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L 1 (MATH Ι) Série Corrigée N°1 Fonctions d’une variable réelles Développement limités .pdf



Nom original: L 1 (MATH Ι) Série Corrigée N°1- Fonctions d’une variable réelles-Développement limités.pdf
Auteur: mohsen

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BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

L 1 (MATH𝜤)

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Fonctions d’une variable réelles/Développement limités
Exercice 1 : (ISCAE-SC 2008)
Soit
𝒙𝟑 − 𝟏
𝒙+𝟏

𝒇 𝒙 =

1) Ecrire le développement limité de 𝟏 + 𝒕 au voisinage de 0 à l’ordre 2
2) Déterminer le DL de

𝟏

𝟏+𝒖
𝒇 𝒙

puis de

𝟏−𝒖𝟑
𝟏+𝒖

au voisinage de 0 à l’ordre 2

3) En déduire le DL de
au 𝓥 +∞
𝒙
4) Donner l’équation de l’asymptote à la courbe de 𝒇

Exercice 2 : (ISG-SC 2006)
Donner le Développement limité à l’ordre 4 en zéro de
𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝒙𝟐

𝟏
𝒙

Exercice 3 : (IHEC-SP2005)
Soit 𝒇 la fonction définie sur 𝟎,

𝟏
𝟐

par :
𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝒆𝒙

𝟏
𝒙

, 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝟎,

𝒇 𝟎 =

𝟏
𝒆

𝟏
𝟐

On note 𝓒𝒇 sa courbe représentative
1)
a) Donner le développement limité de 𝒇 au voisinage de 0 à l’ordre 2
b) Montrer que 𝒇 est dérivable en 0
2) En déduire l’équation de la tangente à 𝓒𝒇 au point 𝑨 𝟎 , 𝟏 𝒆 et donner sa position relative par rapport à𝓒𝒇

Exercice 4 : (ESC-SP2005)
Soit
𝒉 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈
1)

𝒙𝟐 − 𝟏

a) Déterminer le domaine de définition de 𝒉
b) Calculer 𝒉′ 𝒙
c) Calculer l’élasticité de 𝒉 au point 𝒙𝟎 = 𝟐 et en déduire l’accroissement relatif de 𝒉 , si x augmente de
𝝅%

2)

a) Dresser le tableau de variation de 𝒉
b) Etudier la convexité de 𝒉
c) Tracer le graphe de 𝒉
3) Déterminer le développement limité d’ordre 2, au voisinage de 2 de 𝒉 𝒙

1

BEN AHMED MOHSEN

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Exercice 5 : (ESC-SP2007)
Soit 𝒇 la fonction à une seule variable réelle définie par :
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙
1) Déterminer le domaine de définition de 𝒇
2)
a) Calculer la dérivée de 𝒇
b) Calculer l’élasticité de 𝒇 par rapport à x, au point 𝒙𝟎 = 𝒆 .Interpréter ce résultat
c) Déterminer la variation relative de 𝒇 , lorsque x augmente de 3% au voisinage de 𝒆
3)
a) Calculer la dérivée seconde de 𝒇
b) Etudier la convexité de 𝒇 sur son domaine de définition
c) Déterminer le 𝑫𝑳𝟐 𝒆 de la fonction 𝒇

Exercice 6 : (ISCAE-SP2007)
1) Déterminer les développements limités à l’ordre 3 en 0 de 𝒆𝒙 et de 𝟏 + 𝒙𝟐
2) En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de
𝒆𝒙
𝒇 𝒙 =
𝟏 + 𝒙𝟐
3) Vérifier que 𝒇 est continue et dérivable en 0
4) Ecrire l’équation de la tangente 𝑻 à 𝓒𝒇 , la courbe représentative de 𝒇 , au point d’abscisse 0
5) Etudier les positions relatives de 𝑻 et 𝓒𝒇

Exercice 7: (ISG-SP2006)
1) Donner le développement limité à l’ordre 2 et au voisinage de Zéro de la fonction
𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒇 𝒙 =
𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒇
𝒙
2) On pose 𝑭 𝒙 = 𝒆
a) Donner le développement limité au voisinage de Zéro à l’ordre 2 de 𝑭 𝒙
b) Déduire 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝑭 𝒙 − 𝒆
𝒙

Exercice 8: (ISCAE-SP2006)
Soit
𝒇 𝒙 =

𝒙
𝟏
𝒆𝒙

+𝟏
𝒇𝒙
1) Déterminer un développement limité à l’ordre 3 en +∞ de
𝒙
2) En déduire que la courbe de 𝒇 admet une asymptote en +∞ et préciser la position de la courbe par rapport à
cette asymptote en +∞

Exercice 9: (ISCAE-SP2006)
Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de

𝒆𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙
𝒙 − 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙
En déduire l’équation de la tangente à la courbe de 𝒇 et préciser la position de la courbe par rapport à la tangente
au voisinage de 0
𝒇 𝒙 =

2

BEN AHMED MOHSEN

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Exercice 10: (ISG-SP2005)
Soit
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏

𝟏
𝟑

− 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏

𝟏
𝟐

; 𝒙 ∈ 𝓥 +∞

𝟏

1) En posant 𝒕 = montrer que :
𝒙

𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 𝟑 − 𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 𝟐
𝒕
2) En utilisant le développement limité de 𝟏 + 𝒖 𝜶 au voisinage de 0, calculer le développement limité de 𝒈 𝒕
au voisinage de 0et à l’ordre 2
3) Déduire le développement limité de 𝒇 𝒙 au voisinage de +∞ et à l’ordre 2

𝒇 𝒙 =𝒈 𝒕 =

Exercice 11: (ISG-SC2009)
Soit

𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟏
Déterminer le développement limité de 𝒇 au point 𝒙𝟎 = 𝟎 à l’ordre 3
Déterminer le développement limité de la fonction 𝒇 𝒙 au point 𝒙𝟎 = 𝟎 à l’ordre 3
Déterminer le développement limité de la fonction 𝑳𝒏 𝒇 𝒙 au point 𝒙𝟎 = 𝟎 à l’ordre 2
Déterminer le développement limité de 𝒇 au point 𝒙𝟎 = +∞ à l’ordre 3
𝒇 𝒙 =

1)
2)
3)
4)

Exercice 12: (ISG-SC2010)
1) Déterminer le développement limité en 0 et à l’ordre 2 de la fonction
𝒇 𝒙 = 𝑳𝒏 𝟑𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
2) Déterminer le développement limité au voisinage de +∞ et à l’ordre 2 de la fonction
𝟏+𝒙 𝟏
𝒈 𝒙 =
𝒆 𝒙
𝒙
3) Calculer
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐
𝐥𝐢𝐦 𝟐
𝒙→𝟎 𝒙 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙

3

BEN AHMED MOHSEN

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L 1 (MATH𝜤)

Série Corrigée N°1-CORRIGÉS
Fonctions d’une variable réelles/Développement limités
Corrigé 1 : (ISCAE-SC 2008)
1)

𝟏+𝒙

𝜶

admet un DL d’ordre 2 en 0 :
𝟏+𝒕
𝟏+𝒕 = 𝟏+𝒕

D’où le DL d’ordre 2 en 0 de 𝟏 + 𝒕
2)

𝜶
𝟏
𝟐

𝜶𝒕 𝜶 𝜶 − 𝟏 𝒕𝟐
+
+ 𝒐 𝒕𝟐
𝟏!
𝟐!
𝟏 𝟏
𝟏
𝒕 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝒕𝟐
𝟐
=𝟏+
+
+ 𝒐 𝒕𝟐
𝟏!
𝟐!

