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Chapitre 5

Écritures fractionnaires

INtentions PÉDAGOGIQUES
1. Le point sur les classes précédentes
l  Les

fractions sont introduites au cycle 3 pour
donner du sens aux nombres décimaux. Les fractions
et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître
comme des nouveaux nombres utilisés pour traiter des
problèmes que les nombres entiers ne permettent pas
de résoudre de façon satisfaisante.
l Au CM1 on nomme les fractions simples et décimales
en utilisant : demi, tiers, quart, dixième, centième. Ces
fractions sont utilisées dans des situations de partage
ou de mesures de grandeurs.
l Au CM2 on est amené de plus à encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs et à écrire une
fraction comme somme d’un entier et d’une fraction
inférieure à 1.
On va jusqu’à additionner deux fractions décimales ou
deux fractions simples de même dénominateur.
l  La seule compétence sur ce thème, attendue au
palier 2 consiste à écrire, nommer, comparer et utiliser
quelques fractions simples.

2. Les activités
Activité 1
L’objectif de cette activité est de réactiver la notion de
fraction-partage.
À la question 1 l’élève doit associer des fractions simples
à des partages de l’unité donnés. On en profite pour
redonner le vocabulaire propre aux fractions (qui a été
déjà vu dans le chapitre 1.) : numérateur, dénominateur.
On met également en évidence le fait que « cinq
septièmes c’est aussi cinq fois un septième ».
La question 2 est consacrée à la représentation d’une
fraction inférieure à 1 par un partage de l’unité.

Activité 2

a
comme
b
le quotient de a par b, c’est-à-dire comme le nombre
qui multiplié par b donne a. Il s’agit donc de donner le
a
statut de nombre à .
b
C’est la première fois que les élèves de 6e rencontrent
ce type de nombre ; pour eux, il est difficile de donner
un statut de nombre à une écriture qui n’a pas la forme
usuelle d’une suite de chiffres.
À la question 2.a. les élèves doivent partager 7 unités
en 3. Pour faciliter le travail des élèves on a choisi une
unité de 3 carreaux. Ainsi, en pratique, chaque segment
cherché aura une longueur de 7 carreaux.
Aux questions suivantes, le problème consiste à
exprimer cette longueur, non pas en carreaux, mais dans
l’unité choisie initialement.
L’objectif de cette activité est d’interpréter

84

Pour cela, deux propositions sont faites :
– au b, Ryan considère que cette longueur est « un tiers
de 7 unités »
– au c, Marie considère que cette longueur est le nombre
qui multiplié par 3 donne 7.
En autonomie, des élèves peuvent procéder différemment ; ils peuvent :
– partager chaque unité en 3 et dire que la longueur
cherchée est « 7 fois un tiers d’unité »,
– partager 6 unités en 3 puis 1 unité en 3.
On aboutit alors à un ensemble d’écritures :
1
7
1
7
7
7
1
ou
ou 3 ×
=
×7=
= 7 ou
=2+ .

3
3
3
3
3
3
3
7
Après avoir remarqué que est le quotient de 7 par 3,
3
on demande d’effectuer la division de 7 par 3 et de
donner une valeur approchée de ce quotient.
Il est important pour la suite de bien distinguer la valeur
exacte de ce quotient et ses valeurs approchées.

Activité 3
L’objectif de cette activité est, conformément au
programme, de lire et compléter une graduation sur
une demi-droite graduée par des fractions simples ou
des quotients.
À la question a., on demande de lire les abscisses de
1
1
5
pour A et 1 +
ou
pour B.
deux points :
4
4
4
Par contre, à la question b., il s’agit de placer des
points d’abscisses fractionnaires sur cette demi-droite
graduée.
Il est à noter que l’on a choisi une unité de 4 carreaux sur
la demi-droite graduée ; aussi les élèves devraient placer
plus aisément ces fractions de dénominateur 2 ou 4.
On en profitera pour faire des remarques sur différentes
désignations possibles de certains nombres donnés. Par
12
10
5
= 3 ou
= .
exemple :
4
4
2

Activité 4
L’objectif de cette activité est de reconnaître dans des
cas simples que deux écritures fractionnaires sont celles
d’un même nombre.
On a fait le choix de s’appuyer sur la fraction-partage à
la question 1. On constate que des fractions différentes
conduisent à colorer un nombre identique de carreaux.
Ensuite, grâce à la connaissance des tables de multiplication, on fait remarquer qu’« un quotient ne change pas
quand on multiplie ou quand on divise son numérateur
et son dénominateur par un même nombre ».
La démonstration de cette propriété sera possible
uniquement en classe de 4e.
La question 2 propose à travers des exemples des applications directes de cette propriété.

