L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES STAT Ι)Série Corrigée N°2 (Distribution Statistique à Deux Caractères) .pdf



Nom original: L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdfAuteur: pplp

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 07/05/2012 à 19:51, depuis l'adresse IP 197.7.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 13867 fois.
Taille du document: 978 Ko (22 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT 𝜤)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Distribution Statistique à Deux Caractères
Exercice 1 : (ISCAE –SP 2009)
On a examiné 142 enfants du point de vue leurs âges et leurs poids. Les résultats obtenus sont présentés dans
le tableau suivant :
Age Y (Années)

[3-4[

[4-5[

[5-6[

Poids X(Kg)
[10-15[

19

7

1

[15-20[

32

21

12

[20-25[

3

18

28

[25-30[

0

0

1

1)
2)
3)
4)

Déterminer les distributions marginales correspondantes
Calculer les moyennes et les variances marginales
Calculer le poids moyen des enfants âgés de 4 à 5 ans
Calculer le coefficient de corrélation entre le poids et l’âge. Interpréter

Exercice 2 : (ISG –SC 2009)
On considère un échantillon de 24 ménages et on s’intéresse aux variables : X=Nombre d’enfants et Y=Nombre de
pièces dans le logement de résidence du ménage. Les valeurs de ces variables pour chaque ménage sont données par le
tableau suivant :
Ménage

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Nombre
d’enfants

1

0

1

2

2

3

0

3

1

3

2

1

1

0

3

3

3

2

3

0

2

2

1

0

Nombre
de pièces

1

2

2

1

3

3

1

3

1

3

2

3

1

1

2

1

4

1

3

1

3

1

2

1

1) Lister les modalités de X et les modalités de Y
2) Etablir le tableau de la loi conjointe du couple (X, Y) et déduire les lois marginales
3) calculer
a) 𝑿
b) 𝒀
c) 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
4) Déterminer
a) La 2ème distribution conditionnelle de X
b) Moy (X/Y=2)
5) Déterminer
a) La 4ème distribution conditionnelle de Y
b) Moy (Y/X=3)
6) Les variables X et Y sont-elles indépendantes, justifier votre réponse
1

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Exercice 3 :
On dispose pour un secteur industriel donné et sur une période de 8 années du nombre de salariés Y (en milliers) et du
chiffre d’affaires X (en dizaines de milliards) :
Année
1
2
3
4
5
6
7
8

X

3

4

5

6

8

9

11

13

Y

3,5

4,2

5

5,5

6

6,5

6,7

7,2

1,1

1,4

1,6

1,8

2,1

2,2

2,4

2,6

Ln(X)

On donne 𝑿 = 𝟕, 𝟑𝟕 , 𝒀 = 𝟓, 𝟓𝟕 et 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 = 𝟑, 𝟕𝟕
1) Représenter le nuage de points (x i , yi ). Discuter la validité du modèle d’ajustement linéaire 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
2) Utiliser la méthode des moindres carrés pour estimer les paramètres a et b du modèle précèdent. Tracer sur le
graphique de la question (1) la droite des moindres carrés
3) Evaluer la qualité de l’ajustement linéaire précèdent
4) Représenter sur un nouveau graphique le nuage de points (Ln (x i ), yi ). Commenter le graphique obtenu
5) Donner les estimations des paramètres du modèle 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝑳𝒏 𝑿
6) En l’an 2010, on prévoit pour le secteur étudié un chiffre d’affaires de 400 milliards. Utiliser les modèles
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿 et 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝑳𝒏 𝑿 pour proposer deux prévisions du nombre d’employés de ce secteur à l’horizon
2010. Quelle prévision vous semble la plus appropriée

Exercice 4 :
Le tableau ci-dessous fournit la distribution de 290 entreprises selon leurs dépenses en publicité (variable X) et leurs
chiffres d’affaires (variable Y). Les valeurs sont exprimées en milliers de dinars
Y
[15, 25[ [25, 35[ [35, 45[ [45, 55[ [55, 65[ [65, 75[ [75, 95[
X
[1, 3[
6
8
2
0
0
0
0
[3, 5[

8

10

14

12

0

0

0

[5, 8[

0

4

18

20

18

2

0

[8, 9[

0

4

12

16

20

12

4

[9, 11[

0

0

4

8

16

16

8

11 et plus

0

0

0

0

14

16

18

1) A partir de ce tableau, déterminer :
a) Le nombre d’entreprises ayant des dépenses publicitaires inférieures à 5 milles dinars et un chiffre
d’affaires compris entre 15 et 25 miles dinars

b) La proportion d’entreprises ayant moins que 5 miles dinars comme dépenses publicitaires
c) La proportion d’entreprises ayant entre 3 et 9 milles dinars de dépenses publicitaires et entre 35 et 55
milles dinars de chiffres d’affaires
d) Le nombre d’entreprises ayant un chiffre d’affaires de 25 milles dinars et plus
2) Déterminer les distributions marginales des variables X et Y
2

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

3) Calculer les moyennes marginales
4) Déterminer la distribution selon les dépenses publicitaires des entreprises ayant un chiffre d’affaires compris
entre 35 et 45 milles dinars. Déterminer son mode et sa médiane
5) Déterminer la droite de régression de Y sur X
6) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. Interpréter
7) Quel serait le chiffre d’affaires d’une entreprise ayant 13 milles dinars de dépenses publicitaires

Exercice 5 : (ISG –SP 1999)

Soit la fonction de Cobb-douglas à élasticités constantes et à rendement d’échelle constant : 𝑸 = 𝜸𝑲𝜶 𝑳𝜷 avec
𝜶 + 𝜷 = 𝟏 . On donne le tableau suivant :
Ln(Q)
7,5
8,6
9,7
10,8
11,9
Ln(L)

6,5

6,6

6,7

6,8

6,9

Ln(K)

7,5

9,6

8,7

11,8

9,9

Etablir une relation linéaire par rapport aux coefficients de cette fonction de la forme 𝑼 = 𝒂 + 𝒃𝑽
Estimer les paramètres a et b par la méthode des moindres carrés
Déterminer le coefficient de corrélation
Présenter la fonction de production sous la forme 𝑸 = 𝒇 𝑲, 𝑳
Donner la prévision si 𝑲 = 𝟏𝟎𝟎 et 𝑳 = 𝟓𝟎

1)
2)
3)
4)
5)

Exercice 6 : (ISCAE –SC 2009)
Une entreprise commerciale consacre une certaine somme (X) en milliers de dinars à des opérations publicitaires au
début de chaque mois. Les données qui suivent résument les douze observations de l’année écoulée (Y étant le chiffre
d’affaires mensuel en milliers de dinars)
𝑿 = 𝟑 , 𝒀 = 𝟒𝟎
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑿𝟐𝒊

= 𝟏𝟏𝟒, 𝟓𝟖 ,

𝟏𝟐

𝑿𝒊 𝒀𝒊 = 𝟏𝟒𝟗𝟐, 𝟒

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒀𝟐𝒊 = 𝟏𝟗𝟕𝟎𝟖

𝒆𝒕
𝒊=𝟏

1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux variables. Commenter
2) Déterminer l’équation de la droite d’ajustement de Y en fonction de X

Exercice 7 : (ISG –SC 2008)
Une grande entreprise commerciale veut étudier la relation entre le nombre de prospections (par jour) effec tuées par
ses représentants commerciaux (X) et le nombre de nouveaux clients par jour (Y). Le tableau suivant montre le résultat
d’un échantillon de 87 rapports journaliers.
Y

[0, 4[

[4, 8[

[8, 10[

X
[1, 5[

3

2

0

[5, 9[

12

4

2

[9, 13[

17

24

6

5

4

8

[13, 17[

1) Déterminer les distributions marginales de X et de Y
3

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

2) Calculer les moyennes et les variances de X et de Y ainsi que la covariance
3) Etudier la qualité d’ajustement linéaire de Y en X
4) Calculer les estimateurs M.C.O de la droite de régression 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿

Exercice 8 :
Le tableau suivant donne l’évolution du pourcentage de logiciels piratés de 2000 à 2008. On désigne par X le rang de
l’année et par Y le pourcentage de logiciels piratés.
Année
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rang (xi)

Pourcentage (y i)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

85

78

73

66

57

51

47

44

43

1) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique 𝒙𝒊 , 𝒚𝒊
2)
a) Donner le coefficient de corrélation linéaire r de la série statistique 𝒙𝒊 , 𝒚𝒊 . Un ajustement affine est-il
justifié ?

