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THÉORIE DE LA MESURE
Notes de cours de B.Demange
Cours donné en 2012-2013

2

INTRODUCTION
Ce cours a pour but de donner une bonne définition de l’intégrale de fonctions d’une ou plusieurs variables
réelles, qui donne lieu à des espaces de fonctions intégrables stables par passage à la limite (en un sens à
préciser). L’intégrale classique de Cauchy ou de Riemann est assez limitée de ce point de vue, la plupart des
théorèmes de passage à la limite nécessitant une convergence uniforme.
L’approche de la théorie de la mesure est qu’une intégrale est une aire. Au lieu d’approximer les fonctions
par d’autres fonctions qu’on sait intégrer, on approxime des ensembles par des ensembles élémentaires dont
on connait l’aire. L’ensemble
A = {(x, y) t.q. f (x) ≤ y ≤ g(x)},
où f et g sont deux fonctions continues sur [a, b] telles que f ≤ g, est un ensemble élémentaire dont l’aire est
Z b
(g(x) − f (x))dx. Soit A la famille de ces ensembles. La famille A contient la plupart des figures
µ(A) :=
a

géométriques usuelles simples du type rectanges, cercles, triangles,. . .
Le but de la théorie de la mesure est d’étendre la fonction d’ensembles µ : A → R+ à une famille assez
grosse, i.e. intuitivement, une famille stable par découpage, recollage, et passage à la limite. On posera que la
mesure de la réunion disjointe d’une famille d’ensembles que l’on sait mesurer est la somme des mesures :
µ(A) =

+∞
X

µ(An )

n=1

pour tout ensemble A ⊂ R2 pouvant s’écrire sous la forme A =

+∞
[

An , avec An ∈ A deux-à-deux disjoints. Pour

n=1

que cette nouvelle définition de µ soit cohérente avec l’ancienne, il faut démontrer
que si A ∈ A est partitionné
P
par une suite An ∈ A, avec An ∈ A deux-à-deux disjoints, on a µ(A) =
µ(An ). Cette propriété s’appelle
la σ-additivité. C’est une conséquence du lemme de Dini : pour toutes fonctions f, fn : [a, b] → R+ continues
+∞
X
positives, telles que pour tout t ∈ [a, b], f (t) =
fn (t), la série est en fait uniformément convergente, d’où
n=1

Z

b

f=
a

+∞ Z
X
n=1

b

fn .

a

On dispose donc d’une fonction mesurant l’aire d’ensembles élémentaires (les domaines délimités par des
graphes), qui est σ-additive, et on cherche à l’étendre à une famille maximale tout en gardant la σ-additivité.
Il y a des restrictions aux ensembles que l’on peut mesurer, ce qui complique énormément la théorie. Il est
possible de montrer, via l’axiôme du continu de la théorie des ensembles (toute partie de R non dénombrable
est en bijection avec R), qu’on ne peut pas définir l’aire de toute partie de R2 . Ceci est vrai en toute dimension
d’ailleurs : on ne peut pas définir la longeur de toute partie de R, le volume de toute partie de R3 . . .
ˆ L’étude des mesures et de l’intégrale associée. On construit une intégrale qui a de bonnes propriétés
vis-à-vis du passage à la limite (théorème de convergence dominée). Cette partie est la plus facile de la
théorie.
ˆ La construction des mesures elles-même. La mesure de Lebesgue est la plus importante, mais on obtient
en corollaire d’autres mesures similaires : les mesures de Haussdorf et de Stieljes.
ˆ Les applications de la théorie : en analyse (espaces Lp ), en géométrie (intégration sur les sous-variétés)
et probabilités.

Table des matières
1 Les mesures
I
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Calculs sur [−∞, +∞] . . . . . . . . .
I.2
Séries sur [0, +∞] . . . . . . . . . . . .
I.3
Fonctions indicatrices . . . . . . . . . .
I.4
Images réciproques . . . . . . . . . . .
II
Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Applications σ-additives . . . . . . . .
II.2
σ-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Espaces mesurés . . . . . . . . . . . .
II.4
σ-algèbre engendrée . . . . . . . . . . .
II.5
Ensembles mesurables au sens de Borel
II.6
Transport de mesures et de tribus . . .
III Exemples fondamentaux d’espaces mesurés . .

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2 Intégration
I
Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Passages à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Intégrale des fonctions à valeurs dans [0, +∞] . . . . . . . . .
II.1
Décomposition en série . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Linéarité et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou
II.5
Relation de Chasle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.6
Une propriété remarquable de l’intégrale . . . . . . . .
III Fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Fonctions à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Fonctions à valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Théorème de convergence dominée de Lebesgue . . . . . . . .
V
Integrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Continuité sous l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2
Dérivation sous l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . .
3

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4

TABLE DES MATIÈRES

3 Comment construire des mesures
I
Mesures extérieures . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Applications σ-sous-additives . . . . .
I.2
Mesure extérieure canonique . . . . . .
I.3
Lien avec les mesures . . . . . . . . . .
II
Critères de mesurabilité . . . . . . . . . . . .
II.1
Cas des espaces métriques . . . . . . .
II.2
Cas des mesures extérieures canoniques
III Unicité des constructions . . . . . . . . . . . .
III.1 Mesures finies . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . .

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33

4 La mesure de Lebesgue et ses corollaires
I
La mesure de Lebesgue sur Rd . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Construction par mesure extérieure . . . . . . .
I.2
Généralisation du volume . . . . . . . . . . . .
I.3
Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Ensembles et fonctions mesurables . . . . . . .
II
Généralisations de la mesure de Lebesgue . . . . . . . .
II.1
Mesures de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Propriétés des mesures de Haussdorf . . . . . .
II.3
Définition alternative de la mesure de Lebesgue
II.4
Longeur, aire, surface de parties courbées de Rd
II.5
Mesures de Lebesgue-Stieljes . . . . . . . . . . .

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5 Intégration et dérivation sur un intervalle [a, b]
I
Intégration sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Fonctions mesurables bornées . . . . . .
I.2
Intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . .
I.3
Approximation des fonctions sommables
I.4
Compensations dans les intégrales . . . .
II
Dérivation sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Nombres dérivés . . . . . . . . . . . . .
II.2
Intégrale d’une dérivée . . . . . . . . . .
II.3
Dérivée d’une intégrale . . . . . . . . . .
II.4
Dérivée d’une fonction monotone . . . .
III Fonctions à variation finie . . . . . . . . . . . .
III.1 Variation totale. . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4 Lien avec les mesures . . . . . . . . . . .

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6 Théorèmes de Fubini
I
Produit de deux espaces mesurés
I.1
Tribu produit . . . . . . .
I.2
Mesure produit . . . . . .
II
Théorème de Fubini-Tonelli . . .
III Théorème de Fubini-Lebesgue . .

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TABLE DES MATIÈRES

5

7 Théorème du changement de variable
I
Cas des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Mesure des sous-variétés plongées . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Rappels du cours de calcul différentiel . . . . . . . . .
II.2
Théorème du changement de variable pour les mesures
II.3
Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Intégration sur les sous-variétés plongées . . . . . . . . . . . .
III.1 Mesure volume d’une sous-variété plongée . . . . . . .
III.2 Théorème du changement de variables . . . . . . . . .
III.3 Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Espaces de Lebesgue Lp
I
Espaces Lp . . . . . . . . . . .
I.1
Préliminaires. . . . . .
I.2
Définition . . . . . . .
I.3
Inégalité de Hölder . .
I.4
Inégalité de Minkowski
II
Espaces Lp . . . . . . . . . . .
II.1
Définition . . . . . . .
II.2
Complétude . . . . . .
II.3
Espace L2 . . . . . . .

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9 Application aux séries de Fourier
I
Définitions des séries de Fourier .
I.1
Définition géométrique . .
I.2
Définition analytique . . .
I.3
Inégalité de Bessel . . . .
II
Convergence des séries de Fourier
II.1
Convergence dans L2 (0, 1)
II.2
Convergence normale . . .
II.3
Condition de Dini . . . . .
II.4
Condition de Dirichlet . .

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10 Construction de mesures par dualité
I
Liens entre intégrale et formes linéaires . . . . . . . .
I.1
Théorème de Stone-Daniell . . . . . . . . . . .
I.2
Rappels sur la méthode de Carathéodory . . .
I.3
Démonstration du théorème de Stone-Daniell
II
Théorème de Fubini pour les produits infinis . . . . .

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11 Exercices par chapitre

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93

6

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Les mesures
Références : Rudin, Dudley, Wagschal.

I

Préliminaires

I.1

Calculs sur [−∞, +∞]

La droite réelle achevée est l’ensemble [−∞, +∞] = R ∪ {+∞, −∞}, aussi noté R. Elle est munie :
ˆ d’une relation d’ordre en posant −∞ ≤ x ≤ +∞ pour tout x ∈ [−∞, +∞].
ˆ d’une topologie définie par la convergence des suites (vers une limite finie ou infinie).
ˆ d’une addition et d’une multiplication naturelles prolongeant les lois + et × usuelles sur R.

Les opérations non autorisées sont (+∞) + (−∞) et (−∞) + (+∞) et on prendra toujours comme convention
0 × ±∞ = ±∞ × 0 = 0. On vérifiera facilement que + et × sont associatives, commutatives et distributives
l’une par rapport à l’autre (là où elles sont définies). De plus l’addition est continue (là ou elle est définie) et
la multiplication est continue sauf en (0, ±∞) et (±∞, 0).
La propriété de la borne supérieure est valide : toute partie non vide de [−∞, +∞] admet une borne
inférieure et supérieure. De plus [−∞, +∞] est compact. Toute fonction f : [a, b] → [−∞, +∞] continue et
strictement monotone est un homéomorphisme (où −∞ < a < b < +∞).

I.2

Séries sur [0, +∞]

Les séries sur [0, +∞] sont convergeantes (vers la borne supérieure de leurs sommes partielles). Les propriété
de commutativité des séries sur [0, +∞[ restent vraies pour les série sur [0, +∞] :
ˆ si (xn )n∈N∗ est une suite de [0, +∞], pour toute bijection ϕ : N → N , on a




+∞
X
n=1

ˆ si xn et yn sont deux suites de [0, +∞] on a

+∞
X

xn + y n =

n=1

+∞
X

xn +

n=1

ˆ si (xk,` )(k,`)∈N∗2 est une suite double de [0, +∞], on a

+∞ X
+∞
X
k=1 `=1

7

xk,` =

+∞
X

yn .

n=1
+∞ X
+∞
X
`=1 k=1

xk,` .

xn =

+∞
X
k=1

xϕ(k) .

8

CHAPITRE 1. LES MESURES

I.3

Fonctions indicatrices

Les fonctions indicatrice sont une commodité d’écriture permettant de transformer des opérations ensemblistes
(intersections, unions. . . ) en des opérations sur des fonctions. On fixe un ensemble de référence X sur lequel
on travaille. Si E est une partie de X, la fonction indicatrice de E, notée 1E est la fonction valant 1 sur E et
0 sur X \ E. Avec ces conventions, 1∅ = 0 et 1X = 1. On a par exemple

1E∩F = min(1E , 1F ) = 1E 1F , 1E∪F = max(1E , 1F ), 1E∪F + 1E∩F = 1E + 1F ,
1X\E = 1 − 1E , 1E\F = max(1E − 1F , 0) = 1E (1 − 1F ), 1E∆F = |1E − 1F |,
E ⊂ F ⇔ 1E ≤ 1F , E = F ⇔ 1E = 1F , E ∩ F = ∅ ⇔ 1E + 1F = 1E∪F
Si (En )n∈N∗ est une suite de parties de X, on a

1∩n En = inf 1En , 1∪n En = sup 1En ≤
n

n

+∞
X

1En ,

n=1

et surtout, un ensemble E est partitionné par une suite d’ensembles En deux-à-deux disjoints, si et seulement
+∞
X
1En . L’ensemble des parties de X sera noté P(X) et l’ensemble des fonctions indicatrices 2X .
si 1∪n En =
n=1

I.4

Images réciproques

Définition 1. Soient X et Y deux ensembles et f : X → Y une fonction. Pour tout A ⊂ Y on pose
f −1 (B) = {f ∈ B} = {x ∈ X t.q. f (x) ∈ B}.
Proposition 1. Soient X et Y deux ensembles, f : X → Y une fonction, et A, An ⊂ Y . On a
[
[
\
\
f −1 (
An ) =
f −1 (An ), f −1 (
An ) =
f −1 (An ) et f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A).
n∈N∗

n∈N∗

n∈N∗

n∈N∗

En particulier, l’image réciproque d’une union disjointe est la réunion disjointe des images réciproques.
Si X et Y sont des ensembles, f : X → Y est une fonction, x ∈ X et E ⊂ Y , on notera par 1f (x)∈E la
quantité 1f −1 (E) (x), i.e. 1 si f (x) ∈ E et 0 sinon.

II
II.1

Mesures
Applications σ-additives

Définition 2. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ : A → [0, +∞] une
fonction d’ensembles, telle que µ(∅) = 0. On dit que µ est σ-additive si pour tout A ∈ A, pour toute suite
+∞
+∞
[
X
d’ensembles An ∈ A deux-à-deux disjoints tels que A =
An , on a µ(A) =
µ(An ).
n=1

n=1

II. MESURES

9

Exemple 1 : la mesure de comptage est définie pour tout A ⊂ X par µ(A) = Card(A) ∈ N ∪ {+∞}.
Exemple 2 : on fixe x ∈ X. La mesure de Dirac en x est définie par δx (E) = 1x∈E = 1 si x ∈ E et 0 si x ∈
/ E.
Exemple 3 : si I est un intervalle on définit la longeur de I par `(I) = sup(I)−inf(I). On propose de montrer
en TD que c’est une application σ-additive.
Exemple 4 : si f, g : [a, b] → R sont deux fonctions continues telles que f ≤ g, on définit l’aire de la région
Z b
comprise entre f et g par
(g(x) − f (x))dx. Voir TD.
a



Exemple 5 : soit X = {0, 1}N la famille des suites de 0 et de 1, A la famille des ensembles A ⊂ X de suites
commençant par une suite finie fixée x1 , . . . , xn . On pose µ(A) = 2−n . On peut vérifier que cette fonction
d’ensemble est σ-additive (ce n’est pas tout-à-fait évident).
Remarque : pour qu’une application σ-additive soit considérée comme une mesure, on donnera aussi une
condition sur la famille A : il faut que A soit assez riche, pour que ses éléments soient effectivement partitionnables. Il existe plusieurs structures intéressantes sur les familles d’ensembles, déduites des structures
d’algèbre de Bool : les anneaux, les algèbres. . . La notion la plus intéressante pour la théorie de la mesure est
la notion de σ-algèbre.

II.2

σ-algèbres

Définition 3. Une σ-algèbre (ou encore une tribu) sur un ensemble X est une famille de parties de X
contenant ∅ et X, stable par complémentaire et par réunions dénombrables.

Exemple : les familles {∅, X} et P(X) sont respectivement la plus petite et la T
plus
S grosse des σ-algèbres.
Tout ensemble construit à partir d’un nombre fini ou dénombrables d’opérations , , \ sur des éléments de
A, est donc dans A. Le fait de pouvoir effectuer un nombre d’énombrable d’opérations est fondamental pour
les passages à la limite.

II.3

Espaces mesurés

Définition 4. Une mesure est une application σ-additive sur une σ-algèbre de parties d’un ensemble X.

Définition 5. Un espace mesurable est un couple (X, A), où A est une σ-algèbre sur X. Un espace mesuré
est un triplet (X, A, µ), où A est une σ-algèbre sur X et µ une mesure sur A.
Remarque : la famille des intervalles n’est pas une σ-algèbre, ni la famille des ensembles compris entre deux
graphes de fonctions continues. Ces deux familles ne sont que stables par intersections finies. Il est possible
d’étendre la longeur et l’aire à des σ-algèbres plus grosses, c’est l’objet des chapitres 3 et 4.
Proposition 2. Soit (X, A, µ) un espace mesuré.
(1) Pour tous A, B ∈ A tels que A ⊂ B, on a µ(A) ≤ µ(B).
(2) Pour tout A ∈ A et toute suite An ∈ A tels que A ⊂

+∞
[

An , on a µ(A) ≤

n=1

(3) Si An ∈ A est une suite croissante, de réunion A, on a lim µ(An ) = µ(A).