Activité 5
L’objectif de cette activité est de prendre une fraction
d’une quantité.
Il s’agit d’une situation nouvelle pour un élève de 6e.
Conformément au programme, même si cela ne relève
pas du socle commun de 6e, on a fait le choix d’aider
à comprendre la modélisation de ce type de problème
par une multiplication.
Bien sûr ce type de raisonnement en langage naturel
ne peut pas être attendu des élèves, aussi l’avons-nous
donné dans une bulle Info. Le débat s’installera certainement lors de la lecture de cette bulle et le professeur
sera amené à apporter des explications.
Pour effectuer le calcul par lui-même on s’appuie sur
les interprétations qui figurent dans la bulle pour Kamel
et Élise.
En revanche, on s’appuie sur le « bon sens » de Fanny qui
rapproche cette situation du cas des entiers.
Ce savoir-faire sera bien sûr réinvesti lors de l’application d’un taux de pourcentage ou dans des situations
de proportionnalité (chapitre 6).

3. J’apprends – Je sais faire
Exercice résolu 1
L’objectif est d’insister sur la distinction entre la valeur
exacte d’un quotient et ses valeurs approchées.
Dans un premier temps, on explique pourquoi il s’agit
d’une situation de division.
Ensuite, poser la division montre qu’elle ne se termine
pas. Il est important de faire comprendre que dans cette
situation pour rendre compte de la valeur exacte du
quotient il faut utiliser une écriture fractionnaire.
On s’approche de plus en plus du quotient lorsque l’on
« pousse de plus en plus loin » le calcul.
On peut aussi utiliser la calculatrice.
La question b. demande une valeur approchée de ce
quotient ; il faut donc veiller si elle est demandée « par
excès », « par défaut » mais aussi « à combien près ».

Suites d’égalités
Pour présenter des égalités de quotients ou pour
prendre une fraction d’une quantité, on a essayé d’éviter
les longues suites d’égalités.
Malgré tout pour ne pas perdre en lisibilité pour les
élèves, on s’est permis d’enchaîner au plus deux égalités
les unes à la suite des autres.

Exercice résolu 7
L’objectif est de donner quelques indications pour
choisir parmi les trois méthodes disponibles pour
prendre une fraction d’une quantité.
Au passage cet exercice permet de travailler la lecture
de graduation.
Le choix de l’une des trois méthodes n’est généralement pas unique. On insiste en revanche sur le fait
que lorsqu’aucune des deux divisions ne « tombe pas
juste » alors on commence impérativement par la multi-

plication afin de donner la valeur exacte. Ensuite, et
seulement ensuite, on calcule une valeur approchée du
quotient obtenu.
On signale au passage, l’exercice 11 qui est un premier
contact avec la calculatrice pour prendre une fraction
d’une quantité. On aura l’occasion de revenir sur ce sujet
à la page 100.

4. Compléments
Les durées
On poursuit le travail progressif sur les durées à travers
les chapitres.
Ici, les exercices 70, 76 à 78 et 107 sont consacrés aux
fractions d’heure et aux conversions de durées.

Avec une calculatrice
On consacre la page 100 à l’utilisation, pour la première
fois, de la touche

d’une calculatrice.

Bien sûr, l’utilisation de cette touche n’est pas indispensable. En effet, avec les réglages indiqués il suffit
d’utiliser la touche « division » pour obtenir à l’écran
l’affichage fractionnaire. Néanmoins, il nous a semblé
utile d’amorcer la familiarisation des élèves avec cette
touche.
L’exercice 94 montre comment obtenir plusieurs écritures d’un même nombre (écriture décimale, « fraction
irréductible » (entre nous), …).
À l’exercice 95 la calculatrice est utilisée pour calculer
des fractions de quantités importantes.