b) Ecrire une équation de la droite de régression D de Y en X par la méthode des moindres carrés.
Représenter D dans le repère précédent

c) En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du pourcentage de logiciels piratés en 2010
3) L’allure du nuage permet d’envisager un ajustement exponentiel. On pose 𝒁 = 𝑳𝒏 𝒀 . Vérifier que : le
coefficient de corrélation linéaire de la série 𝒙𝒊 , 𝒛𝒊 où 𝒛𝒊 = 𝑳𝒏 𝒚𝒊 est r’=-0,991 et l’équation de la droite de
régression de Z en X par la méthode des moindres carrés est : 𝒁 = −𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝑿 + 𝟒, 𝟒𝟒𝟒 𝟏
4) En utilisant la relation 𝟏 , donner une estimation du pourcentage de logiciels piratés en 2010

Exercice 9 : (ISCAE –SP 2010)
L’exploitation fruiticole ABRICOT doit faire face aux nouvelles réglementations administratives qui permettent
l’éligibilité aux aides au secteur primaire.
Dans ce cadre, l’administration vient de demander à ABRICOT d’établir un relevé statistique des ses arbres fruitiers,
reprenant l’âge de l’arbre (X en années accomplies) et sa hauteur (Y en centimètres). Il est à noter qu’aucun arbre de
plus de 10 ans et de moins de 3 ans ne peut entrer en ligne de compte pour l’obtention des aides. Les arbres dont il sera
question sont ceux reconnus par l’administration.
Le formulaire administratif complété se présente comme suit :
X
[3, 4[
[5, 6[
[7, 8[
[9, 10[
Y
[50, 100[
40
19
3
0
[100, 150[

23

52

8

1

[150, 200[

5

6

24

7

[200, 250[

0

19

6

5

L’administration vous demande :
1) L’âge moyen et l’écart-type d’âge de tous vos arbres
4

BEN AHMED MOHSEN

2)
3)
4)
5)
6)

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

La hauteur moyenne et l’écart-type de la hauteur de tous vos arbres
La distribution des fréquences de la hauteur de l’arbre conditionnelle à la classe d’âge [7, 8ans [
La hauteur moyenne des arbres conditionnelle à la classe d’âge [7, 8ans [
Le coefficient de corrélation entre la hauteur et l’âge de vos arbres
La droite de régression linéaire simple ajustée entre la hauteur (Y) et l’âge des arbres (X)

Exercice 10 : (ISG –SP 2009)
Dans le but d’étudier les effets du bruit sur la productivité des travailleurs, on a relevé des données dans différe ntes
parties d’une importante manufacture. Les niveaux de bruit (X), mesuré en décibels (DB) furent contrôlés à différentes
niveaux et la productivité (Y) a été mesurés pour 7 travailleurs, on a obtenue les valeurs suivantes :
Travailleur
1
2
3
4
5
6
7

Niveau de bruit (xi)

10

25

40

30

50

5

70

Productivité (y i)

90

85

65

75

60

95

45

1) Représenter sur un graphe le nuage des points 𝒙𝒊 , 𝒚𝒊
2) Selon ce graphe quel type de relation peut-on suggérer entre X et Y
3) Calculer
a) 𝑿 et 𝒀
𝟕
b)
𝒊=𝟏 𝑿𝒊 𝒀𝒊
c) 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 et le coefficient de corrélation 𝝆𝑿,𝒀 et interpréter
4) Déterminer la droite de régression de la productivité en fonction du niveau de bruit

5

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Série Corrigée N°2- CORRIGÉS
Distribution Statistique à Deux Caractères
Corrigé 1 : (ISCAE –SP 2009)
1)
Distribution Conjointe du couple (X, Y)

Age Y (Années)

[3-4[

[4-5[

[5-6[



Poids X(Kg)
[10-15[

n11= 19

n12=7

n13=1

n1.=27

[15-20[

n21=32

n22=21

n23=12

n2.=65

[20-25[

n31=3

n32=18

n33=28

n3.=49

[25-30[

n41=0

n42=0

n43=1

n4.=1



n.1=54

n.2=46

n.3=42

n=142

Distribution marginale de X
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏
[10-15[
[15-20[
[20-25[
[25-30[

𝒄𝒊

𝒇𝒊∙ 𝒄𝒊

27

0,19

2,38

29,71

17,5

65

0,46

8,01

140,18

22,5

49

0,35

7,76

174,69

27,5

1

0,01

0,19

5,33

142

1,00

18,35

349,91

𝟒 𝒇 𝒄
𝒊=𝟏 𝒊∙ 𝒊

= 𝟏𝟖, 𝟑𝟓 ; 𝑽 𝑿 =

𝟒 𝒇 𝒄𝟐
𝒊=𝟏 𝒊∙ 𝒊

[10-15[
[15-20[
[20-25[
[25-30[


𝒄𝒊

𝒏𝒊/𝟐

𝒇𝒊/𝟐

𝒆𝒋 , 𝒆𝒋+𝟏

ème

La 2

7

0,15

1,90

17,5

21

0,46

7,99

22,5

18

0,39

8,80

27,5

0

0,00

0,00

46

1,00

18,70

𝒇∙𝒋

𝒇∙𝒋 𝒄𝒋

𝒇∙𝒋 𝒄𝟐𝒋

0,38

1,33

4,66

[4-5[

4,5

46

0,32

1,46

6,56

[5-6[

5,5

42

0,30

1,63

8,95

142

1,00

4,42

20,17

𝟑 𝒇 𝒄
𝒊=𝟏 ∙𝒋 𝒋

= 𝟒, 𝟒𝟐 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 =

Distribution Conditionnelle de 𝑿/𝒀
𝟒

𝑿𝟐 =

𝒇𝒊/𝟐 𝒄𝒊 = 𝟏𝟖, 𝟕
𝒊=𝟏

6

𝒏∙𝒋
54



𝒇𝒊/𝟐 𝒄𝒊

12,5

𝒄𝒋
3,5

[3-4[

− 𝑿𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟏𝟗 ; 𝒀 =

3)
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏

Distribution marginale de Y

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊

12,5



2) 𝑿 =

𝒇𝒊∙

𝒏𝒊∙

𝟑 𝒇 𝒄 𝟐 − 𝒀𝟐
𝒋=𝟏 ∙𝒋 𝒋

∈ [𝟒 − 𝟓[

= 𝟎, 𝟔𝟑

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

4)
𝒄𝒋
𝒄𝒊
12,5

3,5

4,5

5,5



𝒏𝟏𝟏 × 12,5 × 3,5 = 831,25

393,75

68,75

𝟑
𝒋=𝟏 𝒏𝟏𝒋 𝒄 𝟏 𝒄 𝒋

= 𝟏𝟐𝟗𝟑, 𝟕𝟓

17,5

𝒏𝟐𝟏 × 17,5 × 3,5 = 1960,00

1653,75

1155,00

𝟑
𝒋=𝟏 𝒏𝟐𝒋 𝒄 𝟐 𝒄 𝒋

= 𝟒𝟕𝟔𝟖, 𝟕𝟓

22,5

𝒏𝟑𝟏 × 22,5 × 3,5 = 236,25

1822,50

3465,00

𝟑 𝒏 𝒄 𝒄
𝒋=𝟏 𝟑𝒋 𝟑 𝒋

= 𝟓𝟓𝟐𝟑, 𝟕𝟓

27,5

𝒏𝟒𝟏 × 27,5 × 3,5 = 0,00

0,00

151,25

𝟑
𝒋=𝟏 𝒏𝟒𝒋 𝒄 𝟒 𝒄 𝒋

= 𝟏𝟓𝟏, 𝟐𝟓

𝟒


𝟒 𝒏
𝒊=𝟏 𝒊𝟏

𝒄𝒊 𝒄𝟏 = 𝟑𝟎𝟐𝟕, 𝟓𝟎

𝟒 𝒏
𝒊=𝟏 𝒊𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =
𝝆=𝒓=

𝟒 𝒏
𝒊=𝟏 𝒊𝟑

𝒄𝒊 𝒄𝟐 = 𝟑𝟖𝟕𝟎, 𝟎𝟎
𝟒

𝟏
𝒏

𝟑

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄𝒋 = 𝟏𝟏𝟕𝟑𝟕, 𝟓𝟎

𝒄𝒊 𝒄𝟑 = 𝟒𝟖𝟒𝟎, 𝟎𝟎

𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

𝟑

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄𝒋 − 𝑿 𝒀 = 𝟏, 𝟓𝟓
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