+∞
X
n=1

µ(An ).

10

CHAPITRE 1. LES MESURES

(4) Si An ∈ A est une suite décroissante, d’intersection A, et si µ(A1 ) < +∞, on a lim µ(An ) = µ(A).
Démonstration. (1) : on a µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) ≥ µ(A).
(2) : on pose B1 = A ∩ A1 et pour tout n > 1, Bn = A ∩ AN \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1 ). On obtient ainsi une partition
de A, donc
+∞
+∞
X
X
µ(A) =
µ(Bn ) ≤
µ(An ).
n=1

(3) : en posant A0 = ∅ on a A =

+∞
[

(Ak+1 \ Ak ), An =

k=0

µ(An ) =

n=1
n−1
[

(Ak+1 \ Ak ) et ces réunions sont disjointes. Donc

k=0
n−1
X

µ(Ak+1 \ Ak ) →

k=0

+∞
X

µ(Ak+1 \ Ak ) = µ(A).

k=0

(4) : la suite Bn = A1 \ An est croissante de réunion B = A1 \ A. Donc µ(Bn ) → µ(B). Par (1), tous les
ensembles considérés sont de mesure finie. On en déduit que µ(An ) = µ(A1 ) − µ(Bn ) → µ(A1 ) − µ(B) =
µ(A).
Remarque : la propriété (4) ressemble
\fortement à de la compacité : pour toute suite décroissante An ∈ A
telle que 0 < inf n µ(An ) < +∞, on a
An 6= ∅. Ceci suggère que l’existence des mesures sur des σ-algèbres
n∈N∗

sera en général compliqué à démontrer et lié à la topologie.
Définition 6. Soit (X, A, µ) un espace mesuré. La masse de la mesure µ est sa valeur maximale, i.e. µ(X).
Une mesure est dite finie si µ(X) < +∞. Une mesure de probabilité est une mesure de masse 1. Un espace
probabilisé (ou espace de probabilité) est un espace mesuré de masse 1.

II.4

σ-algèbre engendrée

Intuitivement, la σ-algèbre engendrée par une famille d’ensembles A (par exemple T
les S
intervalles, les carrés. . . )
est la famille des ensembles que l’on construit récursivement avec les opérations ,
et \. Le problème est
que la famille des ensembles ainsi obtenus n’est pas une σ-algèbre en général (ce n’est qu’une algèbre). On est
donc amené à considérer une définition implicite :

Définition 7. Soit X un ensemble, et A une famille de parties de X. La σ-algèbre engendrée par A est
la plus petite σ-algèbre contenant A, pour la relation d’inclusion. On la note σ(A).

Démonstration de l’existence. L’intersection de toutes les σ-algèbres contenant A est une σ-algèbre contenant
A, et c’est par définition la plus petite. Remarquer qu’il existe toujours une telle σ-algèbre : la famille de
toutes les parties de X.
Toute la difficulté de la théorie de la mesure est qu’il n’y a pas de description explicite des éléments de σ(A),
sauf cas particuliers.
Exemple 1 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}, {2, 3}}. Alors σ(A) = P(X).
Exemple 2 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}}. Alors σ(A) = {∅, {1, 2}, {3, 4}, X}.
Exemple 3 : Soit X un ensemble, et A une famille de parties de X. Si A est fini alors σ(A) est fini. Si A est
infini alors σ(A) est infini non dénombrable (TD).

II. MESURES

11

On sera très souvent amené à montrer qu’une propriété (P ), vraie pour les éléments d’une famille d’ensembles A, est vraie pour tout élément de σ(A), bien qu’on ne sache pas décrire ses éléments. On a deux
méthodes, la première étant un cas particulier très simple de la seconde :
Méthode 1 : Soit C la famille des parties de X vérifiant la propriété (P ). Si C contient A et si C est une
σ-algèbre, alors σ(A) ⊂ C. C’est par définition de σ(A). Si cette méthode ne marche pas (par exemple si on
n’arrive pas à montrer que C est stable par intersections finies, ce qui arrivera dans au moins deux théorèmes
fondamentaux), on utilise une variante :
Méthode 2 : Méthode des classes monotones.
Lemme 1 (des classes monotones). Soit X un ensemble, A et C deux familles de parties de X. Si
(1) pour toute suite finie A1 , . . . , An ∈ A, on a A1 ∩ · · · ∩ An ∈ C,
(2) X ∈ C et pour tous E, F ∈ C tels que E ⊂ F , on a F \ E ∈ C,
[
(3) et pour toute suite croissante En ∈ C, on a
En ∈ C.
Alors σ(A) ⊂ C.
Remarque : une collection C vérifiant (2) et (3) s’appelle une classe monotone. On vérifiera facilement qu’une
classe monotone stable par intersections finies est une σ-algèbre. La méthode 1 est donc un cas particulier de
la méthode 2.
Démonstration. Soit C0 l’intersection de toutes les familles C vérifiant (1), (2) et (3). C0 vérifie encore ces trois
conditions, et c’est la plus petite de ces familles. Donc C0 ⊂ C, et par (1) on a A ⊂ C0 . On démontre que C0
(et non pas C) est une σ-algèbre.
→ Soit C 0 la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ A ∈ C0 pour tout A ∈ A. C 0 vérifie clairement (1). Les deux
identités
[
[
(E \ F ) ∩ A = (E ∩ A) \ (F ∩ A) et
En ∩ A = (En ∩ A)
montrent que C 0 vérifie (2) et (3). Donc C 0 = C0 , i.e. pour tout A ∈ A et tout E ∈ C0 , on a A ∩ E ∈ C0 .
→ Soit C 00 la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ F ∈ C0 pour tout F ∈ C0 . Le point précédent montre que C 00
vérifie (1). Pour les même raisons, C 00 vérifie (2) et (3). Donc C 00 = C, i.e. C0 est stable par intersections finies.
Comme X ∈ C0 , (2) montre que C0 est stable par complémentaire. C0 est donc stable par réunions finies, et
par (3), C0 est stable par réunions dénombrables : C0 est une σ-algèbre. On a A ⊂ C0 , donc σ(A) ⊂ C0 ⊂ C.
Nous utiliserons surtout le corollaire suivant du lemme des classes monotones :
Corollaire 1. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par intersections finies, et C une
classe monotone contenant A. Alors σ(A) ⊂ C.
Démonstration. Comme A est stable par intersections finies, (1) équivaut à A ⊂ C.

II.5

Ensembles mesurables au sens de Borel

Définition 8. Soit X un espace topologique. La tribu de Borel sur X est la σ-algèbre engendrée par les
ouverts. On la note B(X). On appelle ses éléments les boréliens de X ou les ensembles mesurables au sens
de Borel. Une mesure de Borel sur un espace topologique X est une mesure sur B(X).

Proposition 3. Tout intervalle de R (respectivement [−∞, +∞]) est un borélien de R (resp.[−∞, +∞]).

12

CHAPITRE 1. LES MESURES

(1) les intervalles du type ]a, +∞[, avec a ∈ R engendrent B(R).
(2) les intervalles du type ]a, b], avec −∞ < a < b < +∞ engendrent B(R).
(3) les intervalles du type ]a, +∞], avec a ∈ R, engendrent B([−∞, +∞]).
Démonstration. Un intervalle de R est de quatre type : [a, b], [a, b[, ]a, b] ou [a, b[. L’intervalle [a, b] est fermé,
]a, b[ est ouvert, ]a, b] =]a, b[∪[b, b] et [a, b[=]a, b[∪[a, a], donc tout intervalle est un borélien.
Soit A la σ-algèbre engendrée par les intervalles du type ]a, +∞[, a ∈ R. Un intervalle ouvert peut être de
quatre types : ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞, b[ ou R, avec a, b ∈ R et a < b. On a
!
[
\
R=
] − n, +∞[, ] − ∞, b[= R \ [b, +∞[= R \
]b − 1/n, +∞[ ,
n∈N∗

n∈N

et ]a, b[=]a, +∞[∩] − ∞, b[. Ceci prouve que A contient les intervalles ouverts. Tout ouvert est une réunion
dénombrable d’intervalles ouverts (ses composantes connexes), donc A contient tous les ouverts. Donc B(R) ⊂
A. Comme tout intervalle ]a, +∞[ est ouvert, on a A ⊂ B(R). Les autres cas se traı̂tent de manière similaire.
Remarque : on saura mesurer tous les boréliens de R (et même un peu plus). Cela inclut les ouverts, les
fermés, les compacts, les Gδ , les Fσ , tout ensemble défini au moyen d’égalités ou d’inégalités sur des fonctions
continues, continues par morceaux, monotones. . . et tout ensemble construit de manière récursive à partir d’un
nombre dénombrable opérations ∩, ∪, \ sur des ouverts. Et il y en a d’autres.

II.6

Transport de mesures et de tribus

Définition 9 (σ-algèbre et mesure induite). Soient X et Y deux ensembles, B une σ-algèbre sur Y , et
f : X → Y une application. Alors
A = {f −1 (B); B ∈ B}
est une σ-algèbre sur X. Elle s’appelle la σ-algèbre engendrée (ou induite) par f sur X, notée σ(f ). Si µ est
une mesure sur A, alors la fonction ν définie pour B ∈ B par
ν(B) = µ(f −1 (B))
est une mesure sur B, appelée mesure image de µ par f .
Démonstration. La réunion, le complémentaire, se comportent bien par rapport à l’image réciproque.

III

Exemples fondamentaux d’espaces mesurés

On présente ici les mesures que l’on utilisera dans le cours. À part le premier exemple, les autres sont difficiles
à construire, donc on admettra leur existence jusqu’au chapitre 3.
X
→ Mesures atomiques : toute mesure sur un ensemble fini ou dénombrable est de la forme µ =
αx δx ,
x∈X

avec αx ∈ [0, +∞]. Les mesures de probabilité sur X = {0, 1} s’appellent mesures de Bernouilli. Elles sont de
la forme µ = pδ1 + (1 − p)δ0 , avec 0 ≤ p ≤ 1.
→ Mesures de Lebesgue sur R : c’est la plus importante du cours. Il existe une unique mesure de Borel sur
R telle que la mesure des intervalles soit leur longeur. On la note `. Elle est aussi appelée mesure de longeur.
Il est possible de la prolonger (en une mesure) sur une σ-algèbre un peu plus grande (la tribu de Lebesgue
L(R)), mais il est impossible de la prolonger à toutes les parties de R (modulo l’axiôme du continu). Du point

III. EXEMPLES FONDAMENTAUX D’ESPACES MESURÉS

13

de vue de la théorie des ensembles, B(R) ↔ R et L(R) ↔ RR , donc L(R) a beaucoup plus d’éléments. Mais les
ensembles que l’on rajoute sont de mesure de Lebesgue nulle, donc du point de vue de la théorie de la mesure,
L(R) a peu d’intérrêt. Il n’y a pas de plus grosse tribu sur laquelle on peut définir la mesure de Lebesgue (ou
n’importe quelle mesure, sauf si évidemment la mesure peut être définie sur toutes les parties).
→ Mesures de Lebesgue-Stieljes : pour toute fonction continue et croissante ϕ : R → R, il existe une
unique mesure de Borel µ telle que µ([a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a) pour tous a, b ∈ R avec a ≤ b. Pour ϕ(x) = x
c’est la mesure de Lebesgue. Si ϕ = l’escalier du diable, on obtient une mesure de probabilité pour le moins
étrange.
→ Mesure de Lebesgue sur Rn : il existe une unique mesure m sur les boréliens de Rn telle que
m(I1 × I2 × · · · × In ) = `(I1 ) × · · · × `(In ),
pour toute suite d’intervalles Ik ⊂ R. Elle permet de calculer l’aire, le volume. . . Pour toutes fonctions
f, g : [a, b] → R continues telles que f ≤ g, la mesure de Lebesgue de l’ensemble {(x, y) ∈ [a, b] × R t.q. f (x) ≤
Z b
(g(x) − f (x))dx.
y ≤ g(x)} est bien
a

→ Mesures de Haussdorf : c’est une famille (Hk )1≤k≤n de mesures de Borel sur Rn , permettant de calculer
la longeur, l’aire, le volume. . . des parties courbées de Rn . La mesure H1 sera encore appelée mesure de longeur,
notée `. La longeur d’un arc Γ paramétré par une fonction f : [0, 1] → Rn , sera la formule classique
Z 1
kf 0 (t)kdt si l’arc est régulier et sans point double.
`(Γ) =
0

L’aire d’une surface Σ paramétrée par une fonction f : [0, 1]2 → R3 sera la formule classique
Z 1Z 1
∂f ∂f

dxdy si c’est une surface plongée.
Aire(Σ) =
∂x ∂y
0
0
La mesure de Haussdorf Hn sera la mesure de Lebesgue, et la restriction de Hk aux sous espaces affines de
dimensions k sera la mesure de Lebesgue k-dimentionnelle.

→ Jeu de pile ou face : Soit Ω = {0, 1}N l’ensemble des suites de 0 et de 1. Il existe une unique mesure de
probabilité sur les boréliens de Ω (pour la topologie produit), telle que la probabilité qu’une suite commence
par une suite donnée de longeur n, soit 2−n . Ce résultat, bien qu’intuitivement évident, est en fait équivalent
à l’existence de la mesure de Lebesgue : si on identifie un nombre à la suite de ses chiffres en base 2, la mesure
de Lebesgue s’identifie à cette mesure.
→ Mesure de Lebesgue en dimension infinie : il existe une unique mesure de probabilité µ sur les

boréliens de [0, 1]N (muni de sa topologie produit), telle que
! +∞
+∞
Y
Y
µ
In =
`(In ),
n=1

n=1

pour toute suite d’intervalles In ⊂ [0, 1]. C’est la mesure de probabilité qui modélise les suites de nombres
réels choisis aléatoirement entre 0 et 1 de manière uniforme et indépendante.

14

CHAPITRE 1. LES MESURES

Chapitre 2
Intégration
Références : Rudin, Dudley, Wagschal.

I

Fonctions mesurables

I.1

Définition

Définition 1. Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Une fonction mesurable de (X, A) dans
(Y, B) est une fonction f : X → Y telle que pour tout B ∈ B, f −1 (B) ∈ A.

Remarque : une fonction constante est mesurable par rapport à n’importe quelle tribu. Cette définition est
similaire à la notion de continuité d’une fonction entre deux espaces topologiques.
Proposition 1. Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Soit F une famille engendrant B. Alors
une fonction f est mesurable de (X, A) dans (Y, B) ssi pour tout B ∈ F, f −1 (B) ∈ A.
Démonstration. La famille C = {B ⊂ Y t.q. f −1 (B) ∈ A} est une σ-algèbre contenant F.
Remarque : si Y est topologique on prend par défaut comme tribu B = B(Y ). Dans ce cas il suffit donc de
vérifier que l’image réciproque d’un ouvert est mesurable. La plupart du temps, Y sera [−∞, +∞] ou C.
Corollaire 1. Soit (X, A) un espace mesurable. Une fonction f : X → [−∞, +∞] est mesurable ssi
∀a ∈ R, {f > a} := {x ∈ X t.q. f (x) > a} ∈ A.
Définition 2. Soient X et Y deux espaces topologiques. Une fonction f : X → Y est dite borélienne si elle
est mesurable de (X, B(X)) dans (Y, B(Y )).
Exemple : les fonctions continues de X dans Y sont boréliennes.

