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G. S. Almoustakbal II

Première BIOF SM
Contrôle 3 en
mathématique

Année scolaire : 2021/2022

Durée : 1h : 50mins

Nom et prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 01 (3,5 points)
1 - Le barycentre de (A, k2 + 1), (B, −k) et (C, k) existe pour tout k ∈ R.
q Vrai
q Faux.

0,5 pt

2 - Le barycentre de (A, 5) et (B, −4) est plus près de B que de A.
q Vrai
q Faux.

0,5 pt

3 - L’isobarycentre des sommets d’un trapèze est le point d’intersection des diagonales. 0,5 pt
q Vrai
q Faux.
4 - Si G est le barycentre de (A, −3), (B, −1) et (C, 1). La droite (AG) coupe la droite (BC)
en dehors du segment [BC].
0,5 pt
q Vrai
q Faux.
5 - Si u
~ (−3, −1) et ~
v (1, 3), alors u
~ ⊥~
v.

q Vrai

q Faux.

0.5 pt

6 - Si u
~, ~
v et w
~ sont trois vecteurs du plan tels que u
~ .~
v = w.~
~ v alors u
~ = w.
~
q Vrai
q Faux.

0.5 pt

7 - L’équation cartésienne du cercle C(Ω(2, 1); 2) est x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0
q Vrai
q Faux.

0.5 pt

Exercice 02 (4 points)
n
o
−−→ −−→
1 - L’ensemble M ∈ (P)/M A.M B = 0 est :
q la droite (AB).

q la médiatrice du segment [AB].

0,5 pt
q le cercle de diamètre [AB].

2 - L’ensemble des points Gm = bary{(A, 2); (B, −m); (C, m)} si m varie dans R est 1 pt
q {A}.

q La droite passant par A et parallèle à (BC).

q La droite (BC).

3 - L’ensemble des centres des cercles (Cm ) : x2 + y 2 − 2(2m + 1)x − 2my + 8(m − 3) = 0
quand m varie dans R est la droite
1 pt
q (D) : x − 2y − 1 = 0

q (D) : x − 2y + 1 = 0.

~ (2, −3) est un vecteur normal à la droite
4 -u
q (D) : 3x − 2y + 2 = 0. q (D) : 2x − 3y − 1 = 0.
5 - On considère les points A(2, 2), B(2, 0) et C(1, 1). On a :
−→ −→
q cos(AC, AB) = −

√

q (D) : x − 2y − 2 = 0.
0,5 pt
q (D) : 2x + 3y + 1 = 0.
1 pt

2

1
π
−→ −→
−→
−→
\
. q sin(AC, AB) = . q une mesure de (AC, AB) est .
2
2
4
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Exercice 03 (2,5 points)
On considère la figure ci dessous :

Compléter ce qui suit :
1 M est le barycentre des points pondérés : (B, ....) et (C, ....).

0,5 pt

2 N est le barycentre des points pondérés : (B, ....) et (A, ....).

0,5 pt

3 P est le barycentre des points pondérés : (A, ....) et (C, ....).

0,5 pt

4 Les droites (AM ), (N C) et (BP ) concourent en Q barycentre de .....................................
.................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 pt

Exercice 04 (3,75 points)
On considère la fonction f définie par :

f est une fonction 1-périodique,
(∀x ∈ [0, 1[) : f (x) = x2 − x.
On note (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,~i, ~j) avec k~ik = 2cm.
 
 
 
1
3
5
1 - Calculer f
;f
;f
et f (2022, 5).
1 pt
2
2
2
2 - Déterminer f (x) pour x ∈ [−1, 0[.

0,5 pt

3 - Représenter (Cf ), la courbe de f, sur [−2, 2].

1 pt

4 - Résoudre, dans R, l’équation f (x) = 0.

0,5 pt

5 - Soit x ∈ R, on pose k = E(x), la partie entière de x.
(a) - Montrer que 0 ≤ x − k < 1.

0,25 pt

2

(b) - Déduire que f (x) = x − x + (E(x) − 2x + 1)E(x).

0,5 pt

Exercice 05 (6,25 points)
On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé (0,~i, ~j), les points suivants :
A(0, 3), B(−2, 3) et C(1, −2).
1 - Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2 - Calculer les coordonnées de G le centre de gravité du triangle ABC.
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0,75 pt
0,5 pt
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3 (a) Donner l’équation de (D) la hauteur du triangle ABC passant par A.

1 pt

(b) Donner l’équation de (∆) la hauteur du triangle ABC passant par C.

0,5 pt

(c) Déduire les coordonnés de H, l’orthocentre du triangle ABC.

1 pt

(a) Donner l’équation de (D 0 ) la médiatrice du segment [BC].

1 pt

(b) Calculer les coordonnés de Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

1 pt

4 -

5 - Vérifier que les points Ω, H et G sont alignés.

0,5 pt

Question et exercice Bonus (Hors barème).
6 -

plus 1,5 pt

Représenter algébriquement (par un système)
la zone coloriée ci contre :

Exercice 06 (plus deux points )
(C) est un cercle de centre O et de rayon 8.
A est un point fixe à l’intérieur du cercle (C) tel
que OA = 5.
Le triangle AP Q est rectangle en A tel que les
points P et Q soient extérieurs au cercle (C).
Les cotés (AP ) et (AQ) coupent le cercle (C)
respectivement en E et F.
Le point M est le milieu de [EF ].
Déterminer l’ensemble des points M quand le triangle AP Q tourne autour de A.

NB : Vous pouvez scanner ce code QR après 19h pour la correction de ce contrôle.

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