PROFESSEUR BENZINE RACHID LIVRE ANALYSE S3 .pdf

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Table des matières
1 LES INTÉGRALES DOUBLES
1.1 INTÉGRALES SIMPLES. RAPPELS . . . . . . . . . . . . .
1.2 INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE . . . . . .
1.3 INTÉGRALES DOUBLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS
ET BORNÉS DE R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 INTÉRIEUR, EXTÉRIEUR ET FRONTIÈRE D’UN
ENSEMBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE DOUBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE DOUBLE . . . . . . . . .
1.5 CALCUL DES INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 INTÉGRALES DOUBLES SUR DES DOMAINES LIMITÉS
PAR DEUX COURBES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 DOMAINES RÉGULIERS . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 THÉORÈME DE FUBINI DANS LES DOMAINES
RÉGULIERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 APPLICATION DES INTÉGRALES DOUBLES AU CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 CALCUL DES VOLUMES . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 CALCUL DES SURFACES PLANES . . . . . . . . . .
1.8 CHANGEMENT DE VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 CAS GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 APPLICATION AUX COORDONNÉES POLAIRES .
1.9 APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 DENSITÉ DE DISTRIBUTION DE MATIÈRE . . . .
1.9.2 MOMENT D’INERTIE D’UNE FIGURE PLANE . . .
1.9.3 COORDONNÉES DU CENTRE DE GRAVITÉ D’UNE
FIGURE PLANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

1
1
2
6
6
10
12
13
15
15
16
20
20
23
25
25
27
35
35
37
41

iv

TABLE DES MATIÈRES
1.10 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES . . . . . . . . . . . . . . 45

2 LES INTÉGRALES TRIPLES
75
2.1 INTRODUCTION ET MOTIVATIONS . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 INTÉGRALES TRIPLES SUR LES PARALLÉLÉPIPÈDES . 77
2.2.1 DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE 77
2.2.2 CALCUL DES INTÉGRALES TRIPLES SUR LES
PARALLÉLÉPIPÈDES . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 INTÉGRALES TRIPLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS
ET BORNÉS DE R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.1 UN PEU DE TOPOLOGIE DANS R3 . . . . . . . . . 81
2.3.2 DÉFINITION DES INTÉGRALES TRIPLES SUR LES
ENSEMBLES FERMÉS ET BORNÉS DE R3 . . . . . 84
2.3.3 CALCUL DES INTÉGRALES TRIPLES SUR LES
ENSEMBLES BORNÉS ET FERMÉS DE R3 . . . . . 87
2.3.4 PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES TRIPLES SUR
LES DOMAINES BORNÉS DE R3 . . . . . . . . . . . 98
2.4 CHANGEMENT DE VARIABLES DANS LE CALCUL DES
INTÉGRALES TRIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.4.1 CHANGEMENT DE VARIABLES. CAS GÉNÉRAL . 109
2.4.2 CHANGEMENT DE VARIABLES. COORDONNÉES
CYLINDRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.3 CHANGEMENT DE VARIABLES. COORDONNÉES
SPHÉRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.5 APPLICATIONS DES INTÉGRALES TRIPLES . . . . . . . 117
2.5.1 APPLICATION AU CALCUL DE QUANTITÉS TOTALES DE MATIÈRE, DE COURANT OU D’ENERGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.5.2 APPLICATION AU CALCUL DES COORDONNÉES
DU CENTRE DE GRAVITÉ . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5.3 APPLICATION DES INTÉGRALES TRIPLES AU
CALCUL DES MOMENTS D’INERTIE . . . . . . . . 119
2.6 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES . . . . . . . . . . . . . . 120
3 GRADIENT. DIVERGENCE. ROTATIONNEL. LAPLACIEN.
POTENTIEL
149
3.1 CHAMP SCALAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1 CHAMP SCALAIRE DANS LE PLAN . . . . . . . . . 149
3.2 CHAMP VECTORIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.1 CHAMP VECTORIEL DANS LE PLAN . . . . . . . . 153
3.2.2 CHAMP VECTORIEL DANS L’ESPACE . . . . . . . 154

TABLE DES MATIÈRES

v

3.3 GRADIENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.3.1 GRADIENT EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES 155
3.3.2 GRADIENT EN COORDONNÉES POLAIRES . . . . 162
3.3.3 GRADIENT EN COORDONNÉES CYLINRIQUES . 163
3.4 DIVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.1 DIVERGENCE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES164
3.4.2 DIVERGENGE EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES167
3.4.3 DIVERGENCE EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES 167
3.5 ROTATIONNEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5.1 PRODUIT VECTORIEL . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5.2 ROTATIONNEL EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES168
3.6 POTENTIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.1 POTENTIEL SCALAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.2 POTENTIEL VECTORIEL OU POTENTIEL VECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.7 LE LAPLACIEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4 INTÉGRALES CURVILIGNES. CIRCULATION D’UN CHAMP
DE VECTEURS
181
4.1 NOTION DE COURBE PARAMÉTRÉE . . . . . . . . . . . . 181
4.1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.1.2 COURBES PARAMÉTRÉES . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.3 LONGUEUR D’UNE COURBE . . . . . . . . . . . . . 187
4.2 INTÉGRALE D’UNE FONCTION SCALAIRE LE LONG
D’UNE COURBE ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.3 INTÉGRALE CURVILIGNE OU CIRCULATION D’UN CHAMP
!
VECTORIEL F LE LONG DE LA COURBE
. . . . . . . 194
4.3.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
!
4.3.2 TRAVAIL D’UNE FORCE F LE LONG D’UNE COURBE 196
4.4 LIEN ENTRE CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
ET LA THÉORIE DU POTENTIEL . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4.1 POSITION DU PROBLÈME . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4.2 ENSEMBLES CONNEXES OU CONNEXES PAR ARCS208
4.4.3 INTÉGRALES CURVILIGNES ET CHAMPS DÉRIVANT D’UN POTENTIEL . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5
CARACTÉRISATION D’UN CHAMP DÉRIVANT D’UN
POTENTIEL A L’AIDE DE SON ROTATIONNEL . . . . . . 217
4.5.1 ENSEMBLES OUVERTS SIMPLEMENT CONNEXES221
4.6 FORMULE DE GREEN-RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6.2 DOMAINES ADMISSIBLES . . . . . . . . . . . . . . 224

vi

TABLE DES MATIÈRES
4.6.3 FORMULE DE GREEN RIEMANN . . . . . . . . . . 227
4.7 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES . . . . . . . . . . . . . . 233

