Le moment cinétique en coordonnées sphériques 02.02.2020 (Réparé) (Réparé) .pdf



Nom original: Le moment cinétique en coordonnées sphériques 02.02.2020 (Réparé) (Réparé).pdfAuteur: Rachid

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dr
rdθ


rcosθ
rcosθdφ

dV = rcosθdrdθdφ
V=
V=

r 2 cosθdrdθdφ
R 2
r
0

dr

π
2
π

2

cosθdθ


0

dφ =

R3
3

π

π

2

2

sin − sin −

R3

2π =

3

22π =

4
3

π R3

Rachid Sadek Bouziane

13.02.2011

Le repère et les coordonnées

Les coordonnées cartésiennes

Y

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
⃗J
⃗⃗
k
⃗i

X

z
Le vecteur position
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM= 𝑥i⃗ + 𝑦j⃗ + 𝑧k

x(t)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) (y(t))
z(t)

‖⃗⃗⃗⃗⃗
OM‖=√x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)

Les coordonnées polaires
Y’

sinα
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M(t)

cosα
x’

x

x

Y

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) = 𝑥(𝑡)i⃗ +y(t) ⃗j = rcosα(t) ⃗i + rsinα(t) ⃗j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) (rcosα(t)
)
rsinα(t)
ω=


dt

α(t) = ωt

t

x2 + y2 = r2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) = 𝑥(𝑡)i⃗ +y(t) ⃗j = rcosα(t) ⃗i + rsinα(t) ⃗j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) (rcosα(t)
)
rsinα(t)

x2 + y2 = r2

α(t) = ωt ω =


dt

t

Applications

‫باستعمال اإلحداثيات القطبية احسب مساحة دائرة‬

A
B

S = ∬ ds = ∬ dxdy = ∬ rdrdθ =

ds = dx dy = r dr dθ

𝑆=

R2
2

2π = π R2

S = ∬ Jdrdθ
∂x

J=

D(x,y)
D(r,θ)

∂r
= |∂y
∂r

∂x
∂θ
|=
∂y
∂θ

S= ∬ rdrdθ = πR2

cosθ
|
sinθ

−rsinθ
| = rcos 2 θ + rsin2 θ = r
rcosθ

R

rdr 0 dθ
0

X

rsinθ

r.cosθ .sin φ

Y

r.cosθ.cosφ

Z
Z

Les coordonnées
sphériques
X

rsinθ

r.cosθ .sin φ

Y

r.cosθ.cosφ

Z

Applications
Calculer le volume d’une sphère en utilisant
les coordonnées sphériques

dr
rdθ


rcosθ
rcosθdφ

dV = rcosθdrdθdφ
V=
V=

r 2 cosθdrdθdφ
R 2
r
0

dr

π
2
π

2

cosθdθ



0

=

R3
3

π

π

2

2

sin − sin −

2π =

R3
3

22π =

4
3

π R3

dV = rcosθdrdθdφ
π

2

V=

V=

V=

r cosθdrdθdφ =

R3
3

π

π

2

2

sin − sin −

R 2

r dr 2π cosθdθ 0 dφ
0
−2

2π =

R3
3

4

2.2π =

3

π R3

Jdrdθdφ
∂x

∂x

∂x

∂r

∂θ
∂y

∂φ
∂y |

∂z

∂θ
∂z

sinθ
= | cosθsinφ
∂φ|
cosθcosφ
∂z

∂r

∂θ

∂φ

|∂y
J=
= ∂r
D(r,θ,φ )
|
D(x,y,z)

rcosθ
−rsinθsinφ
−rsinθcosφ

0
rcosθcosφ |
−rcosθsinφ

−rsinθsinφ rcosθcosφ
cosθsinφ rcosθcosφ
| − rcosθ |
|+
−rsinθcosφ −rcosθsinφ
cosθcosφ −rcosθsinφ
cosθsin −rsinθsinφ
0|
| = sinθ [r 2 sinθcosθsin2 φ + r 2 sinθcosθcos 2φ]
cosθcosφ −rsinθcosφ
−𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃[−rcos 2θsin2 φ − rcos 2θcos 2 φ] =
J = sinθ |

J = r 2 sin2 θcosθ[sin2 φ + cos 2 φ] + r 2 cos 3θ[sin2 φ + cos 2φ] =
r 2 sin2 θcosθ + r 2 cos 3θ

