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de f +∞ 2 −∞ 0 m ja ou ch ?(Cf ) admet une branche parabolique vers l’axe ?L’équation f(x) = 0 admet une solution α des ordonnés au voisinage de +∞.

de f − −∞ ch x +∞ 0 m ja ou ?(Cf ) admet une branche parabolique vers l’axe ?L’équation f(x) = 0 admet une solution α telle que des ordonnés au voisinage de +∞.

a) Le graphe G ci-contre admet un cycle eulérien.

4.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .

h0 (x) = 2h(x) et déduire le tableau de variations √ x P 5) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans [0;

A B C D + d d− b) G admet –il un cycle orienté Eulérien ?

2 10 a Déduire que léquation f (x) = 0 admet une unique solution α dans R et que 0 <

-∞ +∞ 0 1/2 -∞ -∞ admet un maximum absolu en  et égal dérivable sur par :

R → R d´efinie par f (0) = 0 et f (x) = x3 sin(1/x) si x 6= 0 n’est pas de classe C 2 mais admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en x = 0.

4.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .

2) Dériver et étudier le signe de la dérivée sur 3) En déduire les variations de sur 4) Dresser le tableau de variations complet de 5) Démontrer que l’équation admet exactement trois solutions sur entière.

f continue sur 2) f continue sur 3) alors f admet une primitive F sur alors f admet une primitive F sur f continue sur 4) ;

1.a) Dresser le tableau de variation de g b) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans R une unique solution α et vérifier que 1,6 <α <1,7 c) En déduire le signe de g(x).

(0.5 point) pour y = 0, l’équation y = f (x) admet une unique solution x = 0.

x  0  1    f 0 -1 a.L’équation f ( x)  0 admet dans IR\ 1 exactement deux solutions.

I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).

(0.5 point) pour y = 0, l’équation y = f (x) admet une unique solution x = 0.

a) La courbe admet un centre de symétrie.

a admet un polynôme annulateur non nul ssi K[a] est de dimension finie.

Nombres premiers 1 Définition et premières propriétés Définition 1.1 Un entier naturel p est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs :

A Soit le graphe G suivant E B 1) a) donner le degré de sommet B b) G admet-il un cycle eulérien ?

2°) Déterminer les réels a, b, c sachant que f admet 1 pour extremum en x = 0 et – 3 pour extremum en x = 2.

On pose u(x) = (b) En d´eduire que f admet un prolongement par continuit´e en 1.

[-1,0] , [0,1] et [1,2] b- Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans [1,2] une seule solution a c- Vérifier que aϵ ] 1,6 ;

2) a) Recopier et compléter le tableau suivant où d + et d − représentent b) G admet-il un cycle eulérien ?