BacBlanc SE

‫اندًٕٓسٌح اندضائشٌح انذًٌمشاعٍح انشؼثٍح‬
‫دٔسج ‪ :‬ياي ‪2010‬‬
‫ٔصاسج انرشتٍح انٕعٍُح‬
‫ايرساٌ تكانٕسٌا انرؼهٍى انثإَي(ذدشٌثً)‬
‫ﺛﺎﻧوﯾﺔ اﻟﺷﮭﯾد ﻣﺣﻣد ﺑوﻋﯾﺳﻲ – اﻟﺷﻠف‪-‬‬
‫انشؼثح‪:‬ػهٕو ذدشٌثٍح‬
‫انًذج ‪3 :‬عاػاخ َٔصف‬
‫اخرثاس فً يادج ‪ :‬انشٌاضٍاخ‬
‫ػهى انًرش شر أٌ ٌخراس أزذ انًٕضٕػٍٍ انرانٍٍٍ‪:‬‬
‫انًٕضٕع األٔل‬
‫انرًشٌٍ األٔل‪َ3,5(:‬ماط)‬
‫‪  ‬‬
‫انفضاء يُغٕب إنى يؼهى يرؼايذ ٔيرداَظ ‪ٔ , o , i , j , k‬نركٍ انُمظ ‪, B 1,1,0  , A 1,2, 1 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ٔ , S 1,1,1 , C  9, 1, 2 ‬يؼادنح نهًغرٕي ‪x  2 y  2z  3  0 : ًْ  ABC ‬‬

‫نكم عؤال إخاتح ٔازذج صسٍسح فمظ‪ ,‬اخرش اإلخاتح انصسٍسح يغ انرثشٌش‬
‫‪ )1‬ذًثٍال ٔعٍغٍا نهًغرمٍى ‪:ْٕ  AB ‬‬
‫‪x  1  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪(  y  2  4t , t ‬أ)‬
‫‪z  1  3t‬‬
‫‪ 3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪)2‬إزذاثٍاخ انُمغح ‪َ S /‬ظٍشج انُمغح ‪ S‬تانُغثح نهًغرٕي‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  t , t ‬‬

‫‪ 10 11 10 ‬‬
‫(أ) ‪ , , ‬‬
‫‪ 9 9 9‬‬
‫‪ )3‬انًثهث ‪: ABC‬‬

‫‪x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪(  y  1  2t , t ‬ج)‬
‫‪z  2t‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪(  y‬ب)‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪: ًْ  ABC ‬‬

‫‪7 5 5‬‬
‫(ج) ‪ , , ‬‬
‫‪9 9 9‬‬

‫‪5 1 1‬‬
‫(ب) ‪ , , ‬‬
‫‪9 9 9‬‬

‫(ج) لائى فً ‪B‬‬

‫(أ) يرغأي انغالٍٍ‬
‫(ب) لائى فً ‪A‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ )4‬يدًٕػح انُمظ ‪ M‬يٍ انفضاء ٔانرً ذسمك ‪: ًْ MA  MB  MC  9 :‬‬
‫(أ) يغرٕي ٌشًم‬
‫انرًشٌٍ انثاًَ‪َ5(:‬ماط)‬
‫اندضء األٔل‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫َؼرثش فً ‪ ‬انًؼادنح‪z   4  i  z  13  4i  z  13i  0 ........)1( :‬‬
‫‪ )1‬أثثد أٌ انؼذد انًشكة ‪ i‬زال نهًؼادنح (‪)1‬‬
‫‪ )2‬أٔخذ األػذاد انسمٍمٍح ‪ c , b , a :‬تسٍث‪:‬‬
‫‪S‬‬