5 INTÉGRALES DE SURFACE. FLUX
263
5.1 INTRODUCTION ET MOTIVATIONS . . . . . . . . . . . . . 263
5.1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.1.2 MODÉLISATION D’UN PROBLÈME DE PHYSIQUE 263
5.2 SURFACES PARAMÉTRÉES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.2.1 QUELQUES MODÈLES DE SURFACES . . . . . . . 265
5.2.2 LES SURFACES PARAMÉTRÉES . . . . . . . . . . . 267
5.2.3 SURFACES PARAMÉTRÉES. CAS GENERAL . . . . 271
5.2.4 SURFACES PARAMÉTRÉES RÉGULIÈRES . . . . . 272
5.2.5 ORIENTATION D’UNE SURFACE PARAMÉTRÉE
RÉGULIÈRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2.6 BORD D’UN SUPPORT ORIENTE . . . . . . . . . . 276
5.2.7 ORIENTATION DU BORD D’UNE SURFACE ORIENTÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.2.8 SURFACES FERMÉES . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.3 AIRE D’UNE SURFACE PARAMÉTRÉE . . . . . . . . . . . 281
5.3.1 UN PEU DE CALCUL DIFFÉRENTIEL . . . . . . . 281
5.4 FLUX A TRAVERS UNE SURFACE . . . . . . . . . . . . . . 285
5.4.1 DÉFINITION ET CALCUL DU FLUX A TRAVERS
UNE SURFACE PARAMÉTRÉE . . . . . . . . . . . . 285
5.4.2 CALCUL DU FLUX EN UTILISANT LA PROJECTION DE LA SURFACE S SUR Oxy OU Oxz OU
Oyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5 LE THÉORÈME DE STOKES-AMPÈRE . . . . . . . . . . . 304
5.6 LE THÉORÈME DE GAUSS OSTROGRADSKI . . . . . . . 310
5.7 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES . . . . . . . . . . . . . . 310

Chapitre 1
LES INTÉGRALES DOUBLES
1.1

INTÉGRALES SIMPLES. RAPPELS

soit f : [a; b] ! R continue.
soit dn = fx0 ; :::; xn g une subdivision de [a; b] régulière c’est à dire :
x1

x0 = x2

[x0

x1 ] ;

x1 = :::xi

xi

1

= ::: = xn

xn

1

=

[xn

1

b

a
n

et
1

2

[x1

x2 ] ; :::;

i

[xi

1

xi ] ; :::;

n

xn = b]

f ig(1)

Dé…nition1

Notons Sn (f ) la somme de Riemann.

Sn (f ) = f ( 1 ) (x1

x0 ) + ::: + f ( i ) (xi

xi 1 ) + ::: + f ( n ) (xn

xn 1 )

on appelle intégrale de Riemann associée à f le nombre réel suivant :
Z b
f (x) dx = lim Sn (f ) :
n!1

a

1

2

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

Théorème1 Soit f : [a; b] ! R continue, alors l’intégrale de Riemann
f (x) dx existe et ceci quelque soit le choix des points i et donne toujours
a
la même limite.
Rb

1.2

INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE

Dé…nitions et exemples
Soit f : R2 ! R continue sur le rectangle [a; b] [c; d] et In une subdivision
de [a; b] régulière et Jn une subdivision régulière de [c; d]

avec

In = fa = x0 < x1 < ::: < xi

1

< xi < ::: < xn

1

< xn = bg

Jn = fc = y0 < y1 < ::: < yj

1

< yj < ::: < yn

1

< yn < dg

x1

x0 = x2

x1 = ::: = xi

xi

1

= :::xn

xn

y1

y0 = y2

y1 = ::: = yj

yj

1

= :::yn

yn

1

1

b

=
=

a
n

c

d
n

Notons
11
ji

= [x0 ; x1 ]

[y0 ; y1 ] ; S11 = (x1

= [xi 1 ; xi ] [yj 1 ; yj ] ; Sji = (xi

x0 ) : (y1

y0 ) = S (

xi 1 ) : (yj

11 ) ;

yj 1 ) = S (

P11 2
ji ) ;

avec
1

i

n; 1

j

n

Notons aussi par Sn (f ) la somme suivante
Sn (f ) = (f (P11 ) S11 + f (P12 ) S12 +; ; ; +f (P1n ) S1n )
+ (f (P21 ) S21 + f (P22 ) S22 + ::: + f (P2n ) S2n )
+f (Pn1 ) Sn1 + f (Pn2 ) Sn2 + ::: + f (Pnn ) Snn

f ig(2)

11

Pji 2

ji

1.2. INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE

3

ou encore plus condensée
Sn (f ) =

n X
n
X

f (Pji )Sji

j=1 i=1

Dé…nition 2 Sn (f ) s’appelle somme de Riemann d’ordre n associée à
f et au rectangle [a; b] [c; d] :
Théorème 2 Soit f : R2 ! R continue sur le rectangle [a; b] [c; d] : La
suite fSn f g est convergente vers la même limite et ceci quelque soit le choix
des points Pji
Dé…nition 3 Notons
ZZ

f (x; y) dx = lim Sn (f )
n!1

[a;b] [c;d]

Cette limite s’appelle intégrale double de f (x; y) sur le rectangle [a; b]
[c; d]
Exercice 1
Calculez en utilisant la dé…nition
ZZ
f (x; y) dx; avec f (x; y) = K = constante
[a;b] [c;d]

et donnez une intermprétation géomètrique de lintégrale.
Solution Exercice 1
Calculons les éléments de la suite fSn (f )g
Sn (f ) =

n X
n
X

K Sji = K

j=1 i=1

n X
n
X

Sji

j=1 i=1

avec
Sji = (yj

yj 1 ) (xi

xi 1 ) =

Sn (f ) = K

d

n X
n
X
(d
j=1 i=1

=K

n

n
X
j=1

n:

(d

c b
:

a
n

c) (b
n2

c) (b
n2

a)

=

(d

a)

c) (b
n2

a)

4

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
=K

n
X
(d
j=1

= Kn:

(d

Sn (f ) = K: (d
fSn (f )gn2N =
ZZ

K (d

c) (b
n

a)

c) (b
n

a)

c) (b

a)

c) (a b) ; K (d c) (a
:::K (d c) (b a) ; ::::

K dx dy = lim Sn (f ) = K (b
n!1

a) (d

b) ; :::

c)

[a;b] [c;d]

On voit bien d’après ce résultat que

ZZ

K dx dy réprésente le volume
[a;b] [c;d]

du paralépippède de base le rectangle [a; b] [c; d] et de hauteur K (voir f ig3)

f ig3

Interprétation géometrique de l’intégrale double sur un rectangle
ZZ
Nous avons vu dans l’exercice 1 que si f (x; y) = K; alors
K
[a;b] [c;d]

dx dy réprésente le volume du paralépippède de base le rectangle [a; b]
et de hauteur K:

[c; d]

1.2. INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE

5

Si f : [a; b] [c; d] ! R alors z = f (x; y) représente une surface dans l’espace R3 (voir f ig4): La …gure4 représente la surface d’équation z = sin(x+y)

ZZ

f ig4 : f (x; y) = sin(x + y)
f (x; y) dxdy représente le volume du corps limité par la surface
[a;b] [c;d]

z = f (x; y) avec (x; y) 2 [a; b] [c; d], le rectangle [a; b]
d’équations y = c; y = d; x = a; x = b (voir f ig5)

f ig5 :