=𝟏+

𝟏
𝟏
𝟏 + 𝒕 = 𝟏 + 𝒕 − 𝒕 𝟐 + 𝒐 𝒕𝟐
𝟐
𝟖



D’où le DL d’ordre 2 en 0 de

𝟏

𝟏
= 𝟏+𝒖
𝟏+𝒖

𝟏−𝒖

𝟏−𝒖𝟑

=𝟏+

−𝟏
−𝟏 𝒖
+
𝟏!

−𝟏 − 𝟏 𝒖𝟐
+ 𝒐 𝒖𝟐
𝟐!

𝟏
= 𝟏 − 𝒖 + 𝒖𝟐 + 𝒐 𝒖𝟐
𝟏−𝒖



D’où le DL d’ordre 2 en 0 de

−𝟏

𝟏 − 𝒖𝟑
= 𝟏 − 𝒖𝟑
𝟏+𝒖

𝟏−𝒖

𝟏
= " 𝟏 − 𝒖𝟑 𝟏 − 𝒖 + 𝒖𝟐 " + 𝒐 𝒖𝟐
𝟏+𝒖

𝟏 − 𝒖𝟑
= 𝟏 − 𝒖 + 𝒖𝟐 + 𝒐 𝒖𝟐
𝟏+𝒖

3)
𝒇 𝒙
𝟏 𝒙𝟑 − 𝟏
𝟏 𝒙𝟑 − 𝟏
=
=
=
𝒙
𝒙 𝒙+𝟏
𝒙𝟐 𝒙 + 𝟏
𝟏
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒖 = , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 +∞ 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒖 ∈ 𝓥 𝟎
𝒙

∀ 𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ,

𝑶𝒓 , 𝒖 =

𝟏
𝟏
𝒇 𝒙
⟺ 𝒙 = 𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊
=
𝒙
𝒖
𝒙

𝟏
𝒖
𝟏
𝒖

𝟑

𝟑

−𝟏

𝟏
+
𝒖

𝟐

=

𝟏 − 𝒖𝟑
𝒖𝟑 =
𝟏+𝒖
𝒖𝟑

𝒙𝟑 − 𝟏
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐

𝟏 − 𝒖𝟑
=𝒈 𝒖
𝟏+𝒖

; 𝒖≠𝟎

𝒇𝒙

Par la suite calculer un DL d’ordre 2 et au voisinage de +∞ de
revient au même de calculer un DL d’ordre 2 et au
𝒙
voisinage de 0 de 𝒈 𝒖
D’où
𝒇 𝒙
𝟏 𝟏
𝟏
= 𝟏− + 𝟐+𝒐 𝟐
𝒙
𝒙 𝒙
𝒙
4) Il en résulte un développement asymptotique :
𝟏
𝟏
𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 + +𝒐
𝒙
𝐱
Ainsi
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝒙→∞

On en déduit que la droite Δ d’équation 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 est une asymptote à la courbe 𝒚 = 𝒇 𝒙 au 𝓥 +∞

4

BEN AHMED MOHSEN

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Corrigé 2 : (ISG-SC 2006)
∀ 𝒙∈𝓥 𝟎
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 admet un DL d’ordre 3 en 0 :

𝟏 + 𝒙𝟐

𝟏
𝒙

𝟏

= 𝒆𝒙𝑳𝒏

𝟏+𝒙𝟐

𝒖𝟐 𝒖𝟑
+
+ 𝒐 𝒖𝟑
𝟐
𝟑
en conservant les termes de degrés inférieur ou égal à 5

𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 = 𝒖 −
Il en résulte un DL d’ordre 5 en 0 de 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐

𝒙𝟐
𝒙𝟒
𝟏
𝒙𝟑
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 = 𝒙 −
+ 𝒐 𝒙 = 𝒙 − + 𝒐 𝒙 ⟹ 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 = 𝒙 − + 𝒐 𝒙𝟒
𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
D’autre part 𝒆𝒕 admet un DL d’ordre 4 en 0 :
𝒕 𝒕 𝟐 𝒕𝟑 𝒕𝟒
𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝒕 𝟒
𝒆𝒕 = 𝟏 + + + + + 𝒐 𝒕𝟒 = 𝟏 + 𝐭 + + +
+ 𝒐 𝒕𝟒
𝟏! 𝟐! 𝟑! 𝟒!
𝟐 𝟔 𝟐𝟒
𝒙𝟑
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒕 = 𝒙 − + 𝒐 𝒙𝟒 , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎
𝟐
Déterminons maintenant les DL respectifs de 𝒕𝟐 , 𝒕𝟑 𝐞𝐭 𝒕𝟒 à un ordre égal à 4 et au voisinage de 0 ; toujours en
conservant les termes de degrés inférieur ou égal à 4 :
𝒙𝟑

+ 𝒐 𝒙𝟒



𝒕= 𝒙−



𝒕𝟐 = " x-



𝒕𝟑 = 𝒕. 𝒕𝟐 = "

𝟐

x3
2

x3

x-

x3

x3

 𝒕𝟑 = 𝒕. 𝒕𝟑 = " x2
En effet
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙

=

𝟏
𝟐
𝒆𝒙𝑳𝒏 𝟏+𝒙

𝟏

𝟏

x- 2 " + 𝒐 𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐 𝒙𝟒 + 𝒐 𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 + 𝒐 𝒙𝟒
x 2 -x4

2

" + 𝒐 𝒙 𝟒 = 𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟒

𝒙 𝟑 " + 𝒐 𝒙𝟒 = 𝒙 𝟒 + 𝒐 𝒙 𝟒

𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
𝒙𝟑
𝒙𝟑 𝒙𝟒
= 𝟏+ 𝒙−
+
+ +
+ 𝒐 𝒙𝟒
𝟐
𝟐
𝟔 𝟐𝟒
𝟏

Et finalement le DL d’ordre 4 et en 0 de 𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙 :
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏𝟏 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝐱 𝐱 = 𝟏 + 𝐱 + 𝐱𝟐 − 𝐱𝟑 −
𝐱 + 𝐨 𝐱𝟒
𝟐
𝟑
𝟐𝟒