‫(ج) عغر كشج يشكضْا ‪S‬‬

‫(ب) عغر كشج ٌشًم ‪S‬‬

‫‪z 3   4  i  z 2  13  4i  z  13i   z  i  az 2  bz  c ‬‬

‫‪ )3‬أعرُرح زهٕل انًؼادنح (‪)1‬‬
‫اندضء انثاًَ‬
‫‪ ‬‬
‫َؼرثش فً انًغرٕي انًشكة انًُغٕب إنى يؼهى يرؼايذ ٔيرداَظ ‪ o ,u ,v‬انُمظ‪C , B , A :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫انرً نٕازمٓا‪z C  2  3i , z B  2  3i , z A  i :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,‬أٔخذ الزمح انُمغح ‪ A /‬صٕسج ‪ A‬تٓزا انذٔساٌ‬
‫‪ )1‬نٍكٍ ‪ R‬انذٔساٌ انزي يشكضِ ‪ٔ B‬صأٌرّ‬
‫‪4‬‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ‪ 4/1‬ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ )2‬أثثد أٌ انُمظ ‪ C , B , A :‬نٍغد ػهى اعرمايح ٔازذج ‪ ,‬ثى أٔخذ انؼثاسج انًشكثح نهرساكً ‪ h‬انزي‬
‫يشكضِ ‪ٌٔ B‬سٕل ‪ C‬إنى ‪A /‬‬
‫انرًشٌٍ انثانث‪َ5(:‬ماط)‬
‫‪4‬‬
‫نركٍ انًررانٍح ‪ u n ‬انًؼشفح ػهى ‪ ‬تـ ‪ٔ u 0  0 :‬‬
‫‪un  3‬‬
‫‪ )1‬تشٍْ أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪1  u n  0 : n‬‬
‫‪ )2‬أدسط سذاتح انًررانٍح ‪ٔ , u n ‬أعرُرح أٌ ‪ u n ‬يرماستح‬
‫‪1‬‬
‫‪vn ‬‬
‫‪َ )3‬ؼرثش انًررانٍح ‪ v n ‬انًؼشفح ػهى ‪ ‬تـ ‪:‬‬
‫‪un 1‬‬
‫أ ) تٍٍ أٌ ‪ v n ‬يررانٍح زغاتٍح ‪ٌ ,‬غهة ذسذٌذ أعاعٓا ٔزذْا األٔل‬
‫‪u n 1  1 ‬‬

‫ج ) أزغة ‪lim u n :‬‬

‫ب ) أزغة ‪ v n‬ثى ‪ u n‬تذالنح ‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪َ )4‬ضغ ‪ , S n  2 v 0 v 1  .... v n ‬تٍٍ أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً غٍش يؼذٔو ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 3‬‬
‫أٌ ‪ S n   :‬ثى أزغة ‪lim S n‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪4 n‬‬
‫انرًشٌٍ انشاتغ‪َ 6,5(:‬ماط)‬
‫‪x‬‬
‫َؼرثش انذانح ‪ f‬انًؼشفح ػهى ‪ ‬تـ ‪f  x   x  1  e :‬‬
‫‪x ‬‬

‫َشيض تـ ‪ c g  :‬نًُسُى انذانح ‪ ٔ g‬تـ‪ c ln  :‬نًُسُى انذانح " انهٕغاسٌرى انٍُثٍشي"‬
‫‪ 1‬ـ أ) أزغة ‪lim f  x  , lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫ب ) أزغة ‪ x ‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ f‬ثى شكم خذٔل ذغٍشاخ انذانح ‪f‬‬

‫أعرُرح إشاسج ‪f  x ‬‬

‫‪ 2‬ـ َؼرثش انذانح ‪ g‬انًؼشفح ػهى ‪ ‬تـ ‪g  x   ln  x  1  e  x  :‬‬
‫أ ) أدسط ذغٍشاخ انذانح ‪g‬‬
‫‪ xlim‬ثى فغش انُرٍدح تٍاٍَا‬
‫ب ) ـ تٍٍ أٌ ‪ g  x   x   0‬‬
‫‪‬‬

‫ـ تٍٍ أٌ ‪ g  x   x  0 :‬يٍ أخم كم ‪x‬‬

‫يٍ انًدال ‪, 1‬‬

‫‪ x 1‬‬
‫ـ تٍٍ أٌ ‪ :‬‬
‫‪ x ‬‬
‫أعرُرح ) ‪( g  x   ln x‬‬
‫‪ , xlim‬فغش انُرٍدح تٍاٍَا‬
‫‪‬‬

‫‪ 0  g  x   ln x  ln ‬يٍ أخم كم ػذد زمٍمً ‪ x‬يٕخة ذًايا ‪ ,‬ثى‬

‫ـ نٍكٍ ‪   ‬يًاط ‪ c ‬فً انُمغح راخ انفاصهح ‪ , -2 :‬أكرة يؼادنح نـ ‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪o‬‬
‫‪,‬‬
‫‪i‬‬
‫ـ أَشئ ‪    ٔ c  ٔ c ‬فً َفظ انًؼهى انًرؼايذ ٔانًرداَظ ‪ , j ‬‬
‫‪g‬‬

‫‪g‬‬

‫‪ln‬‬

‫ـ َالش زغة لٍى انٕعٍظ انسمٍمً ‪ m‬ػذد ٔإشاسج زهٕل انًؼادنح ‪x  1  e  x 1  e m   0 :‬‬

‫‪َ )3‬ؼرثش انًؼادنح انرفاضهٍح ‪ , y /  y  x  2 :‬ذأكذ أٌ انذانح ‪ f‬زال خاصا نٓزِ انًؼادنح انرفاضهٍح‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ‪ 4/2‬ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫انًٕضٕع انثاًَ‬
‫انرًشٌٍ األٔل‪َ6(:‬ماط)‬