Augmentation, diminution
On signale en particulier les exercices 98 et 99 où l’on
aborde des situations dans lesquelles une augmentation
ou une diminution est exprimée par une fraction.
Il s’agit ici, en quelque sorte, d’une préparation aux
augmentations ou diminutions en pourcentage.

Imaginer une stratégie
La reproduction de l’œuvre de Vasarely n’est pas d’une
qualité suffisante pour répondre aisément à la question b. de l’exercice 109 et nous en sommes désolés.
Vous trouverez dans les documents à photocopier
une reproduction (en noir et blanc) qui permettra
aux élèves de compter plus facilement le nombre de
losanges rouges et le nombre total de losanges. Nous
vous remercions pour votre compréhension.

Narration de recherche
L’exercice 111 est l’occasion de montrer en quoi une
schématisation de la situation à l’aide d’un arbre peut
favoriser la compréhension de la situation.

S’initier au raisonnement
Les exercices 111 à 114 s’attachent à travailler le message
suivant : « lorsque l’on doit prendre une fraction d’une
quantité, il faut bien comprendre de quelle quantité il
s’agit ».
CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

85

Les exercices 115 à 117 permettent de traiter des
problèmes se ramenant à la question suivante :
« comment déterminer une quantité lorsque l’on connait
une fraction de cette quantité ? ».
Un schéma est bien souvent utile.

Tâches complexes
L’exercice 75 nécessite une lecture attentive pour inté-

2. a.

corrigés
1. Au fil des siècles

b.

Sur ce schéma l’unité est partagée en 10 carreaux.
1
1
——
10

1

2

c. 3 ×

1
——
10

= 7.

e. La valeur approchée par excès au centième près du
7
est 2,34.
nombre
3

3 Fractions et demi-droite graduée
1
et l’abscisse du point B
a. L’abscisse du point A est
4
5
est .
4
b.

Fractions et partages

1

2
3

2

3
9 10
— ——
4 4

12
——
4

4 Écritures fractionnaires d’un même
nombre
b.

  b.

c.
c.

d.

2 Écriture fractionnaire d’un quotient
1. La longueur du segment ci-contre est

0
1 3
— —
2 4

1
1
5
1. a. ➀    ➁    ➂
2
4
7
5
1
=5×
b.
7
7

86

7
=7
3

7
est le nombre manquant dans l’égalité 3 ×
3
7
est le quotient de 7 par 3 ».
Donc
3

2. Je découvre

2. a.

1
7
×7=
3
3

d. « 

1

2

3

5

1

grer toutes les données. C’est l’occasion, ici encore, de
prendre une fraction d’une quantité.
L’exercice 121 est ludique puisqu’il s’appuie sur le jeu de
dominos. Il permet d’insister sur diverses écritures d’un
même nombre.
L’exercice 122 demande de l’imagination. En effet, il faut
réaliser un plan d’une maison sachant quelle fraction
de la maison occupe chaque pièce, ainsi que le jardin.

1
d’unité.
3

e. Dans chaque cas on a colorié le même nombre de
carreaux donc :
3
6
24
.
=
=
4
8
32
3
3×2
6
24 24 : 8
3
=
=    
=
=
4
4×2
8
32 32 : 8
4

f.

15 30
9
,
et
sont trois autres écritures du nom20 40
12
3
bre .
4

4 a. Le prix exact d’une rose
est

8, 0 0 3
6
2, 6 6

2 0
– 1 8
2 0
– 1 8
2

8
€.
3

b. La valeur approchée par défaut
au centième près du prix d’une rose
est 2,66 €.

g.

h. « Un quotient ne change pas quand on multiplie ou
quand on divise son numérateur et son dénominateur
par un même nombre non nul. »
: 4

2. a.

0,28 =


b.

7
35
70
=
=
20 100 200

c.

48 8 40
=
=
54 9 45

1 5, 0 0 4
3, 7 5
– 1 2
3 0
– 2 8
2 0
– 2 0
0

2. a. La longueur exacte de son
10
cm.
côté est
3

1 0, 0 0 3
3, 3 3
– 9
1 0
– 9
1 0
– 9
1

¥3

28
7
21
=
=
100 25 75
: 4

5 1. La longueur de son côté
est 3,75 m.

¥3

b. La valeur approchée par défaut
au centième près de ce côté est
3,33 cm.