I.2

Composition

Proposition 2. Soient (X, A), (Y, B) et (Z, C) trois espaces mesurables, f : X → Y et g : Y → Z mesurables.
Alors g ◦ f : X → Z est mesurable.
Démonstration. Évident car (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)).
15

16

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

Définition 3. Si f : X → [−∞, +∞] on définit f+ = max(f, 0) et f− = max(−f, 0). On a f+ ≥ 0, f− ≥ 0,
|f | = f+ + f− et f = f+ − f− .
Remarque : la différence f+ − f− a toujours un sens car on ne peut pas avoir f+ = f− = +∞. Bien noter que
la partie négative d’une fonction f est max(−f, 0), et non pas min(f, 0) : on a bien f− ≥ 0.
Corollaire 2. Soit (X, A) un espace mesurable.
(1) La somme (si elle a un sens) et le produit de fonctions mesurables, à valeurs dans [−∞, +∞] ou C, sont
mesurables.
(2) Si fn : X → [−∞, +∞] sont mesurables, alors sup(fn ) et inf(fn ) sont mesurables.
(3) f : X → [−∞, +∞] est mesurable si et seulement si f+ et f− sont mesurables.
(4) f : X → C est mesurable si et seulement si Re(f ) et Im(f ) sont mesurables.
(5) Si f : X → C est mesurable, alors |f | est mesurable.
Démonstration. (1) : les lois + et × sont continues sur C. La loi + est bien continue sur [−∞, +∞] (là où elle
est définie), et la loi × est continue sauf en (0, ±∞) et (±∞, 0). Or, on a
{(x, y) ∈ [−∞, +∞]2 t.q. xy = 0} = [−∞, +∞] × {0} ∪ {0} × [−∞, +∞].
Cet ensemble est fermé, donc borélien, donc la loi ×[est borélienne, cqfd.
(2) : pour tout a ∈ R, {x ∈ X t.q. sup(fn ) > a} = {x ∈ X t.q. fn (x) > a} et inf(fn ) = sup(−fn ).
n

(3) : découle de (1) et (2).
(4) et (5) : la partie réelle, la partie imaginaire, et le module complexe, sont des fonctions continues.

I.3

Passages à la limite

Théorème 1. Soit (X, A) un espace mesurable, Y un espace métrique. Soit fn : X → Y une suite de fonctions
mesurables, convergeant simplement vers une limite f : X → Y . Alors f est mesurable.
Démonstration. Soit U un ouvert de Y , et F son complémentaire. On rappelle que la fonction distance à un
ensemble est continue (et même lipschitzienne), donc chaque fonction d(fn , F ) est mesurable de (X, A) dans
(Y, B(Y )). Comme U est ouvert, on a f (x) ∈ U si et seulement si fn (x) ∈ U (i.e. d(fn (x), F ) > 0) à partir
d’un rang. Cela se traduit par
[ [ \
f −1 (U ) =
{d(fn , F ) ≥ 1/k}.
k∈N∗ `∈N∗ n≥`

Comme fn est mesurable, chaque ensemble {d(fn , F ) ≥ 1/k} est dans A (c’est l’image réciproque d’un fermé
par une fonction mesurable), cqfd.
Définition 4. Si un est une suite d’élements de [−∞, +∞], on définit
lim sup un := lim sup uk et lim inf un := lim inf uk .
n→+∞

n→+∞ k≥n

n→+∞

n→+∞ k≥n

Démonstration de l’existence des limites. La suite vn := supk≥n uk est décroissante, donc est convergente dans
[−∞, +∞]. La suite wn := inf k≥n uk est croissante, donc converge dans [−∞, +∞].
Proposition 3. Soit un une suite de [−∞, +∞].

I. FONCTIONS MESURABLES

17

(1) lim sup un est la plus grande valeur d’adhérence de un , lim inf un la plus petite.
(2) lim inf un ≤ lim sup un , avec égalité ssi la suite converge dans [−∞, +∞].
Démonstration. (1) : soit ` ∈ [−∞, +∞] et ϕ strictement croissante telle que uϕ(n) → `. Comme ϕ(n) ≥ n,
wn ≤ uϕ(n) ≤ vn . Passage à la limite : lim inf un ≤ ` ≤ lim sup un . Il reste à montrer que lim sup un et lim inf un
sont effectivement des v.a. Soit ` = lim sup un .
Si ` = −∞, on a un ≤ vn → −∞, donc un tend vers −∞. Si ` = +∞, on choisit kn ≥ n t.q ukn ≥ vn − 1,
et ukn tend vers +∞. Si ` ∈ R, on choisit kn ≥ n tel que vn − 1/n ≤ ukn ≤ vn et on a ukn → `. Raisonnement
similaire pour la limite inférieure.
(2) : s’il y a égalité, un a une seule valeur d’adhérence, et comme [−∞, +∞] est compact, un est convergente.
Corollaire 3. Soit (X, A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞, +∞] une suite de fonctions mesurables.
Alors lim sup fn et lim inf fn sont mesurables.
Corollaire 4. Soit (X, A) un espace
P mesurable, et fn : X → [−∞, +∞] ou C une suite de fonctions
mesurables. Si la série de fonctions
fn est bien définie et converge simplement, sa somme est mesurable.

I.4

Exemples fondamentaux

Proposition 4. Soient a, b ∈ R avec a < b. Les fonctions suivantes sont boréliennes :
(1) les fonctions continues de [a, b] dans C.
(2) les fonctions monotones f : [a, b] → [−∞, +∞].
(3) toute fonction obtenue comme somme, produit et limite simple de telles fonctions.
Remarque : en particulier les fonctions en escalier, les fonctions continues par morceaux, les fonctions monotones par morceaux, et plus généralement les fonctions réglées sont boréliennes.
Démonstration. (1) : déjà fait. (2) : si J ⊂ [−∞, +∞] est un intervalle, et f est monotone, alors f −1 (J) est
un intervalle, donc un borélien.
Définition 5. Soit X un espace topologique. Une fonction f : X →] − ∞, +∞] est dite semi-continue
inférieurement (sci) si pour tout α ∈ R,
{x ∈ X t.q. f (x) > α}
est ouvert. Une fonction f : X → [−∞, +∞[ est dite semi-continue supérieurement (scs) si et seulement si
pour tout α ∈ R,
{x ∈ X t.q. f (x) < α}
est ouvert.
Remarque : ce sont donc des fonctions boréliennes.
Proposition 5. Les sommes finies de fonctions sci sont sci. La borne supérieure d’une famille de fonctions
sci est sci, et une série de fonctions sci positives est sci. Une fonction f est sci ssi −f est scs. L’indicatrice
d’un ouvert est sci et l’indicatrice d’un fermé est scs.

18

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

f (x) + g(x) − t
.
2
Soit η > 0 tel que pour tout y ∈ X t.q. d(x, y) < η, f (y) > f (x) − ε et g(y) > g(x) − ε. Alors f (y) + g(y) >
f (x) + g(x) − 2ε = t, cqfd.
Borne supérieure : si (fi )i∈I est une famille de fonctions s.c.i, pour tout t ∈ R,
Démonstration. Somme : soient f, g et t ∈ R. Soit x ∈ X tel que f (x) + g(x) > t, et ε =

{sup fi > t} = ∪i {fi > t} = réunion d’ouverts.
i

Série : si fn sont s.c.i positives, alors

+∞
X

fn = sup
n

n=1

n
X

fk .

k=1

Fonctions indicatrices : si U est ouvert, 1−1
U (]α, +∞]) vaut ∅ si α ≥ 1, U si 0 ≤ α < 1 et X si α < 0. Si F est
fermé, 1−1
([−∞,
α[)
vaut

si
α

0,
X
\
F si 0 < α ≤ 1 et X si α > 1.
F

II

Intégrale des fonctions à valeurs dans [0, +∞]

On fixe un espace mesuré (X, A, µ).

II.1

Décomposition en série

Lemme 1. Si f : X → [0, +∞] est mesurable, il existe une suite αn ∈ R+ et une suite En ∈ A tels que
f=

+∞
X

αn 1En .

n=1

Démonstration. On désigne par [·] la partie entière d’un nombre réel. Pour tout y ∈ R+ , on a
y=

X [2n+1 y] − 2[2n y]
n∈Z

2n+1

.

C’est en fait la représentation de y en base 2. Pour le voir, remarquer que c’est une série télescopique et que
[2n y]
tend vers y en +∞ et est nul si n est loin dans les négatifs. Le nombre [2n+1 y] − 2[2n y] est le n-ième
2n
chiffre après la virgule de y en base 2. Il vaut 1 si 2k + 1 ≤ 2n+1 y < 2k + 2 pour un certain k ∈ N, et 0 sinon.
X 1
La réunion de ces intervalles est un borélien En . On a donc y =
1E (y) pour tout y ∈ R+ .
2n+1 n
n∈Z
Soit f : X → [0, +∞] mesurable, et pour tout k ∈ Z, Fk = {x ∈ X t.q. f (x) ∈ Ek } = f −1 (Ek ) ∈ A, et
F = {x ∈ X t.q. f (x) = +∞} = f −1 ({+∞}) ∈ A. Par composition on a pour tout x ∈ X,

X 1
X 1
f (x) = (+∞)1F (x) +
1E (f (x)) =
1F (x) + 1F (x) , cqfd.
2k+1 k
2k+1 k
k∈Z
k∈Z

Lemme 2. Soient, pour n ∈ N∗ , an , bn deux suites de R+ , et An , Bn deux suites de A. On suppose que pour
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
tout x ∈ X,
an 1An (x) ≤
bn 1Bn (x). Alors
an µ(An ) ≤
bn µ(Bn ).
n=1

n=1

n=1

n=1

II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [0, +∞]

19

Démonstration. On procède par degré de difficulté croissant.
→ si a1A ≤ b1B , avec a, b ∈ R+ et A, B ∈ A. Alors soit la fonction a1A est nulle, i.e. a = 0 ou A = ∅, soit
elle est non nulle, i.e. a > 0 et A 6= ∅, et alors a ≤ b et A ⊂ B. Dans tous les cas on a bien aµ(A) ≤ bµ(B).
N
X
→ si
an 1An ≤ b1B , avec N ≥ 2, an , b ∈ R+ et An , B ∈ A. O procède par récurrence sur N . En multipliant
n=1

la relation

N
X

an 1An ≤ b1B respectivement par 1A2 \A1 , 1A1 ∩A2 , 1A1 \A2 et 1X\(A1 ∪A2 ) , on obtient :

n=1
N
X

an 1An ∩A2 \A1 ≤ b1B∩A2 \A1 ,

n=1

et

N
X

N
X

an 1An ∩A1 ∩A2 ≤ b1B∩A1 ∩A2 ,

n=1

N
X

an 1An ∩A1 \A2 ≤ b1B∩A1 \A2 ,

n=1

an 1An \(A1 ∪A2 ) ≤ b1B\(A1 ∪A2 ) . Chacune de ces inégalités a un ou deux termes en moins : le terme n = 1

n=1

est nul dans la première, les deux premiers termes se combinent dans la seconde, le terme n = 2 est nul dans
la troisième et les termes n = 1 et n = 2 sont nuls dans la dernière. On obtient par récurrence quatre relations
sur les mesures :
N
X

an µ(An ∩ A2 \ A1 ) ≤ bµ(B ∩ A2 \ A1 ),

n=1
N
X

N
X

an µ(An ∩ A1 ∩ A2 ) ≤ bµ(B ∩ A1 ∩ A2 ),

n=1

an µ(An ∩ A1 \ A2 ) ≤ bµ(B ∩ A1 \ A2 ), et

n=1

N
X

an µ(An \ (A1 ∪ A2 )) ≤ bµ(B \ (A1 ∪ A2 )). Comme les quatre

n=1

ensembles A1 \ A2 , A1 ∩ A2 , A2 \ A1 et X \ (A1 ∪ A2 ) partitionnent X, la somme de ces quatre relations donne
N
X
an µ(An ) ≤ bµ(B), par additivité de µ.
n=1

→ si

N
X

an 1 A n ≤

M
X

bn 1Bn avec N, M ∈ N∗ , an , bn ∈ R+ et An , Bn ∈ A, on procède par récurrence sur M ,

n=1

n=1

n=1

n=1

on multiplie la relation par 1B1 \B2 , 1B1 ∩B2 , 1B2 \B1 et 1X\(B1 ∪B2 ) , et on raisonne comme ci-dessus.
+∞
+∞
X
X
→ si
an 1 A n ≤
bn 1Bn , avec an , bn ∈ R+ et An , Bn ∈ A, on multiplie la relation par 1XM avec XM =
X \ (B1 ∪ · · · ∪ BM ). On obtient, pour tous N, M ∈ N∗ ,
N
X

an 1An ∩XM ≤

n=1

Le cas précédant donne

N
X

+∞
X

an 1An ∩XM ≤

n=1

an µ(An ∩ XM ) ≤

n=1

+∞
X

bn 1Bn ∩XM =

n=1
M
X
n=1

bn µ(B ∩ XM ) ≤

M
X

bn 1Bn ∩XM .

n=1
+∞
X

bn µ(Bn ), par croissance de µ. On fait

n=1

tendre M → +∞ (la suite XM est croissante de réunion X), puis N → +∞, et on a le résultat.

II.2

Définition de l’intégrale

20

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

Définition 6. Soit f : X → [0, +∞] mesurable. Le nombre
+∞
X

an µ(An ) ∈ [0, +∞]

n=1

est indépendant de la suite an ∈ R+ et An ∈ A telles que f =
Z
de f par rapport à la mesure µ, notée
f dµ.

+∞
X

an 1An . C’est par définition l’intégrale

n=1

Remarque : cette définition est indépendante de la décomposition de f choisie par le lemme 2. L’intégrale
classique des fonctions continues et continues par morceaux est définie de même, mais avec des indicatrices
d’intervalles. En effet, on peut montrer qu’une fonction en escalier f : [a.b] → R+ se décompose sous la forme
f=

N
X

an 1 I n ,

k=1

avec an ∈ R+ et In ⊂ [a, b] intervalle, et qu’une fonction f : [a, b] → R+ continue, continue par morceaux, et
plus généralement réglée, se représente sous forme d’une série uniformément convergeante
f=

+∞
X

an 1 I n ,

n=1

avec an ∈ R+ , In ⊂ [a, b] intervalles, et c’est une caractérisation des fonctions réglées (exo). En théorie
de l’intégrale de Lebesgue, les In ne sont plus forcément des intervalles, et la série peut être simplement
convergeante. On obtient donc beaucoup plus de fonctions intégrables.

II.3

Linéarité et croissance
Z

Proposition 6. Pour toutes fonctions f, g : X → [0, +∞] mesurables telles que f ≤ g, on a

Z
f dµ ≤

gdµ.

Démonstration. C’est exactement le lemme 2.
Proposition 7. Pour toutes fonctions f, g : X → [0, +∞] mesurables, et tous α, β ∈ R+ , on a
Z
Z
Z
(αf + βg)dµ = α f dµ + β gdµ.

Démonstration. Soient ak , bk ∈ R+ , Ak , Bk ∈ A tels que f =

+∞
X

ak 1Ak et g =

k=1

représentation possible de αf + βg est

+∞
X
k=1

Z
(αf + βg)dµ = α

+∞
X
k=1

αak 1Ak +

+∞
X

+∞
X
k=1

βbk 1Bk , donc

k=1

ak µ(Ak ) + β

+∞
X
k=1

Z
bk µ(Bk ) = α

Z
f dµ + β

gdµ.

bk 1Bk . Alors une

II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [0, +∞]

21

Proposition 8 (Inégalité de Tchebitchev). Soit f : X → [0, +∞] mesurable et α ∈ R∗+ . On a
Z
1
µ({x ∈ X t.q. f (x) ≥ α}) ≤
f dµ.
α
Démonstration. Soit E = f −1 ([α, +∞]) ∈ A. On a α1E ≤ f par définition de E, puis on intègre.
Définition 7. On dit qu’une proriété P (x) dépendant de x ∈ X est vraie presque partout s’il existe N ∈ A
tel que µ(N ) = 0 et P (x) est vraie pour tout x ∈
/ N.
Z
Proposition 9. Soit f : X → [0, +∞] mesurable. On a
f dµ = 0 si et seulement si f (x) = 0 p.p.
Z
Démonstration. Supposons que

f dµ = 0. Alors par l’inégalité de Tchebichev, les ensembles
Nn = {x ∈ X t.q. f (x) ≥ 1/n}

sont de mesure nulle, pour tout n ∈ N∗ . Ces ensembles forment une suite croissante, donc leur réunion N est
de mesure nulle. Pour tout x ∈
/ N , on a f (x) > 0.
Réciproquement, supposons que f (x) = 0 p.p. Soit N ∈ A tel que f (x) = 0 pour tout x ∈
/ N et µ(N ) = 0.
+∞
+∞
X
X
Soit an ∈ R+ et An ∈ A tels que f =
an 1An . On a f = f 1N car f (x) = 0 si x ∈
/ N , donc f =
an 1An ∩N .
n=1

n=1

Z
Chaque An ∩ N est de mesure nulle, puisque inclus dans N , donc

f dµ =

+∞
X

an µ(An ∩ N ) = 0.

n=1

Z
Proposition 10. Soit f : X → [0, +∞] mesurable telle que

f dµ < +∞. On a f (x) < +∞ p.p.