[c; d], et les plans

representation geometrique de l0 integrale double

6

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

1.3

INTÉGRALES DOUBLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS ET BORNÉS DE
R2

1.3.1

INTÉRIEUR, EXTÉRIEUR ET FRONTIÈRE
D’UN ENSEMBLE

Dé…nition 4 soit D R2 est dit borné si il existe un rectangle [a; b] [c; d]
tel que D [a; b] [c; d] (f ig6)

f ig6 :

Ensemble borne

Notation : Soit (x0 ; y0 ) 2 R2 : On note par B0 ( (x0 ; y0 ) ; r) le disque
ouvert de centre (x0 ; y0 ) et de rayon r > 0; c’est à dire
B0 ( (x0 ; y0 ) ; r) = (x; y) 2 R2 : (x

x0 )2 + (y

y0 )2 < r2 (f ig7)

1.3. INTÉGRALES DOUBLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS ET BORNÉS DE R2 7

f ig7 B0 ( (x0 ; y0 ) ; r)

Dé…nition 5 (Intérieur, Extérieur et Frontière d’un ensemble)
Soit D

R2 ;

a) (x0 ; y0 ) 2 Int(D) (intérieur de D), si il existe un disque ouvert
B0 ( (x0 ; y0 ) ; r) de centre (x0 ; y0 ) et de rayon r tel que
B0 ( (x0 ; y0 ) ; r)

D

b) (x1 ; y1 ) 2 Ext(D) (exterieur de D); si il existe un disque ouvert
B0 ( (x1 ; y1 ) ; r) de centre (x1 ; y1 ) et de rayon r tel que
B0 ( (x1 ; y1 ) ; r) " D
c’est à dire
8(x; y) 2 B0 ( (x1 ; y1 ) ; r); (x; y) 2
=D
c) (x2 ; y2 ) 2 F r(D) (frontière de D); si quelque soit le disque ouvert
B0 ( (x2 ; y2 ) ; r) de centre (x2 ; y2 ) et de rayon r, alors
B0 ( (x2 ; y2 ) ; r) \ Int(D) 6= ? et B0 ( (x2 ; y2 ) ; r) \ Ext(D) 6= ?

8

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

f ig8 Int(D); Ext(D); F r(D)
Dé…nition 6 Soit D R2
a) D est dit ouvert si pour tout point (x; y) 2 D alors (x; y) 2 Int(D): Ou
ce qui est équivalent
D est ouvert si et seulement si : D = Int(D)
b) D est dit férmé si l’ensemble R2 n D est ouvert
R2 est fermé si et seulement si :

Théorème 3 D

8 (xn ; yn ) tel que (xn ; yn ) 2 D et (xn ; yn ) ! (x; y)
Alors (x; y) 2 D:
Exercice 2
Montrez que l’ensemble
D = (x; y) 2 R2 tel que : x2 + y 2 < 1
n’est pas fermé
Solution Exercice 2
En e¤et. Considérons la suite (xn ; yn ) = (1
8n

(1
(voir …g7)

:

(1

1
n

; 0): On a

1
; 0) 2 D
n

et
1
; 0) ! (1; 0) 2
=D
n

1.3. INTÉGRALES DOUBLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS ET BORNÉS DE R2 9

f ig7 :

Exemple d0 ensemble non f erme

Remarque un ensemble fermé de R2 est un ensemble qui contient sa frontière. Si la frontière n’appartient pas a D, alors D n’est pas en général fermé.
Dé…nition 7 ( fonction indicatrice d’un ensemble)
Soit D R2 : On dé…nit la fonction indicatrice de D qu’on note 1D par :
1D : R2 ! R
1 si (x; y) 2 D
0 si (x; y) 2
= D:

1D (x; y) =

Exercice 3
Soit f : R2 ! R dé…nie par f (x; y) = x2 + y 2 et D
(1D :f ) (x; y) :

R: Calculez

Solution exercice 3
(1D f ) (x; y) = 1D (x; y) :f (x; y) =

f (x; y) = x2 + y 2 ; si (x; y) 2 D
0 si (x; y) 2
=D

Si
D

[a; b]

[c; d] et f : [a; b]

(1D f ) (x; y) =

[c; d] ! R

f (x; y) si (x; y) 2 D
0 : si (x; y) 2
= D:

Dé…nition 8 Soit D R2 fermé et borné. Soit [a; b] [c; d] un rectangle
tel que D [a; b] [c; d] : Soit f : [a; b] [c; d] ! R continue. Alors
ZZ
ZZ
def inition
f (x; y) dxdy =====
(1D f ) (x; y) dxdy
D

[a;b] [c;d]

10

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
Remarque 1
Dans la somme de Riemann
Sn (1D f ) =

n X
n
X

(1D f ) (Pji ) Sji

j=1 i=1

Il ne reste que les éléments tel que (1D f ) (Pji ) 6= 0; cad (Pji ) 2 D: Si
Pji 2
= D alors (1D f ) (Pji ) = 0 et lorsque n devient très grand et si f (x; y) = 1
on obtient la surface de D
Sn (1D ) =

n X
n
X

j=1

i=1

(1D ) (Pji ) Sji ! Aire (D) :

et
Sn (1D f ) !

n!1

n!1

ZZ

f (x; y) dxdy

D

f ig8 :

1.3.2

V aleurs de la f onction 1D f sur D

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE DOUBLE

Si f (x; y) 0; (x; y) 2 D , l’intégrale double de La fonction f (x; y) sur le
domaine D est égale au volume Q du corps limité par la surface z = f (x; y),

1.3. INTÉGRALES DOUBLES SUR LES ENSEMBLES FERMÉS ET BORNÉS DE R2 11
le plan (Oxy) et la surface cylindrique dont les génératrices sont paralleles à
la’axe 0z et s’appuient sur la frontière de D. (…gure9) et (…gure10)

f ig9 : Interpretation geometrique de l0 integrale double

f ig10 :

Interpretation geometrique de l0 integrale double

12

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

1.4

PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE DOUBLE

Proposition 1 Si D
R2 est un point, un segment, un cercle ou une
courbe, alors son intégrale double est nulle.
Théorème 3 Soient D1 R2 fermé et borné, D2 R2 fermé et borné.
On suppose que aire (D1 \ D2 ) = 0: Soit f : R2 ! R continue sur D1 [ D2
Alors on a :
ZZ
Z
Z
f (x; y) dxdy = f (x; y) dxdy + f (x; y) dxdy
D1 [D2

D1

D2

cas 1 : Aire(D1 \ D2 ) = Aire(?) = 0

f ig 11 : Aire(D1 \ D2 ) = Aire(?) = 0
cas 2 : Aire(D1 \ D2 ) = 0

f ig 12 : Aire(D1 \ D2 ) = 0

1.5. CALCUL DES INTÉGRALES DOUBLES SUR UN RECTANGLE 13
Théorème 4
Soit f; g : D ! R; continue, D R2 fermé et borné. Alors :
1) 8 2 R; 8 2 R; on a :
ZZ
ZZ
ZZ
( f + g) (x) dxdy =
f (x; y) dxdy +
f (x; y) dxdy
D