5 Prendre une fraction d’une quantité
a. Kamel
2 × (140 L : 5 ) = 2 × 28 L = 56 L
Elise
(2 × 140 L) : 5 = 280 L : 5 = 56 L
Fanny
(2 : 5) × 140 L = 0,4 × 140 L = 56 L

3. La longueur exacte de son côté
6
est
cm.
7
La valeur approchée par excès au
dixième près est 0,9 cm.

6, 0 0 7
0, 8 5
– 5 6
40
– 3 5
5

6 a. 125 : 8 = 15,625.

b. On constate qu’on obtient le même résultat avec les
trois méthodes.

b. Chaque personne aura 15,625 m de ruban.
c. l Chaque personne aura 15,62 €.
l 125

€ – (8 × 15,62 €) = 0,04 €.
Il restera 0,04 € non partagé.

3. Exercices d’application
2 a. La longueur exacte d’un morceau est
b. La valeur approchée par excès au
centième près de la longueur d’un
morceau est 0,55 m.

3

Paul parcourt exacte2
ment
km en 1 minute.
17
La valeur approchée par excès
au millième près de cette
distance est 0,118 km soit 118 m.

6
m.
11

6, 0 0 1 1
0, 5 4
– 5 5
5 0
– 44
6

2, 0
– 1 7
3
– 1
1
– 1

00 1 7
0, 1 1 7
0
7
3 0
1 9
1 1

8 a. Le récipient est rempli aux
5
× 10 L = 0,625 × 10 L = 6,25 L.
8
Le récipient contient 6,25 L.
b. Le récipient est rempli aux

5
.
8

5
.
7

5
5 × 60 L 300 L
× 60 L =
=
7
7
7
D’après l’écran ci-contre le
récipient contient environ 43 L
(valeur approchée par excès au
litre près).
5
c. Le récipient est rempli aux .
6
5
30 L
× 30 L = 5 ×
= 5 × 5 L = 25 L.
6
6
Le récipient contient 25 L.
CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

87

9 a.
Les

7
× 40 kg = 0,5 × 40 kg = 20 kg.
14

18 a. 3 

7
de 40 kg font 20 kg.
14

c. 2 

14
45 m
× 45 m = 14 ×
= 14 × 5 m = 70 m.
9
9
14
de 45 m font 70 m.
Les
9

10
 4
3

19
 3
7

b. 5 

23
6
4

d. 8 

53
9
6

b.

c.

13
13 × 5 €
65 €
.
×5€=
=
7
7
7

13
de 5 € font environ 9,29 € (valeur approchée
7
par excès au centième près).

Les

6
6 × 300 m2 1 800 m2
× 300 m2 =
=
= 200 m2.
9
9
9
Donc Nolan a tondu 200 m2.
7
240 m2
× 240 m2 = 7 ×
= 7 × 30 m2 = 210 m2.
8
8
Donc Romain a tondu 210 m2.
Romain a tondu la plus grande superficie de pelouse.

10

11 Les trois calculs sont exacts, les trois élèves effec5
× 15 kg avec trois méthodes différentes et ils
6
obtiennent 12,5 kg comme résultat.
tuent

5
1
3
5
   b.    c.    d.
12
4
8
6

13 a. sept sixièmes b. un demi c. onze tiers
d. neuf quarts e. trois septièmes f. cinq douzièmes

14 La fraction

6
a le plus grand numérateur et la
5

5
fraction
a le plus petit dénominateur.
4

15 a.

3
est le nombre qui, multiplié par 5, donne 3.
5

b.

8
est le nombre qui, multiplié par 13 donne 8.
13

c.

5
est le nombre qui, multiplié par 6, donne 5.
6

2,5
16 a. 7 ×
= 2,5
7
11
c. 3 ×
= 11
3

17 a.
d.

88

1
= 0,5
2

1
= 0,25
4

1
5
13
 ; B :  ; C :
3
3
3

20 A :

1
3
9
 ; B :  ; C :
4
4
4

21 a.

2
2×9
18
28
4×7
4
  b.
=
=
=
=
5
5 × 9 45
63
9×7
9

22 1. a.
est fausse.

1
1×4
4
4
4
et
donc l’égalité
=
=

6
6×4
24
24
21

b.

8
2×4
2
donc l’égalité est vraie.
=
=
28
7×4
7

c.

