sortie B. Oscillateur électrique
Les trois circuits électriques élémentaires (a), (b), (c) utilisent en tout ou partie un générateur de
tension E constante, une bobine d'inductance L, un condensateur de capacité C, un résistor de
résistance R.
i
i
R
E
L
i
R
E
C
C
E
L
(a)
(b)
(c)
1) Pour chacun des circuits, trouver l'unité de temps adaptée (qu’on notera, par exemple pour le circuit
(a), τ a ).
2) Dans l'un des circuits, le courant électrique i présente des oscillations en fonction du temps.
Lequel ?
a) Pour ce circuit, établir deux équations différentielles du premier ordre couplées vérifiées par
la charge d’une des deux armatures du condensateur q (t ) et le courant i(t ) .
b) En déduire l'équation différentielle du second ordre vérifiée par i(t ) , puis celle vérifiée par
q (t ) . Les résoudre avec les conditions initiales i(0) = 0 et q (0) = q0 .
c) Les oscillations sont-elles amorties? Exprimer la pulsation propre en fonction de l'unité de
temps adaptée.
d) Tracer les courbes i(t ) et q (t ) .
e) Analogie avec un oscillateur mécanique
Les équations différentielles obtenues aux questions A.2.(e) et B.2.(b) sont formellement identiques.
Trouver les analogues mécaniques des grandeurs électriques i, q, L, C, E.
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4.3 Le bouchon du pêcheur
Un bouchon a la forme d'un cylindre de surface de base S et de hauteur h. Sa masse est m.
Quand on le plonge dans de l'eau immobile, on constate qu'il flotte verticalement.
On note � la masse volumique de l'eau, ρb celle du bouchon et g le champ de pesanteur, g = 10 m/s 2 .
Dans tout ce problème, on néglige les frottements et la poussée d'Archimède de l'air.
géométrie du bouchon position à l'équilibre
une position quand mouvement
1. Équilibre.
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a) Quelles sont les forces qui s'exercent sur le bouchon ? Les représenter sur un schéma.
b) Calculer la hauteur heq de la partie immergée du bouchon à l'équilibre. On l'exprimera en
fonction de m, S et �, puis en fonction de h, �b et �. Le bouchon peut-il flotter quel que soit �b?
c) Expliquer pourquoi l'équilibre est verticalement stable.
2. Oscillations.
Sur le bouchon est tracée la ligne de flottaison : c'est le cercle horizontal qui indique où arrive la
surface de l'eau à l'équilibre (en pointillé sur la figure). On étudie le mouvement vertical du bouchon
quand il n'est pas à l'équilibre. On utilise un axe Oz vertical ascendant, O est situé au niveau de la
surface de l'eau. La position du bouchon est repérée par l'altitude z (t ) de la ligne de flottaison. Quand
le bouchon est à l'équilibre, on a : z = 0 .
a) Exprimer les forces qui s'exercent sur le bouchon en fonction de m, g, S, � et z.
b) En déduire la force résultante (vérifier qu'elle est nulle pour z = 0 ) et établir l'équation
différentielle que doit vérifier z (t ) .
c) La solution générale de cette équation est :
z ( t ) = A cos(ω0 t ) B sin(ω0t )
où A, B, ω0 sont des constantes. Déterminer ω0 puis l'exprimer en fonction de g et heq seuls.
Vérifier l'homogénéité de l'expression obtenue.
d) A.N. : heq = 1 cm . Calculer la période et la fréquence des oscillations.
e) À t = 0 , on donne les conditions initiales : z (0) = 0 et z� (0) = v0 . Déterminer les constantes A
et B.
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