D

D

2)
ZZ

ZZ

f (x; y) dxdy

D

jf (x; y)j dxdy

D

3) si
f (x; y)
alors

ZZ

g (x; y) : 8 (x; y) 2 D;
ZZ

f (x; y) dxdy

D

1.5

g (x; y) dxdy

D

CALCUL DES INTÉGRALES DOUBLES
SUR UN RECTANGLE

Théorème 5 (Fubini) sur un rectangle
Soit f : [a; b] [c; d] ! R continue. Alors on a :
ZZ

f (x; y) dxdy =

Zd
c

[a;b] [c;d]

=

Zb

a

Corrolaire 1
Soit f : [a; b]
Alors :
ZZ

[a;b] [c;d]

0
@

0
@

Zb

a

Zd
c

1

f (x; y) dxA dy
1

f (x; y) dy A dx

[c; d] ! R continue tel que : f (x; y) = f1 (x) :f2 (y) :
0

f (x; y) dxdy = @

Zb

a

1 0

f1 (x) dxA : @

Zd
c

1

f2 (y) dy A

14

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
Preuve du corollaire 1 : D’après le théorème de Fubini, on a :
ZZ

Zb

f1 (x) f2 (y) dxdy =

a

[a;b] [c;d]

=

Zb

=

Zb

0d
1
Z
@ f1 (x) f2 (y) dy A dx
c

0d
1
Z
@ f1 (x) f2 (y) dy A dx

a

0

c

@f1 (x)

a

Zd
c

1

f2 (y) dy A dx

0d
1 b
Z
Z
= @ f2 (y) dy A : f1 (x) dx
c

a

Exercice 4 Calculez :
ZZ

[0;1]

x cos (y) dxdy

[0; 2 ]

Solution exercice 4
ZZ

[0;1]

[0; 2 ]

0

x cos y dxdy = @

=

x2
2

Z1
0

1

: [sin (y)]02
0

1
1
=
:1 =
2
2
Exercice 5Z Z
Calculez

[ 1;1] [0;1]

(x2 y

1) dxdy

1
1 0
Z2
C
B
x dxA : @ cos (y) dy A
0

1.6. INTÉGRALES DOUBLES SUR DES DOMAINES LIMITÉS PAR DEUX COURBES15
Solution exercice 5
0
ZZ
Z1 Z1
@ (x2 y
x2 y 1 dxdy =
1

[ 1;1] [0;1]

=

Z1

0

1 2 2
x y
2

1

1)dy A dx
y=1

y
y=0

1

=

Z1

1 2
x
2

!

dx

1
1 dx = x3
6

1

1.6
1.6.1

1

x

=
1

5
3

INTÉGRALES DOUBLES SUR DES DOMAINES LIMITÉS PAR DEUX COURBES
DOMAINES RÉGULIERS

Domaines réguliers pas rapport a y
Dé…nition 9 (…g13) Soit D
R2 fermé et borné. D est régulier par
rapport à y si D s’écrit sous la forme suivante :
D = f(x; y) : a

x

b; '1 (x)

y

où
'1 : [a; b] ! R continue
'2 : [a; b] ! R continue

21

1 5:png

f ig13 : D régulier par rapport à y

'2 (x)g

16

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

Domaines réguliers pas rapport a x
Dé…nition 10 (…g14) Soit D R2 fermé et borné. D est régulier par
rapport à x; si D s’écrit sous la forme suivante :
D = (x; y) 2 R2 : c

y

d;

1

(y)

x

2

(y)

où
1

: [c; d] ! R

continue

2

: [c; d] ! R

continue

f ig14 : D régulier par rapport à x

1.6.2

THÉORÈME DE FUBINI DANS LES DOMAINES
RÉGULIERS

Théorème 6 (Fubini dans D régulier par rapport à y)
Soit D R2 un domaine limité par deux courbes cest à dire que :
D = (x; y) 2 R2 : a

x

b; '1 (x)

y

'2 (x)

où : '1 : [a; b] ! R; '2 : [a; b] ! R continues et f : D ! R continue.
Alors
0
1
ZZ
Zb 'Z2 (x)
B
C
f (x; y) dxdy = @
f (x; y) dy A dx
a

D

Exercice Z6Z
Calculez
x2 ydxdy
D

avec :

'1 (x)

1.6. INTÉGRALES DOUBLES SUR DES DOMAINES LIMITÉS PAR DEUX COURBES17

D = (x; y) 2 R2 : x 2 [ 1; 1] ; y 2 x2 ; 1 (f ig15)
Solution exercice 6
36

1 7:jpg

f ig15
ZZ

x2 ydxdy =

Z1

=

Z1

1

=

Z

0
@

Z1

x2

1

x2 ydy A dx

x2 y 2
2

1
1
1

1 2
x
2

1 1 3
=
x
2 3

1

x2

!

dx

x6 dx
1 7
x
7

1

=
1

4
21

Théorème 7 ( Fubini dans les domaines réguliers par rapport à
x).
Soit D
dire

R2 un domaine fermé et borné, régulier par rapport à x cest à
D = (x; y) 2 R2 ; c

y

d;

1

(y)

où
1

: [c; d] ! R continue

2

: [c; d] ! R continue

x

2

(y)

18

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
Soit f : D ! R continue. Alors
ZZ

f (x; y) dxdy =

Zd
c

D

0
B
@

Z2 (y)
1 (y)

1

C
f (x; y) dxA dy

ExerciceZ7Z
Calculez
xdxdy par deux mèthodes di¤érentes ( en considérant D
D

régulier par rapport à x et D régulier par rapport à y), avec :
p
x
D = (x; y) : 0 x 1; x y
Solution exercice 7
Méthode 1 (…g16)

f ig16
ZZ

xdxdy =

Z1
0

D

=

Z1

0p
1
Zx
Z1
p
C
B
x
@ xdy A dx = [xy]x dx
x

p
(x x

0

x2 dx)dx =

2 5
x2
5

1 3
x
3

0

=

2
5

1
6 5
1
=
=
3
15
15

Méthode 2 Rappelons que dans l’exercice 7, nous avions
'1 : [0; 1] ! [0; 1]

1
0

1.6. INTÉGRALES DOUBLES SUR DES DOMAINES LIMITÉS PAR DEUX COURBES19
x ! '1 (x) = y = x

'1 est une bijection de [0; 1] dans [0; 1]
'1 1 =
y :

: [0; 1] ! [0; 1]
2 (y) = y
2

'2 : [0; 1] ! [0; 1]
p
x ! '2 (x) = y = x:
'2 est une bijection de [0; 1] dans [0; 1]
'2 a une fonction réciproque '2 1 = 1 . Pour trouver
l’équation en x :
p
y = x () x = y 2
donc

1

(y) = y 2 = x

D est régulier par rapport a x: Donc
25

1 9:png

f ig17
ZZ

xdxdy =

D

Z1
0

0
B
@

Zy

y2

1

Z1
0

0

1
Z2 (y)
B
C
xdxA dy
@

C
x dxA dy =

1 (y)