Remarque : réciproque fausse.
Démonstration. Soit E = {x ∈ X t.q. f (x) = +∞}. Alors f ≥ n1E pour tout n ∈ N , donc nµ(E) ≤


Z
f dµ,

et en faisant n → +∞ on trouve µ(E) = 0.

II.4

Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou

Théorème 2 (Théorème de convergence monotone, dit de Beppo-Levi). Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions
mesurables positives.
!
Z X
+∞
+∞ Z
X
(1) on a
fn dµ =
fn dµ.
n=1

n=1

Z
(2) si fn ≤ fn+1 pour tout n, alors

Z
lim fn dµ = lim

Z
(2) si fn+1 ≤ fn pour tout n et si

fn dµ.
Z

f1 dµ < +∞, alors

Z
lim fn dµ = lim

fn dµ.

Remarque : dansZ (1), les deux séries écrites sont nécessairement convergentes (dans [0, +∞]). Dans (2) et
(3), lim fn et lim

fn dµ existent nécessairement, par monotonie.

22

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

Lemme 3. Soient f, g : X → [0, +∞] mesurables telles que f ≤ g. Il existe h : X → [0, +∞] mesurable telle
que g = f + h.
Démonstration. On pose h(x) = g(x) − f (x) si f (x) < +∞ et h(x) = 0 si f (x) = +∞. On a bien g = f + h.
Un autre écriture pour h est h = g 1E − f 1E , avec E = {x ∈ X t.q. f (x) < +∞} = f −1 ([0, +∞[) ∈ A. Les
deux fonctions g 1E et f 1E sont donc mesurables, et leur différence est bien définie, donc h est mesurable.
Démonstration. (1) : pour tout n on a une représentation de fn sous la forme fn =

+∞
X

ak,n 1Ak,n . Une

k=1

représentation possible de

X

fn est
+∞
X

Z

+∞
X

+∞ X
+∞
X

fn =

ak,n 1Ak,n . Donc

n=1

n=1 k=1

!

+∞
+∞
X
X

fn

dµ =

n=1

n=1

!
ak,n µ(Ak,n )

=

+∞ Z
X

fn dµ.

n=1

k=1

(2) : on pose g1 = f1 , et pour tout n ≥ 2, soit gn : X → [0, +∞] telle que fn = fn−1 + gn . Par linéarité et (1),
!
!
Z X
Z X
n
n Z
+∞
+∞ Z
X
X
gk dµ =
gk dµ =
gn dµ et
gk dµ.
k=1

Or fn =

n
X

k=1
+∞
X

gk et donc lim fn =

k=1

k=1

gk , cqfd.

k=1

k=1

(3) : pour tout n ≥ 1, soit gn : X → [0, +∞] mesurable telle que fn = fn+1 + gn . Une récurrence immédiate
n−1
+∞
X
X
donne f1 = fn +
gk et donc f1 = lim fn +
gk . Par linéarité et (1) :
k=1

k=1

Z

Z
f1 dµ =

fn dµ +

n−1 Z
X

Z
gk dµ,

Z
f1 dµ =

lim fn dµ +

gk dµ

k=1

k=1

Z
et par passage à la limite dans la première,

+∞ Z
X

Z
f1 dµ = lim

fn dµ +

+∞ Z
X

gk dµ. En particulier

k=1

Z
lim fn dµ +

+∞ Z
X

Z
gk dµ = lim

fn dµ +

k=1

La série

+∞ Z
X

+∞ Z
X

Z
gk dµ =

f1 dµ < +∞.

k=1

gk dµ est donc finie, on peut la retrancher de chaque membre, cqfd.

k=1

Théorème 3 (Lemme de Fatou). Soit fn : X → [0, +∞] une suite de fonctions mesurables. On a

Z

Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf
fn dµ .
n→+∞

n→+∞

Z
Démonstration. Soit gn = inf k≥n fk et In = inf k≥n
Z

fk dµ. Pour tout k ≥ n on a gn ≤ fk donc

Z
gn dµ ≤

Z
fk dµ ∀k ≥ n donc

gn dµ ≤ In .

Ensuite on passe à la limite en utilisant le théorème de convergence monotone.

II. INTÉGRALE DES FONCTIONS À VALEURS DANS [0, +∞]

II.5

23

Relation de Chasle

Définition 8. Soit E ∈ A et f : X → [0, +∞] une fonction mesurable. On définit l’intégrale de f sur E par
rapport à (X, A, µ) par
Z
Z
f dµ := (f 1E )dµ.
E

Théorème 4. Soit f : X → [0, +∞] mesurable. L’application
Z
E→
f dµ
E

est une mesure sur A. On l’appelle la mesure de densité f par rapport à µ.
Démonstration. Pour tout E ∈ A, soit
Z
ν(E) :=

f dµ.
E

Soit En ∈ A, deux-à-deux disjoints, et E leur réunion. On a

1E =

+∞
X

1En donc f 1E =

n=1

Le théorème de convergence donne ν(E) =

+∞
X

f 1En .

n=1

+∞
X

ν(En ).

n=1

Théorème 5. Soit f : X → [0, +∞] une fonction mesurable, et ν la mesure de densité f par rapport à µ.
Pour toute fonction g : X → [0, +∞] mesurable, on a
Z
Z
gdν = gf dµ,
(2.1)
ce qui justifie la notation dν = f dµ.
Démonstration. On pose f =

+∞
X

ak 1Ak et g =

k=1

Z

+∞
X

b` 1B` , avec ak , b` ∈ R+ et Ak , B` ∈ A. On a

`=1
+∞ X
+∞
X

Z
f gdµ =

ak b` 1Ak ∩B`

!
dµ =

k=1 `=1

Z
gdν =

+∞
X

b` ν(B` ) =

`=1

II.6

+∞
X

+∞ X
+∞
X

ak b` µ(Ak ∩ B` )

k=1 `=1

Z
b`

`=1

+∞
X

ak 1Ak ∩B`

!

k=1

dµ =

+∞ X
+∞
X

b` ak µ(Ak ∩ b` ).

`=1 k=1

Une propriété remarquable de l’intégrale

Proposition 11. Soit (X, A, µ) un espace mesuré et f : X → [0, +∞] une fonction mesurable. Alors
l’intégrale de f ne dépend que des valeurs de µ sur les ensembles {f > t}, avec t > 0. Plus précisément,
Z
f dµ = lim

n→+∞

+∞
X
k=1

2−n µ({f > k2−n }).

24

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

k
Démonstration. Soit fn définie par fn (x) = 0 si f (x) = 0, et sinon fn (x) = n , où k est l’unique entier tel
2
2k
2k + 1
n
que k < 2 f (x) ≤ k + 1. Alors fn+1 (x) = n+1 ou n+1 . On voit donc que fn converge en croissant vers f
2
2
(simplement). Un autre écriture pour fn , utilisant les fonctions indicatrices, est
+∞

Card(N∗ ∩ [0, 2n f (x)[ X −n
fn =
=
2 1f >k2−n .
2n
k=1
Z
Donc

fn dµ =

+∞
X

−n

2

−n

µ({f > k2

Z
}). Or par convergence monotone,

Z
fn dµ →

f dµ, cqfd.

k=1

Corollaire 5. L’intégrale ne dépend pas de la σ-algèbre rendant la fonction mesurable.

III
III.1

Fonctions sommables
Fonctions à valeurs dans R

Définition
9. Soit f : X → R. On dit que f est intégrable (ou sommable) si elle est mesurable et si
Z
|f |dµ < +∞. Alors f+ et f− ont une intégrale finie. On pose
Z

Z
f dµ :=

Z
f+ dµ −

f− dµ.

L’ensemble des fonctions intégrables est noté L(X, A, µ) ou pour simplifier L(µ).

Démonstration. 0 ≤ f+ ≤ |f | et 0 ≤ f− ≤ |f |.
Théorème 6. L’intégrale ainsi définie vérifie les propriétés suivantes :
(1) la nouvelle définition de l’intégrale est cohérente avec celle des fonctions positives.
(2) L(X, A, µ) est un espace vectoriel et l’intégrale est une forme linéaire.
Z
Z
(4) l’intégrale est croissante, et vérifie l’inégalité triangulaire :
f dµ ≤ |f |dµ.
Démonstration du théorème. (1) : car si f ≥ 0, f− = 0 et f+ = f .
(2) : soient f, g ∈ L(X, A, µ) et h = f + g. On a pour tout x ∈ X,
h+ (x) + f− (x) + g− (x) = h− (x) + f+ (x) + g+ (x).
Donc par linéarité de l’intégrale des fonctions positives :
Z
Z
Z
Z
Z
Z
h+ dµ + f− dµ + g− dµ = h− dµ + f+ dµ + g+ dµ, cqfd.
Si λ ∈ R+ on a par linéarité de l’intégrale des fonctions positives,
Z
Z
Z
Z
Z
(λf )+ dµ = λ(f+ )dµ = λ f+ dµ et (λf )− dµ = λ f− dµ,

(2.2)

IV. THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE DE LEBESGUE
Z

Z

Z

Z

Z

25
Z

Z

Z

(−f )− dµ = f− dµ − f+ dµ = − f dµ.
Z
Z
Z
(4) : si f et g sont sommables et f ≤ g alors g = (g − f ) + f donc gdµ = f dµ + (g − f )dµ. Or g − f ≥ 0
Z
Z
Z
donc (g − f )dµ ∈ R+ , et donc
f dµ ≤ gdµ. L’inégalité triangulaire découle alors des relations f ≤ |f |
donc

λf dµ = λ

f dµ. Enfin,

(−f )+ dµ −

(−f )dµ =

et −f ≤ |f |.

III.2

Fonctions à valeurs dans C
Z

Définition 10. Une fonction f : X → C est sommable elle est mesurable et si

|f |dµ < +∞. Alors

Re(f ) et Im(f ) sont sommables. On pose
Z
Z
Z
f dµ = Re(f )dµ + i Im(f )dµ.
On utilisera aussi la notation L(X, A, µ).

Démonstration. on a |Re(f )| ≤ |f | et | Im(f )| ≤ |f |.
Proposition 12. La définition est cohérente, L(X, A, µ) est un C-espace vectoriel et l’intégrale est C-linéaire.
On a de plus l’inégalité triangulaire
Z
Z
f dµ ≤

|f |dµ.
Z

Démonstration. Évident sauf l’inégalité triangulaire. On choisit θ ∈ R tel que


Z

−iθ

f dµ = Re e

IV

Z



f dµ = e

Z
f dµ . Alors

Z
Z
−iθ
f dµ = Re(e f )dµ ≤ |f |dµ.

Théorème de convergence dominée de Lebesgue

Théorème 7 (de convergence dominée de Lebesgue). Soient fn : X → C une suite de fonctions sommables,
convergeant simplement
vers une fonction f : X → C. On suppose qu’il existe une fonction ϕ : X →
Z
[0, +∞] telle que

ϕdµ < +∞ et |fn (x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈ X ∀n ∈ N∗ . Alors

(1) la fonction f et les fonctions fn sont sommables.
Z
(2) lim
|f − fn |dµ = 0.
n→+∞

Z
(3) lim

Z
fn dµ existe et vaut

f dµ.

26

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

Démonstration. On a |fn | ≤ ϕ et |f | ≤ ϕ, donc par croissance de l’intégrale, fn et f sont sommables. Soit
gn = 2ϕ − |f − fn |. C’est une fonction mesurable et positive puisque |f − fn | ≤ |f | + |fn | ≤ 2ϕ. Par hypothèse,
gn converge simplement vers 2ϕ. Le lemme de Fatou donne
Z
Z
2ϕdµ ≤ lim inf gn dµ.
n→+∞

Z
Or lim inf
n→+∞

Z
gn dµ = 2

Z
ϕdµ − lim sup

Z
|f − fn |dµ, donc la suite

|f − fn |dµ = 0 a une limite supérieure

n→+∞

≤ 0. Comme elle est positive, c’est qu’elle tend vers 0. Pour (3) remarquer que
Z
Z
Z
f dµ − fn dµ ≤ |f − fn |dµ.

Théorème 8 (de convergence dominée pour les séries). Soit fn : X → C une suite de fonctions mesurables,
telles que
+∞ Z
X
|fn |dµ < +∞.
n=1

P
Alors chaque fn est sommable,
la série de fonctions
fn (x) converge p.p vers une fonction S : X → C
Z
X
sommable, la série
fn dµ est convergente dans C, et
+∞ Z
X

Z
fn dµ =

Sdµ.

n=1

Démonstration. Soit ϕ(x) =

+∞
X

|fn (x)|. C’est une fonction mesurable positive d’intégrale finie. Elle est donc

n=1

finie presque partout, et la suite de fonctions Sn (x) = f1 + · · · + fn converge donc presque partout. Soit N ∈ A
de mesure nulle telle que Sn (x) converge pour tout x ∈
/ N . On note S(x) cette limite, et on pose S(x) = 0 si
x ∈ N . Par construction, Sn 1X\N converge simplement vers S, donc S est mesurable. De plus |Sn | ≤ ϕ pour
tout n ∈ N∗ . Le théorème de convergence dominée donne le résultat.
Corollaire 6 (Relation de Chasle).
Soit f : X → C sommable et En une suite d’ensembles mesurables
XZ
deux-à-deux disjoints. La série
f dµ est convergente, et
En

Z
f dµ =
∪n En

+∞ Z
X
n=1

f dµ.

En

Remarque : on a donc une application σ-additive qui n’est pas positive. On appelle cela une mesure signée.
Corollaire
7 (Réciproque du théorème de convergence dominée). Soient f, fn : X → C mesurables telles que
Z
lim
|f − fn |dµ = 0. Il existe une sous-suite (fnk )k∈N∗ convergeant vers f presque partout.
n→+∞

Z
Démonstration. Soit ϕn = |f − gn |. Soit nk telle que

−k

ϕnk dµ ≤ 2 . On a donc

théorème de convergence dominée pour les séries donne en particulier ϕnk → 0 p.p.

+∞ Z
X
k=1

ϕnk dµ < +∞. Le

V. INTEGRALES À PARAMÈTRE

V

27

Integrales à paramètre

V.1

Continuité sous l’intégrale

Théorème 9. Soit (X, A, µ) un espace mesuré, (Y, d) un espace métrique. Soit f : X × Y → C une
fonction telle que
(1) pour tout y ∈ Y , f (·, y) est mesurable.
(2) pour tout x ∈ X, f (x, ·) est continue,
(3) il existe ϕ : X → [0, +∞] d’intégrale finie, telle que pour tout (x, y) ∈ X × Y , |f (x, y)| ≤ ϕ(x).
Alors pour tout y ∈ Y , x → f (x, y) est sommable, et
Z
F (y) :=
f (x, y)dµ(x)
X

est une fonction continue sur Y .

