Mouton Chèvre Fabien CORRECT

L’exp´erience que tu proposes revient `a la situation suivante.
On dispose 5 pi`eces num´erot´ees de 1 `a 5 sur 5 cases num´erot´ees de 1 `a 5, `a raison d’une
pi`ece par case et l’on note X le nombre d’≪ erreurs commises ≫, c’est-`a-dire le nombre
de fois o`
u le num´ero de la pi`ece ne correspond pas au num´ero de la case o`
u elle se trouve.

L’univers des possibles Ω correspond au nombre de fa¸cons de disposer les 5 pi`eces sur
les 5 cases. Il y a 5 fa¸cons de choisir la case pour la pi`ece num´erot´ee 1, puis 4 fa¸cons de
choisir la case pour la pi`ece num´erot´ee 2, puis... Ainsi,
card Ω = 5 × 4 × . . . × 1 = 5! = 120.
On introduit alors X la variable ´egale au nombre d’erreurs commises. On a donc :
X(Ω) ⊂ {0, 1, . . . , 5} .
Tu me demandes plus pr´ecis´ement de calculer :
P (X = 0) et E(X).
Pour cela, je vais d´eterminer la loi de X.
Pour tout k ∈ [[0, 5]], on a, avec la probabilit´e uniforme :
P (X = k) =

card (X = k)
·
card Ω

• Il est clair qu’il n’y a qu’une seule fa¸con de ne faire aucune erreur donc :
P (X = 0) =

1
·
120

• Il n’est pas possible qu’il y ait exactement une erreur. En effet, si un num´ero n’est pas
bien positionn´e alors n´ecessairement, une autre num´ero ne sera pas bien positionn´e non
plus donc :
P (X = 1) = 0.
• Avoir 2 erreurs signifie qu’il faut trouver les 2 cases parmi les 5 qui vont donner naissance `a des erreurs, les 3 autres cases recevant automatiquement la pi`ece correspondant
`a leur num´ero. Pour ces deux cases, il y donc n´ecessairement ´echange de num´eros pour
les pi`eces correspondantes. Bref, le cardinal de (X = 2) correspond juste au nombre de
fa¸cons de choisir 2 num´eros parmi 5, c’est-`a-dire :
( )
5×4
5
= 10.
=
2
2
Ainsi,
P (X = 2) =

10
·
120

• Avoir 3 erreurs signifie qu’il faut trouver les 3 cases parmi les 5 qui vont donner naissance `a des erreurs, les 2 autres cases recevant automatiquement la pi`ece correspondant
`a leur num´ero. Le nombre de fa¸cons de choisir ces 3 cases correspond `a :
( ) (
) ( )
5
5
5
=
=
= 10.
3
5−3
2
1

Une fois ces cases choisies, par exemple les cases 1, 2 et 3, il faut mettre les pi`eces 1,
2 et 3 sur ces cases sans g´en´erer de r´eussite. En consid´erant que le triplet fourni donne
le num´ero des pi`eces qui vont se retrouver dans les cases 1, 2 et 3, les possibilit´es sont
alors les suivantes :
(2, 3, 1) et (3, 1, 2).
Bref,
P (X = 3) =

10 × 2
20
=
·
120
120

• Avoir 4 erreurs signifie qu’il faut trouver les 4 cases parmi les 5 qui vont donner naissance `a des erreurs, la derni`ere case recevant automatiquement la pi`ece correspondant `a
son num´ero. Le nombre de fa¸cons de choisir ces 4 cases correspond `a :
) ( )
( ) (
5
5
5
=
=
= 5.
5−4
1
4
Une fois ces cases choisies, par exemple les cases 1, 2, 3 et 4, il faut mettre les pi`eces 1,
2, 3 et 4 sur ces cases sans g´en´erer de r´eussite. En consid´erant que le quadruplet fourni
donne le num´ero des pi`eces qui vont se retrouver dans les cases 1, 2, 3 et 4, les possibilit´es
sont alors les suivantes :
(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1),
(3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1), (3, 1, 4, 2),
(4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) et (4, 3, 2, 1).

Bref,
P (X = 4) =

5×9
45
=
·
120
120

• On peut suivre un raisonnement similaire pour la derni`ere probabilit´e ou utiliser le
fait que la somme de toutes les probabilit´es ´etudi´ees vaut 1. Ainsi,
P (X = 5) = 1 −

4
∑

P (X = k) =

k=0

44
·
120

R´esumons.
On a donc :
X(Ω) = {0, 2, 3, 4, 5}
et
P (X = 0) = 1/120, P (X = 2) = 10/120, P (X = 3) = 20/120
P (X = 4) = 45/120 et P (X = 5) = 44/120.
De l`a, on tire la valeur moyenne :
∑
E(X) =
kP (X = k) = 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + 4P (X = 4) + 5P (X = 5).
k∈X(Ω)

On trouve :
E(X) =

480
= 4.
120
2

Pour revenir `a tes questions,
la probabilit´e que tout soit juste vaut : 1/120
et
le nombre moyen d’erreurs vaut : 4.

Pour ´elargir un peu la probl´ematique, tu t’es int´eress´e ici aux d´
erangements.
Plus g´en´eralement, imagine que tu travailles avec n pi`eces et n cases, on peut montrer
que :
n
∑
(−1)k
∀k ∈ [[0, n]], card (X = k) = n!
·
k!
k=0
C’est une formule c´el`ebre que nous avions peut-ˆetre vue en TD ensemble. Je l’ai retrouv´ee
dans mes archives : exercice 6 du chapitre 7 !
Ce probl`eme est aussi connu sous le nom de probl`
eme des

≪

danseurs de Chicago ≫.

J’esp`ere t’avoir ´eclair´e un peu !...

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