J = r 2 cosθ [sin2 θ + cos 2θ] = r 2 cosθ

V=

Jdrdθdφ = V =

V=

R3
3

R 2
r
0

2

r cosθdrdθdφ =

π

π

2

2

sin − sin −

2π =

R3
3

dr

2.2π =

π
2
π
−2

4
3

cosθdθ

π R3



0

Le moment cinétique en coordonnées
sphériques
Les coordonnées
sphériques

rcosθ

r.sin φ.sinθ

r.cosφ.sinθ

Z

X = r.cosφ.sinθ
Y = r.sin φ.sinθ
Z= r.cosθ

Les coordonnées sphériques
X = r.cosφ.sinθ
Y = r.sin φ.sinθ
rcosθ

Z= r.cosθ

r.sin φ.sinθ

r.cosφ.sinθ

Z

⃗L⃗ = r⃑⋀ p
⃗⃗


⃗P⃗ = ∇
⃗⃗= -iℏ∇
⃗⃗
i

⃗L⃗ = r⃑⋀ (−ιℏ∇
⃗⃑)
⃗L⃗ = −r⃑⋀ ιℏ∇
⃗⃑

X = r.cosφ.sinθ
Y = r.sin φ.sinθ
Z= r.cosθ

⃑i
⃑j
y
⃗L⃑ = −r⃑⋀ιℏ∇
⃗⃑= −ιℏ || x


∂x ∂y

= −ιℏ ( y

⃗⃑
k
z|
∂|
∂z







− z ) ⃑i − ιℏ (z − x ) ⃑j − ιℏ (x − y ) ⃗⃑
k
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x

L̂x = − ιℏ ( y



−z )
∂z
∂y

L̂y = −ιℏ (z



−x )
∂x
∂z

L̂z = −ιℏ (x



−y )
∂y
∂x

ψ(x, y, z) ⟶ ψ(r, θ, φ)




∂f
∂f
∂f
df =
dx + dy + dz = dr + dθ +

∂x
∂y
∂z
∂r
∂θ
∂φ

X = r.cosφ.sinθ
Les coordonnées x, y, z sont exprimées
en coordonnées sphériques
Y = r.sin φ.sinθ
X = r.cosφ.sinθ, Y = r.sin φ.sinθ, Z= r.cosθ, il nous reste à exprimer en
Z= r.cosθ
coordonnées sphérique les quantités




;
;
∂x ∂y ∂z

Il faut donc écrire en coordonnées sphériques les quantités cartésiennes
suivantes :


∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂
=
+
+
∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ

∂r ∂ ∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
∂y ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ

∂r ∂ ∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
∂z ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂φ

∂z

Vérifions que
r 2 = x 2 + y 2 + z2 = r 2 sin2 θ cos 2φ + r 2 sin2 θ sin2 φ + r 2 cos 2θ =
r 2 [(sin2 θ)( cos 2φ + sin2 φ) + cos 2 θ] = r 2 [(sin2 θ)(1)+ cos 2θ] = r 2

r = √x 2 + y 2 + z 2 ; cosφ =
sinφ =

y
√x2 +y2

;

x
√x2 +y2

;

z

z

r

√x2 +y2+z2

cosθ = =

;

Exprimons donc les quantités suivantes de φ et de θ
Exprimons donc les quantités suivantes de φ et de θ
∂r
∂r
∂r
= cosφsinθ ;
= sinφsinθ ;
= cosθ ;
∂x
∂y
∂z
∂φ sinφ
∂φ
cosφ
=
;
=
∂x rsinθ
∂y
rsinθ

∂φ
;
=0
∂z

∂θ
cosφcosθ ∂θ
sinφcosθ ∂θ
sinθ
=
;
=
;
=−
∂x
r
∂y
r
∂z
r

cosθ =

z
dz z
⟹ d(cosθ) = −sinθdθ =
− dr
r
z r2
⟹ dθ = −

dθ = −

1
dz z
( − 2 dr )
sinθ z r

1 dz z
( − dr )
sinθ z r 2

En coordonnées sphériques
dθ =

∂θ
∂x

dx +

d(cosθ) =
dθ = −

∂θ
∂y

dy +

∂(cosθ)
∂x

∂θ
∂z

dx +

dz ; d(cosθ)

