
AB+⃗
BA)=0

AM .(⃗
BB)+⃗
CA .(⃗
AA)=0

⃗ )+⃗
AM .( 0
CA .( ⃗
0 )=0
2) ⃗
AH . ⃗
BC +⃗
BH .⃗
CA+⃗
CH .⃗
AB=0
comme ⃗
AH ⊥⃗
BC et ⃗
BH ⊥⃗
CA
⃗ +⃗

alors ⃗
0 +0
CH . ⃗
AB=0
Donc ⃗
CH ⊥⃗
AB la 3ième hauteur (CH) passe par l’orthocentre.

18 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit ⃗
u et ⃗
v deux vecteurs.
1. Démontrer l'inégalité suivante appelée "Inégalité de CauchySchwarz": |⃗
u.⃗
v|⩽‖⃗
u‖.‖⃗
v‖
2. Démontrer qu'il y a égalité si et seulement si ⃗
u et ⃗
v sont
colinéaires.
1) |⃗
u.⃗
v|=‖⃗
u‖.‖⃗
v‖.|cos( ⃗
u.⃗
v )|
Hors − 1⩽cos( ⃗
u.⃗
v)⩽1
Donc 0⩽|cos( ⃗
u.⃗
v )|⩽1
On en déduite ‖⃗
u‖.‖⃗
v‖.|cos( ⃗
u.⃗
v )|⩽‖⃗
u‖.‖⃗
v‖
2)
Pour |⃗
u.⃗
v| = ‖⃗
u‖.‖⃗
v‖.|cos( ⃗
u.⃗
v )|=‖⃗
u‖.‖⃗
v‖ ,
il faut que |cos( ⃗
u . ⃗v)|=1
L’angle est nul ou vaut π radiant et donc ⃗
u et ⃗
v colinéaires.

Note personnelle
u 3 et ⃗
v 3
Soit ⃗
0
0

()

( ) et

^
u.⃗

v =45°

√2
√2 =4 √ 2 .3 . √ 2 =12 √ 2 . √ 2 =12

u.⃗
v =‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. = √ 32 .3.
2
2
2
2


u.⃗
v =3.4=12
Tout les vecteur v d’origine 0 et d’extrémité un point appartenant
u 3 sont solution de
à la droite d’équation x=4 fixé avec ⃗
0
l’équation

()

‖⃗
u‖.‖⃗
v‖. cos( ⃗
u. ⃗
v)=12 soit 3 .‖⃗
v‖. cos( ⃗
u.⃗
v )=12

⃗ tend vers +∞ son angle tend vers 90°
Lorsque la Norme de v
, son ordonnée tend vers plus l’infini et son abscisse reste constant à
4.
⃗ = ⃗
En d’autre terme lim ‖v‖
0
+∞

Théorème d’Al−Kashi
Soit BC la longueur d’un triangle quelconque
On note ⃗
BC .⃗
BC =‖⃗
BC‖²
‖⃗
BC‖²=‖⃗
BA+⃗
AC‖² =
‖⃗
BA‖²+2⃗
BA .⃗
AC +‖⃗
AC‖²
‖⃗
AB‖² −2‖⃗
AB‖.‖⃗
AC‖. cos( ^
BAC )+‖⃗
AC‖²

1 Calculer un angle avec le théorème d’Al−Kashi
BCA en degrés
Déterminer la mesure de l’angle ^


BC ²=‖⃗
BC‖²=‖⃗
BA+⃗
AC‖²=‖⃗
BA‖²+‖⃗
AC‖² − 2⃗
AB. ⃗
AC
‖⃗
BC‖²=‖⃗
BA‖²+‖⃗
AC‖² − 2‖⃗
AB‖.‖⃗
AC‖. cos( π )
3
1
= 45−18=27
‖⃗
BC‖² = 9+36−2.3.6.
2
BC= √ 27≈5,19
‖⃗
BA‖²=‖⃗
BC‖²+‖⃗
CA‖²+2 ⃗
BC .⃗
CA
‖⃗
BA‖²=‖⃗
BC‖²+‖⃗
CA‖² − 2‖⃗
CB‖.‖⃗
CA‖. cos(α )
9=27+36−(2. √ 27 .6)cos( α)
9=63− 12 √ 27 .cos(α)
36 √ 3 cos(α)=54
3 √3
54
3
√3
cos(α)=
=
=
=
6
2
36 √ 3
2 √3
BCA = π radians soit 30°
L’angle ^
6

2 Calculer une longueur à l’aide des formules d’Al−Kashi
Calculer la mesure (au dixième près) du côté [DC]

D’après le théorème d’Al−Kashi dans le triangle DAB
‖⃗
DB‖²=‖⃗
DA+ AB‖²=‖⃗
DA‖²+‖⃗
AB‖²+2⃗
DA .⃗
AB
‖⃗
DB‖²=‖⃗
DA‖²+‖⃗
AB‖²− 2‖⃗
AD‖.‖⃗
AB‖. cos( ^
DAB)
25
5
‖⃗
DB‖²= +16 −(2. .4 . cos( π ))
4
2
3
89
1
49
‖⃗
DB‖²=
−(20 )=
4
2
4
7
DB=
2
D’après le théorème d’Al−Kashi dans le triangle DBC
‖⃗
DC‖²=‖⃗
DB‖²+‖⃗
BC‖²− 2 ⃗
BD . ⃗
BC
^
‖⃗
DC‖²=‖⃗
DB‖²+‖⃗
BC‖²− 2‖⃗
BD‖.‖⃗
BC‖. cos( CBD)
49
7

‖⃗
DC‖²= +9− 2. .3. cos(
)
4
2
12
85

‖⃗
DC‖²= − 21. cos(
) =21,25−5,43=15,82
4
12
DC= 15,82=3,97

3 Calculer les angle d’un triangle à l’aide des formules d’Al−Kashi
Calculer la mesure (au dixième près) de chaque angle de ce triangle

D’après le théorème d’Al−Kashi
1)
‖⃗
AB‖²=‖⃗
AC +⃗
CB‖²=‖⃗
AC‖²+‖⃗
CB‖² − 2 ⃗
CA . ⃗
CB
‖⃗
AB‖²=‖⃗
AC‖²+‖⃗
CB‖² − 2 (‖CA‖.‖CB‖. cos( ^
ACB) )
ACB)
25=64+49− 112cos( ^
112cos( ^
ACB) =88
11
^
ACB 38,21°

cos( ^
ACB)=
14
2)
‖⃗
AC‖²=‖⃗
AB‖²+‖⃗
BC‖² −2 (⃗
BA .⃗
BC . cos( ^
ABC ))
ABC )
64=25+49− 70 cos( ^
70 cos( ^
ABC ) =10
1
ABC =81,78°
⇔ ^
cos( ^
ABC )=
7
3)
^
CAB =180−38,21−81,78 = 60,01°

∀ ∈℮ ∫

β α

∈ ⩾ ⩽ ⇔ ≠ Δ√ ∞ π ∅


Aperçu du document Vecteur3.pdf - page 1/50
 
Vecteur3.pdf - page 3/50
Vecteur3.pdf - page 4/50
Vecteur3.pdf - page 5/50
Vecteur3.pdf - page 6/50
 




Télécharger le fichier (PDF)


Vecteur3.pdf (PDF, 1.3 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP Texte




Documents similaires


1 calcul vectoriel
geome3
www mathovore fr le produit scalaire dans le plan exercices mathematiques premiere 3
math site geometrie dans l espace resume du cours 2015
serie 1
polycopmeca

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.011s