Corrigé 3 : (IHEC-SP2005)
1)
a)

𝟏

𝟏

𝒙

∀ 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝒆𝒙 𝒙 = 𝒆𝒙𝑳𝒏 𝟐−𝒆
𝒙
𝒆 admet un DL d’ordre 3 en 0 :
𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑
𝒙𝟐 𝒙𝟑
𝒙𝟐 𝒙 𝟑
𝒆𝒙 = 𝟏 + + + + 𝒐 𝒙𝟑 = 𝟏 + 𝒙 + + + 𝒐 𝒙𝟑 ⟹ 𝟐 − 𝒆𝒙 = 𝟏 − 𝒙 − − + 𝒐 𝒙𝟑
𝟏! 𝟐! 𝟑!
𝟐
𝟔
𝟐
𝟔
D’autre part :
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 admet un DL d’ordre 2 en 0 :
𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 = 𝒖 −
+
+ 𝒐 𝒖𝟑
𝟐
𝟑
𝒙𝟐 𝒙𝟑
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒖 = −𝒙 − − + 𝒐 𝒙𝟑 , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊 𝒖 ∈ 𝓥 𝟎
𝟐
𝟔
Déterminons maintenant les DL respectifs de 𝒖𝟐 𝐞𝐭 𝒖𝟑 à un ordre égal à 3 et au voisinage de 0 ; toujours en
conservant les termes de degrés inférieur ou égal à 3 :
x2 x 3
x2 x3
𝒖𝟐 = 𝒖. 𝒖 = " -x- -x- " + 𝐨 𝐱𝟑 = 𝐱𝟐 + 𝐱𝟑 + 𝐨 𝐱𝟑
2 6
2 6
x2 x3
𝒖𝟑 = 𝒖. 𝒖𝟐 = " -x- 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 " + 𝒐 𝒙𝟑 = −𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
2 6
Par la suite :

5

BEN AHMED MOHSEN

𝑳𝒏 𝟐 − 𝒆𝒙 = Ln 1+ -x-

𝑳𝒏 𝟐 − 𝒆𝒙 =


−𝒙 −

x2 x3
2 6

+ 𝒐 𝒙𝟑 =

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𝟐
𝟑
𝒙𝟐 𝒙 𝟑
𝒙𝟐 𝒙𝟑
−𝒙


−𝒙


𝟐
𝟑
𝒙
𝒙
𝟐
𝟔
𝟐
𝟔
−𝒙 − −

+
+ 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑

𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
−𝒙𝟑
𝒙𝟐 𝒙𝟑


+
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑

+ 𝒐 𝒙𝟑 = −𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑

𝟏
𝑳𝒏 𝟐 − 𝒆𝒙 = −𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝒙
𝟏

𝟏

𝒙

𝟐

𝟐

𝒐𝒓 ∀ 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝒆𝒙 𝒙 = 𝒆𝒙𝑳𝒏 𝟐−𝒆 = "𝒆 −𝟏−𝒙−𝒙 " + 𝒐 𝒙𝟐 = "𝒆−𝟏. 𝒆 −𝒙−𝒙 "+ 𝒐 𝒙𝟐
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒘 = −𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊 𝒘 ∈ 𝓥 𝟎
Donc
𝟐
−𝒙 − 𝒙𝟐
𝒘 𝒘𝟐
−𝟏 𝒘
−𝟏
𝟐
−𝟏
𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒆 .𝒆 = 𝒆 . 𝟏 + +
+ 𝒐 𝒘 = "𝒆 . 𝟏 + −𝒙 − 𝒙 +
" + 𝒐 𝒙𝟐
𝟏! 𝟐!
𝟐
Déterminons maintenant le DL de 𝒘𝟐 à un ordre égal à 2 et au voisinage de 0 ; toujours en conservant les termes de
degrés inférieur ou égal à 2 :
𝒘𝟐 = 𝐰. 𝐰 = −𝒙 − 𝒙𝟐 −𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
Ainsi 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝟏. 𝟏 + −𝒙 − 𝒙𝟐 +
D’où le DL de 𝒇 d’ordre 2 en 0 :

𝒙𝟐
𝟐

+ 𝒐 𝒙𝟐

𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝒆𝒙

𝟏
𝒙

b)

=

𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
− 𝒙−
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐
𝒆 𝒆
𝟐𝒆

𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
− 𝒙−
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐 −
− 𝒙−
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐
𝒇 𝒙 −𝒇 𝟎
𝒆
𝒆
𝟐𝒆
𝒆
𝒆
𝟐𝒆
𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎+
= 𝒍𝒊𝒎+
𝒙→𝟎+
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝒙
𝒙
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
− 𝒙−
𝒙 +𝒐 𝒙
𝟏 𝟏
𝟏
𝟐𝒆
= 𝒍𝒊𝒎+ 𝒆
= 𝒍𝒊𝒎+ − −
𝒙+𝒐 𝒙 =−
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝒆 𝟐𝒆
𝒆
D’où 𝒇 est dérivable à droite en 0 et
𝟏
𝒇′𝒅 𝟎 = −
𝒆
2) Soit [𝑨, 𝑻) la demi-tangente à droite en 0 à 𝓒𝒇 : 𝒚 = 𝒇 𝒙 au point 𝑨 𝟎 , 𝟏 𝒆
𝒙>0
𝒙>0
𝟏
𝟏
𝑨, 𝑻 :
⟺ 𝑨, 𝑻 :
𝒚 = 𝒇′𝒅 𝟎 . 𝒙 + 𝒇 𝟎
𝒚= − 𝒙+
𝒆
𝒆
On a :
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
∀𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 ∶ 𝒇 𝒙 −
− 𝒙 = − 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 𝒙 −
− 𝒙 ~−
𝒙
𝒆 𝒆
𝟐𝒆
𝒆 𝒆
𝟐𝒆
𝟏 𝟐
Or ∀𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 ∶ − 𝒙 < 0
𝟐𝒆
D’où 𝑨, 𝑻 est localement au-dessus de 𝓒𝒇

Corrigé 4 : (ESC-SP2005)
1)

a) 𝑫𝒉 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎 = −∞, −𝟏 ∪ 𝟏, +∞
b) 𝒉 dérivable si et seulement si ∀𝑥 ∈ −∞, −𝟏 ∪ 𝟏, +∞ ;
Par la suite 𝒉 est dérivable sur −∞, −𝟏 𝒆𝒕 𝒔𝒖𝒓 𝟏, +∞
∀𝑥 ∈ −∞, −𝟏 ∪ 𝟏, +∞
c)

6

, 𝒉′

𝒙 =

𝒙𝟐 − 𝟏
𝟏+



𝒙𝟐 − 𝟏

𝟐

=

𝒙𝟐 − 𝟏 est dérivable.
𝒙

𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏 =
𝟐
𝒙
𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏

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𝟏
𝒉′ 𝟐
𝟐 𝟑
𝓔𝒉 𝟐 = 𝟐 ×
=𝟐×
𝒉 𝟐
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟑
𝝅
𝑜𝑟 ,
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟑 =
𝟑

Par la suite
𝟑
𝓔𝒉 𝟐 =
𝝅

𝜟𝒉 ≅ 𝜟𝒙. 𝓔𝒉 𝟐 ⟺ 𝜟𝒉 ≅
2)
a)

𝝅
𝟑
×
⟺ 𝜟𝒉 ≅ 𝟑%
𝟏𝟎𝟎 𝝅
-∞

-1

x
h’(x)

𝝅
𝟐

h(x)

1

-

+

-

+
0

𝒙→−∞

𝒙→+∞

𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒍𝒊𝒎 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒖 =

𝒙→+∞

𝒖→+∞

𝝅
𝒐ù 𝒖 =
𝟐

𝒙𝟐 − 𝟏 → +∞ 𝒔𝒊 𝒙 → +∞

b) 𝒉 est 2 fois dérivable sur −∞, −𝟏 ∪ 𝟏, +∞ par :

𝒙

𝒙𝟐 − 𝟏 −
𝟐− 𝟏
𝒙
𝒙
𝟐
𝒙 − 𝟏 =
𝒉′′ 𝒙 =
=− 𝟐 𝟐
=−
𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏
𝟐
𝒙
𝒙

𝟏
𝒙
𝒙 𝒙 − 𝟏
𝒙𝟐
Par la suite 𝒉 est convexe sur −∞, −𝟏 et sur 𝟏, +∞
𝝅
𝟏
𝟏
3) On a 𝒉 𝟐 = , 𝒉′ 𝟐 =
𝒆𝒕 𝒉′′ 𝟐 =


𝟏

𝟑

𝟐 𝟑

𝒙−𝟐
𝒉 𝒙 = 𝒉 𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝒉′ 𝟐 +
𝟐!

𝟐

𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏

>0

𝟐𝟒 𝟑

𝒉′′ 𝟐 + 𝒐 𝒙 − 𝟐 𝟐
𝝅
𝟏
𝟏
𝑫′ 𝒐ù 𝒍𝒆 𝑫𝑳 𝒅𝒆 𝒉 à 𝒍′ 𝒐𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐 𝒆𝒕 𝒂𝒖 𝓥 𝟐 ∶ 𝒉 𝒙 = +
𝒙−𝟐 +
𝒙−𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐𝟒 𝟑

𝟐

+𝒐 𝒙−𝟐

𝟐

Corrigé 5 : (ESC-SP2007)
1) 𝑫𝒇 = 𝟎 , +∞
2)
a)

𝒇′ 𝒙 = 𝒙 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙



= 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙

+ 𝒙 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙



= 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙

− 𝟐𝒙.

𝑫′ 𝒐ù ∀𝒙 ∈ 𝟎 , +∞ ; 𝒇′ 𝒙 = 𝟏 − 𝑳𝒏𝟐 𝒙 − 𝟐𝑳𝒏 𝒙 = 𝟐 − 𝟏 + 𝑳𝒏 𝒙
b)

𝟏

𝟏
𝓔𝒇 𝒆 = 𝒆 ×
= 𝒆 × 𝟒 = − ; 𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝓔𝒇
𝟑
𝟑
𝒇 𝒆
𝒆
𝟒
⟹ 𝒊𝒍 𝒔′ 𝒂𝒈𝒊𝒕 𝒅′ 𝒖𝒏𝒆 𝒊𝒏é𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒕é 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆
c)
𝟑
𝟏
𝜟𝒇 ≅ 𝜟𝒙. 𝓔𝒇 𝒆 ⟺ 𝜟𝒉 ≅
× −
⟺ 𝜟𝒉 ≅ −𝟏 %
𝟏𝟎𝟎
𝟑
𝒇′

𝒆

7

𝝅
𝟐

0

𝒉 −𝟏 = 𝒉 𝟏 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎 = 𝟎
𝒍𝒊𝒎 𝒉 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒉 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

+∞

𝒆 <1

𝟐

𝟏
. 𝑳𝒏 𝒙
𝒙

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3)
a)
𝒇′′ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏 + 𝑳𝒏 𝒙

𝟐 ′

=−

𝟐
𝟏 + 𝑳𝒏 𝒙
𝒙
1/e

b)

0

𝒙

+∞

𝟐
𝒙
𝟏 + 𝑳𝒏 𝒙

+

+
-

Convexe

Concave



𝒇′′ 𝒙
Convexité de 𝒇

𝑰

𝟏
𝒆

,𝟎

𝐏𝐨𝐢𝐧𝐭 𝐝’𝐢𝐧𝐟𝐥𝐞𝐱𝐢𝐨𝐧
On a 𝒇

c)
𝟑
𝒆 = 𝒆 , 𝒇′

𝒇 𝒙 =𝒇

𝟒

𝒆 =−

𝒆 + 𝒙 − 𝒆 𝒇′

𝟏
𝟒

𝒆𝒕 𝒇′′

𝒙− 𝒆
𝒆 +
𝟐!

𝑫′ 𝒐ù 𝒍𝒆 𝑫𝑳 𝒅𝒆 𝒇 à 𝒍′ 𝒐𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐 𝒆𝒕 𝒂𝒖 𝓥

𝒆 =−
𝟐

𝒇′′

𝟑
𝒆
𝟐

𝒆 +𝒐 𝒙− 𝒆
𝟑
𝟏
𝟑
𝒆 ∶𝒇 𝒙 =
𝒆− 𝒙− 𝒆 −
𝒙− 𝒆
𝟒
𝟒
𝒆

𝟐

+𝒐

𝒙− 𝒆

𝟐

Corrigé 6 : (ISCAE-SP2007)
1)

𝒆𝒙


𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑
𝒙 𝟐 𝒙𝟑
𝟑
= 𝟏 + + + + 𝒐 𝒙 = 𝟏 + 𝒙 + + + 𝒐 𝒙𝟑
𝟏! 𝟐! 𝟑!
𝟐
𝟔

𝜶𝒕 𝜶 𝜶 − 𝟏 𝒕𝟐
𝟏+𝒕 𝜶 = 𝟏+
+
+ 𝒐 𝒕𝟐
𝟏!
𝟐!
𝟏 𝟏
𝟏
𝒕 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝒕𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
⟹ 𝟏+𝒕 = 𝟏+𝒕 𝟐 = 𝟏+
+
+ 𝒐 𝒕𝟐 = 𝟏 + 𝒕 − 𝒕𝟐 + 𝒐 𝒕𝟐
𝟏!
𝟐!
𝟐
𝟖
𝟐
Il en résulte un DL d’ordre 3 en 0 de 𝟏 + 𝒙 :
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
2)
𝒙𝟐 𝒙𝟑
𝒙
𝟏
+
𝒙
+
+ + 𝒐 𝒙𝟑
𝒆
𝟐
𝟔
𝒇 𝒙 =
=
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝟏
Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme 𝟏 + 𝒙 + + par le polynôme 𝟏 + 𝒙𝟐 ;
𝟐