∂(cosθ)
∂y

dy +

∂(cosθ)
∂z

dz = −sinθ dθ

1 ∂(cosθ)
∂(cosθ)
∂(cosθ)
(
dx +
dy +
dz)
sinθ
∂x
∂y
∂z

dθ = −

1 ∂(cosθ)

1 ∂(cosθ)

1 ∂(cosθ)

dx −
dy −
dz
sinθ
∂x )
sinθ1 ∂y
1 ∂(cosθ
∂(cosθ) sinθ 1∂z ∂(cosθ)
dθ = −
dx −
dy −
dz
sinθ ∂x
sinθ ∂y
sinθ ∂z

∂θ
∂x

∂θ
∂y

∂θ
∂z

1
z
z
2
2
2 )−2
(
cosθ = =
=𝑧 x +y +z
r √x 2 + y 2 + z2

Démontrons que :

∂r
∂r
∂r
= cosφsinθ ;
= sinφsinθ ;
= cosθ ;
∂x
∂y
∂z

∂r
= cosφsinθ
∂x
∂r
= sinφsinθ
∂y

∂r
= cosθ
∂z

1

r = (x 2 + y 2 + z2 )2 ⟹

1
∂r
1
= 2x ( (x 2 + y 2 + z2 )− 2)
∂x
2

∂r
x
rcosφsinθ rcosφsinθ
=
=
=
= cosφsinθ c. q. f. d.
1
1
∂x ( 2
r
2
x + y2 + z2 ) 2
r 2

1

r = (x 2 + y 2 + z2 )2 ⟹

1
∂r
1
= 2y ( (x 2 + y 2 + z2 )− 2)
∂y
2

∂r
y
rsinφsinθ
=
=
= sinφsinθ c. q. f. d.
1
1
∂y ( 2
22
2
2
2
x +y +z )
r

1
∂r
1
= 2z ( (x 2 + y 2 + z2 )− 2) =
∂z
2
(

dr =

z
x2

+

y2

+

1
z2 ) 2

=

rcosθ
1
r 22

= cosθ c. q. f. d.

∂r
∂r
∂r
dx + dy + dz = cosφcosθdx + sinφsinθdz + cosθdz
∂x
∂y
∂z

dr = cosφcosθdx + sinφsinθdz + cosθdz
Démontrons que :

∂φ sinφ
∂φ
cosφ
=
;
=
∂x rsinθ
∂y
rsinθ
r = √x 2 + y 2 + z 2 ; cosφ =
sinφ =

y
√x2 +y2

;

;

∂φ
=0
∂z

x
√x2 +y2

;

z

z

r

√x2 +y2+z2

cosθ = =

;

d(cosφ) =

∂(cosφ)
∂x

dx +

∂(cosφ)
∂y

dy +

∂(cosφ)
∂z

∂(cosφ)
∂z
=0

Avec

d(cosφ) = − sinφ dφ ⟹ dφ = −
dφ = −

dz = −sinφ dφ

d(cosφ)
sinφ

1 ∂(cosφ)
1 ∂(cosφ)
dx −
dy
sinφ ∂x
sinφ ∂y

dφ = −

1 ∂(cosφ)
1 ∂(cosφ)
dx −
dy + 0dz
sinφ ∂x
sinφ ∂y

∂(φ)
∂x

∂(φ)
∂y

∂(φ)
=0
∂z

∂(φ) ∂(φ)
∂x ∂x
cosφ =
∂(cosφ)
∂x

x
√x2 +y2

1

= x(x 2 + y 2 )− 2 ;
1

∂x

∂x

1

2

3

=

3

(x2 +y2 )− 2 (x2 +y2 ) 2 −x2

∂(cosφ)

3

(x2 +y2 ) 2

∂x
1

=

3

1

= (x 2 + y 2 )− 2 − x(x 2 + y 2 )− 2 . 2x

= (x 2 + y 2 )− 2 − x 2 (x 2 + y 2 )− 2
1

∂(cosφ)

∂(cosφ)

3
2 −x2
3
(x2 +y2 ) 2

(x2 +y2 )− 2

∂(cosφ)
=
∂x

1

= (x 2 + y 2 )− 2 −

+

=

x2 +y2 −x2

y2
(x 2

3

(x2 +y2 ) 2

3
2
+ y )2

=

x2
3

(x2 +y2 ) 2

y2
3

(x2 +y2 ) 2

Avec sinφ =

1

y
√x2 +y2

⟹ y = sinφ√x 2 + y 2 = sinφ(x 2 + y 2 )2

y 2 = sin2 φ(x2 + y 2 ) ⟹
∂(cosφ)
=
∂x

sin2 φ
3
−1
2
2
(x + y )2

∂(cosφ)
∂x

=

sin2 φ(x2 +y2 )