=

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

= 𝟓𝟑, 𝟖𝟐%

𝝈𝑿 𝝈𝒀

Il s’agit d’une corrélation positive entre le poids et l’âge
D’autre part le coefficient de détermination 𝒓𝟐 = 𝟐𝟖, 𝟗𝟕% ainsi une régression linéaire entre le poids et l’âge n’est plus
justifiée vue la grande dispersion des points du nuage autour d’une éventuelle droite d’ajustement linéaire

Corrigé 2 : (ISG –SC 2009)
1)

/ 2)
Distribution Conjointe du couple (X, Y)
Y (Nombre de
X (Nombre d’enfants) Pièces dans le logement)
0

1

2

3

4



n11= 4

n12=1

n13=0

n14=0

n1.=5

1

n21=3

n22=2

n23=1

n24=0

n2.=6

2

n31=3

n32=1

n33=2

n34=0

n3.=6

3

n41=1

n42=1

n43=4

n44=1

n4.=7



n.1=11

n.2=5

n.3=7

n.4=1

Distribution marginale de X
𝒇𝒊∙
𝒇𝒊∙ 𝒙𝒊
𝒏𝒊∙
𝒙𝒊
5
0,21
0
0
1
2
3


6
6
7

0,25
0,25
0,29

Distribution marginale de Y
𝒚𝒊
1

0,25

2

0,5

3

0,875

4
24

1,00

n=24

1,625

7

𝒏∙𝒋

𝒇 ∙𝒋

𝒇∙𝒋 𝒚𝒋

11

0,46

0,46

5

0,21

0,42

7

0,29

0,88

1

0,04

0,17

24

1,00

1,92

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

3)
a)

𝟒

𝑿=

𝒇𝒊∙ 𝒙𝒊 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓
𝒊=𝟏

b)

𝟒

𝒀=

𝒇∙𝒋 𝒚𝒋 = 𝟏, 𝟗𝟐
𝒊=𝟏

c)
𝒚𝒋

𝒙𝒊

1

2

0

𝒏𝟏𝟏 × 𝟎 × 𝟏 = 𝟎

1

3
0

0

𝒏𝟐𝟏 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟑

4

3

2

𝒏𝟑𝟏 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟔

4

12

3

𝒏𝟒𝟏 × 𝟑 × 𝟏 = 𝟑

6

36

𝟒



𝟒

𝒏𝒊𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝟏 = 𝟏𝟐
𝒊=𝟏

𝟏
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =
𝒏

𝒏𝒊𝟐 𝒙𝒊 𝒚𝟐 = 𝟏𝟒

𝒏𝒊𝒋 𝒙𝒊 𝒚𝒋 − 𝑿𝒀 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟖
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

a)
La 2ème Distribution Conditionnelle de 𝑿 : 𝑿/𝒀 = 𝟐
𝒇𝒊/𝟐

𝒇𝒊/𝟐 𝒙𝒊

0

n12=1

0,20

0,00

1

n22=2

0,40

0,40

2

n32=1

0,20

0,40

3

n44=1

0,20

0,60



n.2=5

1,00

1,40

b)

𝟒

𝑿𝟐 =

𝟒
𝒋=𝟏 𝒏𝟏𝒋 𝒙𝟏 𝒚𝒋

=𝟎

0

𝟒 𝒏 𝒙 𝒚
𝒋=𝟏 𝟐𝒋 𝟐 𝒋

= 𝟏𝟎

0

𝟒 𝒏 𝒙 𝒚
𝒋=𝟏 𝟑𝒋 𝟑 𝒋

= 𝟐𝟐

12

𝟒 𝒏 𝒙 𝒚
𝒋=𝟏 𝟒𝒋 𝟒 𝒋

= 𝟓𝟕

𝒇𝒊/𝟐 𝒙𝒊 = 𝟏, 𝟒
𝒊=𝟏

8

𝟒

𝟒

𝒏𝒊𝟑 𝒙𝒊 𝒚𝟑 = 𝟏𝟐
𝒊=𝟏

𝟒

𝒏𝒊/𝟐

0

𝒏𝒊𝟑 𝒙𝒊 𝒚𝟑 = 𝟓𝟏
𝒊=𝟏

4)

𝒙𝒊



𝟒

𝟒

𝒊=𝟏

𝟒

4

𝒏𝒊𝒋 𝒙𝒊 𝒚𝒋 = 𝟖𝟗
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

5)
a)
La 4ème distribution conditionnelle de Y : 𝒀/𝑿 = 𝟑
𝒏𝒋/𝟒

𝒚𝒋

𝒇𝒋/𝟒

𝒇𝒋/𝟒 𝒚𝒋

1

n41=1

0,14

0,14

2

n42=1

0,14

0,29

3

n43=4

0,57

1,71

4

n42=1

0,14

0,57



n4.=7

1,00

2,71

b)

𝟒

𝒀𝟒 =

𝒇𝒋/𝟒 𝒚𝒋 = 𝟐, 𝟕𝟏
𝒋=𝟏

6)

𝒏𝟏∙ × 𝒏∙𝟒
𝒏

=

𝟓×𝟏
𝟐𝟒

≠ 𝒏𝟏𝟒 ; 𝒏𝟏𝟒 = 𝟎

Les variables X et Y ne sont pas indépendants

Corrigé 3 :
1)

Nombre de salariés (en milliers)

Nuage de points
7,3
7,1
6,9
6,7
6,5
6,3
6,1
5,9
5,7
5,5
5,3
5,1
4,9
4,7
4,5
4,3
4,1
3,9
3,7
3,5
3,3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Chiffre d'affaires (en dizaines de milliards)
Le nuage de points de la série double (X, Y) est à peu près aligné par conséquent on peut avancer l'hypothèse d'un ajustement
linéaire d’équation 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
2) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :

𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
où 𝒃 =
𝑽 𝑿

et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿

9

BEN AHMED MOHSEN

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑿 =

𝟏
𝒏

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝟖

𝒙𝒊 = 𝟕, 𝟑𝟕𝟓 , 𝒀 =
𝒊=𝟏

𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =

𝟖

𝟏
𝒏

𝟏
𝒏

𝟖

𝒚𝒊 = 𝟓, 𝟓𝟕𝟓 , 𝑽 𝑿 =
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏

𝟒

𝒙𝟐𝒊 − 𝑿𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟕𝟑𝟒 ,
𝒊=𝟏

𝑽 𝒀 =

𝟏
𝒏

𝟒

𝒚𝟐𝒊 − 𝒀𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟑𝟒
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝑿 𝒀 = 𝟑, 𝟕𝟕𝟐
𝒊=𝟏

𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒃 =

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑽 𝑿

= 𝟎, 𝟑𝟓𝟏 𝒆𝒕 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟒

Par la suite 𝒀 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟒 + 𝟎, 𝟑𝟓𝟏𝑿
3) D’abord Il s’agit d’une corrélation positive entre puisque 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 > 0
Calculons le coefficient de détermination :
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 𝟐
𝒓𝟐 =
= 𝟗𝟐, 𝟒% ≥ 𝟕𝟓%
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

D’où la validité du modèle de régression linéaire avec une bonne qualité d’ajustement

Nombre de salariés

4)
7,4
7,2
7
6,8
6,6
6,4
6,2
6
5,8
5,6
5,4
5,2
5
4,8
4,6
4,4
4,2
4
3,8
3,6
3,4
3,2
3
1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

Ln(chiffre d'affaires)

Il est clair que le nuage de points de la série double (Ln(X), Y) fournit un alignement meilleur d’où l'hypothèse d'un ajustement
linéaire d’équation 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝑳𝒏 𝑿

5) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝑳𝒏 𝑿
𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑳𝒏 𝑿 =

𝟏
𝒏

où 𝜷 =

𝑪𝒐𝒗 𝑳𝒏 𝑿 , 𝒀
𝑽 𝑳𝒏 𝑿

et 𝜶 = 𝒀 − 𝜷 𝑳𝒏 𝑿

𝟖

𝑳𝒏 𝒙𝒊 = 𝟏, 𝟖𝟗𝟏 , 𝑽 𝑳𝒏 𝑿
𝒊=𝟏

𝟏
𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒗 𝑳𝒏 𝑿 , 𝒀 =
𝒏

𝟖

=

𝟏
𝒏

𝟒

𝑳𝒏𝟐 𝒙𝒊 − 𝑳𝒏 𝑿

𝟐

= 𝟎, 𝟐𝟐𝟕

𝒊=𝟏

𝑳𝒏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝑳𝒏 𝑿 𝒀 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟕
𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑳𝒏 𝑿 , 𝒀
= 𝟐, 𝟓 𝒆𝒕 𝜶 = 𝒀 − 𝜷 𝑳𝒏 𝑿 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟐
𝑽 𝑳𝒏 𝑿
Par la suite 𝒀 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟐 + 𝟐, 𝟓𝑳𝒏 𝑿
𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝜷 =

10

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

6)
prévision fournie par le modèle
𝑴 𝟏 : 𝒀 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟒 + 𝟎, 𝟑𝟓𝟏𝑿
𝒑
𝑿𝟏𝟎 = 𝟒𝟎 𝐞𝐧 𝐝𝐢𝐳𝐚𝐢𝐧𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦𝐢𝐥𝐥𝐢𝐚𝐫𝐝𝐬

prévision fournie par le modèle
𝑴 𝟐 : 𝒀 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟐 + 𝟐, 𝟓𝑳𝒏 𝑿
𝒑
𝑿𝟏𝟎 = 𝟒𝟎 𝐞𝐧 𝐝𝐢𝐳𝐚𝐢𝐧𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦𝐢𝐥𝐥𝐢𝐚𝐫𝐝𝐬

𝒑

𝒑

𝒀𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟏𝟕𝟎𝟑𝟗 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐢é𝐬
𝒓𝟐𝟏

=

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

𝒀𝟏𝟎𝟐 ≅ 𝟏𝟎𝟎𝟕𝟔𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐢é𝐬

𝟐

𝒓𝟐𝟐 =

= 𝟗𝟐, 𝟒%

𝑪𝒐𝒗 𝑳𝒏 𝑿 , 𝒀 𝟐
= 𝟗𝟖, 𝟗𝟔%
𝑽 𝑳𝒏 𝑿 𝑽 𝒀

𝒓𝟐𝟐 > 𝒓𝟐𝟏 Donc 𝑴 𝟐 fourni une qualité d’ajustement meilleure que celle du modèle 𝑴 𝟏 par conséquent la prévision la
plus appropriée

Corrigé 4 :
Distribution Conjointe du couple (X, Y)
[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

[65, 75[

[75, 95[

n11=6

n12=8

n13=2

n14=0

n15=0

n16=0

n17=0

n1.=16

[3, 5[

n21=8

n22=10

n23=14

n24=12

n25=0

n26=0

n27=0

n2.=44

[5, 8[

n31=0

n32=4

n33=18

n34=20

n35=18

n36=2

n37=0

n3.=62

[8, 9[

n41=0

n42=4

n43=12

n44=16

n45=20

n46=12

n47=4

n4.=68

[9, 11[

n51=0

n52=0

n53=4

n54=8

n55=16

n56=16

n57=8

n5.=52

11 et plus

n61=0

n62=0

n63=0

n64=0

n65=14

n66=16

n67=18

n6.=48



n.1=14

n.2=26

n.3=50

n.4=56

n.5=68

n.6=46

n.7=30

n=290

X (Dépenses en pub)
[1, 3[

Y
(Chiffres d’affaires )



1)
a) 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑿 < 5 ; 15 ≤ 𝑌 < 25 = 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝟏 ≤ 𝑿 < 3 ; 15 ≤ 𝑌 < 25 + 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝟑 ≤ 𝑿 < 5 ; 15 ≤ 𝑌 < 25
⇔ 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑿 < 5 ; 15 ≤ 𝑌 < 25 = 𝒏𝟏𝟏 + 𝒏𝟐𝟏 = 𝟔 + 𝟖 = 𝟏𝟒 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆𝒔

b)
𝒑 𝑿 < 5 = 𝒑 𝟏 ≤ 𝑿 < 3 + 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 5 = 𝒇𝟏. + 𝒇𝟐. =

c)

𝒏𝟏. 𝒏𝟐.
𝟏𝟔
𝟒𝟒
+
=
+
= 𝟐𝟎, 𝟔𝟗%
𝒏
𝒏
𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎

𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟓 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 + 𝒑 𝟓 ≤ 𝑿 < 𝟖 ;𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 + 𝒑 𝟖 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓
Avec
 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟓 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟓 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟒𝟓 + 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟓 ;𝟒𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓
𝒏𝟐𝟑 𝒏𝟐𝟒
𝟏𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝟔
⇔ 𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟓 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒇𝟐𝟑 + 𝒇𝟐𝟒 =
+
=
+
=
𝒏
𝒏
𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎
 𝒑 𝟓 ≤ 𝑿 < 𝟖 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒑 𝟓 ≤ 𝑿 < 𝟖 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟒𝟓 + 𝒑 𝟓 ≤ 𝑿 < 𝟖 ;𝟒𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓
𝒏𝟑𝟑 𝒏𝟑𝟒
𝟏𝟖
𝟐𝟎
𝟑𝟖
⇔ 𝒑 𝟓 ≤ 𝑿 < 𝟖 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒇𝟑𝟑 + 𝒇𝟑𝟒 =
+
=
+
=
𝒏
𝒏
𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎
 𝒑 𝟖 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒑 𝟖 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟒𝟓 + 𝒑 𝟖 ≤ 𝑿 < 𝟗 ;𝟒𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓

11

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

⇔ 𝒑 𝟖 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 = 𝒇𝟒𝟑 + 𝒇𝟒𝟒 =
D’où

𝒏𝟒𝟑
𝒏

+

𝒏𝟒𝟒
𝒏

𝟏𝟐

=

𝟐𝟗𝟎

+

𝟏𝟔
𝟐𝟗𝟎

=

𝟐𝟖
𝟐𝟗𝟎

𝟐𝟔
𝟑𝟖
𝟐𝟖
+
+
= 𝟑𝟏, 𝟕𝟐%
𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟗𝟎
d) 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝒀 ≥ 𝟐𝟓 = 𝒏 − 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝒀 < 25 = 𝒏 − 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝟏𝟓 ≤ 𝒀 < 25 = 𝒏 − 𝒏.𝟏 = 𝟐𝟗𝟎 − 𝟏𝟒 = 𝟐𝟕𝟔

𝒑 𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟗 ; 𝟑𝟓 ≤ 𝒀 < 𝟓𝟓 =

2)
Distribution marginale de X
𝒇𝒊∙ 𝒇𝒊∙ 𝒄𝒊
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏
𝒄𝒊 𝒏𝒊∙
[1, 3[
[3, 5[

2
4

16
44

0,06
0,15

0,11
0,61

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊
0,22
2,43

[5, 8[
[8, 9[

6,5
8,5

62
68

0,21
0,23

1,39
1,99

9,03
16,94

[9, 11[

10

52

0,18

1,79

17,93

[11, 13[

12

48

0,17

1,99

23,83

290

1,00

7,88

70,39



3)

𝟔

𝑿=

Distribution marginale de Y
𝒄𝒊 𝒏.𝒋
𝒇.𝒋
𝒇.𝒋 𝒄𝒋
𝒆𝒋 , 𝒆𝒋+𝟏
[15, 25[

20

14

0,05

0,97

𝒇.𝒋 𝒄𝟐𝒋
19,31

[25, 35[

30

26

0,09

2,69

80,69

[35, 45[

40

50

0,17

6,90

275,86

[45, 55[

50

56

0,19

9,66

482,76

[55, 65[

60

68

0,23

14,07

844,14

[65, 75[

70

46

0,16

11,10

777,24

[75, 95[

85

30

0,10

8,79

747,41

290

1,00

54,17

3227,41



𝟕

𝒇𝒊∙ 𝒄𝒊 = 𝟕, 𝟖𝟖 𝒆𝒕 𝒀 =
𝒊=𝟏

𝒇∙𝒋 𝒄𝒋 = 𝟓𝟒, 𝟏𝟕
𝒋=𝟏

4)
La 3ème Distribution Conditionnelle de 𝑿 : 𝑿/𝒀 ∈ [𝟑𝟓, 𝟒𝟓[
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏

𝒄𝒊

𝒏𝒊/𝟑

𝒇𝒊/𝟑

𝒇′𝒊/𝟑 ↑

𝒇𝒊/𝟑 𝒄𝒊

[1, 3[

2

n13=2

0,04

0,04

0,08

[3, 5[

4

n23=14

0,28

0,32

1,12

[5, 8[

6,5

n33=18

0,36

0,68

2,34

[8, 9[

8,5

n43=12

0,24

0,92

2,04

[9, 11[

10

n53=4

0,08

1,00

0,80

[11, 13[

12

n63=0

0,00

1,00

0,00

n.3=50

1,00



6,38

 𝐂𝐥𝐚𝐬𝐬𝐞 𝐦𝐨𝐝𝐚𝐥𝐞 [𝟓, 𝟖[
𝑴𝒐 = 𝒆𝟑 + 𝒂𝟑

𝒍𝟏
𝒍𝟏 + 𝒍𝟐

Où 𝒍𝟏 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟒 = 𝟒 , 𝒍𝟏 étant l’excédent d’effectif de la classe modale par rapport à l’effectif de la classe inférieure
la plus proche.
Et𝒍𝟐 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟔, 𝒍𝟐 sera l’excédent d’effectif de la classe modale par rapport à l’effectif de la classe supérieure la
plus proche.