Z1
0

2

x
2

y

y2

!

dy

1

(y), on résoud

20

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

=

Z1

y2
2

y4
2

dy =

y3
6

y5
10

0

=

1.7

1.7.1

1
6

1
0

1
10 6
4
1
=
=
=
10
60
60
15

APPLICATION DES INTÉGRALES DOUBLES
AU CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES
CALCUL DES VOLUMES

Soit DZ Z R2 borné et fermé et f : D ! R continue et f
0. On a vu
que V =
f (x; y) dx représente le volume d’un corps limité par la surface
D

z = f (x; y), le plan z = 0 (plan Oxy) et la surface cylindrique de génératrices
parallèles à 0z et dont la directrice est la frontière de D (f ig18):

f ig18 :

Integrale double et volume

1.7. APPLICATION DES INTÉGRALES DOUBLES AU CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES21
26

2 1:png

f ig19 Integrale double et volume
Exercice 8
Cauculez le volume V du corps limité par les surfaces x = 0; y = 0;
x + y + z = 1; z = 0:
Solution exercice 8
La surface S = f(x; y; z) : x + y + z = 1g est un plan d’équation z =
1 x y. Il faut avoir une description du corps V en question.
Trouvons les intersections de S avec les plans : xOy(z = 0); xOz(y = 0);
(y O z) (x = 0).
Ou bien c’est une droite, ou bien c’est un ensemble vide.
S \ Px0y = f(x; y; z) : x + y + z = 1 et z = 0g
= f(x; y; z) : y = 1 x et z = 0g

S \ Px0z = f(x; y; z) : x + y + z = 1 et y = 0g
= f(x; y; z) : z = 1 x et y = 0g

S \ Py0z = f(x; y; z) : x + y + z = 1 et x = 0g
= f(x; y; z) : z = 1 y et x = 0g

22

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
27

2 2:png

f ig20
D = (x; y) 2 R2 : 0

x

1; 0

y

1

x

Donc
V

=

ZZ

(1

x

y) dxdy

D

=

Z1

=

Z1

0

01 x
Z
@ (1

1

y) dy A dx

x

0

y

1 x

y2
2

xy

dx
0

0

=

Z1

y (1

y2
2

x)

0

=

Z1

=

Z

dx
0

x)2

(1

x)2

(1

1 x

2

dx

0

0

=

1

1
(1
2

1
x
2

!

Z1

(1

2x + x2 )dx

1
2

1

1+

1
x)2 dx =
2

0

x2 +

x3
3

1

=
0

1
3

=

1
6

1.7. APPLICATION DES INTÉGRALES DOUBLES AU CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES23

1.7.2

CALCUL DES SURFACES PLANES
R2 fermé, borné nous avions vu que
ZZ
Aire (D) =
dxdy

Soit D

D

si D est régulier par rapport à y on a :
Théorème 8 Soit D R2 fermé, borné et régulier par rapport à y; c’est
à dire que
D = (x; y) 2 R2 : a

x

b; '1 (x)

y

'2 (x)

'1 : [a; b] ! continue; '2 : [a; b] ! continue;
Alors
Aire (S) =

Z

b

('2 (x)

'1 (x)) dx

a

Preuve du theorème
On a :
ZZ
Z
Aire (S) =
dxdy =

a

D

=

Z

a

b

' (x)
[y]'21 (x)

b

Z

dx =

Z

'2 (x)

!

dy dx

'1 (x)

b

('2 (x)

'1 (x)) dx

a

Exercice 9
Calculez l’aire du domaine D limité par les courbes y = 2

x2 ; y = x

Solution Exercice 9
Trouvons les points d’insertion de y = 2 x2 et y = x
Les points M (x; y) appartenant à l’intersection sont solutions de l’équation
x2 = x

2
ou encore

x2 + x
=1

2 = 0:

4 (1) ( 2) = 9;

4
= 2;
2
2
1+3
x2 =
= 1:
2

x1 =

1

3

p

=

=3

24

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
y1 =

2 y2 = 1

Les points d’intersection sont donc

A ( 2; 2) ; B (1; 1)

f ig21 Domaine D

Aire (D) =

ZZ

dxdy =

2

D

=

Z1

[y]2x

Z1

x2

dx =

2
3

=

2x

x
3

2

x
2

02 x 2 1
Z
@
dy A dx
x

Z1

x2

2

2
1

=
2

9
2

x dx

1.8. CHANGEMENT DE VARIABLES

1.8
1.8.1

25

CHANGEMENT DE VARIABLES
CAS GENERAL

Introduction
Soit à calculer

ZZ

f (x; y) dxdy qui s’avère di¢ cile. Comme dans les inté-

D

grales simples, on transforme

ZZ

f (x; y) dxdy à une intégrale double

ZZ

F (u; v) dudv

D0

D

où la nouvelle intégrale de la variable (u; v) dans D0 est plus facile à calculer. Transformer D en D0 ou D0 en D par une application bijective s’appelle
changement de variables. Reste à choisir le bon changement de variables.

f ig22 Changement de variables
Hypothèses du changement de variables
Supposons que
x = ' (u; v) ; y =

(u; v)

et posons
h(u; v) = (' (u; v) ;

(u; v)) = (x; y)

Supposons que h véri…e les conditions suivantes :
Condition 1
h : D0 ! D est bijective
c’est à dire pour tout élément (x; y) 2 D, il existe un seul élément (u; v) 2
D0 tel que
h(u; v) = (x; y)

26

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

Conséquence de la condition 1
L’application h admet une fonction réciproque qu’on note h
comme suit :
h 1 : D ! D0
h

1

1

dé…nie

et h véri…ent
8(x; y) 2 D : h( h 1 (x; y)) = (x; y)
8(u; v) 2 D0 : h 1 (h(u; v)) = (u; v)

Condition 2
Les applications ' et

ont des dérivées partielles :
@
@' @' @
;
;
;
@u @v @u @v

continues dans D0 : De même pour les applications réciproques '

1

et

1

:

Jacobien
Soient
h : D0 ! D
(u; v) ! h (u; v) = (' (u; v) ;

(u; v))

On dé…nit la matrice de Jacobi des applications ' et
qu’on note J ('; ) (u; v) par :
J ('; ) (u; v) =

@'
@u
@
@u

au point (u; v);

(u; v) ; @'
(u; v)
@v
(u; v) ; @@v (u; v)

On dé…nit aussi le déteminant de la matrice de Jacobi par
det(J ('; ) (u; v)) =

@' @
:
@u @v

@' @
:
@v @u

(u; v)

Théorème du changement de variables
Nous sommes maintenant en mesure de donner le théorème du changement de variables en remarquant que :
f (x; y) = f ('(u; v); (u; v))
Dans le cas d’une variable on sait que si x = h(u); alors dx = h0 (u)du