Démonstration. Soit y ∈ Y . On a
Z

Z
|f (x, y)|dµ(x) ≤

X

ϕ(x)dµ(x) < +∞,
X

donc f (·, y) est sommable. F est donc bien définie. Montrons qu’elle est continue. Soit (yn )n≥1 une suite de
Y convergent vers y. Pour tout x, f (x, yn ) converge vers f (x, y). Par le théorème de convergence dominée,
Z
Z
f (x, y)dµ, cqfd.
lim
f (x, yn ) existe et vaut
n→+∞

V.2

X

X

Dérivation sous l’intégrale

Théorème 10. Soit (X, A, µ) un espace mesuré, I un intervalle ouvert de R, non vide. Soit f : X ×I → C
une fonction telle que
(1) pour tout t ∈ I, f (·, t) est mesurable et sommable.
(2) pour tout x ∈ X, f (x, ·) est dérivable sur I.
(3) il existe ϕ : X → [0, +∞] d’intégrale finie, telle que pour tout (x, t) ∈ X × I, |∂t f (x, t)| ≤ ϕ(x).
Z
Alors pour tout t ∈ I, ∂t f (·, t) est mesurable et sommable sur X. Soit, pour t ∈ I, F (t) :=
f (x, t)dµ(x).
X

F est dérivable sur I et pour tout t ∈ I,
0

Z

F (t) =

∂t f (x, t)dµ(x).
X

28

CHAPITRE 2. INTÉGRATION

Démonstration. On considère une suite quelconque tn ∈ I tendant vers t, telle que tn 6= t pour tout n ∈ N∗ .
Et on pose
f (x, tn ) − f (x, t)
∆n (x, t) =
.
tn − t
Par l’inégalité des accroissements finis, |∆n (x, t)| ≤ ϕ(x) pour tous (x, t) ∈ X × I. De plus ∆n converge
simplement
vers ∂t f . Ceci prouve que ∂t f est sommable. Le théorème de convergence dominée montre que
Z
F (x, tn ) − F (x, t)
.
∂t f dµ = lim
n→+∞
tn − t
Remarque : Par l’inégalité des accroissements finis, on peut supposer dans (1) que f (·, t) est sommable pour
une valeur de t, car (3) impliquera qu’elle l’est pour tout t ∈ I. On laisse en exercice la généralisation du
théorème de dérivation dans pour les cas où l’on doit dériver plusieurs fois sous l’intégrale.

Chapitre 3
Comment construire des mesures
La méthode la plus générale pour construire des mesures est celle utilisée originellement par Lebesgue, et qui a
été améliorée par Carathéodory. On définit la mesure extérieure et intérieure d’un ensemble arbitraire. Si elles
sont égales, on dit que l’ensemble est mesurable, et on montre que l’application ainsi définie est σ-additive.

I

Mesures extérieures

I.1

Applications σ-sous-additives

Définition 1. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X, et µ : A → [0, +∞] une fonction telle que
µ(∅) = 0. On dit que µ est σ-sous-additive si pour tout A ∈ A, pour toute suite An ∈ A (n ∈ N∗ ),
A⊂

+∞
[

An ⇒ µ(A) ≤

+∞
X

µ(An ).

n=1

n=1

Remarque : une application σ-sous-additive est donc croissante.

Définition 2. Une mesure extérieure est une application µ : P(X) → [0, +∞] σ-sous-additive.

I.2

Mesure extérieure canonique

Proposition 1. Soit X un ensemble, A une famille quelconque de parties de X contenant ∅, et µ : A →
[0, +∞] une application telle que µ(∅) = 0. Pour tout E ⊂ X on pose
( +∞
)
X
[
µ∗ (E) = inf
µ(Ak ), avec Ak ∈ A et E ⊂
Ak ,
k=1

k≥1

avec la convention µ∗ (E) = +∞ s’il n’existe pas de telle suite Ak . Alors :
(1) µ∗ est une mesure extérieure.
(2) si µ est σ-sous-additive, alors µ∗ prolonge µ.
µ∗ s’appelle la mesure extérieure canonique associée à µ.
29

30

CHAPITRE 3. COMMENT CONSTRUIRE DES MESURES

Démonstration. (1) : soient E et En ⊂ X tels que E ⊂

[



En . Soit ε > 0. L’inégalité µ (E) ≤

+∞
X

µ∗ (En )

n=1

n≥1

est évidente si l’un des µ∗ (En ) est infini. Sinon, pour tout n, il existe une suite (Ak,n )k≥1 telle que En ⊂
+∞
[
X
An,k et
µ(Ak,n ) ≤ µ∗ (En ) + ε2−n . La famille (Ak,n )k,n≥1 est dénombrable et recouvre E, donc pour tout
k≥1

k=1

ε > 0,


µ (E) ≤

+∞ X
+∞
X
n=1 k=1



µ(An,k ) ≤

+∞
X
n=1



−n

µ (En ) + ε2

=

+∞
X

µ∗ (En ) + ε.

n=1



On a bien µ (∅) = 0 (prendre Ek = ∅ ∀k), donc µ est une mesure extérieure.
[
(2) : supposons que µ est σ-sous-additive (sur A), et soit A ∈ A. Pour toute suite Ak de A telle que A ⊂
Ak ,
k≥1

on a donc µ(A) ≤

+∞
X

µ(Ak ), ce qui donne µ(A) ≤ µ∗ (A). On obtient µ∗ (A) ≤ µ(A) en prenant A1 = A et

k=1

Ak = ∅ pour k ≥ 1.
Exemple : pour construire la mesure de Lebesgue, on prend X = R, A = les intervalles, µ = leur longeur.
Il existera toujours une suite Ak recouvrant tout E ⊂ R : prendre la suite constante Ak = R. Tout ensemble
borné aura une mesure extérieur finie, mais il y a énormément d’ensembles de mesure extérieure infinie.

I.3

Lien avec les mesures

Définition 3. Soit X un ensemble et µ une mesure extérieure sur X. Une partie A ⊂ X est µ-mesurable si
∀E ⊂ X, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E).
Remarque : X et ∅ sont toujours µ-mesurables. Pour montrer qu’un ensemble E est µ-mesurable, il suffit
de vérifier que pour tout E ⊂ X tel que µ(E) < +∞, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(E). En effet, l’inégalité
est triviale si µ(E) = +∞, et l’inégalité inverse est toujours vraie par σ-sous-additivité. Si µ(X) < +∞, la
quantité µ(X)−µ(X \E) représente la mesure intérieure de E. Un ensemble est donc µ-mesurable si sa mesure
intérieure et sa mesure extérieure sont égales. C’est comme ça que Lebesgue définissait les parties mesurables
de [a, b].
Définition 4. Soit µ une mesure extérieure sur un ensemble X. Un ensemble µ-négligeable est une partie
A ⊂ X telle que µ(A) = 0. Tout ensemble µ-négligeable est µ-mesurable.
Démonstration. Par croissance, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(A) + µ(E) = µ(E).

Théorème 1 (de Carathéodory). Soit X un ensemble, µ une mesure extérieure sur X, et A la famille
des parties µ-mesurables. Alors A est une σ-algèbre, et la restriction de µ à A est une mesure.

Démonstration. Il est clair que A est stable par compémentaire et contient ∅. On montre qu’elle est stable
par réunions finies. Soient A1 , A2 ∈ A, E ⊂ X et A = A1 ∪ A2 . On a
µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E ∩ A ∩ A1 ) + µ(E ∩ A \ A1 ) + µ(E \ A)
= µ(E ∩ A1 ) + µ(E ∩ A2 \ A1 ) + µ((E \ A1 ) \ A2 ) = µ(E ∩ A1 ) + µ(E \ A1 ) = µ(E), cqfd.

II. CRITÈRES DE MESURABILITÉ

31

En particulier A est aussi stable par différence et intersections finies. Il suffit donc de montrer qu’elle est
stable par réunions dénombrables disjointes. Soient An ∈ A deux-à-deux disjoints, A leur réunion et E ⊂ X.
Pour tout n ∈ N∗ , comme An est µ-mesurable,
µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An )) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An ) \ An ) + µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An ) ∩ An )
n
X
= µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An−1 )) + µ(E ∩ An ) = · · · =
µ(E ∩ Ak ).
k=1

Donc

n
X

µ(E ∩ Ak ) ≤ µ(E ∩ A) pour tout n, ce qui donne

k=1

+∞
X

µ(E ∩ Ak ) ≤ µ(E ∩ A). L’inégalité inverse

k=1

est toujours vraie par σ-sous-additivité, donc il y a égalité. En prenant E = X on voit que µ est σ-additive.
Comme A1 ∪ · · · ∪ An ∈ A, on a aussi
µ(E) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An )) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An ))
n
n
X
X
=
µ(E ∩ Ak ) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An )) ≥
µ(E ∩ Ak ) + µ(E \ A) → µ(E ∩ A) + µ(E \ A), cqfd.
k=1

k=1

Corollaire 1 (de la démonstration). Soit µ une mesure extérieure sur un ensemble X. Pour tout E ⊂ X,
l’application A → µ(A ∩ E) est une mesure sur la tribu des ensembles µ-mesurables.
Remarque : on peut utiliser ce corollaire pour montrer que toute mesure sur une σ-algèbre A 6= P(X) peut
être prolongée sur une σ-algèbre strictement plus grosse.

II

Critères de mesurabilité

Construire une mesure à partir d’une mesure extérieure n’a d’intérrêt que si la famille des ensembles mesurables
est assez riche. On dispose de deux critères pour identifier ces ensembles.

II.1

Cas des espaces métriques

Ce critère est le plus important.
Lemme 1 (Critère de Carathéodory). Soit (X, d) un espace métrique, µ une mesure extérieure sur X. Les
boréliens de X sont µ-mesurables si et seulement si pour toutes parties A et B de X telles que d(A, B) > 0,
on a µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
Remarque : on dit que µ est additive à distance strictement positive.
Démonstration. La condition est nécessaire : soit U = {x ∈ X t.q. d(x, B) < d(A, B)/2}. U est ouvert donc
mesurable : µ((A ∪ B)) = µ((A ∪ B) ∩ U ) + µ((A ∪ B) \ U ). Or (A ∪ B) ∩ U = A et (A ∪ B) \ U = B, cqfd.
La condition suffit : on montre que les fermés F de X sont µ-mesurables. Soit E ⊂ X tel que µ(E) < +∞.
Pour n ≥ 1 on pose
n
n
1o
1o
, Vn = x ∈ E t.q. d(x, F ) ≥
, et εn = µ∗ (Un ).
Un = x ∈ E t.q. 0 < d(x, F ) <
n
n
Comme F est fermé, E \ F = Un ∪ Vn . De plus d(E ∩ F, Vn ) ≥ d(F, Vn ) ≥

1
> 0, donc
n

µ(E ∩ F ) + µ(E \ F ) ≤ µ(E ∩ F ) + µ(Un ) + µ(Vn ) = µ((E ∩ F ) ∪ Vn ) + εn ≤ µ(E) + εn .

32

CHAPITRE 3. COMMENT CONSTRUIRE DES MESURES

Pour tout n on a 0 ≤ εn+1 ≤ εn ≤ µ(E) < +∞. Donc ` = lim εn existe. On montre que ` = 0. Comme
1
1
d(Un \ Un+1 , Un+2 ) ≥ d(Vn+1 , Un+2 ) ≥ n+1
− n+2
> 0, on a
µ(Un \ Un+1 ) + µ(Un+2 ) = µ((Un \ Un+1 ) ∪ Un+2 ) ≤ µ(Un ).
Donc µ(Un \ Un+1 ) ≤ εn − εn+2 . Par σ-sous-additivité,
! +∞
+∞
+∞
[
X
X
εn = µ(Un ) = µ
Uk \ Uk+1 ≤
µ(Ak \ Ak+1 ) ≤
εk − εk+2 = εn + εn+1 − 2`.
k=n

k=n

k=n

En passant à la limite on a ` = 0.
Corollaire 2. Sous les hypothèses du lemme, la restriction de µ à B(X) est une mesure.
Remarque : ce critère montre qu’en toute généralité, construire une mesure est fortement lié à la nature
topologique de l’espace X. La classe la plus générale d’espaces topologiques sur lesquels on sait construire de
bonnes mesures sont les espaces polonais (métriques, séparables, complets).

II.2

Cas des mesures extérieures canoniques

Lemme 2 (critère de mesurabilité). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, µ : A →
[0, +∞] telle que µ(∅) = 0, et µ∗ la mesure extérieure canonique associée. Une partie A de X est µ∗ -mesurable
ssi pour tout B ∈ A,
µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (B \ A) ≤ µ(B).
Démonstration. Nécessité : si A est mesurable, alors µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (B \ A) = µ∗ (B), et comme B ∈ A,
µ∗ (B) ≤ µ(B).
Suffisance : soit E ⊂ X tel que µ∗ (E) < +∞ et ε > 0. Il existe une suite En ∈ A, recouvrant E, telle que
+∞
X
µ(En ) ≤ µ∗ (E) + ε. Comme µ∗ est σ-sous-additive,
n=1





µ (E ∩ A) + µ (E \ A) ≤

+∞
X





µ (En ∩ A) + µ (En \ A) ≤

n=1

+∞
X

µ(En ) ≤ µ∗ (E) + ε.

n=1

Remarque : ce critère n’est pas à retenir, on l’énonce car il nous servira dans des démonstration.
Corollaire 3 (Théorème d’extension de Carathéodory). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X
contenant ∅, stable par intersections finies et différence, et µ : A → [0, +∞] une application σ-additive. Alors
µ se prolonge en une mesure sur σ(A).
Démonstration. En particulier µ est σ-sous-additive donc µ∗ prolonge µ. Elle est aussi en particulier finiment
additive donc le critère est vérifié : tous les éléments de A sont mesurables. La restriction de µ∗ à σ(A) est
donc une mesure (théorème des mesures extérieures), prolongeant µ.

III
III.1

Unicité des constructions
Mesures finies

III. UNICITÉ DES CONSTRUCTIONS

33

Théorème 2 (d’unicité des mesures I). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par
intersections finies, et µ et ν deux mesures finies sur σ(A), de même masse, et égales sur A. Alors elles
sont égales sur σ(A).

Remarque : µ et ν peuvent être égales sur A sans avoir la même masse. Exemple :
X = {1, 2, 3}, A = {{1}, {1, 2}}, σ(A) = P(X), µ = δ1 , ν = δ1 + δ3 .
Démonstration. Soit C la famille des E ∈ σ(A) tels que µ(E) = ν(E). Si E, F ∈ C avec E ⊂ F , on a
µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) = ν(F ) − ν(E) = ν(F \ E), et si En est une suite croissante de C, µ(∪En ) =
lim µ(En ) = lim ν(En ) = ν(∪En ). On a donc une classe monotone, et le lemme des classe monotones donne
σ(A) ⊂ C.

III.2

Mesures σ-finies

Théorème 3 (d’unicité des mesures II). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par
intersections finies, et µ et ν deux mesures σ(A). On suppose que µ = ν sur A, et qu’il existe une suite
croissante Xn ∈ A, de réunion X, telle que µ(Xn ) = ν(Xn ) < +∞ ∀n. Alors µ = ν.

Démonstration. Les deux mesures E → µ(E ∩ Xn ) et E → ν(E ∩ Xn ) sont égales par le théorème d’unicité I.
Puis on fait n → +∞.
Remarque : Le théorème ne peut être vrai en toute généralité pour les mesures infinies. Par exemple, la
mesure de Lebesgue et son double sont distinctes, mais égales sur la famille des intervalles du type [a, +∞[,
qui engendrent les boréliens.

34

CHAPITRE 3. COMMENT CONSTRUIRE DES MESURES

Chapitre 4
La mesure de Lebesgue et ses corollaires
La mesure de Lebesgue sur Rd

I
I.1

Construction par mesure extérieure

Définition 1. Un pavé de Rd est un ensemble de la forme P = I1 × I2 × · · · × Id , où les Ik sont des intervalles.
On pose Vol(P ) = `(I1 ) × · · · × `(Id ). C’est le volume du pavé P . P est un cube si les Ik sont bornés et ont
même longeur.
Remarque : les intervalles peuvent être de longeur infinie ou nulle. On utilise la convention 0 × ∞ = 0.