8

𝟔

𝟐

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Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝒙 𝟐 𝒙𝟑
𝟏
+
| 𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
𝟔
𝟐
− − − − − − − −| − − − −
𝟏
𝟏
−𝟏 − 𝒙𝟐
|𝟏 + 𝐱 − 𝐱𝟑
𝟐
𝟑
− − − − − − − −|
𝟏
𝐱 + 𝐱𝟑
|
𝟔
|
𝟏
−𝐱 − 𝐱𝟑
|
𝟐
− − − − − − − −|
𝟏
− 𝐱𝟑
|
𝟑
𝟏+𝒙+

+

=

+

=

Nous obtenons donc :
𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝐱 − 𝐱 𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟑

3)


𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 + 𝐱 − 𝐱𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑 = 𝟏 = 𝒇 𝟎 ⟹ 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒂𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝟑

𝟏
𝟏
𝟏 + 𝐱 − 𝐱 𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑 − 𝟏
𝐱 − 𝐱 𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
𝒇 𝒙 −𝒇 𝟎
𝟏
𝟑
𝟑
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
𝐥𝐢𝐦 𝟏 − 𝐱𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟏
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝒙
𝒙
𝟑
⟹ 𝒇 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒂𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝟎 𝒆𝒕 𝒇′ 𝟎 = 𝟏
4) Soit 𝑻 la tangente à 𝓒𝒇 au point d’abscisse 0
𝑻 : 𝒚 = 𝒇′ 𝟎 . 𝒙 + 𝒇 𝟎 ⟹ 𝑻 : 𝒚 = 𝒙 + 𝟏
𝟏
𝟏
∀𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 ∶ 𝒇 𝒙 − 𝒙 + 𝟏 = − 𝐱𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 𝒙 − 𝒙 + 𝟏 ~ − 𝐱𝟑
𝟑
𝟑
𝓒𝒇 : 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒕𝒓𝒂𝒗𝒆𝒓𝒔𝒆 𝑻 𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑴𝟎 𝟎 , 𝟏 ⟹ 𝑻 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒖𝒏𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅′𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏
𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎− ∶ 𝓒𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 − 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑻
𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎+ ∶ 𝓒𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒆𝒏 − 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒐𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑻

Corrigé 7 : (ISG-SP2006)

1) Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme 𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐 par le polynôme 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 ;
𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐 | 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
+ − − − − − − − −| − − − −
−𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 |𝟏 − 𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐
= − − − − − − − −|
−𝟐𝐱
|
+
|
𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐
|
= − − − − − − − −|
𝟐𝒙𝟐
|
Nous obtenons donc :
𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
2)
a) Déterminons un DL d’ordre 2 en 0 de 𝒆𝒇 𝒙 :
𝒕
𝒆 admet un DL d’ordre 2 en 0 :
9

BEN AHMED MOHSEN
𝒆𝒕 = 𝟏 +

𝒕 𝒕𝟐
𝒕𝟐
+ + 𝒐 𝒕𝟐 = 𝟏 + 𝒕 + + 𝒐 𝒕𝟐
𝟏! 𝟐!
𝟐

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Par la suite
𝟐
𝟐
𝒆𝒇 𝒙 = "𝐞 𝟏−𝟐𝐱+𝟐𝒙 " + 𝒐 𝒙𝟐 ⟺ 𝒆𝒇 𝒙 = "𝐞. 𝐞 −𝟐𝐱+𝟐𝒙 " + 𝒐 𝒙𝟐
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒕 = −𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎
Ce qui donne :
𝒇𝒙

𝒆

t

= e. e + 𝒐 𝒕

𝟐

−𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐
𝒕𝟐
= "𝒆. 𝟏 + 𝒕 +
" + 𝒐 𝒕𝟐 = "𝒆. 𝟏 + −𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 +
𝟐
𝟐

𝟐

" + 𝒐 𝒙𝟐

Déterminons maintenant le DL de 𝒕𝟐 à un ordre égal à 2 et au voisinage de 0 ; toujours en conservant les termes de
degrés inférieur ou égal à 2 :
𝒕𝟐 = 𝐭. 𝐭 = " −𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 . −𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
Il en résulte :
𝟒𝒙𝟐
𝒆𝒇 𝒙 = 𝒆. 𝟏 + −𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝟐 +
+ 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
D’où
𝒆𝒇 𝒙 = 𝐞. 𝟏 − 𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝒆 − 𝟐𝐞. 𝐱 + 𝟒𝐞. 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
On en déduit le DL en 0 et à l’ordre 2 de 𝑭 𝒙 = 𝒆𝒇 𝒙 :

𝟏

𝑭 𝒙 = " 𝐞. 𝟏 − 𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐 = " 𝒆. 𝟏 + −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 𝟐" + 𝒐 𝒙𝟐
𝟏 + 𝒘 admet un DL d’ordre 2 en 0 :
𝟏 𝟏
𝟏
𝒘 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝒘𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏+𝒘 = 𝟏+𝒘 𝟐 = 𝟏+
+
+ 𝒐 𝒘𝟐 = 𝟏 + 𝒘 − 𝒘𝟐 + 𝒐 𝒘𝟐
𝟏!
𝟐!
𝟐
𝟖
𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒘 = −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 , 𝒐𝒓 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊 𝒘 ∈ 𝓥 𝟎
Ce qui donne
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝑭 𝒙 = " 𝒆. 𝟏 + 𝒘 − 𝒘𝟐 " + 𝒐 𝒘𝟐 = " 𝒆. 𝟏 + −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 − −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐
" + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟖
𝟐
𝟖
Déterminons maintenant le DL de 𝒘𝟐 à un ordre égal à 2 et au voisinage de 0 ; toujours en conservant les termes de
degrés inférieur ou égal à 2 :
𝒘𝟐 = 𝒘. 𝒘 = " −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 . −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
Il en résulte :
𝟏
𝑭 𝒙 = 𝒆. 𝟏 + −𝟐𝐱 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
D’où
𝑭 𝒙 = 𝒆. 𝟏 − 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝒆 − 𝒆. 𝒙 − 𝟐 𝒆. 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
b)
𝒆 − 𝒆. 𝒙 − 𝟐 𝒆. 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 − 𝒆
− 𝒆. 𝒙 − 𝟐 𝒆. 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝑭 𝒙 − 𝒆
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝒙
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦 − 𝒆 − 𝟐 𝒆. 𝒙 + 𝒐 𝒙 = − 𝒆
𝒙→𝟎

Corrigé 8 : (ISCAE-SP2006)
1)
∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ∶