5
5×7
35
donc l’égalité est vraie.
=
=
6
6×7
42

5
5×3
15
=
=
8
8×3
24
Donc Inès et Jordan sont d’accord.

23

24 a. Prendre les

4. Je m’entraîne
12 a.

19 A :

3
de 5 L.
4

b. Prendre les

2
de 21 L.
7

c. Prendre les

5
de 8 L.
2

25 a. 35

b. 18

c. 4,2

d. 2,6

26 a. 15

b. 18

c. 21

d. 2

27 Immeuble B : 6 × 3 m = 18 m.
Immeuble C : 3 × 3 m = 9 m.
Immeuble D : 5 × 3 m = 15 m.
3
du disque car le disque
4
n’est pas régulièrement partagé.

28 a. On n’a pas coloré les

b. Oui.
c. Non, on a coloré ici les

9
b. 3,5 ×
=9
3,5

3
de la figure.
7

29 a. 7 est le dénominateur et 6 est le numérateur
de la fraction

b.

20
= 4
5

c.

e.

9
= 0,09
100

f.

14
=7
2
420
= 60
7

6
.
7

5
est une autre écriture du quotient 5 : 8.
8
7
d. 3,5 est l’écriture décimale de la fraction .
2

b. La fraction

30 a.
b.

1

4

7

4

32

b.

2

3

c.

5

2

d.

5
6

f.

6

10

g.

3

10 000

h.

13
9

Écriture
fractionnaire

Écriture
décimale

Neuf vingtièmes

9
20

0,45

Quinze quarts

15
4

3,75

Onze huitièmes

11
8

1,375

Trente-quatre
dixièmes

34
10

3,4

27
= 0,27
100

17
= 1
17

32
34 a.
= 4
8
d.

17
= 8,5
2

35 a.

e.

c.

23
= 2,3
10

e.

3
= 0,75
4

f.

3
= 1,5
2

4 7, 0 5
9, 4
– 4 5
2 0
– 2 0
0
47
= 9,4
5



5
c.
= 2,5
2

b.

f.

d.

1 8, 0 0 4 0
0, 4 5
– 1 60
2 00
– 2 00
0

57
= 0,057
1 000

7, 0 0 2 0
0, 3 5
– 60
1 00
– 1 00
0
7
= 0,35
20

e.

18
= 0,45
40

f.

12
= 3
4

6
= 0,06
100

33
= 1,32
25



b.

13
b.
= 1
13

3 3, 0 0 2 5
1, 3 2
– 2 5
80
– 7 5
5 0
– 5 0
0



Lecture

33 a.
d.

c.

7
7
7 2
9
et .  c.  ;
et .
5
9
5 5
5

31 a.
e.

7 13 5 2 7 9
5
 ;
 ;  ;  ;  ;
et .
5 7 3 5 9 5
7

2
– 1
1
– 1

1 3 5, 0 0 5 0
2, 7
– 1 00
3 5 0
– 3 5 0
0
135
= 2,7
50

5 8, 0 1 5
5
1 7, 2
08
0 5
3 0
– 3 0
0
258
= 17,2
15



36

a.

b.

c.

d.

80
13

466
74

71
153

5 138
87

valeur approchée
par défaut au
dixième près

6,1

6,2

0,4

59,0

valeur approchée
par excès au
centième près

6,16

6,30

0,47

59,06

37 1. a.

b.
1
— 7
5
2. La longueur de chacun de ces segments est

7
.
5
CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

89

38 1. a.

5

8

1
5
2. a. 5 ×
=
8
8

b.

13
8

45
0

1
13
b. 13 × =
=
8
8

39 a. L’affirmation est fausse.
En effet le nombre manquant dans l’égalité
7
18
et non
.
× 18 = 7 est
18
7
18
De plus
est le nombre manquant dans l’égalité
7
× 7 = 18.
b. L’affirmation est vraie.
18
14
4
4
En effet
+
=
=2+ .
7
7
7
7

d. 19 ×

41 a.
c.

18
1
=
× 18.
7
7

50
cm
3

b.

1 A

c. 7 ×

60

6
100
= 6 f. 6 ×
= 100
100
6

42 a. Une part représente les

61

0 A

3
d’une pizza et
4

43 1. a. L’unité est partagée en 12 carreaux.

