corrigé de l'épreuve de maths ENSA 2021 2022.Mr.ELABBASSI (1) .pdf

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Corrigé du concours national commun
d’accès aux Ecoles des Sciences
Nationales Appliquées ( ENSA )
Juillet 2021

Fait par
Mr.EL ABBASSI Mohammed
Professeur de Mathématiques
Au lycée Ibn Abdoun- Khouribga
Epreuve de Maths

17 juillet 2021

Introduction
Chers élèves, Croyez-moi, un concours se prépare toute
une année et non seulement pendant les derniers jours
qui précèdent la date de ce concours. Il faut travailler à
former une bonne culture mathématique, cumuler le
maximum possible de connaissances : notions, formules,
théorèmes, techniques et méthodes. L’épreuve de maths
de cette année, comme celles des années précédentes
exige une bonne compréhension du programme et
beaucoup d’entrainement.
Enfin, je tiens à vous dire que dans un concours de courte
durée c'est très rare de tout traiter, l'important c'est de
travailler avec stratégie et méthode, savoir faire le bon
choix de questions à traiter et sacrifier les autres..
Il ne reste plus qu’à vous souhaiter bonne chance et bon
courage.

Mr.EL ABBASSI
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q1
Une condition necessaire ( pas forcément suffisante ) pour réussir del ' ENSAest ?
Réponse très évidente, pour réussir on doit nécessairement passer le
concours, cette condition est évidement non suffisante.
D’où il fallait cocher la case D .

Q2

Le 17 juillet 2021, jour du concours de l’ENSA, est un samedi.
Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?
Fraichement, il y a un algorithme qui nous permet de calculer le jour de la
semaine pour n’importe quel date, le suivant concerne les dates après l’an
2000 : r j + ra + rm  J 7 , avec :
 

r j : est le reste de la division euclidienne du jour du mois par 7.
ra : est le reste de la division euclidienne du code de l’année par 7, ce code
est égal aux deux derniers chiffres de l’année+le nombre d’années
bissextiles depuis l’an 2000 ( exclu ).

rm : est le code du mois. Voici le tableau des codes de chaque mois ,
qu’il faut connaître par cœur : .
J : le code du jour qu’on cherche.

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Mois

Code

Mois

Code

Janvier

6 ( 5 si l’année est
bissextile )

Février

2 ( 1 si l’année est
bissextile )

Mars

2

Avril

5

Mai

0

Juin

3

Juillet

5

Août

1

Septembre

4

Octobre

6

Novembre

2

Décembre

4

Nous voulons connaître le nom du jour du 29 février 2024
On a : 29 17 , donc r j  1 .
 

Comme 2024 est bissextile alors le code de l’année est 24+6=30, et comme

30  2 7 , alors ra  2 .
 

Comme 2024 est une année bissextile alors le code du mois de février est rm  1 .

Donc : r j + ra + rm 1 2 1 4 , et comme 4  4 7 , alors J=4
 
Et par suite le 29 février 2024 sera Jeudi .
D’où il fallait cocher la case B .
J=0 pour Dimanche – J=1 pour Lundi – J=2 pour Mardi- J=3 pour
Mercredi – J=4 pour Jeudi- J=5 pour Vendredi et J=6 pour Samedi.
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q3
Le nombre de diviseur de N  7210 16250 est ?
Décomposons d’abord N en facteurs premiers, on obtient :
N  7210 16250  3220  280







Donc le nombre des diviseurs de N est : 220 1  80 1  22181 17901.
D’où il fallait cocher la case D .
Q4

Soient x et y deux réels non nuls, inverse l’un de l’autre, tels que la
somme du carrée de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à
10. Le carré du nombre x vaut ?
2
On a : y  1 , et on a :  x  y   x2  y2 10 , donc :

x
1
 x  y   x  y  10   x  x   x
2

2

2

2



2



 x2 

1

x

2



1

x

2

 2  x2 

 10
1

x

2

10

 x  1 8 4
x 2
 x  4x  4  3
  x  2  3
 x  2 3
2

2

4

2

2

2

2

D’où il fallait cocher la case

A .

9



Q5

k 0

32k 5  ?


10



1 1 
 2
9
9  k


3
1
1

3
1
1
1
3
9
9
9


 2
1

3
k
k
32 5 
2
52k  3
52k  5k 0 2  5k 0   5
k 0
k 0
k 0









3



2 210 1

 5







210

3

2046

3 1023

 51024  5 512

D’où il fallait cocher la case C .
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q6

n e3n  ?
lim
3
x

3n e3n 
On a : xlim


 
 
lim
x  e3 
 

n

3 0

, Car 0 33 1
e

.

D’où il fallait cocher la case B .

Q7

Sachant que pour tout nN
Posons  3 

Donc :


3


n

5 


n

  3 


5 


n

estun entier


 3
pair alors nlim
sin
  


5 


n 




?

n

5    3  5   2k , avec k N



n
n 







  3  5     lim sin  2k   3  5      lim sin   3 
lim
sin
n
n

 n
















5 


n








n

lim 3  5  0 et comme la fct sin est continue
Et comme 03  51 alors n
en 0 alors


3
lim
sin
n



5 


n



 0



D’où il fallait cocher la case C .

Q8

3sin x  cos x  ?

x
x

6
6

lim

 3

1
2
sin x  cos x 
2
 2


3sin x  cos x  lim
x
x
x
x
6
6
6
6
D’où il fallait cocher la case C .

lim

lim
x

6

 
sin  x  
2  6 2
x


6

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q9

lim

x0

lim

x0

1
xln3x 

lim

x0

1
xln3x  ?