Définition 2. Soit P la famille des pavés.
ˆ La mesure extérieure de Lebesgue, notée m, est la mesure extérieure canonique associée à la fonction
Vol : P → [0, +∞].
ˆ La tribu de Lebesgue L(Rd ) est la famille des ensembles m-mesurables. On les appelle les ensembles
mesurables, ou s’il faut préciser, les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.
ˆ La restriction de m à L(Rd ) est la mesure de Lebesgue. On la note encore m.

Remarque : pour d = 1 on la note plutôt ` comme longeur. La mesure (extérieure) de Lebesgue d’un ensemble
+∞
X
E ⊂ R est donc la borne inférieure des sommes
`(In ), où In est une suite d’intervalles recouvrant E (une
n=1

telle suite existe toujours).

I.2

Généralisation du volume

Théorème 1. Propriétés fondamentales de la mesure de Lebesgue.
(1) m est invariante par translations : pour tout x ∈ Rd , pour tout E ⊂ Rd , m(x + E) = m(E).
(2) pour tout pavé P , m(P ) = Vol(P ).
(3) B(Rd ) ⊂ L(Rd ).

35

36

CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Lemme 1 (de Borel). La fonction Vol : P → [0, +∞] est σ-sous-additive.
k
, avec k ∈ Z, on voit que
n
lim nCard(I ∩ n−1 Z) = `(I) (que I soit borné, non borné, d’intérieur vide ou non vide). Donc pour tout

Démonstration. En dénombrant les points x d’un intervalle I, de la forme x =
n→+∞

pavé Q,
lim n−d Card(Q ∩ (n−1 Z)d ) = vol(Q).

n→+∞

Soit Q un pavé, recouvert par une famille (Qk )k≥1 de pavés. Si Q est compact, et si les Qk sont ouverts, il
existe N tel que Q ⊂ Q1 ∪ · · · ∪ QN . Par sous-additivité du cardinal, pour tout n ≥ 1,
−d

−1

d

n Card(Q ∩ (n Z) ) ≤

N
X

n−d Card(Qk ∩ (n−1 Z)d ).

k=1

On fait tendre n → +∞ et on obtient vol(Q) ≤

N
X

vol(Qk ) ≤

k=1

+∞
X

vol(Qk ).

k=1

Dans le cas général, on choisit un pavé compact Qε ⊂ Q tel que vol(Qε ) → vol(Q), et des pavés ouverts
Qεk contenant Qk , tels que vol(Qεk ) = vol(Qk ) + ε2−k . On a donc pour tout ε > 0,
ε

vol(Q ) ≤

+∞
X

−k

vol(Qk ) + ε2

k=1

=

+∞
X

vol(Qk ) + ε, cqfd.

k=1

Preuve du théorème. (1) : la fonction volume des pavés est invariante par translation, donc la mesure extérieure
canonique associée aussi.
(2) : par le lemme de Borel, la fonction Vol et la mesure extérieure canonique associée coı̈ncident sur les pavés.
(3) : on remarque que les boréliens de Rd sont engendrés par les pavés du type I1 × · · · × Id , avec Ik = R
sauf pour une valeur, pour laquelle Ik est un intervalle du type ]a, +∞[. On démontre par exemple que
P =]a, +∞[×Rd−1 est mesurable, pour tout a ∈ R. Soit Q = J1 × · · · × Jd un pavé quelconque. On a
Q ∩ P = (J1 ∩]a, +∞[) × J2 × · · · × Jd et Q \ P = (J1 ∩] − ∞, a]) × J2 × · · · × Jd .
Comme J1 ∩]a, +∞[ et ] − ∞, a] ∩ J1 sont des intervalles disjoints dont la réunion est l’intervalle J1 , il est
évident que `(J1 ∩]a, +∞[) + `(J1 ∩] − ∞, a]) = `(J1 ). On a donc Vol(Q ∩ P ) + Vol(Q \ P ) = Vol(Q). Comme
Q ∩ P et Q \ P sont des pavés, (2) donne m(P ∩ Q) = Vol(P ∩ Q) et m(Q \ P ) = Vol(Q \ P ). En particulier,
m(P ∩ Q) + m(Q \ P ) ≤ Vol(Q), pour tout pavé Q. Le critère de mesurabilité du chapitre (3) est vérifé, donc
P est bien mesurable.
Remarque : on notera aussi m la restriction de la mesure extérieure de Lebesgue aux boréliens.

I.3

Caractérisation

Théorème 2. Soit µ une mesure de Borel sur Rd .
(1) si µ est invariante par translations et si µ([0, 1]d ) = 1, alors µ = m.
(2) si µ est invariante par translations et µ([0, 1]d ) < +∞, alors µ est proportionnelle à m.

I. LA MESURE DE LEBESGUE SUR RD

37

Définition 3. Un cube dyadique est un cube de la forme
d
Y
[ki 2−n , (ki + 1)2−n [,
i=1

avec ki ∈ Z pour tout i ∈ {1, . . . , d}, et n ∈ Z.
Proposition 1. Pour tout n ∈ Z, la famille des cubes dyadiques de génération n est une partition de Rd .
Pour tous cubes dyadiques P et Q, on a soit P ∩ Q = ∅, soit Q ⊂ P , soit P ⊂ Q.
Démonstration. Si x ∈ R vérifie k2−n ≤ x < (k + 1)2−n , avec n ∈ Z et k ∈ Z, alors k = [2n x], et
réciproquement. Ceci montre que pour tout x ∈ Rd , pour tout n ∈ Z, il existe un unique cube dyadique
de côté 2−n contenant x.
d
d
Y
Y
Soient P =
[ki 2−n , (ki + 1)2−n [ et Q =
[`i 2−m , (`i + 1)2−m [ deux cubes dyadiques se rencontrant, avec
i=1

i=1

n < m. Soit x ∈ P ∩ Q. Pour tout i ∈ {1, . . . , d},
ki 2m−n ≤ 2m xi < (ki + 1)2m−n et `i ≤ 2m xi < `i + 1.
Comme 2m−n est un entier, cela implique que ki 2m−n ≤ `i < `i + 1 ≤ (ki + 1)2m−n , i.e. Q ⊂ P .
Lemme 2 (de recouvrement de Whitney). Tout ouvert de U de Rd est réunion dénombrable disjointe de cubes
dyadiques de côté aussi petit que l’on veut.
Démonstration. Comme U est ouvert, pour tout x ∈ U , il existe un cube dyadique P de côté 2−n assez petit,
tel que x ∈ P ⊂ U . On choisit n minimal avec n ≥ 0. P est alors unique, on l’appelle P (x).
Par la proposition, P (x) ∩ P (y) 6= ∅ ⇒ P (x) ⊂ P (y) ou P (y) ⊂ P (x). Par minimalité, P (x) = P (y). Donc
la famille de ces cubes du type P (x) partitionne U . En bissectant, on obtient des cubes de côté aussi petit
que l’on veut.
Démonstration du théorème. (1) : soit c = µ([0, 1[d ). On a 0 ≤ c ≤ 1. Pour tout n ∈ N, [0, 1[d est la réunion
disjointe de 2nd cubes dyadiques de côté 2−n . Par invariance par translations, c = µ([0, 1[d ) = 2nd µ([0, 2−n [d ).
On voit donc que pour tout cube dyadique Q de côté ≤ 1, µ(Q) = c × m(Q). Par le lemme de Whitney,
µ(U ) = c × m(U ) pour tout ouvert U . On applique ensuite le théorème d’unicité des mesures qui donne
µ(E) = c × m(E) pour tout E ∈ B(Rd ). En particulier
1 = µ([0, 1]d ) = c × m([0, 1]d ) = c donc m = µ.
(2) : si µ([0, 1]d ) = 0, l’invariance par translation donne µ = 0. Sinon, on applique (1) à la mesure

I.4

µ
.
µ([0, 1]d )

Ensembles et fonctions mesurables

Proposition 2 (Régularité de la mesure de Lebesgue). Soit E ∈ L(Rd ).
(1) pour tout ε > 0, il existe un ouvert U et un fermé F tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.
(2) il existe A, B ∈ B(Rd ) tels que A ⊂ E ⊂ B et m(B \ A) = 0.
(3) Régularité extérieure : m(E) = inf{m(U ) avec U ouvert et E ⊂ U }.
(4) Régularité intérieure : m(E) = sup{m(K) avec K compact et K ⊂ E}.

38

CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Démonstration. (1) : pour tout n ≥ 1 soit En = E ∩[−n, n]d . En est borné, donc de mesure finie.X
Par construction de la mesure de Lebesgue, il existe une suite de cubes (Qk,n )k≥1 recouvrant En , tels que
vol(Qk,n ) ≤
k

m(En ) + 2−n ε. On choisit un cube ouvert Q0k,n contenant Qk,n , tel que vol(Q0k,n ) = vol(Qk,n ) + 2−n−k ε. Soit
[
S
Un =
Qk,n et U = n Un . U est ouvert, contient E, et
k

!
m(U \ E) = m

[

Un \ En

!


n



X

X
n≥1

m(Un \ En ) =

X X
n≥1

vol(Qk,n ) + 2−n−k ε

− m(En )

k≥1

m(En ) + 2−n ε + 2−n ε − m(En ) = 2ε.

(4.1)

n≥1

En appliquant ceci au complémentaire on trouve V ouvert avec Rd \ E ⊂ V et m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε. En
posant F = Rd \ V on a m(E \ F ) = m(E ∩ V ) = m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε, cqfd.

(2) : pour tout
existe un ouvert Un et un fermé Fn tels que Fn ⊂ E ⊂ Un et m(Un \ Fn ) < 1/n.
\ n ∈ N il S
Soient B =
Un et A = Fn . Ce sont des boréliens tels que A ⊂ E ⊂ B et pour tout n ∈ N∗ ,
m(B \ A) ≤ m(Un \ Fn ) < 1/n → 0.
(3) : immédiat.
(4) : par (1), m(E) = sup{m(F ) avec F fermé et F ⊂ E}. Il suffit donc de montrer (4) pour E fermé. Dans ce
cas, Kn = E ∩ [−n, n]d est une suite croissante de compacts de réunion E, donc lim m(Kn ) = m(E), cqfd.
Définition 4. Une fonction f : Rd → C ou [0, +∞] est dite mesurable si elle l’est pour la tribu de Lebesgue
sur Rd et la tribu de Borel sur C ou [0, +∞].
Remarque : les fonctions mesurables pour les tribus de Lebesgue au départ et à l’arrivée sont un cas particulier.
Proposition 3. Lien entre fonctions mesurables et boréliennes ;
(1) les fonctions boréliennes et les fonctions nulles p.p. sont mesurables.
(2) toute fonction mesurable est la somme d’une fonction borélienne et d’une fonction nulle p.p.
Remarque : on utilisera presque exclusivement les fonctions boréliennes, et la proposition montre qu’on y
perd rien. On montre en TD qu’une fonction intégrable au sens de Riemann n’est pas forcément borélienne,
mais est toujours mesurable.
Démonstration. (1) : on montre qu’une fonction nulle presque partout est mesurable quelle que soit la tribu
d’arrivée. Soit N ⊂ Rd et f : Rd → C ou [0, +∞] tels que f (x) = 0 pour tout x ∈
/ N et m(N ) = 0. N est
négligeable, donc toute partie de N est mesurable (de mesure nulle). Soit E ⊂ C ou [0, +∞]. Si 0 ∈
/ E, alors
−1
−1
d
d
−1
−1
f (E) ⊂ N , donc f (E) ∈ LR ). Si 0 ∈ E, alors R \ f (E) ⊂ N , donc on a aussi f (E) ∈ L(Rd ).
(2) : il suffit de faire le cas des fonctions f : Rd → [0, +∞] mesurables. Soient An ∈ L(Rd ) et an ∈ R+ tels
+∞
X
que f =
an 1An . Pour tout n ∈ N∗ , on choisit un borélien Bn ⊂ An tel que m(An \ Bn ) = 0. Alors
n=1

g=

+∞
X
n=1

an 1Bn est borélienne, et h =

+∞
X
n=1

an 1An \Bn est nulle p.p. Clairement, f = g + h.

II. GÉNÉRALISATIONS DE LA MESURE DE LEBESGUE

II
II.1

39

Généralisations de la mesure de Lebesgue
Mesures de Haussdorf

On fixe un espace métrique (X, d). Le diamètre d’une partie E non vide de X est
n
o
diam(E) = sup d(x, y) avec (x, y) ∈ E 2 ∈ [0, +∞].
Par convention diam(∅) = 0. On sait bien mesurer des distances sur un espace métriques. Pour mesurer des
longeur (de courbes par exemples), des aires. . . on utilise les mesures de Hausdorf.

Définition 5. Soit ϕ : R+ → R+ une fonction quelconque telle que ϕ(0) = 0 (on l’appelle la jauge), et
(X, d) un espace métrique. Soit Aε la famille des parties de X de diamètre ≤ ε et µε : Aε → [0, +∞]
définie par µε (E) = ϕ(diam(E)). Soit Hε la mesure extérieure canonique associée à µε . On rappelle qu’elle
est définie pour tout E ⊂ X par
Hε (E) = inf

+∞
nX

o
ϕ(diam(En )), où (En )m∈N∗ est un recouvrement de E tel que diam(En ) ≤ ε ∀n ∈ N∗ .

n=1

La fonction ε → Hε (E) est décroissante. On pose H(E) := lim Hε (E) = sup Hε (E). H est une mesure
ε→0

ε>0

extérieure sur X et une mesure sur B(X), appelée mesure de Haussdorf pour la distance d et la jauge ϕ.

Démonstration. Si ε < ε0 , on a Aε ⊂ Aε0 , donc ε → Hε est bien décroissante. La borne supérieure d’une
famille de mesures extérieure en est une (exo). Il reste à démontrer que les boréliens sont H-mesurables.
Soient A, B ⊂ X tels que d(A, B) > 0. Soit ε tel que 0 < ε < d(A, B). On se fixe un recouvrement (En )n≥1
de A ∪ B avec diam(En ) ≤ ε pour tout N ∈ N∗ , tel que
+∞
X

ϕ(diam(En )) ≤ Hε (A ∪ B) + ε.

n=1

Soit I l’ensemble des indices k tels que Ek rencontre A, et J l’ensemble des indices ` tels que E` rencontre B.
Comme d(A, B) > ε, on a I ∩ J = ∅, et la famille (Ek )k∈I est un ε-recouvrement de A et la famille (E` )`∈J est
un ε-recouvrement de B. Donc
X
X
X
Hε (A) + Hε (B) ≤
ϕ(diam(Ek )) +
ϕ(diam(E` )) =
ϕ(diam(En )) ≤ Hε (A ∪ B) + ε.
k∈I

`∈J

n∈I∪J

En faisant ε → 0 on a H(A) + H(B) ≤ H(A ∪ B), et l’inégalité inverse découle de la sous-additivité.
Remarque : on peut se convaincre facilement en faisant un dessin que mesurer la longeur d’une courbe revient à
prendre la jauge ϕ(r) = r. Les jauges utilisées en pratique sont les fonctions puissance r → rα , avec 0 < α ≤ d.

II.2

Propriétés des mesures de Haussdorf

Proposition 4. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, ϕ : R+ → R+ telle que ϕ(0) = 0. Soit H
la mesure de Haussdorf sur X pour la distance d et la jauge ϕ, et H0 la mesure de Haussdorf sur Y pour la
distance δ et la jauge ϕ. Si f : X → Y est une isométrie, alors pour tout E ⊂ X on a H0 (f (E)) = H(E).

