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TDN ◦ : 2
Université Ahmed Zabana - Relizane

2021-2022

1er année ST Maths 01

Fiche de TD 2
Exercice 1 : A, B et C trois sous-ensembles de ensemble E . Montrer que
1· A ∪ B = A ∩ B =⇒ A = B
2· A ⊂ B =⇒ {E B ⊂ {E A
3· B ⊂ C =⇒ (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C)
4· [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] ⇐⇒ [(A ∪ B) ⊂ C]
Exercice 2 : On définit sur R∗ la relation ℜ par
∀ x, y ∈ R∗

xℜy ⇐⇒ x2 +

1
1
= y2 + 2
2
x
y

1· Montrer que ℜ est une relation d’équivalence.
2· Déterminer la classe d’équivalence pour tout a de R∗ .
3· En déduire la classe d’équivalence de 2.
{

}

Exercice 3 : Soit f : R − − 32 −→ R définie par f (x) = 2 −

8−x
4x + 6

⋆ f est-elle injective ? surjective ? justifier.
⋆ Quelle restriction doit-on faire sur lensemble darrivée pour que f devienne une bijection ?
Dans ce cas donner l’application réciproque de f .

29

Correction de fiche TD 2

Correction de fiche TD 2
Solution de L’exercice 1:
• A∪B =A∩B ⇒A=B ?
Hypothèse : A ∪ B = A ∩ B
But: A = B
x∈A⇒x∈A∪B
⇒x∈A∩B

car A ∪ B = A ∩ B

⇒ x ∈ B, ceci implique que A ⊂ B
x∈B ⇒x∈A∪B
⇒x∈A∩B

car A ∪ B = A ∩ B

⇒ x ∈ A, ceci implique que B ⊂ A
Donc A ∪ B = A ∩ B =⇒ A = B.
•A ⊂ B =⇒ {E B ⊂ {E A ?
Hypothèse : A ⊂ B
But: {E B ⊂ {E A
x ∈ {E B ⇒ x ∈
/B
⇒x∈
/ A car A ⊂ B
⇒ x ∈ {E A
Donc A ⊂ B =⇒ {E B ⊂ {E A.
• B ⊂ C =⇒ (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C) ?
Hypothèse : B ⊂ C
But : (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C)
∀ x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
Comme B ⊂ C =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ C
=⇒ x ∈ (A ∩ C)
Donc : B ⊂ C =⇒ (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C).
• [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] ⇐⇒ [(A ∪ B) ⊂ C] ?

Dr Djebbar Samir

Correction de fiche TD 2
a. [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] =⇒ [(A ∪ B) ⊂ C] ?
Hypothèse : (A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)
But : (A ∪ B) ⊂ C
∀ x ∈ (A ∪ B) =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
Comme (A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C) =⇒ x ∈ C ∨ x ∈ C
=⇒ x ∈ C
Donc : [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] =⇒ [(A ∪ B) ⊂ C]
b. [(A ∪ B) ⊂ C] =⇒ [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] ?
Hypothèse : (A ∪ B) ⊂ C
But : (A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)
∀ x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∪ B) =⇒ x ∈ C, ceci implique que A ⊂ C
∀ x ∈ B =⇒ x ∈ (A ∪ B) =⇒ x ∈ C, ceci implique que B ⊂ C
Donc : [(A ∪ B) ⊂ C] =⇒ [(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)]
Conclusion :
[(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C)] ⇐⇒ [(A ∪ B) ⊂ C]
Solution de L’exercice 2:

∀ x, y ∈ R∗

xℜy ⇐⇒ x2 +

1
1
= y2 + 2
2
x
y

1) ℜ est une relation d’équivalence :
a) ℜ est réflexive ∀ x ∈ R∗
xℜx ?
1
1
= x2 + 2
2
x
x
⇐⇒ 0 = 0.

xℜx ⇐⇒ x2 +

Alors ℜ est réflexive.

Dr Djebbar Samir

Correction de fiche TD 2
b)ℜ est symétrique : ∀ x, y ∈ R∗

xℜy =⇒ yℜx ?
1
1
= y2 + 2
2
x
y
1
1
⇐⇒ y 2 + 2 = x2 + 2
y
x

xℜy ⇐⇒ x2 +

=⇒ yℜx
Alors ℜ est symétrique.
c)ℜ est transitive : ∀ x, y, z ∈ R∗


















xℜy
∧ =⇒ 




yℜz


xℜy ∧ yℜz =⇒ xℜz ?

1
1
= y2 + 2
2
x
y
1
1
=⇒ x2 + 2 = z 2 + 2 =⇒ xℜz

x
z
1
1
y2 + 2 = z2 + 2
y
z

x2 +

Alors ℜ est transitive.
Conclusion : ℜ est une relation d’équivalence.
2) Classe d’équivalence :
Soit a ∈ R∗ . Cherchons les éléments y de R∗ tels que aℜy .
ȧ = {y ∈ R∗ / aℜy}
1
1
= y2 + 2
2
a
y
(
)
1
1
2
2
⇐⇒ y + 2 − a + 2 = 0
y
a
1
1
⇐⇒ (y 2 − a2 ) + 2 − 2 = 0
y
a
2
a − y2
⇐⇒ (y 2 − a2 ) + 2 2 = 0
y a
(
)
1
2
2
⇐⇒ (y − a ) 1 − 2 2 = 0
y a

aℜy ⇐⇒ a2 +










y 2 − a2 = 0
 y = ±a
 y 2 = a2
=⇒ 
=⇒
=⇒
1
1

 y 2 a2 = 1
 1− 2 2 =0
 y=±
y a
a
{
}
1 1
Donc ȧ = a, −a, , −
a a

Dr Djebbar Samir

Correction de fiche TD 2
{

}

1 1
2) 2̇ = 2, −2, , − .
2 2
Solution de L’exercice 3:
{
}
f est injective⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ R − − 32 , f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ?
8 − x1
8 − x2
=2−
4x1 + 6
4x2 + 6
8 − x1
8 − x2

=
4x1 + 6
4x2 + 6

f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ 2 −

⇒ (8 − x1 ) (4x2 + 6) = (8 − x2 ) (4x1 + 6)
⇒ 32x2 + 48 − 4x1 x2 − 6x1 = 32x1 + 48 − 4x1 x2 − 6x2
⇒ 32x1 + 6x1 = 32x2 + 6x2
⇒ 38x1 = 38x2 ⇒ x1 = x2 donc f est injective.
{

}

f est surjective⇐⇒ ∀ y ∈ R, ∃x ∈ R − − 32 , y = f (x).
Soit y ∈ R
8−x
8−x
⇒y−2=−
4x + 6
4x + 6
⇒ 8 − x = (2 − y)(4x + 6) ⇒ 8 − x = 8x + 12 − 4xy − 6y

y = f (x) ⇒ y = 2 −

⇒ 8 − 9x + 4xy = 12 − 6y
⇒ 4xy − 9x = 4 − 6y
4 − 6y
, si 4y − 9 ̸= 0
⇒x=
4y − 9
9
y = n’a pas d’antécédent, alors f n’est pas surjective.
4
{

x=

4 − 6y
3
∈R− −
4y − 9
2

}

car

4 − 6y
3
= − ⇐⇒ 27 = 8 ce qui est impossible.
4y − 9
2

• Pour f soit bijective il faut que l’ensemble d’arrivée soit R −
• L’application réciproque de f est :
f −1 : R −

{ }
9
4

{

−→ R − − 32

x −→ f −1 (x) =

Dr Djebbar Samir

{ }
9
4

}

4 − 6x
4x − 9


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