1.8. CHANGEMENT DE VARIABLES

27

Dans le cas de deux variables et si (x; y) = ('(u; v); (u; v)); alors l’élément de surface S = x: y est égal à
S=

x: y = jdet(J ('; ) (u; v))j u: v

et par conséquent
dxdy = jdet(J ('; ) (u; v))j du:dv
Reste à savoir que si (x; y) 2 D alors (u; v) 2 D0 : Avec ces précisions on
obtient le théorème de changement de variables suivant
Théorème 9 Soit D R2 fermé et borné. f : D ! R continue. Supposons qu’il existe une application h : D0 ! D bijective et telle que
8(u; v) 2 D0 : h(u; v) = ('(u; v); (u; v)) = (x; y)
où ' et
sont deux fonctions bijectives admettant des dérivées partielles
d’ordre1, continues, ainsi que leurs fonctions réciproques. Alors
ZZ
ZZ
f (x; y) dxdy =
f (' (u; v) ; (u; v)) jJ(('; ) (u; v))j dudv
D

1.8.2

D0

APPLICATION AUX COORDONNÉES POLAIRES

Considérons l’ensemble D suivant : D est le plan R2 duquel on enlève le
demi axe ] 1; 0]
D = R2 n f(x; y) : y = 0; x

0g

f ig23 Coordonnees polaires
On voit bien que tout point (x; y) 2 D s’écrit sous la forme suivante :
x =
y =

cos( )
sin( )

28

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

avec

2]0; +1[;

2]

; + [ : Notons D0 =]0; +1[ ]

; + [ et notons

'( ; ) = x = cos( )
( ; ) = y = sin( )
Ceci nous permet de considérer l’application
h = ('; ) : ]0; +1[ ] ; + [ ! R2 n fy = 0; x

0g

( ; ) ! h ( ; ) = (' ( ; ) ; ( ; ))
= ( cos ; sin ) = (x; y)
Les applications ' et
véri…ent toutes les conditions du théorème de
changement de variables précédent. On a dans ce cas :
@'
@'
( ; ) = cos ( ) ;
( ; )=
@
@

sin ( )

@
@
( ; ) = sin ( ) ;
( ; )=
@
@

cos ( )

La matrice Jacobienne est égale à
J ('; ) ( ; ) =

cos ( )
sin ( )

sin ( )
cos ( )

et son détérminant est égal à
cos ( )
sin ( )
sin ( )
cos ( )
2
2
cos ( ) + sin ( )
cos2 ( ) + sin2 ( ) = :

det J ('; ) ( ; ) = det
=
=

Théorème 10
Soit D R2 fermé et borné et f : D ! R continue.
Soit h : D0 ! D
( ; ) ! h ( ; ) = (x; y) = ( cos ; sin )
Alors
ZZ
D

f (x; y) dxdy =
h

ZZ

1 (D)=D 0

f ( cos ; sin ) d d

1.8. CHANGEMENT DE VARIABLES

29

Exercice 10
Calculez en utilisant les coordonnés polaires la surface de l’ensemble
D colorié en bleu et représenté dans la …gure 24 ci dessous :

f ig24
Solution Exercice 10
Dans ce cas on a
h : D0 ! D (f ig25)
avec

n
D = ( ; ):2
0

et

4;

6

3

o

h( ; ) = (x; y) = ('( ; ); ( ; ))
où

:/Users/BENZINE/AppData/Local/Temp/graphics/DESSIN352 7:png
f ig25
Avec ces données on a
jdet J('; )( ; )j =

cos( )
sin( )

sin( )
cos( )

=

30

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
On a donc
Aire(D) =

ZZ

dxdy =

D

=
=

Z

Z

3

Z

d d

D0

4

d

d

2

6

4

2

3

d =6

2

6

= 6

ZZ

3

2

6

Z

3

d
6

=

Exercice 11
Soit B la boule unité dans R3
B = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2

1

1) Calculez le volume de B en utilisant les intégrales doubles et le théorème de Fubini.
2) Calculez vol(B) en uitlisant les coordonnées polaires
Solution exercice 11
1) Mèthode directe
Remarquons que :
B = B+ [ B
avec
B + = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2

1; z

0

B = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2

1; z

0

V ol (B) = 2vol B + = 2vol B
Considérons la surface S dé…nie par
S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1
S est la frontière de (B) :On a :
x2 + y 2 + z 2 = 1 () z 2 = x2 y 2 + 1
p
z=
x2 y 2 + 1
p
()
ou z =
x2 y 2 + 1
S = S+ [ S

1.8. CHANGEMENT DE VARIABLES
où

31

n
p
S + = (x; y; z) 2 R3 : z = 1

n
S = (x; y; z) 2 R3 : z =

p

x2

1

x2

y2

o

y2

o

La demi boule
B + est comprise entre le plan (Oxy) et le graphe de la
p
fonction z = 1 x2 y 2 :
La demi boule
p B est comprise entre le plan (Oxy) et le graphe de la
fonction z =
1 x2 y 2 .

f ig26
Donc

ZZ p
V ol (B) = 2
1

x2

y 2 dxdy

D

D étant l’intersection de B avec le plan Oxy (z = 0) :
D = (x; y; z) : x2 + y 2 + z 2

1; z = 0

Dans le plan Oxy : on a :
D = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2

1 :

32

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
C’est le disque fermé de centre de centre (0; 0) et de rayon1.

f ig27
p
y = 1 x2
p
x + y = 1 () y = 1 x ()
y=
1 x2
n
o
p
p
2
2
2
D = (x; y) 2 R : x 2 [ 1; 1] ;
1 x
1 x
2

2

2

2

D est régulier par rapport à y: On a donc
ZZ p
V ol (B) = 2
1 x2

y 2 dxdy

D

=2

=2

=2

Z

Z

1
1
1
1

Z

Z

Z

Z

1
1
p

1 x2

p
p

1 x2

1 x2

p

p

1 x2

p

1

1 x2

s

(1

p

(1

1

x2

p

x2

x2 ) 1

x2 ):

!

y 2 dy dx
y2
1

r

1

x2

!

!

dy dx

!

