sur les endomorphismes nilpotents par errazka youssef


c'est une question postée par un candidat agrégatif sur les endomorphismes nilpotents.

Nom original: nilpotent.pdf
Titre: sur les endomorphismes nilpotents
Auteur: errazka youssef
Éditeur: errazka youssef
Mots-clés: nilpotent, endomorphisme.

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2021-2022

Errazka Youssef

Question postée par un candidat agrégatif

Question 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit u1 , . . . , un , n endomorphismes nilpotents qui commutent. Montrer que u1 . . . un = 0
Réponse 1 Soit B une base de E.
pour i ∈ {1, . . . , n}, soit Ni la matrice de ui dans la base B. Les matrices Ni commutent
deux à deux et sont trigonalisables (car le polynome caractéristique est X n qui est scindé).
comme elles commutent, elles sont donc cotrigonalisables de sorte qu’il existe une matrice
p inversible et une famille (Ti )1≤i≤n de matrices triagulaires supérieurs telles que :
P −1 Ni P = Ti
La seule valeur propre d’une matrice nilpotente est 0, donc toutes les matrices Ti sont à
diagonale nulle.
(k)
(k)
Écrivons Tk := (ti,j )i,j pour k = 1, . . . , n, avec ti,j = 0 pour i ≥ j.
Nous avons alors :
n
n
Y

Ni = P (

Y

Ti )P −1

i=1

i=1

Qn

Montrons que i=1 Ti = 0.
En effet : Si on note ci,j le coefficient de la ième ligne et le jème colonne de ce produit
alors :
n
n
ci,j =

X
k1 =1

...

(1)

X

(n)

ti,k1 . . . tkn−1 ,j

kn−1 =1
(1)

(n)

Montrons que tous les termes de cette somme sont nuls. Si un terme ti,k1 . . . tkn−1 ,j est non
nul, alors i < k1 < · · · < kn−1 < j. or i ≥ 1, alors n < j ce qui est absurde.
Ainsi tout les termes sont nuls, puis le produit

Qn

i=1 Ti = 0 est nul, d’où la matrice

n
Y

Ni

i=1

est nulle.
Bonne chance

1


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