12

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

En effet
𝟒
= 𝟔, 𝟐
𝟒+𝟔

𝑴𝒐 = 𝟓 + 𝟑



Médiane
𝑴𝒆 = 𝒆𝒊 + 𝒂𝒊

𝟎, 𝟓 − 𝒇′ 𝒊 ↑

𝒇′

𝒊+𝟏



−𝒇′



𝒊

= 𝒆𝟑 + 𝒂𝟑

𝟎, 𝟓 − 𝒇′𝟐/𝟑 ↑
𝒇′𝟑/𝟑



−𝒇′𝟐/𝟑



= 𝟓+𝟑

𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟐
𝟎, 𝟔𝟖 − 𝟎, 𝟑𝟐

= 𝟔, 𝟓

5) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
où 𝒃 =

et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿

𝑽 𝑿

𝒄𝒊

𝒄𝒋

20

40

30

50

60

70

85


𝟕

2

240

480

160

0

0

0

𝒏𝟏𝒋 𝒄𝟏 𝒄′𝒋 =

0

𝒋=𝟏

880
𝟕

4

640

1200

2240

2400

0

0

𝒏𝟐𝒋 𝒄 𝟐 𝒄′𝒋

0

𝒋=𝟏

= 𝟔𝟒𝟖𝟎
𝟕

0

6,5

780

4680

6500

7020

910

𝒏𝟑𝒋 𝒄 𝟑 𝒄′𝒋

0

𝒋=𝟏

= 𝟏𝟗𝟖𝟗𝟎
𝟕

0

8,5

1020

4080

6800

10200

7140

𝒏𝟒𝒋 𝒄 𝟒 𝒄′𝒋

2890

𝒋=𝟏

= 𝟑𝟐𝟏𝟑𝟎
𝟕

0

10

0

1600

4000

9600

11200

𝒏𝟓𝒋 𝒄 𝟓 𝒄′𝒋

6800

𝒋=𝟏

= 𝟑𝟑𝟐𝟎𝟎
𝟕

0

12

0

0

0

10080

13440

18360

𝒏𝟔𝒋 𝒄 𝟔 𝒄′𝒋
𝒋=𝟏

= 𝟒𝟏𝟖𝟖𝟎
𝟔

𝟔

𝒏𝒊𝟏 𝒄𝒊 𝒄′𝟏


𝟔

𝒏𝒊𝟐 𝒄𝒊 𝒄 ′𝟐

𝟔

𝒏𝒊𝟑 𝒄𝒊 𝒄′𝟑

𝟔

𝒏𝒊𝟒 𝒄𝒊 𝒄 ′𝟒

𝟔

𝒏𝒊𝟓 𝒄𝒊 𝒄′𝟓

𝟔

𝟔

𝒏𝒊𝟔 𝒄𝒊 𝒄′𝟔

𝟕

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄′𝒋

𝒏𝒊𝟕 𝒄𝒊 𝒄 ′𝟕

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

= 𝟖𝟖𝟎

= 𝟑𝟒𝟖𝟎

= 𝟏𝟐𝟕𝟔𝟎

= 𝟏𝟗𝟕𝟎𝟎

= 𝟑𝟔𝟗𝟎𝟎

= 𝟑𝟐𝟔𝟗𝟎

= 𝟐𝟖𝟎𝟓𝟎

= 𝟏𝟑𝟒𝟒𝟔𝟎

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =
𝟔

𝟏
𝒏

𝟔

𝟕

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄′𝒋 −

𝑿𝒀 =

𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊 − 𝑿𝟐 = 𝟕𝟎, 𝟑𝟗 − 𝟕, 𝟖𝟖

𝑽 𝑿 =
𝒊=𝟏

𝟐𝟗𝟎
𝟐

− 𝟕, 𝟖𝟖 × 𝟓𝟒, 𝟏𝟕 = 𝟑𝟔, 𝟕𝟗𝟔

= 𝟖, 𝟐𝟗𝟔

𝟑𝟔, 𝟕𝟗𝟔
= 𝟒, 𝟒𝟑𝟓 𝒆𝒕 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿 = 𝟓𝟒, 𝟏𝟕 − 𝟒, 𝟒𝟑𝟓 × 𝟕, 𝟖𝟖 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟐𝟐
𝑽 𝑿
𝟖, 𝟐𝟗𝟔
Par la suite 𝒀 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟐𝟐 + 𝟒, 𝟒𝟑𝟓𝑿
𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒃 =

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

𝟏𝟑𝟒𝟒𝟔𝟎

=

13

BEN AHMED MOHSEN

6)

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝟕

𝒇∙𝒋 𝒄𝟐𝒋 − 𝒀𝟐 = 𝟑𝟐𝟐𝟕, 𝟒𝟏 − 𝟓𝟒, 𝟏𝟕

𝑽 𝒀 =
𝒋=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

𝝆=𝒓=

=

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝝈𝑿 𝝈𝒀

𝟐

= 𝟐𝟗𝟑, 𝟎𝟐𝟏

= 𝟕𝟒, 𝟔𝟑% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟓𝟓, 𝟕%

𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
D’abord Il s’agit d’une corrélation positive entre dépenses publicitaires et chiffres d'affaires puisque 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 > 0
La valeur du coefficient de détermination, elle correspond à une dispersion relativement élevées autour de la droite de
régression linéaire
7) Pour 𝑿𝒑 = 𝟏𝟑 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒀𝒑 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟐𝟐 + 𝟒, 𝟒𝟑𝟓 × 𝟏𝟑 = 𝟕𝟔, 𝟖𝟕𝟕
En effet pour des dépenses publicitaires qui s’élèvent à 13 milles dinars on peut prévoir un chiffre d'affaire de l’ordre de
76,877 milles dinars

Corrigé 5 : (ISG –SP 1999)
1) 𝑸 = 𝜸𝑲𝜶 𝑳𝜷 ⇔ 𝑳𝒏 𝑸 = 𝑳𝒏 𝜸 + 𝜶𝑳𝒏 𝑲 + 𝜷𝑳𝒏 𝑳

Or 𝜶 + 𝜷 =
Ainsi 𝑳𝒏 𝑸
⇔ 𝑳𝒏 𝑸
𝑸
⇔ 𝑳𝒏
𝑳

𝟏⇔𝜷=
= 𝑳𝒏 𝜸
− 𝑳𝒏 𝑳
= 𝑳𝒏 𝜸

𝟏−𝜶
+ 𝜶𝑳𝒏 𝑲 + 𝟏 − 𝜶 𝑳𝒏 𝑳
= 𝑳𝒏 𝜸 + 𝜶 𝑳𝒏 𝑲 − 𝑳𝒏 𝑳
𝑲
+ 𝜶𝑳𝒏
𝑳

𝑸

On obtient par la suite la forme suivante 𝑼 = 𝒂 + 𝒃𝑽 où 𝑼 = 𝑳𝒏

2)
𝑳𝒏 𝑸

𝑳𝒏 𝑳

𝑳𝒏 𝑲

𝑼 = 𝑳𝒏

𝑸
𝑳

𝑽 = 𝑳𝒏

𝑲
𝑳

𝑳

; 𝑽 = 𝑳𝒏

𝑼𝟐

𝑽𝟐

𝑼. 𝑽

7,5

6,5

7,5

1

1

1

1

1

8,6

6,6

9,6

2

3

4

9

6

9,7

6,7

8,7

3

2

9

4

6

10,8

6,8

11,8

4

5

16

25

20

11,9

6,9

9,9

5

3

25

9

15

15

14

55

48

48

𝑲

; 𝒂 = 𝑳𝒏 𝜸

𝑳

𝒆𝒕 𝒃 = 𝜶


𝟏
𝑼=
𝒏

𝟓

𝒊=𝟏

𝟏
𝒖𝒊 = 𝟑 ; 𝑽 =
𝒏

𝑪𝒐𝒗 𝑼, 𝑽 =

𝟏
𝒏

𝟓

𝟓

𝒊=𝟏

𝟏
𝒗𝒊 = 𝟐, 𝟖 ; 𝑽 𝑼 =
𝒏

𝟓

𝒖𝟐𝒊



𝑼𝟐

𝒊=𝟏

𝟏
=𝟐 ; ; 𝑽 𝑽 =
𝒏

𝟓

𝒗𝟐𝒊 − 𝑽𝟐 = 𝟏, 𝟕𝟔
𝒊=𝟏

𝒖𝒊 𝒗𝒊 − 𝑼 𝑽 = 𝟏, 𝟐
𝒊=𝟏

D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :

𝑼 = 𝒂 + 𝒃𝑽
𝑪𝒐𝒗 𝑽, 𝑼
où 𝒃 =
= 𝟎, 𝟔𝟖𝟐
𝑽 𝑽

et 𝒂 = 𝑼 − 𝒃𝑽 = 𝟏, 𝟎𝟗𝟏

D’où l’équation de la droite de régression linéaire de 𝑼 𝒔𝒖𝒓 𝑽 ∶ 𝑼 = 𝟏, 𝟎𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟔𝟖𝟐 𝑽

3)
14

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝑪𝒐𝒗 𝑽, 𝑼

𝑪𝒐𝒗 𝑽, 𝑼

= 𝟔𝟑, 𝟗𝟔% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟒𝟎, 𝟗𝟏%
𝝈𝑽 𝝈𝑼
𝑽 𝑽 𝑽 𝑼
Il s’agit d’une corrélation relativement moyenne
𝝆=𝒓=

=

4)
𝑼 = 𝟏, 𝟎𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟔𝟖𝟐 𝑽
𝑸
𝑲
⇔ 𝑳𝒏
= 𝟏, 𝟎𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟔𝟖𝟐 𝑳𝒏
𝑳
𝑳
𝑲
𝑸
𝟏, 𝟎𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟔𝟖𝟐 𝑳𝒏
𝑳

=𝒆
𝑳



𝑸
𝑳
𝑸

= 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 . 𝒆𝑳𝒏
𝑲

= 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 .

𝑲
𝑳

𝟎,𝟔𝟖𝟐

𝟎,𝟔𝟖𝟐

𝑳
𝑳
⇔ 𝑸 = 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 . 𝑳. 𝑳−𝟎,𝟔𝟖𝟐 𝑲𝟎,𝟔𝟖𝟐
D’où 𝑸 = 𝒇 𝑲, 𝑳 = 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 . 𝑲𝟎,𝟔𝟖𝟐 . 𝑳𝟎,𝟑𝟏𝟖
𝜸 = 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 = 𝟐; 𝟗𝟕𝟕 ; 𝜶 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐 𝒆𝒕 𝜷 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟖 𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝐝𝐞 𝐂𝐨𝐛𝐛 −
𝐃𝐨𝐮𝐠𝐥𝐚𝐬

5) 𝑸𝒑 = 𝒇 𝑲𝒑 , 𝑳𝒑 = 𝒇 𝟏𝟎𝟎, 𝟓𝟎 = 𝒆𝟏,𝟎𝟗𝟏 × 𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟔𝟖𝟐 × 𝟓𝟎𝟎,𝟑𝟏𝟖 = 𝟐𝟑𝟖, 𝟖𝟐𝟗

Corrigé 6 : (ISCAE –SC 2009)
1)
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =
𝒆𝒕 𝑽 𝒀 =

𝟏

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏
𝟏𝟐

𝑿𝒊 𝒀𝒊 − 𝑿 . 𝒀 = 𝟒, 𝟑𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 =

𝒊=𝟏
𝟏𝟐

𝒀𝟐𝒊 − 𝒀

𝟐

𝟏
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑿𝟐𝒊 − 𝑿

𝟐

= 𝟎, 𝟓𝟒𝟖

𝒊=𝟏

= 𝟒𝟐, 𝟑𝟑𝟑

𝒊=𝟏

Il en résulte le coefficient de corrélation linéaire :
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝟒, 𝟑𝟔𝟕
𝝆=𝒓=
=
=
= 𝟗𝟎, 𝟔𝟕% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟖𝟐, 𝟐𝟏%
𝝈𝑿 𝝈𝒀
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
𝟎, 𝟓𝟒𝟖 × 𝟒𝟐, 𝟑𝟑𝟑
Validité du modèle de régression linéaire avec et bonne qualité d’ajustement

7) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝟒, 𝟑𝟔𝟕
où 𝒃 =
=
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟑 et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿 = 𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟏𝟎𝟑 × 𝟑 = 𝟑𝟗, 𝟔𝟗𝟏
𝑽 𝑿
𝟒𝟐, 𝟑𝟑𝟑
Par la suite 𝒀 = 𝟑𝟗, 𝟔𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎𝟑𝑿

15

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Corrigé 7 : (ISG –SC 2008)
1)
Distribution Conjointe du couple (X, Y)

X (Nombre de

Y
(Nombre de

prospections/jour)

nouveaux

[0, 4[

[4, 8[

[8, 10[


clients/jour )

[1, 5[

n11=3

n12=2

n13=0

n1.=5

[5, 9[

n21=12

n22=4

n23=2

n2.=18

[9, 13[

n31=17

n32=24

n33=6

n3.=47

[13, 17[

n41=5

n42=4

n43=8

n4.=17



n.1=37

n.2=34

n.3=16

n=87

Distribution marginale de X
𝒇𝒊∙ 𝒄𝒊
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏
𝒄𝒊 𝒏𝒊∙ 𝒇𝒊∙
𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊
[1, 5[
3
5 0,06 0,17
0,52
[5, 9[
7 18 0,21 1,45
10,14
[9, 13[
11 47 0,54 5,94
65,37
[13, 17[
15 17 0,20 2,93
43,97


87

2) 𝑿 =
𝟒

𝟒
𝒊=𝟏 𝒇 𝒊∙ 𝒄 𝒊 =

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊 −

𝑽 𝑿 =

1,00

𝑿𝟐

10,49

[4, 8[
[8, 10[


𝟑
𝒋=𝟏 𝒇 ∙𝒋 𝒄𝒋

𝒄′𝒋

− 𝟏𝟎, 𝟒𝟗𝟐

0,39
0,18

2,34
1,66

14,07
14,90

87

1,00

4,85

30,67

𝟑

𝒇∙𝒋 𝒄𝟐𝒋 − 𝒀𝟐 = 𝟑𝟎, 𝟔𝟕 − 𝟒, 𝟖𝟓𝟐 = 𝟕, 𝟏𝟒𝟖

= 𝟗, 𝟗𝟓 ; 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 =
𝒋=𝟏

2

9

6


𝟑

3

7

34
16

= 𝟒,𝟖𝟓

𝒊=𝟏

𝒄𝒊

6
9

119,99

𝟏𝟎, 𝟒𝟗 𝒆𝒕 𝒀 =

= 𝟏𝟏𝟗, 𝟗𝟗

Distribution marginale de Y
𝒆𝒋 , 𝒆𝒋+𝟏 𝒄𝒋 𝒏.𝒋 𝒇.𝒋 𝒇.𝒋 𝒄𝒋 𝒇 .𝒋 𝒄𝟐𝒋
[0, 4[
2 37 0,43 0,85 1,70

18

36

0

168

168

126

𝒏𝟏𝒋 𝒄𝟏 𝒄′𝒋 = 𝟓𝟒
𝒋=𝟏

𝟑

𝒏𝟐𝒋 𝒄𝟐 𝒄′𝒋 = 𝟒𝟔𝟐
𝒋=𝟏

11

𝟑

374

1584

𝒏𝟑𝒋 𝒄𝟑 𝒄′𝒋 = 𝟐𝟓𝟓𝟐

594
𝒋=𝟏

15

𝟑

150

360

𝒏𝟒𝒋 𝒄𝟒 𝒄′𝒋 = 𝟏𝟓𝟗𝟎

1080
𝒋=𝟏

𝟒



𝟒

𝒏𝒊𝟏 𝒄𝒊 𝒄′𝟏 = 𝟕𝟏𝟎
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝟒

𝟒

𝒏𝒊𝟐 𝒄𝒊 𝒄′𝟐 = 𝟐𝟏𝟒𝟖

𝟑

𝒏𝒊𝒋 𝒄 𝒊 𝒄′𝒋 = 𝟒𝟔𝟓𝟖

𝒏𝒊𝟑 𝒄 𝒊 𝒄′𝟑 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

𝒊=𝟏

16

BEN AHMED MOHSEN

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =

3)
𝝆=𝒓=

4

𝟏
𝒏

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
3

𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑖 𝑐′𝑗 −

𝑿𝒀 =

𝑖=1 𝑗=1

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

=

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝝈𝑿 𝝈𝒀

4658

𝟖𝟕

− 𝟏𝟎, 𝟒𝟗 × 𝟒, 𝟖𝟓 = 𝟐, 𝟔𝟔𝟒

𝟐, 𝟔𝟔𝟒

=

𝟗, 𝟗𝟓 × 𝟕, 𝟏𝟒𝟖

= 𝟑𝟏, 𝟓𝟗% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟗, 𝟗𝟖%

𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
Une régression linéaire entre le nombre de prospections (par jour) et le nombre de nouveaux clients par jour serait
médiocre vue la grande dispersion des points du nuage autour d’une éventuelle droite d’ajustement linéaire