‫‪2x  1‬‬
‫‪ f‬دانح يؼشفح ػهى انًدال ‪ 0,2‬تـ ‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )1‬ـ أ) أدسط ذغٍشاخ انذانح ‪ f‬ػهى انًدال ‪0,2‬‬

‫‪f x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬

‫ـ ب) أثثد أَّ إرا كاٌ ‪ x 1,2‬فئٌ ‪f  x  1,2‬‬

‫‪ )2‬ـ ‪ v n  ٔ u n ‬يررانٍراٌ يؼشفراٌ ػهى ‪ ‬تـ ‪:‬‬
‫‪ ٔ u 0  1‬يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪u n 1  f u n  : n‬‬
‫‪ ٔ v 0  2‬يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪v n 1  f v n  : n‬‬
‫أ) انًُسُى انًماتم ْٕ يُسُى انذانح ‪ f‬فً انًدال ‪0,2‬‬
‫ـ أَشئ ػهى يسٕس انفٕاصم انسذٔد انثالثح األٔنى نكم يٍ‬
‫انًررانٍرٍٍ ‪v n  ٔ u n ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫ـ أػظ ذخًٍُا زٕل اذداِ ذغٍش كم يٍ ‪ٔ v n  ٔ u n ‬ذماستًٓا‬
‫ب) تشٍْ تانرشاخغ أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪ n‬أٌ ‪v n 1  v n ٔ 1  v n  2‬‬
‫ٔكزنك ‪u n  u n 1 ٔ 1  u n  2‬‬
‫‪v n un‬‬
‫‪v n 1  u n 1 ‬‬
‫ج) تشٍْ أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪: n‬‬
‫‪v n  1u n  1‬‬
‫‪1‬‬
‫أعرُرح أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪v n 1  u n 1   (v n  u n ) ٔ v n u n  0 : n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫د) تشٍْ أَّ يٍ أخم كم ػذد عثٍؼً ‪v n  u n    : n‬‬
‫‪4‬‬
‫ْـ) أثثد أٌ ) ‪ٌ (v n ) ٔ (u n‬رماستاٌ يٍ َفظ انؼذد ‪ , ‬ثى أٔخذ انمًٍح انًضثٕعح نـ ‪‬‬
‫انرًشٌٍ انثاًَ‪َ 3,5(:‬ماط)‬
‫‪ ‬‬
‫انًغرٕي انًشكة يُغٕب إنى يؼهى يرؼايذ ٔيرداَظ ‪ z , o , i , j‬ػذد يشكة‪ٌ z ,‬شيض إنى يشافك ‪z‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫نكم عؤال إخاتح ٔازذج صسٍسح فمظ‪ ,‬اخرش اإلخاتح انصسٍسح يغ انرثشٌش‬
‫(ج) ‪1 3  i‬‬
‫(ب) ‪9i‬‬
‫(أ) ‪3‬‬
‫‪ )1‬زم انًؼادنح ‪: ْٕ 2z  z  9i :‬‬
‫(ب) ‪z  1‬‬
‫(أ) ‪z  1‬‬
‫‪z  i  )2‬‬
‫(ج) ‪i z  1‬‬
‫‪ 1  i 3 ‬‬
‫‪ )3‬إرا كاَد ‪ Arg  z   ‬فئٌ ‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪: ًْ Arg ‬‬

‫(أ) ‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫(ب) ‪ ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ n )4‬ػذد عثٍؼً ‪ٌ ,‬كٌٕ انؼذد انًشكة ‪:‬‬
‫(أ) ‪n  3‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪3 i‬‬

‫(ب) ‪n  6k  3, k  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫(ج) ‪ ‬‬
‫‪3‬‬

‫ذخٍهٍا صشفا إرا ٔفمظ إرا كاٌ‪:‬‬
‫(ج) ‪n  6k , k  ‬‬

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ‪ 4/3‬ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪َ B ٔ A )5‬مغراٌ الزمراًْا ‪z B  1 ٔ z A  i :‬‬
‫يدًٕػح انُمظ ‪ M‬راخ انالزمح ‪ٔ z‬انرً ذسمك ‪( : ًْ z  i  z  1 :‬أ) انًغرمٍى ‪ AB ‬‬
‫(ج) انًغرمٍى انؼًٕدي ػهى ‪ٔ  AB ‬انًاس تانًثذأ ‪o‬‬
‫(ب) انذائشج راخ انمغش ‪ AB ‬‬
‫انرًشٌٍ انثانث‪َ4(:‬ماط)‬
‫‪  ‬‬
‫انفضاء يُغٕب إنى يؼهى يرؼايذ ٔيرداَظ ‪o , i , j , k‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫نركٍ انُمظ ‪C  3, 1,2  , B 1,2,1 , A 1,1,0 ‬‬