=

3

(x2 +y2) 2

sin2 φ
1
2
2
(x + y )2

=

sin2φ
y

sin2 φ

=

3

(x2 +y2 )2

=

sinφ

sin3 φ
y

−1

sin3 φ
=
r sinθsinφ

3

∂(φ)
1 ∂(cosφ)
1
sin φ
sinφ
=−
=−
= −
c. q. f. d.
∂x
sinφ ∂x
sinφ rsinθsinφ
rsinθ

∂(φ)
sinφ
=−
∂x
rsinθ

cosφ =

x
√x 2 + y 2

1

= x(x 2 + y 2 )− 2

1
3
∂(cosφ)
1
= 0(x 2 + y 2 )− 2 − x(x 2 + y 2 )− 2 2y = −
∂y
2
(

sinφ =

y
√x2 +y2

⟹ (x 2 + y 2 )1/2 =

y
sinφ

xy
3

x2 + y2 ) 2
3

⟹ (x2 + y2 ) 2 =

y3
sin3 φ

∂(cosφ)
== −
∂y
(

xy
x2

+

3
y2 ) 2

== −

xy

y3
sin3 φ

3

3

=−

xsin φ

y2

3

3

∂(cosφ)
xsin φ
rsinsθcosφsin φ
rsinsθcosφsin φ
=−
=

=

2
(rsinθsinφ)2
∂y
y2
r 2 sin2 θsin φ

∂(cosφ)
cosφsinφ
∂(φ)
1 ∂(cosφ)
=−

=−
∂y
rsinθ
∂y
sinφ ∂y

∂(φ)
1
cosφsinφ
cosφ
=−
(= −
)=
c. q. f. d
∂y
sinφ
rsinθ
rsinθ

∂(φ) cosφ
=
∂y
rsinθ

∂(φ)
sinφ
=−
∂x
rsinθ
∂(φ)
cosφ
=
∂y
rsinθ
∂(φ)
= 0
∂z

Montrons que :
∂θ
cosφcosθ ∂θ
sinφcosθ ∂θ
sinθ
=
;
=
;
=−
∂x
r
∂y
r
∂z
r

z
z
cosθ = =
r √x 2 + y 2 + z 2

d(cosθ) =

dθ = −

∂(cosθ)
∂(cosθ)
∂(cosθ)
dx +
dy +
dz = −sinθ dθ
∂x
∂y
∂z

1
∂cos(θ)
∂cos(θ)
(dx dx +
dy +
dz)
sinθ
∂y
∂z

dθ == −

dθ = −

1 ∂ (θ)
1 ∂ (θ)
1 ∂ (θ)