B

11
——
4

7

2

A

0

13
——
12

3

2

5

4

4

5

64

65

66
131
——
2

1

D 2

9 3 11
— = — ——
6 2 6

4 2
—=—
6 3

1

C

E
14 7
—— = —
6 3

1
d’unité.
8
2

B

C
18 9
—— = —
8
4

12 3
—— = —
8
2

13
——
10

M

A 1

R

5
——
12

5

6

5

3

2

E
5

2

b. On peut lire MARE.

52 a.

1
2
1
3
1
4
et   b.   c.   d.
et
2
4
4
4
2
8

53 a.

3
3×5
15
21
7×3
7
  b.
=
=
=
=
7
7×5
35
18
6×3
6

1

0

2
10 ² —
3

128
——
2

7

8

1
5

6

10

51 a.

1
d’unité.
12

0

5

3 9

63

50 Un carreau représente

c., 2. et 3.

91
90

1

3

62

B

1

6

3
= 3. Donc il y avait 3 pizzas.
4
7
7
b. Une part représente les
d’une pizza et 6 ×
= 7.
6
6
Donc il y avait 7 pizzas.

1

2

C 3

49



1 1
—— —
10 5

7

8

121
——
2

19
= 19
7

50
cm c’est-à-dire 12,5 cm.
4

44

2

5

4

50
cm c’est-à-dire 5 cm.
10

b. Un carreau représente

6

2

48

18
1
c’est aussi 18 fois .
7
7

e. 100 ×

0

8

3
5
× 5 = 3 b.
× 3 = 5
5
3

7
= 7
19

3
8

3

46

7

d. L’affirmation est vraie. En effet

40 a.

2
11
——
6

47

c. L’affirmation est fausse.
En effet d’après cet écran de
calculatrice 2,57 est la valeur
approchée par défaut au
18
centième près de
.
7

e. L’affirmation est vraie.

1
1 2
——
2 3

1

6

54 a.




¥ 4

b. : 6
c. ¥ 7


8
32
30 5
9
63
   
=
=     =
5 20
24
4
7
49


¥ 4
: 6
¥7

61
62

4
28

=
3
21

b.

8
32

=
9
36

c.

7
42
=
3
18

56 a.

35
7
=
20 4

b.

18
3
=
48 8

c.

63
7
=
36 4

15

3

b. 8,3 =

83

10

l 

En effet

55 a.

57 a. 5 =

12
4
8
3
15
et 0,75 =
.
=
= 0,8 =
=
15
5
10
4 20

c. 7,42 =

742
100

5
5×2
10
10
11
5
11
58 a. =
et
donc
.
=


6
6×2
12
12
12
6
12

l 

2,3
0,23
23
.
=
=
7
0,7
70
2,3
2,3 × 0,1
0,23
2,3 2,3 × 10 23
et
.
=
=
=
=
7
7 × 0,1
0,7
7
7 × 10
70

23
0,23
.
=
7
0,07

En effet

63 a.

23
23 × 0,01
0,23
.
=
=
7
7 × 0,01
0,07
0,75
0,75 × 100
75 15 × 5
15
.
=
=
=
=
0,85
0,85 × 100 85 17 × 5
17

b.

9,4
9,4 × 10
94
47 × 2
47
.
=
=
=
=
2,2
2,2 × 10
22
11 × 2
11
0,8
0,8 × 10
8
1×8
1
.
=
=
=
=
24
24 × 10
240
30 × 8
30

b.

5
5×3
15
5
15
donc
.
=
=
=
4
4×3
12
4
12

c.

c.

7
7
= 1 et 1 ≠ 7 donc
≠ 7.
7
7

d.

1
1 × 13
13
1
13
donc
.
=
=
=
2
2 × 13 26
2
26

64 a. Le chiffre des unités de 28 est 8 et le chiffre
des unités de 34 est 4 donc 28 et 34 sont tous les divisibles par 2.

59 1. a. La fraction égale à
2
2×8
16
.
=
=
En effet
3
3×8
24
b. La fraction égale à
En effet

b.

2
16
est
.
3
24

65 a. La somme des chiffres de 42 est 6 (4 + 2 = 6)
et 6 est divisible par 3 donc 42 est divisible par 3.
La somme des chiffres de 57 est 12 (5 + 7 = 12) et 12 est
divisible par 3 donc 57 est divisible par 3.