!
!
y2
dy dx:
1 x2

E¤ectuons le changement de variable
p
y = 1 x2 sin (t) :
Alors on a
dy =

p

1

x2 cos (t) dt:

D’autre part
p
* Si y = 1 x2 ; alors on a :
p
p
1 x2 = 1 x2 sin (t) =) sin (t) = 1 =) t =

2

1.8. CHANGEMENT DE VARIABLES
p

* Si y =
p

x2 alors

1

1

33

x2 =

p

x2 sin (t) =) sin (t) =

1

1 =) t =

2

:

D’autre part
r

1

y2
x2

1

=

s

x2 ) sin2 (t)
=
1 x2

(1

1

q

sin2 (t)

1

Par conséquent :
0
+2
+1
Z
Z
B p
V ol (B) = 2 @
1
1

x2

2

q

1

+1 +
Z
Z2
= 2 (
1
1

0

B
x2 @

1

or

p
sin2 (t) 1

C
x2 cos (t) dtA dx

x2 cos2 (t) dt

2

+1
Z
= 2
1

1

1

+2

Z

2

C
cos2 (t) dtA dx

+2

Z

cos2 (t) dt =

2

2

Finalement :
V ol (B) = 2

2

Z1

x2 dx =

1

x

1

=
=

1
1

1
3

1

1
+1
3

1
3

V ol (B) =

4
3

et

x3
3

1
1

1
3

= (2

2
4
)=
3
3

34

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
2 ) Utilisation des coordonnées polaires
ZZ p
V ol (B) = 2
1

x2

y 2 dxdy:

D

D = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2

1

Considérons
[0; 2 [ ! D

h : [0; 1]

( ; ) ! h ( ; ) = (x; y) = ( cos ( ) ; sin ( ))
Le théoréme du changement de variables donne en remarquant que x =
cos ( ) ; y = sin ( )
ZZ
ZZ
V ol (B) = 2
2
ZZ

= 2

ZZ

[0;1] [0;2 ]

q

p

1

2

1

2

0
Z1 Z2 p
= 2 @
1
0

Z1
= 2
0

2

1

d d

[0;1] [0;2 ]
[0;1] [0;2 ]

[0;1] [0;2 [

= 2

p

2

0

p

1

2

cos2

2

sin2 ( ) d d

d d
1

d A d
2 d =4

Z1 p

1

2

d

0

Pour calculer cette dernière intégrale, e¤ectuons le changement de va2
riables : t = 1
, alors on a :
dt =

2d

et si

= 0 alors t = 1

1.9. APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ35
et si

= 1 alors t = 0. Donc
V ol (B) = 2

Z1 p

22

1

d

0

=

Z1 p

2

=

2

1

0
Z0

2

p

tdt = 2

1

= 2

Z1

1
2

t dt = 2
1

1.9
1.9.1

1
3

2
3t

2

Z1 p

tdt

0

0

= 2

( 2 )d

0

1
2

1 1 +1
t2
+1

1

0

4
2
=2 : =
3
3

APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE.
CENTRE DE GRAVITÉ
DENSITÉ DE DISTRIBUTION DE MATIÈRE

Soit D R2 un domaine fermé, borné. Supposons distribuée dans D une
certaine quantité de matière. On parle par la suite de distribution de masse.
Le raisonnement reste ainsi valable quand on parle de distribution de charge
éléctrique, de quantité de chaleur, etc,...
Considérons un élément d’aire arbitraire S du domaine D. Soit m la
masse de la matière distribuée sur cet élément.
Dé…nition 11
s’appelle la densité super…cielle moyenne de la matière
Le rapport m
S
dans la domaine S. Soit P (x; y) 2 S: Si m
à une limite, elle dépend de
S
P:
Dé…nition 12 On appelle densité super…cielle de la matière au point
P (x; y) la limite suivante quand elle existe
lim

S!0

m
= f (P ) = f (x; y)
S

La densité super…cielle est une fonction f (x; y) des coodonnées (x; y) du
point P (x; y) 2 D:

36

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

Inversement, étant donnée dans D, la densité super…cielle f (x; y) d’une
certaine matière, on se propose de calculer la quantité totale de matière
contenue dans D:
Découpons le domaine D en aires partielles Si ; i = 1:::n et prenons
Pi (xi ; yi ) 2 Si . Le produit f (Pi ) Si mesure la quantité de matière contenue dans Si ( si on suppose que f est constante dans Si ): La somme
n
P
f (Pi ) Si représente approximativement la quantité totale de matière dis-

i=1

tribuée dans D. La masse exacte M distribuée dans D sera donc égale à

M (D) = lim

S!0

n
X

f (Pi ) Si =

i=1

ZZ

f (x; y) dxdy

D

Dé…nition 13 La quantité totale de matière dans le domaine D est égale
à l’intégrale double sur D de la densité f (x; y) de cette matière.
Exercice 12
Déterminez la masse d’une plaque circulaire de rayon R, sachant que
la densité super…cielle f (x; y) du materiaux en chaque point P (x; y) est
proportionnelle à la distance du point (x; y) au centre du cercle.
Solution exercice 12
On a d’après les données du problème
p
f (x; y) = K d [(x; y) ; (0; 0)] = K: x2 + y 2
où K = constante. Donc

M (D) =

ZZ
D

K

p

x2 + y 2 dxdy

où :
D = (x; y) : x2 + y 2

R2

1.9. APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ37
Passons en coordonnées polaires.
ZZ p
M =
K x2 + y 2 dxdy
D

ZZ

=

K

[0;2 [ [0;R[

ZZ

=

q

2

cos2 + sin2 ( ) d d

K 2d d

[0;2 [ (0;R)

=

=

ZR

0
R
Z

02
1
Z
ZR
@ K 2d A d = K
0

2

d = K2

3

0

Finalement on a

1.9.2

[ ]20 d

0

3

K2

2

R

= K2
0

R3
3

2
M (D) = K R3
3

MOMENT D’INERTIE D’UNE FIGURE PLANE

Dé…nition 14 On appelle moment d’inertie d’un point materiel M de
masse m par rapport à un point O; le produit de cette masse par le carré de
la distance de M au point O ; cestà dire :
I = m r2
Dé…nition 15 Le moment d’inertie d’un système de points materiels
M1 ; :::; Mn de masses m1 ; :::; mn par rapport au point O est la quantite I
I=

n
X

mi ri2

i=1

où
ri = d (Mi ; (0; 0) :
Calculons maintenant le moment d’inertie d’une …gure matérielle. Soit
D R2 un domaine fermé et borné. Calculons le moment d’inértie I(D) par
rapport à l’origine O (0; 0) :
Supposons que la densité super…cielle est égale à (x; y) au point P (x; y) :

38

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES

Découpons D en aires élémentaires
ment d’inertie associée à Si :

Si (i = 1; :::; n) : Notons

Ii le mo-

Ii = mi d (Pi ; O)
où
Pi 2

Si

;

Pi (xi ; yi )

et
mi =

(xi ; yi ) : Si :

et
d (Pi ; O) = x2i + yi2
n
X

I '

i=1
n
X

'

I =
=

(xi ; yi ) Si : x2i + yi2

i=1

'
Donc

mi :[d (xi ; yi ) ; (0; 0)]2

n
X

(xi ; yi ) : Si x2i + yi2

i=1

lim

Si !0

ZZ

n
X

(xi ; yi ) x2i + yi2 : Si

i=1

(x; y) x2 + y 2 dxdy

D

Dé…nition 16 Soit D
R2 fermé et borné. Le moment d’inertie I de
D par rapport à l’origine O (0; 0) est donné par
ZZ
I=
(x; y) x2 + y 2 dxdy
D

où (x; y) est la densité super…cielle de D:
Dé…nition 17 Les intégrales
ZZ
(x; y) :y 2 dxdy
Ixx =
D

1.9. APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ39
Iyy =

ZZ

(x; y) :x2 dxdy

D

s’appellent respectivement les moments d’inertie de la …gure D par rapport
aux axes Ox et Oy :
Exercice 13
Calculez le moment d’inertie I0 ; du disque de rayon R par rapport à son
centre O (0; 0). On suppose que la densité super…cielle (x; y) 1:
Solution exercice 13
I0 =