sinθ ∂x sinθ ∂y sinθ ∂z

1 ∂cos(θ)
1 ∂cos(θ)
1 cos ∂(θ)
dx −
dy −
dz
sinθ ∂x
sinθ ∂y
sinθ ∂z

∂θ
∂x

∂θ
∂y

∂θ
∂z

cosθ =

z
√x 2 + y 2 + z 2

= z(x 2 + y 2 + z 2 )−1/2

∂(cosθ)
1
−1/2
−3/2
= 0(x2 + y2 + z2 )
− z(x2 + y2 + z2 )
2x
∂x
2

∂(cosθ)
zx
zx
rcosθ rsinθcosφ
=− 2
=

=

(x + y 2 + z2 )3/2
∂x
r3
r3

∂(cosθ)
sinθcosθcosφ
∂θ
1 ∂(cosθ)
=−

=−
∂x
r
∂x
sinθ ∂x
1
sinθcosθcosφ
=−
(−
)
sinθ
r



∂θ
1
sinθcosθcosφ
=−
(−
) ;
∂x
sinθ
r

∂θ cosθcosφ
=
∂x
r

∂θ cosθcosφ
=
∂x
r

∂(cosθ)
1
= 0(x 2 + y 2 + z2 )−1/2 − z((x 2 + y 2 + z2 )−3/2)2y
∂y
2

∂(cosθ)
zy
zy
rcosθ rsinθsinφ
= −
=

=

3
∂y
r3
r3
(x 2 + y 2 + z2 )2

∂(cosθ)
r 2 cosθ sinθsinφ
cosθ sinθsinφ
=−
=−
3
∂y
r
r

∂(cosθ)
cosθ sinθsinφ
=−
∂y
r

∂θ
1 ∂(cosθ)
1
cosθ sinθsinφ
cosθ sinφ
= −
=−
(−
)=
∂y
sinθ ∂y
sinθ
r
r

∂θ cosθ sinφ
=
∂y
r

∂(cosθ)
1
= (x 2 + y 2 + z2 )−1/2 − z (x 2 + y 2 + z2 )−3/22z
∂z
2

∂(cosθ) 1 z2 1 r 2 cos 2θ r 2 − r 2 cos 2 θ 1 − cos 2θ sin2 θ
= − 3= −
=
=
=
∂z
r r
r
r3
r3
r
r

∂(cosθ) sin2 θ
=
∂z
r
∂θ
1 ∂(cosθ)
1 sin2 θ
sinθ
=−
=−
=−
∂z
sinθ ∂z
sinθ r
r

∂θ
sinθ
=−
∂z
r

∂θ cosθcosφ
=
∂x
r

∂θ cosθ sinφ
=
∂y
r
∂θ
sinθ
=−
∂z
r


∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂
=
+
+
∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ

∂r ∂ ∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
∂y ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ

∂r ∂ ∂θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
∂z ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂φ

∂z


∂ cosφcosθ ∂
sinφ ∂
= cosφsinθ +

∂x
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ

∂ sinφcosθ ∂
cosφ ∂
= sinφsinθ +
+
∂y
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ

∂ sinθ ∂

= cosθ −
+0
∂z
∂r
r ∂θ
∂φ

L̂x

=


i

(y


∂z

−z


∂y

) = −iℏ (y

y


∂ sinθ ∂
= rsinθsinφ (cosθ −
)
∂z
∂r
r ∂θ

y



sinθ ∂
= rsinθcosθsinφ
− rsinθsinφ
r ∂θ
∂z
∂r

y


∂z

−z




= rsinθcosθsinφ − sin2 θsinφ
∂z
∂r
∂θ
y




= rsinθcosθsinφ − sin2 θsinφ
∂z
∂r
∂θ


∂y

)

z


∂ sinφcosθ ∂
cosφ ∂
= rcosθ (sinφsinθ
+
+
)
∂y
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ


∂ rcos2 θsinφ ∂
rcosθcosφ ∂
z = rcosθsinφsinθ +
+
∂y
∂r
r
∂θ
rsinθ ∂φ

y

y





−z
= (rsinθcosθsinφ − sin2 θsinφ
)
∂z
∂y
∂r
∂θ
∂ rcos 2θsinφ ∂
rcosθcosφ ∂
− (rcosθsinφsinθ +
+
)
∂r
r
∂θ
rsinθ ∂φ




−z
= (rsinθcosθsinφ − rcosθsinφsinθ)
∂z
∂y
∂r
2
rcos θsinφ ∂
rcosθcosφ ∂
+ (−sin2 θsinφ −
)
+ (−
)
r
∂θ
rsinθ
∂φ

(rsinθcosθsinφ − rcosθsinφsinθ)


=0
∂r

Il nous reste


rcos 2 θsinφ ∂
rcosθcosφ ∂
2
y − z = (−sin θsinφ −
)
+ (−
)
∂z
∂y
r
∂θ
rsinθ
∂φ



−rsin2 θsinφ − rcos 2 θsinφ ∂

y −z
=(
)
− 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ
∂z
∂y
r
∂θ
∂φ



rsinφ(cos 2 + sin2 ) ∂

y −z
=−
− 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ
∂z
∂y
r
∂θ
∂φ


= −sinφ
− 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ
∂θ
∂φ



y −z
= −sinφ
∂z
∂y

L̂x

=


i

(y

L̂x = −iℏ (y


∂z

−z


∂y


∂θ

− 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ

) = −iℏ (y


∂z


∂φ

−z


∂y

)





− z ) = −iℏ (−sinφ
− 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ )
∂z
∂y
∂θ
∂φ

L̂x = iℏ (sinφ


∂θ

L̂x = iℏ (sinφ

+ 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ


∂φ

)



