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Si tu consid`eres la fonction f d´efinie sur le segment [a, b], avec un pas r´egulier de
somme de Riemann associ´ee est :

b−a
n ,

alors la

n

b−a
b−a X
f (a + k
)
n
n
k=1

Dans ton cas, tu as :
Sn = n

n
X
k=1

1
k 2 + n2

Tu peux donc consid´erer que a = 0 et b = 1. On cherche donc une fonction f telle que :
Sn = n

n
X
k=1

n

1X k
1
=
f( )
k 2 + n2
n
n
k=1

1
ut d’ˆetre continue sur le segment. On
Tu peux prendre f (x) = 1+x
2 . Cette fonction a le bon goˆ
a alors :
n
n
n
1 X n2
1X k
1X
1
=
= Sn
f( ) =
n
n
n
n
n2 + k 2
1 + ( nk )2
k=1

k=1

k=1

Or f est continue sur le segment [0, 1] et on sait alors que les sommes de Riemann convergent
R1
R1
vers l’int´egrale de f sur [0, 1]. Donc Sn → 0 f (t)dt. Or 0 f (t)dt = arctan(1) = π4

1


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