𝒇 𝒙
=
𝒙

𝟏
𝟏
𝒆𝒙

=

𝒆𝒕

𝟏
𝟏
= 𝒈 𝒕 ; 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒕 = 𝒆𝒕 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 +∞ 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎
+𝟏
𝒙

+𝟏
𝒆𝒕 admet un DL d’ordre 3 en 0 :
𝒕 𝒕𝟐 𝒕𝟑
𝒕𝟐 𝒕 𝟑
𝒕𝟐 𝒕𝟑
𝒆𝒕 = 𝟏 + + + + 𝒐 𝒕𝟑 = 𝟏 + 𝒕 + + + 𝒐 𝒕𝟑 ⟹ 𝒆𝒕 + 𝟏 = 𝟐 + 𝒕 + + + 𝒐 𝒕𝟑
𝟏! 𝟐! 𝟑!
𝟐 𝟔
𝟐 𝟔
Par la suite

10

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𝟏
" + 𝒐 𝒕𝟑
𝒕𝟐 𝒕𝟑
𝟐+𝒕+ +
𝟐 𝟔
𝒕𝟐
𝒕𝟑
Effectuons la division selon les puissances croissantes de 𝟏 par le polynôme 𝟐 + 𝒕 + + ;
𝟐
𝟔
𝒕 𝟐 𝒕𝟑
𝟏
|𝟐 + 𝒕 + +
𝟐 𝟔
+
−−−−−−−− | −−−−
𝟏
𝟏
𝟏 𝟑𝟏 𝟏
𝟏 𝟑
−𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 −
𝒕 | − 𝐭+
𝐭
𝟐
𝟒
𝟏𝟐 𝟐 𝟒
𝟒𝟖
=
−−−−−−−− |
𝟏
𝟏
𝟏 𝟑
− 𝒕 − 𝒕𝟐 −
𝒕 |
𝟐
𝟒
𝟏𝟐
+
|
𝟏
𝟏 𝟐 𝟏 𝟑
𝐭+ 𝐭 + 𝐭
|
𝟐
𝟒
𝟖
=
−−−−−−−− |
𝟏 𝟑
𝐭
|
𝟐𝟒
Nous obtenons donc :
𝟏 𝟏
𝟏 𝟑
∀𝒕∈ 𝓥 𝟎 ∶ 𝒈 𝒕 = − 𝐭+
𝐭 + 𝒐 𝒕𝟑
𝟐 𝟒
𝟒𝟖
𝒇𝒙
D’où le DL à l’ordre 3 et au 𝓥 +∞ de
𝒙
𝒇 𝒙
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ∶
= −
+
+𝒐 𝟑
𝟑
𝒙
𝟐 𝟒 𝒙
𝟒𝟖 𝒙
𝒙
2) Il en résulte un développement asymptotique :
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏
∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ∶ 𝒇 𝒙 = 𝒙 − +
+𝒐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟒 𝟒𝟖 𝒙
𝒙
Ainsi
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒙 −
= 𝐥𝐢𝐦
+𝒐 𝟐 =𝟎
𝟐
𝒙→∞
𝒙→∞ 𝟒𝟖 𝒙
𝟐
𝟒
𝒙
𝟏
𝟏
On en déduit que la droite Δ d’équation 𝒚 = 𝒙 − est une asymptote à la courbe 𝒚 = 𝒇 𝒙 au 𝓥 +∞
𝟐
𝟒
D’autre part
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝒇 𝒙 − 𝒙−
~
au 𝓥 +∞
𝟐
𝟒
𝟒𝟖 𝒙𝟐
𝟏 𝟏
𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ;
> 0 ∶ 𝓒𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 − 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆 𝜟
𝟒𝟖 𝒙𝟐
∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ; 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎 ∶

𝒇 𝒙
=𝒈 𝒕 ="
𝒙

Corrigé 9 : (ISCAE-SP2006)

On a les DL de 𝒆𝒙 , 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒕 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 respectivement aux ordres 4,5 et 4 au voisinage de 0 :
𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒
𝟏
𝟏
𝟏 𝟒
𝒆𝒙 = 𝟏 + + + + + 𝒐 𝒙𝟒 = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 +
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟒
𝟏! 𝟐! 𝟑! 𝟒!
𝟐
𝟔
𝟐𝟒
𝒙𝟐 𝒙 𝟒
𝟏
𝟏 𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏 − + + 𝒐 𝒙𝟓 = 𝟏 − 𝒙𝟐 +
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟓
𝟐! 𝟒!
𝟐
𝟐𝟒
𝒙 𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒
𝟏
𝟏
𝟏
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 = 𝒙 − + − + 𝒐 𝒙𝟒 = 𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 + 𝒐 𝒙𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
Il en résulte :
𝟏
𝒆𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟒
𝟔
Et
𝟏
𝟏
𝟏
𝒙 − 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒐 𝒙𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
En effet :
11

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𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝒙 + 𝒐 𝒙𝟒
𝟏 + 𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐
𝒆𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙
𝟔
𝟔
𝒇 𝒙 =
=
=
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒙 − 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒐 𝒙𝟒
− 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐 𝟑
𝟒
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme 𝟏 + 𝒙 par le polynôme − 𝒙 + 𝒙𝟐 ;
𝟔
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏+ 𝒙
| − 𝒙+ 𝒙
𝟔
𝟐 𝟑
𝟒
+ − − − − − − − −| − − − −
𝟐
𝟏
𝟓
𝟏
−𝟏 + 𝒙 − 𝒙𝟐 | 𝟐 + 𝐱 + 𝒙𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟗
= − − − − − − − −|
𝟓
𝟏
𝒙 − 𝒙𝟐
|
𝟔
𝟐
+
|
𝟓
𝟓 𝟐
− 𝒙+ 𝒙
|
𝟔
𝟗
= − − − − − − − −|
𝟏 𝟐
𝒙
|
𝟏𝟖
Finalement on a :
𝟓
𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟐 + 𝐱 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟑
𝟗
On se propose maintenant de déterminer l’équation de la tangente à la courbe de 𝓒𝒈 où 𝒈 étant le prolongement
par continuité de 𝒇 sur 𝑫𝒇 ∪ 𝟎
On vérifie bien que 𝒇 est prolongeable par continuité au point 0 puisque :
𝟓
𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐 + 𝐱 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟐
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝟑
𝟗
D’où on définit la fonction 𝒈 par :
𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 ; ∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇
𝒈 𝟎 = 𝟐 ; 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
Vérifions que 𝒈 est dérivable au point 0
𝟓
𝟏
𝐱 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝒈 𝒙 −𝒈 𝟎
𝟓 𝟏
𝟓
𝟑
𝟗
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦 + 𝒙 + 𝒐 𝒙 =
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎 𝟑
𝒙
𝒙
𝟗
𝟑
𝟓