‫‪)1‬أ) أثثد أٌ انُمظ‪ C , B , A :‬ذؼٍٍ يغرٌٕا‪ ,‬ثى تٍٍ أٌ‪ 2x  y  z  3  0 :‬يؼادنح نهًغرٕي ‪ ABC ‬‬
‫‪ )2‬نٍكٍ انًغرٌٕاٌ ‪  P  ٔ  P ‬زٍث‪ P  : 2x  3y  2z  5  0 ,  P  : x  2 y  z  4  0 :‬‬
‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪x  2  t‬‬
‫‪‬‬
‫أثثد أٌ ذماعغ ‪ ْٕ  P /  ٔ  P ‬يغرمٍى ‪   ‬ذًثٍال ٔعٍغٍا نّ ‪,t  ‬‬
‫‪y  3‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪‬‬

‫‪ )3‬زذد ذماعغ انًغرٌٕاخ انثالثح‪  P /  ٔ  P  ٔ  ABC  :‬ثى أٔخذ تؼذ انُمغح ‪A‬‬

‫ػٍ انًغرمٍى ‪  ‬‬

‫انرًشٌٍ انشاتغ‪َ 6,5( :‬ماط)‬
‫نركٍ ‪ f‬انذانح انًؼشفح ػهى انًدال ‪  0,‬تـ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f  x   x  3  2ln x   1ٔ f  0   1‬يٍ أخم كم ‪ x‬يٍ انًدال ‪ٔ , 0,‬نٍكٍ ‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫انثٍاًَ فً انًغرٕي انًُغٕب إنى يؼهى يرؼايذ ٔيرداَظ ‪( o , i , j‬انٕزذج ‪)2cm‬‬

‫‪‬‬

‫اندضء األٔل‬
‫‪ )1‬أ) أزغة ‪f  x ‬‬
‫‪ lim‬ثى فغش انُرٍدح تٍاٍَا‬
‫‪x 0‬‬

‫‪ c f‬ذًثٍهٓا‬

‫‪‬‬

‫ب)أزغة ‪lim f  x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪0,‬‬

‫‪ )2‬أ) أدسط لاتهٍح االشرماق نـ ‪ f‬ػُذ‪ 0‬ب) أثثد أٌ ‪ f‬لاتهح نالشرماق ػهى انًدال‬
‫ثى أزغة ‪ f /  x ‬ػهى انًدال ‪, 0,‬أعرُرح إذداِ ذغٍش ‪ f‬ثى شكم خذٔل ذغٍشاذٓا‬
‫‪)3‬أثثد أٌ انًؼادنح ‪ f  x   0‬ذمثم زال ٔزٍذا ‪ ‬فً انًدال ‪,  0,‬ذسمك أٌ ‪4,6    4,7 :‬‬
‫‪ )4‬أ) أكرة يؼادنح نهًغرمٍى ‪  D ‬يًاط ‪ c f ‬فً انُمغح راخ انفاصهح ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )5‬نركٍ انذانح ‪ g‬انًؼشفح ػهى انًدال ‪: 0,‬‬
‫‪2‬‬
‫أ) أزغة ‪ g / /  x  ٔ g /  x ‬ثى أدسط إذداِ ذغٍش انذانح ‪ , g /‬أعرُرح إشاسج ‪ g /  x ‬ػهى انًدال ‪0,‬‬
‫‪g  x   f  x   2x ‬‬

‫ب)أدسط اذداِ ذغٍشا نذانح ‪, f‬أعرُرح ٔضؼٍح ‪ c ‬تانُغثح إنى ‪  D ‬ج)أزغة ‪ f  6‬ثى أَشئ ‪ D  ٔ c ‬‬
‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫اندضء انثاًَ‬
‫‪ n )1‬ػذد عثٍؼً غٍش يؼذٔو ‪َ,‬ضغ ‪, I n   x 2 ln xdx‬تاعرؼًال انركايم تانردضئح أزغة ‪ I n‬تذالنح ‪n‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ )2‬أعرُرح تذالنح ‪ n‬انًغازح ‪ A  n ‬تـ ‪ cm :‬نهسٍض انًغرٕي انًسذد تانًُسُى ‪ٔ c ‬انًًاط ‪ D ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪f‬‬

‫‪1‬‬
‫ٔانًغرمًٍٍٍ را انًؼادنرٍٍ ‪:‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ x  1 ٔ x ‬ثى أزغة ‪lim A  n ‬‬
‫‪x ‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ انصفسح ‪ 4/4‬ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