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G. S. Almoustakbal II

Première BIOF SM

Contrôle 2 en
mathématique

Année scolaire : 2021/2022

Durée : 1h : 50mins

Nom et prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 01 (4 points)
f : R −→ R
x3 + 2x , x ≥ 1
1 f définie par
x 7→
4x2 − 1 , x < 2

est une application.

q Vrai

1 pt

q Faux.

f : R+ −→ √
R+
2 x − 1 , est égale à:
2 L’image directe de [0, 4] par l’application
x 7→ √
x+2
q [1, +∞[

4
q [−2, [
3

3 L’image réciproque de [−1, 3] par l’application
q [−1, 3]

1 3
q [− , ].
2 4

f : R −→ R
est égale à:
x 7→ 2 − x

q [−3, 1]

4 L’application f : R −→ R définie par x 7→

1 pt

q [−1, +∞[.
x

2021 + |x|
q surjective

q injective

1 pt

est

1 pt
q ni surjective ni injective.

Exercice 02 (4 points)
1 La proposition : R∗ × R = R2 \{(0, 0)} est :

q Vraie

q Fausse.

1 pt

2 Si A et B sont deux parties de deux ensembles E et F respectivement, le complémentaire de
A × B dans E × F est : q A × B.
q A × B.
q (A × F ) ∪ (E × B). 1 pt


π
2kπ
3 On considère les ensembles suivants: A = {3π + 2kπ/k ∈ Z} et B =
+
/k ∈ Z
3
3
On a alors :
q A ⊂ B.
q B ⊂ A.
q A ∩ B = ∅.
q A = B.
1 pt
4 On considère les ensembles :

1 pt



A = (x; y) ∈ R2 /x2 − y 2 = 3x − 4y et B = (x; y) ∈ R2 /2xy = 4x + 3y .

On pose C = x2 + y 2 /(x; y) ∈ A ∩ B . On a alors :
q C = {0; 16}

q C = {0; 1; 9; 16}

q C = {1; 4; 25}

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q C = {0; 25}
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Exercice 03 (2 points)
On considère les ensembles A = {12k−1/k ∈ Z}; B = {3k+2/k ∈ Z} et C = {5k+8/k ∈ Z}.
1

(a) Vérifier que 38 ∈ B ∩ C.

0,5 pt

(b) Déterminer en extension : [20, 50] ∩ C.

0,5 pt

2 Montrer que : A ⊂ B et que A 6⊂ C.

1 pt

Exercice 04 (5,5 points)
On considère l’application :
1

2

f : R −→ R
x 7→ x2 − x

1
(a) Montrer que (∀x ∈ R) : f (x) ≥ − .
4
(b) f est-elle surjective? justifier votre réponse.

1 pt
1 pt

(a) Montrer que (∀x ∈ R) : f (1 − x) = f (x).

1 pt

(b) f est-elle injective? justifier votre réponse.

1 pt

3 Donner deux intervalles I et J tels que l’application

g : I −→ J
soit bijective 1,5 pt
x 7→ x2 − x

puis Préciser g −1 .

Exercice 05 (4,5 points)
On considère la fonction f définie sur [2, +∞[ par f (x) =
1

2x − 1
x2 + 1

.

(a) Montrer que f est bornée par 0 et 1

1 pt

(b) Le nombre 1, est il extremum de la fonction f ? justifier votre réponse.

1 pt

2 Montrer que f est strictement décroissante sur [2, +∞[.

1 pt

3 En utilisant√la composée de deux fonctions, déterminer la monotonie de la fonction
2 x+3−1
h : x 7→
sur l’intervalle [1, +∞[.
x+4

1,5 pt

Exercices Bonus (Hors barème).
Exercice 06 (plus deux points )
Calculer en fonction de l’entier naturel non nul n la somme : Sn =

n
X
k=1

s

2
.
√ 2
2k + 4k − 1

Exercice 07 (plus deux points )
A est une partie d’un ensemble E. L’application 1A de E vers {0, 1} est définie par:
1 si x ∈ A;
1A (x) = 0 si x ∈
Montrer que A 7→ 1A est une bijection de P(E) sur {0, 1}E .
/ A.

Bonne chance

NB : Vous pouvez scanner le code QR du premier contrôle après 19h pour la
correction.
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