Ce qui implique que 𝒈 est dérivable au point 0 et 𝒈 𝟎 =
𝟑
Soit 𝑻 la tangente à 𝓒𝒈 au point d’abscisse 0
𝟓
𝑻 : 𝒚 = 𝒈′ 𝟎 . 𝒙 + 𝒈 𝟎 ⟹ 𝑻 : 𝒚 = 𝒙 + 𝟐
𝟑
Or
𝟓
𝟏
𝟓
𝟏
∀𝒙 ∈ 𝓥 𝟎 ∶ 𝒈 𝒙 −
𝒙 + 𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 ⟹ 𝒈 𝒙 −
𝒙 + 𝟐 ~ 𝒙𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
𝟗
: 𝓒𝒈 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 − 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑻

Corrigé 10 : (ISG-SP2005)
1)
∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ; 𝒕 =

𝟏
𝟏
𝟏
∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 ∶ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏 𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 𝟐
𝒙
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
= 𝟑 + +𝟏 − 𝟐− −𝟏
𝒕
𝒕
𝒕
𝒕

𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑
=
𝒕𝟑
12

𝟏
𝟑

𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐

𝒕𝟐

𝟏
𝟐

BEN AHMED MOHSEN
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑
=
𝒕

D’où :

𝟏
𝟑

Téléphone : (+216)97619191
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𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐

𝒕

𝟏
𝟐

𝟏
𝟏
𝟏
∈ 𝓥 𝟎 𝒐𝒏 𝒂 ∶ 𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒕 =
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 𝟑 − 𝟏 − 𝒕 − 𝒕 𝟐
𝒙
𝒕
admet un DL d’ordre 3 en 0 :
𝜶𝒖 𝜶 𝜶 − 𝟏 𝒖𝟐 𝜶 𝜶 − 𝟏 𝜶 − 𝟐 𝒖𝟑
𝟏+𝒖 𝜶 = 𝟏+
+
+
+ 𝒐 𝒖𝟑
𝟏!
𝟐!
𝟑!

∀𝒙 ∈ 𝓥 +∞ ; 𝒕 =
2)

𝟏+𝒖



𝜶

𝟏+𝒕

𝟐

𝟏

+ 𝒕𝟑 𝟑

Ainsi
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑


𝟏
𝟑
𝟏

𝟏−𝒕−

𝒕𝟐 𝟐

𝟐

= 𝟏+ 𝒕 +𝒕

𝟏−𝒕

𝟏
𝟑

= 𝟏+𝒖

𝟏
𝟑

𝐨ù 𝐮 = 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎

𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
= 𝟏 + 𝒖 + 𝒐 𝒖 = 𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕 𝟑 = 𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
= 𝟏 + −𝒕 −

Ainsi
𝟏
− 𝒕𝟐 𝟐

𝟑

𝟏
𝟐

= 𝟏+𝒖

Or

𝟏
𝟐

𝒕𝟐

𝟏
𝟐

= 𝟏+𝒖

𝟏
𝟐

𝐨ù 𝐮 = −𝒕 − 𝒕𝟐 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 ∈ 𝓥 𝟎

𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
. 𝒖 𝟐 × 𝟐 − 𝟏 𝒖𝟐 𝟐 × 𝟐 − 𝟏 × 𝟐 − 𝟐 𝒖𝟑
𝟐
=𝟏+
+
+
+ 𝒐 𝒖𝟑
𝟏!
𝟐!
𝟑!
𝟏
𝟏
𝟏 𝟑
= 𝟏 + 𝐮 − 𝒖𝟐 +
𝒖 + 𝒐 𝒖𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔

 𝐮 = −𝒕 − 𝒕𝟐 + 𝒐 𝒕𝟑
 𝒖𝟐 = 𝐮. 𝐮 = " −𝒕 − 𝒕𝟐 . −𝒕 − 𝒕𝟐 " + 𝒐 𝒕𝟑 = 𝒕𝟐 + 𝟐𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕𝟑
 𝒖𝟑 = 𝒖𝟐. 𝐮 = " 𝒕𝟐 + 𝟐𝒕𝟑 . −𝒕 − 𝒕𝟐 " + 𝒐 𝒕𝟑 = −𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕𝟑
Par la suite
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 𝟐 = 𝟏 + −𝒕 − 𝒕𝟐 − 𝒕𝟐 + 𝟐𝒕𝟑 +
−𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔
D’où
𝟏
𝟏
𝟓
𝟓 𝟑
𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 −
𝒕 + 𝒐 𝒕𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔
Or
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟓
𝟓 𝟑
𝒈 𝒕 =
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕 𝟑 𝟑 − 𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 𝟐 =
𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕 𝟑 − 𝟏 − 𝒕 − 𝒕𝟐 −
𝒕
𝒕
𝒕
𝟑
𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔
𝟏 𝟏
𝟐𝟑 𝟐 𝟑𝟏 𝟑
=
𝒕+
𝒕 +
𝒕 + 𝒐 𝒕𝟑
𝒕 𝟐
𝟐𝟒
𝟒𝟖
Finalement
𝟏 𝟐𝟑
𝟑𝟏 𝟐
𝒈 𝒕 = +
𝒕+
𝒕 + 𝒐 𝒕𝟐
𝟐 𝟐𝟒
𝟒𝟖
3) Il en résulte de ce qui précède le DL de 𝒇 𝒙 à l’ordre 2 et au voisinage de +∞:
𝟏 𝟐𝟑 𝟏
𝟑𝟏 𝟏
𝟏
𝒇 𝒙 = +
+
+𝒐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐𝟒 𝒙
𝟒𝟖 𝒙
𝒙

+ 𝒐 𝒕𝟑

Corrigé 11 : (ISG-SP2005)
1)

𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟏
Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑par le polynôme
𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝒙𝟑 ;
𝒇 𝒙 =

13

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𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑|
𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝒙𝟑
+ −−−−−−−− |
−−−−
𝟑
−𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝒙
|𝟏 − 𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑
= −−−−−−−− |
−𝟐𝐱 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 |
+
|
−−−−
𝟐
𝟐𝐱 − 𝟒𝒙
|
= −−−−−−−− |
−𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
|
+
|
𝟐
𝟑
𝟕𝒙 − 𝟏𝟒𝒙
|
= −−−−−−−− |
−𝟏𝟑𝒙𝟑
|

Nous obtenons donc :

𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑

2)

𝟏

𝟏

𝒇 𝒙 = " 𝟏 + −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 𝟐" + 𝒐 𝒙𝟑 = 𝟏 + 𝒖 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
. 𝒖 𝟐 × 𝟐 − 𝟏 𝒖𝟐 𝟐 × 𝟐 − 𝟏 × 𝟐 − 𝟐 𝒖𝟑
=𝟏+𝟐 +
+
+ 𝒐 𝒖𝟑
𝟏!
𝟐!
𝟑!
𝟏
𝟏
𝟏 𝟑
= 𝟏 + 𝐮 − 𝒖𝟐 +
𝒖 + 𝒐 𝒖𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔

Avec
𝐮 = −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎
 𝐮𝟐 = 𝐮. 𝐮 = " −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 . −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 " + 𝒐 𝒙𝟑 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
 𝐮𝟑 = 𝐮𝟐. 𝐮 = " 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙𝟑 −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 " + 𝒐 𝒙𝟑 = −𝟖𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
Par la suite
𝟏
𝟏
𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟏 + −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙𝟑 +
−𝟖𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
𝟖
𝟏𝟔
D’où
𝟕
𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
3)
𝟏
𝑳𝒏 𝒇 𝒙 = "𝑳𝒏 𝟏 + −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 = 𝒖 − 𝒖𝟐 + 𝒐 𝒖𝟐
𝟐
Avec
𝐮 = −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎
 𝐮𝟐 = 𝐮. 𝐮 = " −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 . −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
Par la suite
𝟏
𝑳𝒏 𝒇 𝒙 = −𝟐𝐱 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
D’où
𝑳𝒏 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
4)
𝟐 𝟑 𝟒
𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 𝒕𝟑 − 𝒕𝟐 − 𝒕 + 𝟏 𝟐 − 𝟑𝒕 − 𝟒𝒕𝟐 + 𝒕𝟑
𝟏
𝒇 𝒙 =
=
=
=
𝒉
𝒕
;
𝒐ù
𝒕
=
∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒙 ∈ 𝓥 +∞
𝟏 𝟐
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟏
𝟏 − 𝟐𝒕𝟐 + 𝒕𝟑
𝒙
− +𝟏
𝟑
𝒕
𝒕
Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme 𝟐 − 𝟑𝒕 − 𝟒𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 par le polynôme
𝟏 − 𝟐𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 ;

14

BEN AHMED MOHSEN
+
=
+
=

Téléphone : (+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

𝟐 − 𝟑𝒕 − 𝟒𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 | 𝟏 − 𝟐𝒕𝟐 + 𝒕𝟑
− − − − − − − −| − − − −
−𝟐 + 𝟒𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 |𝟐 − 𝟑𝐭 − 𝟕𝒕𝟑
− − − − − − − −|
−𝟑𝐭 − 𝒕𝟑
|
|
𝟑
𝟑𝐭 − 𝟔𝒕
|
− − − − − − − −|
−𝟕𝒕𝟑
|

Nous obtenons donc :
𝒉 𝒕 = 𝟐 − 𝟑𝐭 − 𝟕𝒕𝟑 + 𝒐 𝒕𝟑
D’où
𝒇 𝒙 =𝟐−𝟑

𝟏
𝟏
𝟏
−𝟕 𝟑 +𝒐 𝟑
𝒙
𝒙
𝒙

Corrigé 12 : (ISG-SC2010)
1)

𝒇 𝒙 = 𝑳𝒏 𝟑𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙 = 𝑳𝒏 𝒆−𝒙 . 𝟏 + 𝟑𝒆𝟐𝒙

Or
𝒆𝟐𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒙 +

𝟐𝒙
𝟐!

𝟐

= −𝒙 + 𝑳𝒏 𝟏 + 𝟑𝒆𝟐𝒙

+ 𝒐 𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 ⟹ 𝟏 + 𝟑𝒆𝟐𝒙 = 𝟒 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐

Par la suite
𝒇 𝒙 = " − 𝒙 + 𝑳𝒏 𝟒 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐
𝟑
𝟑
= " − 𝒙 + 𝑳𝒏 𝟒. 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
" + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝒇 𝒙 = " − 𝒙 + 𝑳𝒏 𝟒 + 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 " + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟐
On a
𝟑
𝟑
𝟏
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝑳𝒏 𝟏 + 𝒖 + 𝒐 𝒖𝟐 = 𝒖 − 𝒖𝟐 + 𝒐 𝒖𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑 𝟐
𝐨ù 𝐮 = 𝒙 + 𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒙 ∈ 𝓥 𝟎
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟗
 𝒖𝟐 = 𝒖. 𝒖 = 𝒙 + 𝒙𝟐 . 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐

Par la suite
𝟑
𝟑
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝟐
𝟐
Il en résulte :

𝟐

=

𝟐

𝟐

𝟒

𝟑
𝟑
𝟏 𝟗 𝟐
𝟑
𝟑
𝒙 + 𝒙𝟐 −
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟐 = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐
𝟖

𝟑
𝟑
𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝑳𝒏 𝟒 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟖
D’où
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙 = 𝑳𝒏 𝟒 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐
𝟐
𝟖
2)
𝟏
𝟏+
𝟏+𝒙 𝟏
𝒕 𝒆𝒕 = 𝟏 + 𝒕 𝒆𝒕 = 𝒉 𝒕 ; 𝒐ù 𝒕 = 𝟏 ∈ 𝓥 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒙 ∈ 𝓥 +∞
𝒈 𝒙 =
𝒆𝒙 =
𝟏
𝒙
𝒙
𝒕
On a
𝟏
𝟑
𝒉 𝒕 = 𝟏 + 𝒕 . 𝟏 + 𝒕 + 𝒕𝟐 + 𝒐 𝒕𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐 + 𝒐 𝒕𝟐
𝟐
𝟐
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BEN AHMED MOHSEN

D’où
𝒈 𝒙 = 𝟏+𝟐

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𝟏
𝟑 𝟏
𝟏
+
+𝒐 𝟐
𝟐
𝒙
𝟐 𝒙
𝒙

3)

𝟏
𝟏
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟔 + 𝒐 𝒙𝟔
𝟐
𝟑
𝒙 𝟐 𝒙𝟒
𝟏
𝟏 𝟔
𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏 − + + 𝒐 𝒙𝟓 ⟹ 𝒙𝟐 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒙𝟒 −
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟕
𝟐! 𝟒!
𝟐
𝟐𝟒
Par la suite
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
− 𝒙𝟒 + 𝒙𝟔 + 𝒐 𝒙𝟔
− + 𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟐

𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝐥𝐢𝐦 𝟐
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝟐
𝟏 𝟔
𝟏
𝟏
𝟏
𝒙→𝟎 𝒙 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙→𝟎 𝟏 𝟒
𝒙→𝟎
𝒙 −
𝒙 + 𝒐 𝒙𝟕

𝒙𝟐 + 𝒐 𝒙𝟑
𝟐
𝟐𝟒
𝟐 𝟐𝟒
𝟐
D’où
𝑳𝒏 𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐
𝐥𝐢𝐦 𝟐
= −𝟏
𝒙→𝟎 𝒙 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙

ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN:
ÉCONOMÉTRIE
TECHNIQUES DE SONDAGE
STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I)
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ALGÈBRE (MATH II)
3 rue Bougainvilliers Avenue 20 Mars Le Bardo, Tunisie CONTACT : Téléphone : (+216) 97619191
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BEN AHMED MOHSEN
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