40

CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Démonstration. on a diam(f (E)) = diam(E).
Proposition 5. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, ϕ : R+ → R+ croissante telle que ϕ(0) = 0.
Soit K > 0 et ψ : R+ → R+ définie par ψ(r) = ϕ(Kr). Soit H00 la mesure de Haussdorf sur X pour la
distance d et la jauge ψ, et H0 la mesure de Haussdorf sur Y pour la distance δ et la jauge ϕ. Si f : X → Y
est K-lipschitzienne, alors pour tout E ⊂ X on a H0 (f (E)) ≤ H00 (E).
Démonstration. on a diam(f (E)) ≤ Kdiam(E).
Corollaire 1. Les mesures de Haussdorf sur Rd associées à une norme quelconque et la jauge ϕ(r) = rα avec
α > d, sont identiquement nulles.
Démonstration. Soit H la mesure de Haussdorf considérée. Elle est invariante par translations car les translations sont des isométries. Il suffit donc de voir que H([0, 1]d ) = 0. Or, [0, 1]d est la réunion de 2nd cubes de
côté 2−n , donc de diamètre c2−n , où c est la diamètre du cube unité pour la norme considérée. Donc, avec les
notations de la définition,
2nd
X
d
Hc2−n ([0, 1] ) ≤
(c2−n )α = cα 2(d−α)n .
i=1
d

Le membre de gauche tend vers H([0, 1] ) et le membre de droite vers 0, lorsque n → +∞.

II.3

Définition alternative de la mesure de Lebesgue

Théorème 3. Pour tout x ∈ Rd , soit kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xd |}.
(1) La mesure de Haussdorf sur Rd pour la jauge ϕ(r) = rd et la norme k·k∞ est la mesure de Lebesgue.
(2) Si on prend la même jauge mais une norme arbitraire, on obtient un multiple non nul de m.

Lemme 3. Soit E ⊂ Rd borné. Il existe un cube P contenant E, de même diamètre pour la norme k·k∞ .
Démonstration. Soit δ = diamE. Pour tout 1 ≤ i ≤ d, soit ai = inf{xi avec x = (x1 , . . . , xd ) ∈ E}. On a
ai ≤ xi = ai + xi − ai ≤ ai + δ. Donc P = [a1 , a1 + δ] × · · · × [ad , ad + δ] convient.
Démonstration. Comme la distance considérée est une norme, les translations sont des isométries. Les mesures
de Haussdorf correspondantes sont donc invariantes par translations.
(1) : il s’agit de voir que H([0, 1]d ) = 1. Soit ε > 0 et En une suite de parties de Rd recouvrant [0, 1]d , de
diamètre ≤ ε. Par le lemme, m(En ) ≤ (diam(En ))d , ce qui donne
d

1 = m([0, 1] ) ≤

+∞
X
n=1

+∞
X
m(En ) ≤
(diam(En ))d .
n=1

Ceci montre que 1 ≤ Hε ([0, 1]d ) pour tout ε > 0, et en passant à la limite on obtient 1 ≤ H([0, 1]d ). Pour
l’inégalité inverse, on remarque que pour tout n ∈ N∗ , [0, 1]d est partitionné en nd cubes de côté 1/n. On a
nd
X
d
(1/n)d = 1. Puis on fait n → +∞.
donc H 1 ([0, 1] ) ≤
n

k=1

(2) : il s’agit de voir que 0 < H([0, 1]d ) < +∞. La norme N utilisée est équivalente à la norme k·k∞ . Il existe
c ∈ R∗+ tel que
c−1 × kxk∞ ≤ N (x) ≤ ckxk∞

II. GÉNÉRALISATIONS DE LA MESURE DE LEBESGUE

41

pour tout x ∈ Rd . Autrement dit, l’application identité est c-lipschitzienne de (Rd , k·k∞ ) dans (Rd , N ), ainsi
que son inverse. On a donc
1 = m([0, 1]d ) ≤ cd H([0, 1]d ) et H([0, 1]d ) ≤ cd m([0, 1]d ) = cd ,
soit c−d ≤ H([0, 1]d ) ≤ cd .
Corollaire 2. On rappelle que les isométries euclidiennes de Rd sont les composées de translations, rotations
et symétries orthogonales.
(1) la mesure de Lebesgue est invariante isométries euclidiennes.
(2) si 1 ≤ k < d, pour tout E ⊂ Rk et toute f : E → Rd lipschitienne, f (E) est négligeable.
(3) tout sous-espace vectoriel et toute sous-variété de Rd de dimension 1 ≤ k < d est négligeable.
Démonstration. (1) : prendre la norme euclidienne.
(2) : par les propriété des mesures de Haussdorf on a m(f (E)) ≤ C d H(E), où H est la mesure de Haussdorf
sur Rk pour la jauge ϕ(r) = rd . Or H est identiquement nulle puisque k < d.
(3) : soit E un sous-espace vectoriel de Rd de dimension 1 ≤ k < d. Il existe f : Rk → Rd linéaire telle que
E = f (Rk ). Comme f est en particulier lipschitzienne, on a m(E) = m(f (Rk )) = 0. Soit M une sous-variété
de Rd de dimension k. M est localement l’image d’un ouvert de Rk par une fonction de classe C 1 . Une telle
fonction est lipschitzienne si l’ouvert est suffisamment petit.
Définition 6. Si E est un espace affine euclidien de dimension d, la mesure de Lebesgue est l’unique mesure
de Borel sur E, invariante par translations, telle que la mesure des boules de E, soit la mesure des boules
euclidiennes de Rd de même rayon.
Démonstration. On doit montrer l’existence et l’unicité. Soit f : E → Rd une isométrie affine. La mesure image
de m par f convient. Réciproquement, si µ convient, sa mesure image par f −1 est invariante par translation,
et est égale à m sur les boules euclidiennes. Elle est en particulier finie sur [0, 1]d , donc proportionnelle à m.
Le coefficient de proportionalité ne peut être que 1.
Remarque : on parlera donc de la mesure de Lebesgue sur un sous-espace vectoriel E de Rd . Elle n’a rien à
voir avec la mesure de Lebesgue sur Rd .

II.4

Longeur, aire, surface de parties courbées de Rd

p
Définition 7. On munit Rd de sa norme euclidienne canonique kxk2 =
x21 + · · · + x2d . Pour k ∈
d
{1, . . . , d}, on désigne par Hk la mesure de Haussdorf sur R , pour la distance euclidienne et la jauge
ϕ(r) = ck rk , où ck est une constante de renormalisation choisie de sorte que Hk ([0, 1]k × {0}d−k ) = 1.
Pour k = d on a la mesure de Lebesgue , donc on utilisera la notation m. Pour k = 1, on notera plutôt
cette mesure ` comme longeur.

Démonstration de l’existence de ck . Soit E = [0, 1]k ×{0}d−k , µ la mesure de Haussdorf sur Rd , pour la distance
euclidienne et la jauge ϕ(r) = rk , et ν la même mais sur Rk . On sait que ν est un multiple non nul de la mesure
de Lebesgue sur Rk . L’application x → (x, 0) est isométrique de Rk dans Rd , donc µ(E) = ν([0, 1]k ) ∈]0, +∞[.
Il suffit de poser ck = ν([0, 1]k )−1 .

42

CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Remarque : contrairement au cas k = d, les mesures changent si on prend une autre norme. Comme on a
choisi la norme euclidienne, Hk est invariante par isométries affines, mais ce ne serait pas le cas sinon. Tout
borélien E de Rd a donc une longeur, une aire, un volume. . .
Exemple 1 : soit C le cercle unité de R2 . On a `(C) = 2π et H2 (C) = 0 (l’aire d’un cercle est nulle). Par
contre si D est le disque unité, on a `(D) = +∞ et H2 (D) = π.
Exemple 2 : soit S la sphère unité de R3 . On a `(S) = +∞, H2 (S) = 4π et H3 (S) = 0. Si B est la boule
unité de R3 , on a H1 (B) = +∞, H2 (B) = +∞ et H3 (B) = 4π/3.
Exemple 3 : Soit γ : [a, b] → Rd un arc paramétré de classe C 1 , et Γ son image dans Rd . Exo: on a
Z

b

`(Γ) ≤

kγ 0 (t)kdt.

a

Faire un dessin. On montrera plus tard qu’il y a égalité si γ est un arc régulier sans points doubles.
Remarque : exo : pour tout E ⊂ Rd , il existe au plus une valeur réelle 0 < s ≤ d telle que 0 < Hs (E) < +∞
(c’est la dimension de Haussdorf de E). Ce n’est pas forcément un entier.
Proposition 6. Soit k ∈ {1, . . . , d} et C ∈ R∗+ .
(1) pour toute application C-lipschitzienne f : Rd → Rd , Hk (f (E)) ≤ C k Hk (E).
(2) Hk est invariante par translations, rotations et symétries, et est k-homogène.
(3) la restriction de Hk aux sous-espaces affines de dimension k est la mesure de Lebesgue.
Démonstration. (1) : déjà fait.
(2) : isométries déjà fait. Si t ∈ R∗+ , x → tx est t-Lipschitzienne, et son inverse est t−1 -Lipschitzienne. Donc
pour tout E ⊂ Rd ,
Hk (tE) ≤ tk Hk (E) et Hk (E) = Hk (t−1 (tE)) ≤ t−k Hk (tE).
(3) : Hk est invariante par translations et Hk ([0, 1]k × {0}d−k ) = 1. Sa restriction à Rk × {0}d−k est donc la
mesure de Lebesgue. Tout sous-espace affine de Rd de dimension k est isométrique à Rk × {0}d−k , cqfd.

II.5

Mesures de Lebesgue-Stieljes

Les mesures les plus intéressantes sur R sont celles pour lesquelles les fonctions continues sont intégrables
localement, c’est-à-dire sur tout intervalle borné. Autrement dit la mesure de tout ensemble borné est finie.
Proposition 7. Soit µ une mesure de Borel sur R finie sur les ensembles bornés. Il existe une fonction
ϕ : R → R, unique à constante additive près, telle que µ(]a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 tels que
a < b. Une telle fonction est nécessairement croissante et continue à droite.
Démonstration. Pour tout 0 ≤ x < +∞ on pose ϕ(x) = µ(]0, x]) et pour tout −∞ < x ≤ 0, ϕ(x) = −µ(]x, 0]).
Si 0 ≤ a < b < +∞, on a ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − µ(]0, a]) = µ(]a, b]). De même si −∞ < a < b ≤ 0,
ϕ(b) − ϕ(a) = −µ(]b, 0]) + µ(]a, 0]) = µ(]a, b]), et enfin si a ≤ 0 ≤ b, ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − (−µ(]a, 0])) =
µ(]a, b]).
L’unicité est immédiate : si ψ est un autre candidat, ϕ(b) − ϕ(a) = ψ(b) − ψ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 tels
que a < b, donc ϕ − ψ est constante. Comme µ ≥ 0, ϕ est nécessairement croissante. De plus, si bn est une
suite tendant vers b en décroissant, l’intersection des ]a, bn ] est ]a, b], et comme µ(]a, bn ]) < +∞, on a
ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]a, b]) = lim µ(]a, bn ]) = lim ϕ(bn ) − ϕ(a),
n→+∞

ce qui donne la continuité à droite.

n→+∞

II. GÉNÉRALISATIONS DE LA MESURE DE LEBESGUE

43

Remarque : pour µ = δ0 , la fonction de Heavyside ϕ = 1R+ convient. On voit que ϕ n’est pas continue à
gauche. Si µ est une mesure finie, sa fonction de répartition, définie par ϕ(x) = µ(] − ∞, x]), convient.

Théorème 4. Soit ϕ : R → R croissante, continue à droite. Il existe une unique mesure de Borel µ sur
R telle que pour tout a, b ∈ R avec a < b,
µ(]a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a).
Cette mesure s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieljes associée à ϕ, ou mesure dérivée de ϕ, notée dϕ.

Remarque : on vérifiera facilement que
µ([a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a− ), µ([a, b[) = ϕ(b− ) − ϕ(a− ), µ(]a, b[) = ϕ(b− ) − ϕ(a), µ({a}) = ϕ(a) − ϕ(a− ).
1

0

Z

Si ϕ est de classe C , alors µ est la mesure à densité ϕ (t)dt, puisque

b

ϕ0 (t)dt = ϕ(b) − ϕ(a).

a

Remarque : pour les besoins de la démonstration, on prolonge la mesure de Lebesgue à [−∞, +∞] en posant
m({±∞}) = 0. Autrement dit, c’est la mesure image de la mesure de Lebesgue sur R, par l’inclusion canonique
de R dans [−∞, +∞].
Démonstration. Le théorème d’unicité s’applique. Pour tout y ∈ R on pose
Iy = {x ∈ R t.q. ϕ(x) ≥ y} = ϕ−1 ([y, +∞[).
Comme ϕ est croissante, Iy est un intervalle (éventuellement vide). Soient ` = inf ϕ, L = sup ϕ ∈ [−∞, +∞].
Pour tout y > L on a Iy = ∅ et pour tout y ≤ ` on a Iy = I. Si ` < y ≤ L, Iy est un intervalle non vide minoré
(car ϕ est continue à droite) et infini à droite. On définit ψ :]`, L] → R en posant ψ(y) = min(Iy ), de sorte
que Iy = [ψ(y), +∞[. C’est une fonction croissante, donc borélienne.
Soient a, b ∈ I avec a < b. Pour tout y ∈]`, L[, on a par définition de ψ, a < ψ(y) ≤ b si et seulement
si a ∈
/ Iy et b ∈ Iy , i.e. ϕ(a) < y ≤ ϕ(b). Donc ψ −1 (]a, b]) =]ϕ(a), ϕ(b)]. La mesure image de la mesure de
Lebesgue sur ]`, L] par ψ convient, puisque par définition,
µ(]a, b]) = m(ψ −1 (]a, b])) = m(]ϕ(a), ϕ(b)]) = ϕ(b) − ϕ(a).

Corollaire 3. Soient a, b ∈ R tels que a < b et ϕ : [a, b] → R+ croissante et continue à droite. Il existe une
unique mesure de Borel µ sur [a, b] telle que
µ([a, x]) = ϕ(x)
pour tout x ∈ [a, b].
Remarque : on a µ([a, b]) = ϕ(b) < +∞ donc µ est finie.
Démonstration. Prolonger ϕ sur R par ϕ(a) et ϕ(b). Soit ν la mesure dérivée. Alors la restriction de ν+ϕ(a− )δa
à [a, b] convient. Le théorème d’unicité s’applique.

44

CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Chapitre 5
Intégration et dérivation sur un intervalle [a, b]
Dans ce chapitre [a, b] désignera un intervalle compact de R. Les fonctions f : [a, b] → [0, +∞] ou C considérées
seront boréliennes ou Zmesurables au sens Zde Lebesgue, sommables par rapport à la mesure de Lebesgue.
b

L’intégrale sera notée

f (t)dt au lieu de
a

I

f dm.
[a,b]

Intégration sur [a, b].