ZZ

x2 + y 2 dxdy

D

En passant aux coordonnées polaires
Z

I0 =

2

cos2 ( ) +

3

d d

2

sin2 ( ) d

[0;2 ] [0;R]

ZZ

=

[0;2 ] [0;R]

=

Z2

=

Z2

0

0

0R
Z
@

3

0

4

4

R

1

d Ad
d

=

0

Z2

R4
d
4

0

R4 2
2 4
= =
[ ]0 =
R = R4
4
4
2
Donc
I0 =

2

R4

Exercice 14
Calculez le moment d’inertie de la …gure matérielle plane D limitée par
les courbes y 2 = 1 x; x = 0; y = 0 (f ig29); par rapport à l’axe Oy . On
suppose que la densité super…cielle en chaque point (x; y) est (x; y) = y:

40

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
Solution exercice 14

Iyy =
=

ZZ

ZDZ

(x; y) :x2 dxdy
y:x2 dxdy

D

D’autre part on a

y2 = 1

39

3 0:jpg

f ig29

x () y =

p

1

x ou y =

p

1

x

1.9. APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ41
Iyy =

ZZ
D

=

Z1
0

y x2 dxdy

1
0p
Z1 x
C
B
y x2 dy A dx
@
0

0p
1
Z1
Z1 x
B
C
=
x2 @
y dy A dx
0

=

0

x2

Z1

x2 (1 x)
1
dx =
2
2

y2
2

0

=

p

Z1

1 x

dx
0

0

Z1

x2

x3 dx

0

3

4

1

1 x
x
2 3
4 0
1 1 1
1
=
=
2 3 4
2
1 1
1
=
=
2 12
24
=

Donc on a
Iyy =

1.9.3

4

3
12

1
24

COORDONNÉES DU CENTRE DE GRAVITÉ
D’UNE FIGURE PLANE

Centre de gravité d’un système de points matériels
Soit donné dans le plan Oxy un système de points matériels P1 (x1 ; y1 ) ; :::; Pn (xn ; yn )
de masse m1 ; :::; mn
Dé…nition 18 Les coordonnées xG et yG du barycentre ou centre de
gravité du système de points fP1 ; :::; Pn g est dé…ni par :
n
P

xi mi
x1 m1 + ::: + xn mn
1=1
= P
xG =
n
m1 + ::: + mn
mi
i=1

42

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
n
P

yi mi
y1 m1 + ::: + yn mn
1=1
= P
yG =
n
m1 + ::: + mn
mi
i=1

Centre de gravité d’une …gure plane D
Découpons D en aires élémentaires Si : Supposons que la densité super…cielle au point (x; y) est égale à (x; y)
Prenons dans Si un point (xi ; yi ). On peut supposer que Si est assez
petit pour que (x; y) soit constante dans Si c’est à dire égale à (xi ; yi ) :
Donc la masse mi de Si est approximativement égale à Si : (xi ; yi ) :
On peut considérer que les coordonnées du centre de gravité du système de
pointsfP1 (x1 ; y1 ) ; :::; Pn (xn ; yn )g est
xG '

x1 S1 (x1 ; y1 ) + ::: + xn Sn (xn ; yn )
(x1 ; y1 ) S1 ; +::: + (xn ; yn ) Sn

yG =

y1 S1 (x1 ; y1 ) + ::: + yn Sn (xn ; yn )
(x1 ; y1 ) S1 ; +::: + (xn ; yn ) Sn

Lorsque Si ! 0, les sommes précédentes tendent exactement vers les
valeurs exactes des centre de gravité de D, et on obtient
Dé…nition 19 Soit D
Rn fermé et borné. Si (x; y) est la densité
super…cielle de D au point (x; y). Alors les coordonnées du centre de gravité
xG et yG de D sont données par :
ZZ
(x; y) :x dxdy
ZZ
xG = D

(x; y) dxdy

D

ZZ

yG = ZDZ

(x; y) y dxdy
(x; y) dxdy

D

Exercice 15
Calculez les coordonnées du centre de gravité du quart de l’ellipse
x2 y 2
+ 2 = 1 (f ig30)
a2
b

1.9. APPLICATIONS. MOMENT D’INERTIE. CENTRE DE GRAVITÉ43
en supposant que

(x; y)

1

42

3 1:jpg

f ig30 : quart de l0 ellipsoide
Solution Exercice 15
On a

xG =

yG =

ZZ

ZDZ

Z ZD

ZDZ

x dxdy
dxdy
y dxdy
dxdy

D

On a :

On a

x2 y 2
y2
x2
+
=
1
()
=
1
a2
b2
b2
a2
b2 2
b2 2
() y 2 = b2
x
=
a
x2
2
2
a
a
bp 2
bp 2
() y =
a
x2 ou y =
a
a
a
p
!
b
2
2
Ra a aR x
xdy dx
xG =

0

Ra
0

b
a

0
p
a2 x2

R

0

!

dy dx

!

x2

44

CHAPITRE 1. LES INTÉGRALES DOUBLES
Ra

b

[xy]0a

0

xG =

Ra

b
a

0

b
a

xG =

p

p

a 2 x2

!

a 2 x2

R

dx

dy dx

0

Ra p
x: a2

x2 dx

0

b
a

Ra p

a2

x2 dx

0

Calculons les intégrales du numérateur et du dénominateur .
1) Dénominateur
0bp 2
a
Za a Z
B
@
0

0

x2

1

C
dy A dx

=

Za

0

p

a 2 x2

dx

0

b
=
a

Z

a

p

a2

x2 dx =

0

2) Numérateur
1
0bp 2 2
a x
Za
Za a Z
p
b
a2
C
B
xdy A dx =
[xy]0a
@
0

b

[y]0a

x2

1
ab:
4

dx

0

b
=
a

Za p
x a2

x2 dx

0

=

b
2a

Za

b
2a

Za

p
2x a2

x2 dx

0

=

1

u0 (x) u (x) 2 dx ;

u (x) = a2

0

a

=
=

3
b 1 2
2 2
a
x
2a 32
0
3
b 2
1b
1
a2 2 = + a3 = ba2
2a 3
3a
3

Finalement
xG =

1
ba2
3
1
ab
4

=

4a
3

x2

1.10. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

45

Le même calcul pour yG donne :

yG =

b
a

Ra
0

!

a 2 x2

R

ydy dx

0

b
a

Ra
0

1.10

p

p

a2

R

0

x2

=

!

4b
3

dy dx

EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

Exercice16
Calculez

ZZ

(x2 + y 2 )dxdy

D

où
D = (x; y) 2 R2 ; x

0; y

0; x + y

1

Solution exercice 16
Commencez par écrire le domaine d’une meilleur façon. On a en e¤et :
(x; y) 2 D () x 2 [0; 1] et 0
75

3 2:png

f ig31

y

1

x:



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