+ 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ )
∂θ
∂φ

L̂y = −iℏ [− (x

z

z





− z )] = −iℏ (z − x )
∂z
∂x
∂x
∂z



∂ cosφcosθ ∂
sinφ ∂
∂ sinθ ∂
− x = z (cosφsinθ +

) − x (cosθ −
)
∂x
∂z
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ
∂r
r ∂θ


∂ cosφcosθ ∂
sinφ ∂
= rcosθ (cosφsinθ +

)
∂x
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ

∂ cosθsinφ ∂
= rcosθcosφsinθ + cos 2 θcosφ −
∂r
∂θ
sinθ ∂φ

z

−x



∂ cosθsinφ ∂
= rcosφcosφsinθ + cos 2 θcosφ −
∂x
∂r
∂θ
sinθ ∂φ


∂ sinθ ∂


= −rsinsθcosφ (cosθ −
) = −rsinsθcosθcosφ + cosφsin2 θ
∂z
∂r
r ∂θ
∂r
∂θ

−x

z




= −rsinsθcosθcosφ + cosφsin2 θ
∂z
∂r
∂θ




∂ cosθsinφ ∂
− x = rcosφcosφsinθ + cos 2 θcosφ −
∂x
∂z
∂r
∂θ
sinθ ∂φ


− rcosθcosφsinsθ + cosφsin2 θ
∂r
∂θ

z




− x = (rsinsθcosθcosφ − rsinsθcosθcosφ)
∂x
∂z
∂r
∂ cosθsinφ ∂
+ (cos 2θcosφ + cosφsin2 θ) −
∂θ
sinθ ∂φ

z






− x = 0 + cosφ − sinφ cotgθ
∂x
∂z
∂r
∂θ
∂φ

z





− x = −sinφ cotgθ
+ cosφ
∂x
∂z
∂φ
∂θ

L̂y = −iℏ (z





− x ) == −iℏ (cosφ − sinφ cotgθ )
∂x
∂z
∂θ
∂φ

L̂y = iℏ (−cosφ



+ sinφ cotgθ )
∂θ
∂φ

L̂y = iℏ (−cosφ



+ sinφ cotgθ )
∂θ
∂φ

Calculons la troisième composante du moment cinétique en
coordonnées sphérique

L̂z = −iℏ (x

x



−y )
∂y
∂x


∂ sinφcosθ ∂
cosφ ∂
= rsinθcosφ (sinφsinθ +
+
)
∂y
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ

x





= (rsin2 θcosφsinφ) + (sinθcosφsinφcosθ)
+ cos 2φ
∂y
∂r
∂θ
∂φ

y


∂ cosφcosθ ∂
sinφ ∂
= rsinθsinφ (cosφsinθ +

)
∂x
∂r
r
∂θ rsinθ ∂φ

y





= (rsin2 θsinφcosφ) + (sinθcosθsinφcosφ) − sin2 φ
∂x
∂r
∂θ
∂φ

x

x






− y = (rsin2 θcosφsinφ) + (sinθcosφsinφcosθ)
+ cos 2 φ
∂y
∂x
∂r
∂θ
∂φ



− (rsin2 θsinφcosφ) + (sinθcosθsinφcosφ)
− sin2 φ
∂r
∂θ
∂φ



− y = (rsin2 θcosφsinφ − (rsin2 θcosφsinφ))
∂y
∂x
∂r
+ (sinθcosφsinφcosθ − (sinθcosθsinφcosφ) )
+ (cos 2φ + sin2 φ)

x


∂θ


∂φ







−y =0 +0 +
=
∂y
∂x
∂r
∂θ ∂φ ∂φ




x −y =
∂y
∂x ∂φ

L̂z = −iℏ (x




− y ) = −iℏ
∂y
∂x
∂φ

⃗L⃗ = L̂x ⃗i +L̂y ⃗j + L̂z ⃗⃗
k
L2 = LX 2 + LY 2 + LZ 2

L̂x = L̂x = iℏ (sinφ



+ 𝑐𝑜𝑡𝑔θcosφ )
∂θ
∂φ

L̂y = L̂y = iℏ (−cosφ



+ sinφ cotgθ )
∂θ
∂φ

L̂z = −iℏ


∂φ

La fonction d’onde

𝒾ℏ2
H= −
∆ + V(x, y, z)
2m
∂Ψ(r,
⃗⃑ t)
𝒾ℏ2
𝒾ℏ
= −
∆Ψ(⃗r,⃑ t) + V(x, y, z)Ψ(r,
⃗⃑ t)
∂t
2m
 Posons Ψ(r,
⃗⃑ t) = θ(r⃑) φ(t)