4
12
est
.
7
21

b.

4
4×3
12
.
=
=
7
7×3
21

6
6 × 4 24
.
=
=
5
5 × 4 20

d. La fraction égale à
En effet
2.

3
3×5
15
.
=
=
4
4 × 5 20

13
——
18

5

6

9
——
18

divisible
par 2

divisible
par 3

divisible
par 5

divisible
par 9

75

non

oui

oui

non
oui

2. a.

27
9×3
9
3×3
3
=
=
=
= .
En effet
18
6×3
6
2×3
2
2

3

Nombre

3
15
est
.
4
20

27
9
3
=
= .
18
6
2

60

42
14 × 3
14
.
=
=
57
19 × 3
19

66 1.

6
24
est
.
c. La fraction égale à
5
20
En effet

28
14 × 2
14
.
=
=
34
17 × 2
17

4

9

8
——
18

26
——
36

12
——
18

1

2

15
——
18

54

oui

oui

non

90

oui

oui

oui

oui

96

oui

oui

non

non

75
25 × 3
25
.
=
=
54
18 × 3
18

b.

75
25 × 3
25
5×5
5
=
=
=
= .
90
30 × 3
30 6 × 5
6

c.

75
25 × 3
25
.
=
=
96
32 × 3
32

d.

54
6×9
6
3×2
3
=
=
=
= .
90
10 × 9
10
5×2
5

e.

54
27 × 2
27
9×3
9
.
=
=
=
=
96
48 × 2
48 16 × 3 16

f.

90
30 × 3
30 15 × 2
15
.
=
=
=
=
96
32 × 3
32 16 × 2 16
CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

91

25
1 × 25
1
=
=
100
4 × 25
4

67 0,25 =
0,125 =

125
1 × 125
1
=
=
1 000 8 × 125
8

0,05 =

5
1×5
1
=
=
100
20 × 5
20

45 kg – 27 kg = 18 kg.
Donc la partie de son corps qui n’est pas constituée
d’eau pèse 18 kg.

Liquide

Eau

Lait

Crème

Quantité

0,25 L

0,125 L

0,05 L

1
L
4

1
L
8

1
L
20

Graduation

2
15 L
× 15 L = 2 ×
= 2 × 3 L = 6 L et
5
5
3
8
L=3×
L = 3 × 2 L = 6 L.

4
4
L’affirmation de Rémy est donc vraie.

74

68
Nombre Double

Moitié

Tiers

Triple

Quart

12

24

6

4

36

3

30

60

15

10

90

7,5

18

36

9

6

54

4,5

c. Sakina : (18 : 2) × 7 = 9 × 7 = 63.

l 10,4 t – 2,52 t = 7,88 t
Actuellement le camion pèse 7,88 t et il ne peut donc
pas passer la barrière de dégel.
– Calcul du nombre de trajets nécessaires :

2. Sakina choisit le procédé le plus rapide.

l

69 1. a. Delphine : 18 × (7 : 2) = 18 × 3,5 = 63.
b. Arthur : (18 × 7) : 2 = 126 : 2 = 63.

2
3 600
× 3 600 = 2 ×
= 2 × 400 = 800.
9
9
L’éolienne effectue 800 tours en 1 h.

70

71

3
30 jours
× 30 jours = 3 ×
= 3 × 6 jours = 18 jours.
5
5

3
de 30 jours font 18 jours
5
et 30 jours – 18 jours = 12 jours.
Si la météo était une science « régulière » Thomas aurait
raison. Il se trompe car on ne peut pas prédire la météo
surtout au mois d’avril en France.
La fraction énoncée par Manon est le résultat de
mesures effectuées sur des dizaines d’années et sur
tous les jours de l’année.
Manon peut très bien avoir 20 jours de mauvais temps
ou seulement 5 jours de mauvais temps…

Les

39
100 L
72
× 100 L = 39 ×
= 39 × 2 L = 78 L.
50
50
100 L d’air contiennent 78 L d’azote.
2
73 a. 5 – 3 = 2 donc les du corps humain ne sont
5
pas constitués d’eau.
b. Première méthode
2
45 kg
× 45 kg = 2 ×
= 2 × 9 kg = 18 kg.
5
5
Donc la partie de son corps qui n’est pas constituée
d’eau pèse 18 kg.
Deuxième méthode
3
45 kg
× 45 kg = 3 ×
= 3 × 9 kg = 27 kg.
5
5
Le corps de Sophie contient 27 kg d’eau.