4)

D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :

𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝟐, 𝟔𝟔𝟒
où 𝒃 =
=
= 𝟎, 𝟐𝟔𝟖 et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿 = 𝟒, 𝟖𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟔𝟖 × 𝟏𝟎, 𝟒𝟗 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟏
𝑽 𝑿

𝟗, 𝟗𝟓

Par la suite 𝒀 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝑿

Corrigé 8 :
Année

Rang (xi)

Pourcentage (y i)

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

0

1

2

3

4

5

6

7

8

85

78

73

66

57

51

47

44

43

8

9

1)

Pourcentage(Y)

Nuage de points
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42

0

1

2

3

4

5

6

7

Rang (X)

2)
𝑿=

𝟏
𝒏

𝟗

a)
𝒙𝒊 = 𝟒 ; 𝒀 =

𝒊=𝟏

𝟏
𝒏

𝟗

𝒚𝒊 = 𝟔𝟎, 𝟒𝟒𝟒 ; 𝑽 𝑿 =
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏

𝟗

𝒙𝟐𝒊 − 𝑿𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 ; 𝑽 𝒀 =
𝒊=𝟏

17

𝟏
𝒏

𝟗

𝒚𝟐𝒊 − 𝒀𝟐 = 𝟐𝟏𝟕, 𝟑𝟓𝟖
𝒊=𝟏

BEN AHMED MOHSEN

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =

𝟗

𝟏
𝒏

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
𝑿𝒊 𝒀𝒊 − 𝑿 . 𝒀 = −𝟑𝟕, 𝟒𝟒𝟒

𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

= −𝟗𝟖, 𝟑𝟕% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟗𝟔, 𝟕𝟔% ≥ 𝟕𝟓%
𝝈
𝝈
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
𝑿 𝒀
D’où la validité du modèle de régression linéaire avec une bonne qualité d’ajustement
On remarque qu’il s’agit d’une corrélation négative entre le rang de l’année et les pourcentages des logiciels piratés
puisque 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 < 0 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝒓 < 0
𝝆=𝒓=

=

b) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝑴 ∶ 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
où 𝒃 =
= −𝟓, 𝟔𝟏𝟕 et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃 𝑿 = 𝟖𝟐, 𝟗𝟏𝟏
𝑽 𝑿

Par la suite 𝒀 = 𝟖𝟐, 𝟗𝟏𝟏 − 𝟓, 𝟔𝟏𝟕𝑿

c) Pour 𝑿𝑷𝟏𝟏 = 𝟏𝟎 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒀𝑷𝟏𝟏 = 𝟖𝟐, 𝟗𝟏𝟏 − 𝟓, 𝟔𝟏𝟕 × 𝟏𝟎 = 𝟐𝟔, 𝟕𝟒%
En effet d’après ce modèle on prévoit en 2010 une diminution en termes de pourcentage des logiciels piratés

3)
Année

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Rang (xi)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Ln(Pourcentage)

4,443

4,357

4,29

4,19

4,043

3,932

3,85

3,784

3,761

(zi =Ln (y i))
𝟏
𝑿=
𝒏

𝟗

𝒊=𝟏

𝟏
𝒙𝒊 = 𝟒 ; 𝒁 =
𝒏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =

𝟏

𝟗

𝟗

𝒊=𝟏

𝟏
𝒛𝒊 = 𝟒, 𝟎𝟕𝟐 ; 𝑽 𝑿 =
𝒏

𝟗

𝒙𝟐𝒊

𝑿𝟐



𝒊=𝟏

𝟏
= 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 ; 𝑽 𝒁 =
𝒏

𝟗

𝒛𝟐𝒊 − 𝒁𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟗
𝒊=𝟏

𝑿𝒊 𝒀𝒊 − 𝑿 . 𝒀 = −𝟎, 𝟔𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝟐

′𝟐
𝝆 =𝒓 =
=
= −𝟗𝟗, 𝟎𝟔% ⟹ 𝒓′ = 𝟗𝟖, 𝟏𝟒%
𝝈𝑿 𝝈𝒀
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :

𝑴 ′ ∶ 𝒁 = 𝒂′ + 𝒃′ 𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒁
où 𝒃′ =
= −𝟎, 𝟎𝟗𝟑 et 𝒂 ′ = 𝒁 − 𝒃′ 𝑿 = 𝟒, 𝟒𝟒𝟒
𝑽 𝑿

Par la suite 𝒁 = 𝟒, 𝟒𝟒𝟒 − 𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝑿

4)
prévision fournie par le modèle
𝑴 ∶ 𝒀 = 𝟖𝟐, 𝟗𝟏𝟏 − 𝟓, 𝟔𝟏𝟕𝑿
𝑿𝑷𝟏𝟏 = 𝟏𝟎
𝒀𝑷𝟏𝟏 ≅ 𝟐𝟔, 𝟕𝟒%

prévision fournie par le modèle
𝑴′ : 𝒁 = 𝑳𝒏 𝒀 = 𝟒, 𝟒𝟒𝟒 − 𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝑿
𝑿𝑷𝟏𝟏 = 𝟏𝟎
𝑷

𝒀′ 𝑷𝟏𝟏 = 𝒆𝒁𝟏𝟏 = 𝒆

4,444 −0,093 𝑿𝑷
𝟏𝟏
𝟐

𝒓𝟐 = 𝟗𝟔, 𝟕𝟔%

= 𝒆𝟑,𝟓𝟏𝟒 ≅ 𝟑𝟑, 𝟓𝟖%

𝒓′ = 𝟗𝟖, 𝟏𝟒%

18

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

2

𝑟 ′ > 𝑟 2 Donc 𝑀 ′ fourni une qualité d’ajustement meilleure que celle du modèle 𝑀 par conséquent la prévision la
plus appropriée

Corrigé 9 : (ISCAE –SP 2010)
1)
Distribution Conjointe du couple (X, Y)

Y (hauteur de
l’arbre)
[50, 100[

X (âge de
l’arbre)

[3, 4[

[5, 6[

[7, 8[

[9, 10[


n11=40

n21=19

n31=3

n41=0

n.1=62

[100, 150[

n12=23

n22=52

n32=8

n42=1

n.2=84

[150, 200[

n13=5

n23=6

n33=24

n43=7

n.3=42

[200, 250[

n14=0

n24=19

n34=6

n44=5

n.4=30



n1.=68

n2.=96

n3.=41

n4.=13

n=218

Distribution marginale de X
𝒇𝒊∙ 𝒇𝒊∙ 𝒄𝒊
𝒆𝒊 , 𝒆𝒊+𝟏
𝒄𝒊 𝒏𝒊∙
[3, 4[

3,5

68

0,31

1,09

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊
3,82

[5, 6[

5,5

96

0,44

2,42

13,32

[7, 8[

7,5

41

0,19

1,41

10,58

[9, 10[

9,5

13

0,06

0,57

5,38

218

1,00

5,49

33,10


𝟒

𝐟𝐢∙ 𝐜𝐢 = 𝟓, 𝟒𝟗

𝐗=
𝐢=𝟏

𝟒

𝟐

𝒇𝒊∙ 𝒄𝟐𝒊 − 𝑿𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟎 − 𝟓, 𝟒𝟗 = 𝟐, 𝟗𝟔 ⇒ 𝝈𝑿 =