1 ln x
eln3x 

D’où il fallait cocher la case A

1
ln31

lim eln x  e1  e

x0

Q10

Sachant que f estune fonction périodique de périodeT 0 sur R et x
lim f  xRalors?

On a





xR   nN  f  x  nT   f  x , comme x  nT

tend vers 

lim
f
t   l R , alors en fixant x dans R et en

t 
faisant tendre n vers  on obtient : lim f  x  nT   f  x  et comme
n
lim f x  nT   l alors f  x   l et comme x est quelconque dans R
n 
alors f est une constante non nulle.
quand n vers  et

D’où il fallait cocher la case D .

Q11

f la fonctiondéfinie par f  0  0 et f  x  x  x3 cos 1x , si x  0 , f 0  ?
2

f  x   f  0 
   lim x  x2 cos 1  0 , car x  R x2 cos 1  x2
On a : lim


x
x
x0
x0
x 0
et lim x2  0 . Donc f  0   0
x0
 

D’où il fallait cocher la case B .
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q12

f  0 ?




f   x   f  0 
   lim 2  3x cos 1  sin 1 n’existe pas, car
On a : lim
x
x
x0
x0
x 0
lim 1   et la fonction sinus n’admet pas de limite ni en  , ni en  .
x0 x
D’où il fallait cocher la case D .

Q13

L ' aire de la région dé limitée par la courbe d 'équation y  cosln x


et les droites d 'équations x  e 2 et x  e est égale ?
On a :

A 

e

 cos ln x
e2

 e cos



e
e
 e





dx    2 x cosln xdx     x cosln x    2 x 1
e

x
e
 e

2


e
e
e




2
 e cos  2 xsinln xdx  e   x sinln x    2
e
e
2 e
2

e










sinln xdx 



x 1 cosln xdx
x

 e  e 2   2 cosln xdx  e  e 2  A


Donc A

e

 1  e
2 





 e 2 


D’où il fallait cocher la case

A .

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga





1dx

0 1 f  x et faisant le changement de variable t    x

Considérons l’intégral
Donc :

1

0 1 f  x  dx  ?

Q14




1 dx  0
1
1 dt 

dt



0 1 f  x   1 f   t 
0 1 1
f t 

D’où



1

0 1 f  x 



f  t  dt   1 1 dt    1 dt
0 1 f t 
0 1 f t 
0 1 f  t 
dx   .


2

D’où il fallait cocher la case

Q15

Si f

A .

 x   e x sin x

alors f

 
 
 

4

 x  ?

On a , d’après la formule de Leibniz :

f






4


4

 x  

k 0

C4k

 
e x

 4 k 

 
 
 

k

sin x

 e x sin x 4e x cos x  6e x sin x  4e x cos x  e x sin x
 4e x sin x  4 f  x 

D’où il fallait cocher la case B .

Q16
On a :

 x
e sin xdx ?

I  0

 
 x




x
I  0 e   cos x dx  e cos x0  0 e x cos xdx
 
 x 

 x






 e 1  e  sin x  dx  e 1 e sin x   e x sin xdx


0
0

0

Donc 2I  e 1
D’où il fallait cocher la case D .

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q17
Sachant que u est la solution de l 'équation z z  4iz  3  4i alors ?

Soit x  iy l’écriture algébrique de u .
Donc :

uu  4iu  3  4i  x  y 2  4 y  4ix  3  4i
 x  y 2  4 y  3 et x  1
2

2

 x  1 et y  2
 Re u   I m u   2
D’où il fallait cocher la case

A .

Q18


z

Sachant que z1 et z2 sont les solutions del 'équation z2  2z  3  0 alors Re  z1   ?
 2
 

Soit x  iy l’écriture algébrique de z .
On a :

z2  2z  3  0  x  y2  2x  3 2iy  x 1  0
 x  y2  2x  3  0 et y  x 1  0
  x  y2  2x  3  0 et y  0  ou  x  y2  2x  3  0 et x  1
2

2

2



2



   x 1   2 et y  0  ou  x  1 et y   6 
2









 z 1 i 6
z
 z1   5  2 6 i . ( car z1, z2  1 i
2

7

7



6 ,1  i 6 )

 z 
5
 1
e z 
7
 2



R

D’où il fallait cocher la case D .

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga

Q19

Si z  cos2   i sin cos alors Re  z3   ?


On a :

z 3   cos ei 



3

i 3 

3
 cos  e  



cos 3 
cos3 

i

sin 3 
cos3 



 Re  z 3  



cos 3 
cos3 

D’où il fallait cocher la case C .

Q20

Le nombre cos5  ?

On a :
 i 5  
  
e e





cos5  R

 5



 k 0



Re  cos  i sin 5   Re   C5k i sin k cos5k  




Comme i0  i4 1 , i2  1 d’une part et i1  i5  i , i3  i d’autre part et
comme C50  1 , C52 10 et C54  5 Alors
cos5  C50 sin 0  cos5   C52 sin 2  cos3   C54 sin 4  cos  cos5  10sin 2  cos3   5sin 4  cos
D’où il fallait cocher la case D .

Toute remarque ou suggestion de votre part sera la bienvenue
Email : elabbassimed2014@gmail.com

End
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga



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