2012 13 TS DM 08 Ex 85 et 86 page 255

DM n° 8 Correction
Exercice 86 page 255

Exercice 85 page 255

i

1. * z1 = 1  i.
| z1 | =

a=1; b=e

(1)2 + (1)2 soit | z1 | =

Soit 1 un argument de z1 . Alors


3

3
3
; c= +
i
2 2

soit 1 =

3
. Donc z1 =
4

i

2e

3
4

 32 +  3 2 soit | c | = 3
 2
  2

1. * | c | =
.

Soit  un argument de c. Alors

* forme algébrique de

 cos  = 3 = 3
2 3 2

3 1
 sin  = 2 3 = 2



soit  =

i

. Donc c = 3e 6 .
6



 12 +  3 2 soit | z | = 1
 2
2
  2

Soit 2 un argument de z 2. Alors

3 i6
e
2

d=

2.

 cos 1 = 1 =  2
2
2

1  2
 sin 1 = 2 = 2

1
3
* z2 = +
i.
2 2
| z2 | =



et

*d=

 cos 2 = 12

3
 sin 2 = 2

3 i6
3
3  3 1 


e
= d=
( cos
+ i sin
) =

 i
2
2
6
6
2  2 2 

soit

1
3
d= 
i .
4 4



soit 2 =

i

. Donc z 1 = e 3 .
3

2.a. figure.

z1
.
z2

B

 1
1
3
3
1
3
 
+ i  + 

i
2 2
2 2
z1
1  i
1  i
 2 2
=
=

=
1 3
z2
1
3
1
3
1
3
+
+
i
+
i

i
4 4
2 2
2 2
2 2

soit

 1
z1
1
3
3
=  
+ i  + 
2 2
z2
 2 2

C

v

A
* forme exponentielle de
z1
=
z2

3
i
2e 4
i

e


3

z1
.
z2
i

=

2e

O

3

i
4
3

2. L’écriture exponentielle de

i

=

2e

13
12

soit

i
z1
= 2e
z2

11
12

z1
z1
nous donne son module et un argument :
=
z2
z2

 1
z1
1
3
3
=  
+ i  +  =
2 2
z2
 2 2

11
11
+ i sin
).
12
12
1
3
On identifie les parties réelles et les parties imaginaires :  
=
2 2
11
12
On a :

D’où

11
cos
=
12



car 2 

1
3

2 2
 2 6
=
4
2

D

13
11
=
12
12

 z  11
2 et arg 1  =
.
 z2  12

2 ( cos

et

11
sin
=
12



u



2.b. * aff(OA) = a = 1 et




aff( BC) = c  b =




Donc OA = BC
11
1
3
2 cos
et  +
=
12
2 2

1
3
+
2 2
 2+ 6
=
.
4
2

2 sin

i
3
3
3
3
3
3
1
3
2


+
i  e 3 =
+
i  (cos + i sin ) = +
i  i
=
= 1
2 2
2 2
3
3
2 2
2
2
2

donc OACB est un parallélogramme.


OB = | b | = e i 3 = 1 donc OA = OB.
Donc le parallélogramme OACB a deux côtés consécutifs égaux, donc OACB est un losange.

* OA = | a | = 1

et