𝑽 𝑿 =

𝑽 𝑿 = 𝟏, 𝟕𝟐

𝒊=𝟏

2)
𝒆𝒋 , 𝒆𝒋+𝟏
[50, 100[
[100, 150[
[150, 200[
[200, 250[


Distribution marginale de Y
𝒄𝒋
𝒏.𝒋
𝒇.𝒋
𝒇.𝒋 𝒄𝒋

𝒇 .𝒋 𝒄𝟐𝒋

75
125

62
84

0,28
0,39

21,33
48,17

1599,77
6020,64

175
225

42
30

0,19
0,14

33,72
30,96

5900,23
6966,74

218

1,00 134,17

20487,39

𝟒

𝐟∙𝐣 𝐜𝐣 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟏𝟕

𝐘=
𝐣=𝟏

19

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝟒

𝒇∙𝒋 𝒄𝟐𝒋 − 𝒀𝟐 = 𝟐𝟎𝟒𝟖𝟕, 𝟑𝟗 − 𝟏𝟑𝟒, 𝟏𝟕𝟐 = 𝟐𝟒𝟖𝟓, 𝟖 ⇒ 𝝈𝒀 =

𝑽 𝒀 =

𝑽 𝒀 = 𝟒𝟗, 𝟖𝟔

𝒋=𝟏

3)
La 3ème distribution conditionnelle de Y : 𝒀/𝑿 ∈ [7, 8[
𝒄𝒋

𝒆𝒋 , 𝒆𝒋+𝟏

𝒏𝒋/𝟑

𝒇𝒋/𝟑

𝒇𝒋/𝟑 𝒄𝒋

[50, 100[

75

n31=3

0,07

5,49

[100, 150[

125

n32=8

0,20

24,39

[150, 200[

175

n33=24

0,59

102,44

[200, 250[

225

n34=6

0,15

32,93

n3.=41

1,00

165,24



4)
𝟒

𝒀𝟑 =

𝒇𝒋/𝟑 𝒄𝒋 = 𝟏𝟔𝟓, 𝟐𝟒
𝒋=𝟏

5)
X
𝒄𝒊

Y
𝒄′𝒋

3,5

75

125

175

10500

8312,5

1837,5

225



𝟒

𝒏𝟏𝒋 𝒄𝟏 𝒄′𝒋 = 𝟐𝟎𝟔𝟓𝟎

0
𝒋=𝟏

5,5

𝟒

9487,5

35750

7700

𝒏𝟐𝒋 𝒄𝟐 𝒄′𝒋 = 𝟓𝟒𝟏𝟕𝟓

1237,5
𝒋=𝟏

7,5

𝟒

2812,5

5625

31500

𝒏𝟑𝒋 𝒄𝟑 𝒄′𝒋 = 𝟓𝟏𝟕𝟓𝟎

11812,5
𝒋=𝟏
𝟒

9,5

0

22562,5

9975

𝒏𝟒𝒋 𝒄𝟒 𝒄′𝒋 = 𝟒𝟑𝟐𝟐𝟓

10687,5
𝒋=𝟏

𝟒



𝟒

𝒏𝒊𝟏 𝒄𝒊 𝒄′𝟏 = 𝟐𝟐𝟖𝟎𝟎
𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =

𝟒

𝒏𝒊𝟐 𝒄 𝒊 𝒄′𝟐 = 𝟕𝟐𝟐𝟓𝟎
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏

𝟒

𝒊=𝟏

𝟒

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄′𝒋 −
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

𝑿𝒀 =

𝟏𝟔𝟗𝟖𝟎𝟎

𝟐𝟏𝟖

𝟒

𝟒

𝒏𝒊𝟑 𝒄𝒊 𝒄 ′𝟑 = 𝟓𝟏𝟎𝟏𝟐, 𝟓
𝒊=𝟏

− 𝟓, 𝟒𝟗 × 𝟏𝟑𝟒, 𝟏𝟕 = 𝟒𝟐, 𝟑𝟏

20

𝟒

𝒏𝒊𝒋 𝒄𝒊 𝒄′𝒋 = 𝟏𝟔𝟗𝟖𝟎𝟎

𝒏𝒊𝟒 𝒄𝒊 𝒄′𝟒 = 𝟐𝟑𝟕𝟑𝟕, 𝟓
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏

BEN AHMED MOHSEN

𝝆=𝒓=

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

=

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝝈𝑿 𝝈𝒀

=

𝟒𝟐, 𝟑𝟏
𝟐, 𝟗𝟔 × 𝟐𝟎𝟒𝟖𝟕, 𝟑𝟗

= 𝟏𝟕, 𝟏𝟖% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟐, 𝟗𝟓%

6) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
où 𝒃 =
= 𝟏𝟒, 𝟐𝟗 et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃𝑿 = 𝟓𝟓, 𝟕
𝑽 𝑿

Par la suite 𝒀 = 𝟓𝟓, 𝟕 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟗𝑿

Corrigé 10 : (ISG –SP 2009)
1)
Travailleur

1

2

3

4

5

6

7

Niveau de bruit (xi)

10

25

40

30

50

5

70

Productivité (y i)

90

85

65

75

60

95

45

Productivité (Y)

Nuage des points
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Les viveaux de bruit (X)

2) Le nuage de points de la série double 𝒙𝒊 , 𝒚𝒊 est presque aligné par conséquent on peut avancer l'hypothèse d'une
meilleure qualité d’ajustement linéaire dont l’équation est de la forme : 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿

3)
a)
𝟏
𝑿=
𝒏

b)

𝟕

𝒊=𝟏

𝟏
𝒙𝒊 = 𝟑𝟐, 𝟖𝟓𝟕 , 𝒀 =
𝒏

𝟕

𝒚𝒊 = 𝟕𝟑, 𝟓𝟕
𝒊=𝟏

𝟕

𝒙𝒊 𝒚𝒊 = 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟎
𝒊=𝟏

21

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

c)
𝟏
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =
𝒏
𝟏
𝑽 𝑿 =
𝒏

𝝆𝑿,𝒀 = 𝒓 =

𝟕

𝒙𝟐𝒊

𝟕

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝑿 . 𝒀 = −𝟑𝟒𝟓, 𝟗𝟐
𝒊=𝟏



𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

=

𝑿𝟐

𝟏
= 𝟒𝟒𝟏, 𝟖𝟒 ; 𝑽 𝒀 =
𝒏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝝈𝑿 𝝈𝒀

=

𝟕

𝒚𝟐𝒊 − 𝒀𝟐 = 𝟐𝟕𝟔, 𝟓𝟑
𝒊=𝟏

−𝟑𝟒𝟓, 𝟗𝟐
𝟒𝟒𝟏, 𝟖𝟒 × 𝟐𝟕𝟔, 𝟓𝟑

= −𝟗𝟖, 𝟗𝟔% ⟹ 𝒓𝟐 = 𝟗𝟕, 𝟗𝟒%

𝑽 𝑿 𝑽 𝒀
Validité du modèle de régression linéaire avec et bonne qualité d’ajustement
On remarque qu’il s’agit d’une corrélation négative entre le niveau de bruit (X) et la productivité des travailleurs (Y)

4) D’après la méthode des moindres carrés ordinaire MCO fournit l’estimation suivante :
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
où 𝒃 =
= −𝟎, 𝟕𝟖 et 𝒂 = 𝒀 − 𝒃 𝑿 = 𝟗𝟗, 𝟑
𝑽 𝑿

Par la suite 𝒀 = 𝟖𝟐, 𝟗𝟏𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟖𝑿

ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN:
 ÉCONOMÉTRIE
 TECHNIQUES DE SONDAGE
 STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
 STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I)
 ANALYSE (MATH I)
 ALGÈBRE (MATH II)
3 rue Bougainvilliers Avenue 20 Mars Le Bardo, Tunisie
CONTACT :
Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
Page Facebook : http://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

22

BEN AHMED MOHSEN


L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 1/22
 
L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 2/22
L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 3/22
L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 4/22
L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 5/22
L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf - page 6/22
 




Télécharger le fichier (PDF)


L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT Ι)Série Corrigée N°2 -(Distribution Statistique à Deux Caractères).pdf (PDF, 978 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


l1 seg probabilitEs et statistiques descriptives stat serie corrigee n 2 distribution statistique a deux caracteres
l1 seg math ii serie corrigee n 2 determinants systemes d equations lineaires
l1 seg probabilitEs et statistiques descriptives stat i serie corrigee n 1 distribution statistique a un seul caractere
m1 l3 EconomEtrie serie corrigee n 1 modeles Econometriques a un
m1 l3 EconomEtrie serien 2 reg lin mult
serie corrigee n 1 EnoncEs distribution statistique a un seul caractere