I.1

Fonctions mesurables bornées

Théorème 1 (Inégalité de la moyenne). Si f : [a, b] → R est mesurable et bornée, alors f est sommable
sur [a, b], et
Z b
(b − a) inf f (t) ≤
f (t)dt ≤ (b − a) sup f (t)
t∈[a,b]

t∈[a,b]

a

Remarque : il y a des fonctions sommables non bornées.
Z

b

Z
|f (t)|dt ≤

Démonstration. On a
a

et m = inff . Pour tout t ∈ [a, b],

b

sup|f |dt = (b − a)sup|f | < +∞ donc f est sommable. Soit M = supf
a

Z
m ≤ f (t) ≤ M donc m(b − a) =

b

Z
mdt ≤

a

b

Z
f (t)dt ≤

a

b

M dt = M (b − a).
a

1
Définition 1. la moyenne d’une fonction f : [a, b] → C sommable est
b−a

Z

b

f (t)dt.
a

Proposition 1. Soit f : [a, b] → C une fonction arbitraire, et N l’ensemble de ses points de discontinuité. Si
N est dénombrable, alors f est borélienne. Si N est négligeable, alors f est mesurable.
Remarque : donc si f est de plus bornée, elle est sommable. On rappelle que dire que f est continue en tout
point de [a, b] \ N n’équivaut pas à f continue sur [a, b] \ N , sauf si N est fermé (et par exemple finie).
45

46

CHAPITRE 5. INTÉGRATION ET DÉRIVATION SUR UN INTERVALLE [A, B]

Démonstration. Soit U un ouvert de C et E = f −1 (U ). Pour tout x ∈ E \ N , f est continue en x, donc il
existe un voisinage ouvert V (x) de x tel que f (y) ∈ U pour tout y ∈ V (x), i.e. V (x) ⊂ E. On a donc


[
E = (E ∩ N ) ∪ 
V (x) .
x∈E\N

E ∩ N est une partie de N , donc dénombrable ou de mesure nulle, et le second terme est un ouvert.
Corollaire 1. Soit f : [a, b] → C une fonction bornée. Si f est continue sauf en un nombre fini de points (en
particulier si f est continue par morceaux), monotone, ou monotone par morceaux, alors f est sommable. La
dérivée d’une fonction dérivable est borélienne.
Remarque : une fonction continue sauf en un nombre fini de points n’est pas forcément continue par morceaux,
même si elle est bornée.
Définition 2. Une fonction f : [a, b] → C est dite réglée si elle a une limite finie à droite en tout point
x ∈ [a, b[ et une limite finie à gauche en tout point x ∈]a, b].
Lemme 1. Soit f : [a, b] → R réglée. Pour tout ε > 0, il existe deux fonctions g et h en escalier sur [a, b]
telles que g ≤ h ≤ h et kh − gk∞ ≤ ε.
Remarque : en particulier une fonction réglée est bornée, ce qui peut se montrer directement.
Démonstration. Soit ε > 0 et I l’ensemble des x ∈ [a, b] tel que la propriété soit vérifiée sur [a, x]. I est
clairement un intervalle contenant a.
→ I contient un voisinage de a : comme f admet une limite ` quand x → a+ , il existe a < x0 < b tel que
pour tout a < y < x0 , |f (y) − `| < ε/2. On définit g et h sur [a, x0 ] par g(a) = h(a) = f (a), g(y) = inf ]a,x0 ] f
et h(y) = sup]a,x0 ] f pour a < y ≤ x0 . Les deux fonctions g et h sont en escalier et on a bien g ≤ f ≤ h et
|h(y) − g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x0 ].
→ on a sup(I) = b : supposons par l’absurde que x := sup(E) ∈]a, b[. Par hypothèse, f admet une limite
à gauche ` et une limite à droite L en x. Soient a < x1 < x < x2 < b tels que |f (y) − `| < ε/2 pour tout
y ∈ [x1 , x[ et |f (y) − L| < ε/2 pour tout y ∈]x, x2 ]. Comme x1 < x, il existe g et h en escalier sur [a, x1 ] telles
que
g ≤ f ≤ h et |h(y) − g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x1 ].
On prolonge g et h sur ]x1 , x2 ] en posant g(y) = inf f et h(y) = sup f pour x1 < y < x, g(x) = h(x) = f (x),
]x1 ,x[

]x1 ,x[

g(y) = inf ]x,x2 ] f et h(y) = sup]x,x2 ] f pour x < y ≤ x2 . Alors g et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et kh − gk∞ ≤ ε
sur [a, x2 ]. On a donc x2 ∈ I et x2 > x = sup(I), une contradiction.
→ I = [a, b] : soit ` la limite à gauche de f en b, et x3 ∈]a, b[ tel que |f (y) − `| < ε/2 pour tout x3 < y < b.
Comme x3 < b on a x3 ∈ I, donc il existe g et h en escalier sur [a, x3 ], telles que
g ≤ f ≤ h et |h(y) − g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x3 ].
On prolonge g et h en posant g(y) = inf f et h(y) = sup]x3 ,b[ pour x3 < y < b, et g(b) = h(b) = f (b). Alors g
]x3 ,b[

et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et kh − gk∞ ≤ ε sur [a, b].
Corollaire 2. Toute fonction réglée f : [a, b] → C est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.
Remarque : c’est en fait une définition équivalente des fonctions réglées.
Corollaire 3. Toute fonction réglée f : [a, b] → C admet un nombre au plus dénombrable de discontinuités.

I. INTÉGRATION SUR [A, B].

47

Remarque : donc les fonctions réglées sont sommables.
Démonstration. Soit fn : [a, b] → C en escalier convergeant uniformément vers f . La réunion N des points de
discontinuité des fn est dénombrable. Soit x ∈ [a, b] \ N et ε > 0. Soit n ∈ N∗ tel que kfn − f k∞ < ε. Comme
fn est constante au voisinage de x, il existe un voisinage V (x) de x tel que pour tout y ∈ V (x), fn (y) = fn (x).
Pour tout y ∈ V (x), on a donc
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fn (y)| + |fn (y) − fn (x)| + |fn (x) − f (x)| ≤ kf − fn k∞ + 0 + kf − fn k∞ < 2ε.

Définition 3. Une fonction f : [a, b] → R est intégrable au sens de Riemann si pour tout ε > 0, il existe u, v
Z b
en escalier sur [a, b] telles que u ≤ f ≤ v et
|v(t) − u(t)|dt < ε. Une fonction f : [a, b] → C est intégrable
a

au sens de Riemann si ses parties réelles et imaginaires le sont.
Proposition 2. Une fonction bornée f : [a, b] → C est intégrable au sens de Riemann si et seulement si il
existe N ⊂ [a, b] de mesure de Lebesgue nulle tel que f est continue en tout x ∈ [a, b] \ N .
Démonstration. Il suffit de
les fonction réelles. Soit un et vn deux suites de fonctions en escalier
Z considérer
b
|vn (x) − un (x)|dx ≤ 2−n . Alors par convergence monotone,
telles que un ≤ f ≤ vn et
a

Z bX
+∞

|vn (x) − un (x)|dx < +∞,

a n=1

donc vn − un tend vers 0 presque partout. Soit N de mesure de Lebesgue nulle tel que vn (x) − un (x) → 0
pour tout x ∈
/ N . Quitte à ajouter N un ensemble dénombrable, on peut supposer que un et vn sont continues
(donc localement constantes) en chaque point de [a, b] \ N .
On montre que f est continue en chaque point x ∈
/ N . Soit ε > 0 et x ∈
/ N . Pour tout y ∈ [a, b] et tout

n ∈ N , on a
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − un (y)| + |un (y) − un (x)| + |un (x) − f (x)|
≤ |vn (y) − un (y)| + |un (y) − un (x)| + |vn (x) − un (x)|.
Comme x ∈
/ N , il existe n tel que |vn (x) − un (x)| < ε. Comme un et vn sont constantes au voisinage de x, il
existe η > 0 tel que pour tout |y − x| < η, on a un (y) = un (x) et vn (y) = vn (x). On a donc
|f (y) − f (x)| ≤ |vn (x) − un (x)| + 0 + |vn (x) − un (x)| < 2ε.
Réciproque admise (TD).
Corollaire 4. Les fonctions intégrable au sens de Riemann sont intégrables au sens de Lebesgue.

I.2

Intégrale indéfinie

Définition 4. Soit (X, A, µ) un espace mesuré et f : X → [−∞, +∞] mesurable. On dit que f a une intégrale
convergente dans [−∞, +∞] si f+ = max(f, 0) ou si f− = max(−f, 0) a une intégrale finie. Dans ce cas on
pose
Z
Z
Z
f+ dµ −

dµ =
X

X

f− dµ ∈ [−∞, +∞].
X

48

CHAPITRE 5. INTÉGRATION ET DÉRIVATION SUR UN INTERVALLE [A, B]

Remarque : on vérifiera que l’intégrale ainsi définie est linéaire.
Définition 5. Soit f : [a, b] → [−∞, +∞] mesurable, d’intégrale convergente dans [−∞, +∞]. L’intégrale
indéfinie de f est la fonction F : [a, b] → [−∞, +∞] définie par
Z x
Z
F (x) =
f (t)dt :=
f dm.
a

[a,x]

Remarque : ce n’est pas une primitive, car F n’est pas forcément dérivable.
Proposition 3. Soit f : [a, b] → [−∞, +∞] mesurable, d’intégrale convergente dans [−∞, +∞]. Son intégrale
indéfinie F est continue à gauche. Si f+ et f− ont une intégrale finie, alors F est continue.
Démonstration. Il suffit de faire le cas où f est positive, et d’appliquer le résultat à f+ et f− . Soit f : [a, b] →
[0, +∞] mesurable, F son intégrale indéfinie et µ la mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue.
On rappelle que pour tout E ⊂ [a, b] mesurable,
b

Z
µ(E) =

1E (t)f (t)dt,

a

et que pour tout x ∈ [a, b], F (x) = µ([a, x]) = µ([a, x[) (la mesure de Lebesgue d’un point étant nulle). F
est croissante, donc admet des limites à droite
[ et à gauche en tout point. Soit xn ∈]a, b] une suite strictement
croissante, convergeant vers x ∈]a, b]. Alors [a, xn [= [a, x[, donc
n

F (x− ) = lim µ([a, xn [) = µ([a, x[) = F (x),
n→+∞

ce qui prouve que F est continue à gauche. Supposons
\ que f a une intégrale finie. Si xn est une suite
[a, xn ] = [a, x], et µ est une mesure finie (de masse
strictement décroissante convergeant vers x ∈ [a, b[,
n

Z

b

f (t)dt < +∞), donc F (x+ ) = lim µ([a, xn ]) = µ([a, x]) = F (x), et F est continue à droite.

a

n→+∞

Remarque : si f est mesurable et bornée, F est lipschitzienne. Si f est continue, F est de classe C 1 . Si f est
réglée, F est dérivable à droite et à gauche.

I.3

Approximation des fonctions sommables

Pour la définition des fonctions semi-continues, voir chapitre 2.
Proposition 4. Soit a, b ∈ R avec a < b et f : [a, b] → R une fonction sommable. Pour tout ε > 0, il existe
une fonction s.c.s u et une fonction s.c.i v telles que
Z
u ≤ f ≤ v et

b

|v(t) − u(t)|dt < ε.
a

Remarque : on rappelle que u est à valeurs dans [−∞, +∞[ et v dans ] − ∞, +∞], donc la différence v − u
Z b
est bien définie, est une fonction borélienne positive. Comme
|v(t) − u(t)|dt < +∞, on a u et v finies p.p.
a

Une fonction sommable n’étant pas nécessairement bornée, on ne peut pas supposer que u et v sont continues
en général.

I. INTÉGRATION SUR [A, B].

49

Démonstration. Il suffit de faire le cas des fonctions positives, car la somme de fonctions s.c.i (ou s.c.s) le reste,
et car l’opposé d’une fonction s.c.i est s.c.s. Soit Ak ⊂ [a, b] une suite d’ensembles mesurables, et ak ∈ R∗+ tels
que
+∞
X
f=
ak 1 A k .
k=1

Soit ε > 0. On choisit un fermé Fk et un ouvert Uk (de [a, b]) tels que Fk ⊂ Ek ⊂ Uk et m(Uk \ Fk ) <
Soit, pour tout n ∈ N∗ , un =

n
X

αk 1Fk et v =

k=1

+∞
X

ε
2k αk

.

αk 1Uk . Comme v est une série de fonctions s.c.i positives,

k=1

elle est s.c.i, et comme un est une somme finie de fonctions s.c.s, elle est s.c.s. On a clairement un ≤ f ≤ v.
n
X
X
De plus v − un =
ak 1Uk \Fk +
ak 1Uk , et comme Uk ⊂ (Uk \ Fk ) ∪ Ak ,
k=1

Z

k>n

b

|v(t) − un (t)|dt ≤
a

La série

+∞
X

+∞
X

ak m(Uk \ Fk ) +

k=1

X

ak m(Ak ) < ε +

k>n

X

ak m(Ak ).

k>n

b

Z
ak m(Ak ) est finie (de somme

f (t)dt), donc le membre de droite est < 2ε si n est assez grand.
a

k=1

Proposition 5. Soit f : [a, b] → C sommable. Pour tout ε > 0, il existe u : [a, b] → C continue telle que
Z b
|f (t) − u(t)|dt < ε.
a

Démonstration. Soit E ⊂ [a, b] mesurable. Soit U ouvert et F fermé tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.
Soit la fonction g définie pour t ∈ [a, b] par
g(t) =

d(t, [a, b] \ U )
,
d(t, F ) + d(t, [a, b] \ U )

où d est la fonction distance à un ensemble. Elle est bien définie et continue, car la numérateur ne s’annule
pas (F et [a, b] \ U sont fermés et disjoints). On a g(t) = 0 si t ∈
/ U et g(t) = 1 si t ∈ F , donc
Z

b

|1E (t) − g(t)|dt =

a

Z
U \F

|1E (t) − g(t)|dt ≤ m(U \ F ) < ε.

On a donc le résultat pour les fonctions indicatrices, et donc pour leur combinaisons linéaires.
+∞
X
Si f : [a, b] → R+ est sommable, on écrit f =
ak 1Ak avec Ak ⊂ [a, b] mesurable et αk > 0. On a
k=1

Z

b

f (t)dt =
a

+∞
X

ak m(Ak ) < +∞. Soit ε > 0 et n ∈ N∗ tel que

k=1

Z

b

g−

telle que
a

X

αk m(Ek ) < ε, et g : [a, b] → R+ continue

k>n
n
X
k=1

ak 1Ak < ε. On a

Z

b

|f − g| < 2ε. Dans le cas général où f est à valeurs complexes, on
a

applique le résultat aux quatre fonctions positives et sommables Re(f )± et Im(f )± .

50

CHAPITRE 5. INTÉGRATION ET DÉRIVATION SUR UN INTERVALLE [A, B]

I.4

Compensations dans les intégrales

Le phénomène de compensation dans les intégrales se rencontre notamment dans les séries de Fourier. On
intègre des fonctions oscillant énormément, et le résultat de l’intégration est censé être petit, ce qui ne se voit
pas du tout en utilisant l’inégalité triangulaire et l’inégalité de la moyenne.

Théorème 2 (second théorème de la moyenne). Soient u : [a, b] → R monotone et v : [a, b] → R sommable.
Il existe x ∈ [a, b] tel que
Z

b

Z

x

v(t)dt.

v(t)dt + u(b)

u(t)v(t)dt = u(a)

x

a

a

x

Z

b

Z

x

Z

Z

x

v(t)dt et ε > 0. L’application x →
|v|
a
Z y
est continue, donc uniformément continue sur [a, b]. On choisit η > 0 tel que
|v(t)|dt < ε pour tous
v(t)dt et M = sup

Démonstration. Soient m = inf

x∈[a,b]

x∈[a,b]

a

a

x

(x, y) ∈ [a, b]2 tels que |x − y| < η. Soit t0 = a < t1 < · · · < tn = b une subdivision de [a, b] de pas < η. On
pose pour tout t ∈ [a, b] et n ∈ N∗ ,
n−1

X
u(t) − u(b)
w(t) =
et In =
w(tk+1 )
u(a) − u(b)
k=0

Z

tk+1

v(t)dt.
tk

Comme w est décroissante et positive, on a
Z

b

w(t)v(t)dt − In ≤

n−1 Z
X

a

k=0

tk+1

|w(tk+1 ) − w(t)||v(t)|dt ≤ ε

tk

n−1
X

(w(tk ) − w(tk+1 )) = ε(w(t0 ) − w(tn )) = ε.

k=0

Or, grâce à un changement d’indice (on rappelle que w(b) = 0),
In =
=

n−1
X
k=0
n−1
X

Z

tk+1

v(t)dt −

w(tk+1 )
a

Z

tk

a

k=0

Z
w(tk+1 )

n−1
X

tk

v(t)dt =
a

k=0

v(t)dt −

w(tk )

n−1
X

Z

tk

v(t)dt =

w(tk+1 )
a

k=0

n
X

Z

v(t)dt −

w(tk )
a

k=1
n−1
X

tk

n−1
X

Z

k=0

Z
(w(tk ) − w(tk+1 ))

tk

v(t)dt

w(tk+1 )
a

tk

v(t)dt,
a

k=0

(5.1)
donc In ≤

n−1
X
(w(tk ) − w(tk+1 ))M = M (w(a) − w(b)) = M, et de même In ≥ m. Finalement en faisant tendre
k=0

Z
ε vers 0 on trouve m ≤

b

w(t)v(t)dt ≤ M . Il existe donc x ∈ [a, b] tel que
a

Z

b

Z
w(t)u(t)dt =

a

ce qui est exactement le résultat.

x

v(t)dt,
a


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