∂θ(r⃑) φ(t)
𝒾ℏ2
𝒾ℏ
= −
∆θ(r⃑) φ(t) + V(x, y, z)θ(r⃑) φ(t)
∂t
2m
Pour faciliter l’étude, travaillons dans un espace unidimensionnel
En appliquant l’expressionΨ(r,
⃗⃑ t) = θ(r⃑) φ(t), à l’équation précédente, on
obtient :

𝒾ℏ

θ(r⃗⃑) ∂φ(t)
∂t

= −

𝒾ℏ2
2m

φ(t)∆θ(r⃑) + V(x, y, z)θ(r⃑) φ(t)

𝒾ℏθ(x)φ′(t) =

𝒾ℏ2
2m

φ (t )

dθ(x)
dx

(1)

+ V(x, y, z)θ(x) φ(t)

(2)

Divisons les deux membres de l’équation

(2) par l’expression

θ(r⃑) φ(t)
𝒾ℏ

φ′ (t)
φ(t)

=

𝒾ℏ2 1 dθ(x)
2m θ(x) dx

+ V(x, y, z)

On remarque dans cette équation

(3)

(3) que les deux membres sont

indépendants l’un de l’autre, puisque le premier est dépendant du temps et le
deuxième dépend de l’espace, donc pour résoudre cette équation posons que
les membres soient égaux à une même constante qu’on appelle E :

𝒾ℏ

φ′ (t)
φ(t)

=E ;

φ′ (t)
φ(t)

=

E
𝒾ℏ

;

dφ(t)
dt

=

E
𝒾ℏ

φ(t) ;

dφ(t)
E
= −𝒾 dt
φ(t)

φ0


φ(t)

dφ(t)
E t0
= −𝒾 ∫ dt
(
)
φ t
ℏ t

E
log φ(t) − log φ0 = − 𝒾 t

E
log φ(t) = − 𝒾 t + log φ0


log φ(t)

e

=

E
−𝒾 t+ log φ0
e ℏ

φ(t)

E
−𝒾 t
= φ0 e ℏ

E = hν = 2πℏν ⟹ ℏ =

φ(t)

=

E
−𝒾 t log φ0
e ℏe

E
2πν

E
−𝒾 t
= φ0 e ℏ



E


= 2πν

= φ0 e−𝒾2πνt

φ(t) = φ0 e−2𝒾πνt

L’opérateur énergie
φ(t) = φ0 e−2𝒾πνt

Posons φ0 = 1 ⟹ φ(t) = e−2π𝒾νt

∂φ(t)
= −2π𝒾νt. e−2π𝒾νt = −2π𝒾νt φ(t)
∂t
𝐸
E = h𝜈 ⟹ 𝜈 =
h
h 2π
1
ℏ=
;
=
2π h


∂φ(t)
∂t

𝐸

𝐸

h



= − 2π𝒾νt φ(t) = −2π𝒾 t φ(t) = −𝒾 φ(t)
∂φ(t)
𝐸

𝐸
= − 𝒾 φ(t) ;
= −𝒾
∂t

∂t

ℏ∂

E=−
= 𝒾ℏ
𝒾 ∂t
∂t

P = mc ; Px c = mc

2


= E = −𝒾ℏ
∂t

E
1
∂t
∂t


Px = = (−𝒾ℏ ) = (−𝒾ℏ ) = −𝒾ℏ
c
c
∂x
∂x
∂t
∂x

⃗⃗⃗⃗
P = Px 𝒾⃗ + Py 𝒿⃗ + Pz 𝓀⃗⃗ = −𝒾ℏ ( +
∂x


⃗⃗⃗⃗
(
P = −𝒾ℏ
+
∂x


∂y

+


∂z


∂y

+


∂z

)

) = −𝒾ℏ ⃗∇⃗

̂
P = −𝒾ℏ∇
P2
𝒾ℏ2 2
𝒾ℏ2
̂=
T
=−
∇ =−

2m
2m
2m

E =𝒾 ℏ
∂t
𝒾ℏ2
̂ + V (x, y, z) = −
H=T
∆ + V (x, y, z)
2m


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