93
92

75 – Calcul de la masse d’une caisse :
10 400 kg = 10,4 t et 10,4 t – 6,2 t = 4,2 t.
Les 60 caisses pèsent 4,2 t.
4,2 t
= 0,07 t. Donc une caisse pèse 0,07 t soit 70 kg.
60
– Calcul de la masse du camion chargé et conclusion :
3
l
× 60 = 0,6 × 60 = 36 et 36 × 0,07 t = 2,52 t.
5
Mario a laissé au dépôt 36 caisses qui pèsent ensemble
2,52 t.

7,88 t – 7,5 t = 0,38 t et 0,38 t = 380 kg.
380
≈ 5,43.
70
Il doit donc laisser 6 caisses supplémentaires au dépôt.

l 60 – (36 + 6) = 18
Sur un trajet Mario peut transporter au
60 1 8
maximum 18 caisses et d’après la divi– 5 4 3
sion ci-contre il devra faire 4 trajets au
6
minimum.
Il peut faire par exemple 3 trajets avec 18 caisses et
1 trajet avec 6 caisses.

76 a.
d.

3
1
h b.
h
4
3

1
h
10

e.

1
h
2

c.

1
h
6

f.

1
h
20

77 a. 7 min b. 18 min c. 80 min
d. 50 min

e. 27 min

78 a. 45 s b. 14 s
79 1.

c. 108 s

d. 70 s

c. 1,6

d. 24

1
4
=
25
100

2. a. 0,28

b. 0,48

5. Je m’évalue
80 a. 81 c. 82 b. 83 a. 84 c. 85 c.
86 c. 87 c. 88 a. 89 b. 90 a., b., c.
91 a., b., c.

92 a., b.

93 b., c.

6. Avec une calculatrice
94 a.

7
= 1,75
4

b.

5
≈ 0,41
12

c.

1
= 0,2
5

d.

17
≈ 2,42
7

e.

8
≈ 0,29
27

95 1. a. Valeur exacte : 3 088,80 €
b. Valeur exacte : 4,288 L
c. Valeur approchée par excès au dixième près : 14,7 kg
27
1
≈ 0,36 et
≈ 0,33 donc les forêts occupent
2. a.
74
3
plus d’un tiers de la superficie de la France.
27
× 670 922 km2 ≈ 245 000 km2.
74
La superficie des forêts françaises est environ
245 000 km2.
b.

7. J’utilise mes compétences
96 43 + 5 = 48.

Donc 48 personnes participent à la sortie.
2
× 48 = 2 × (48 : 3) = 2 × 16 = 32.
3
Donc il faudra 32 baguettes.
32 × 0,90 € = 28,8 €.
Donc l’organisateur va payer 28,80 €.

97 1. a.

3
1
3
33
L  b.
L  c.
L  d.
L
4
2
2
100

4
× 90 = 0,8 × 90 = 72.
5
Donc il y a 72 milliards de bouteilles dans la nature.

2.

3. On peut diminuer le nombre de bouteilles qui se
retrouvent dans la nature en buvant de préférence l’eau
du robinet.
On peut aussi utiliser des gourdes ou des thermos pour
transporter l’eau.
Enfin il faut veiller à jeter les bouteilles dans des
poubelles en choisissant en priorité des poubelles
réservées aux plastiques afin que ces bouteilles soient
recyclées.
3
× 4 492 = 0,6 × 4 492 = 2 695,2.
5
Donc fin 2012 la production d’électricité par des
éoliennes avait augmenté de 2 695,2 mégawatts.
l 4 492 + 2 695,2 = 7 187,2.
Fin 2012 la production d’électricité par des éoliennes
était de 7 187,2 mégawatts.

98

l

9
× 6,49 = 0,99.
59
Donc en 20 ans la superficie de la forêt amazonienne a
diminué de 0,99 million de km2.
l 6,49 – 0,99 = 5,5
Donc la superficie actuelle de la forêt amazonienne est
de 5,5 millions de km2.

99 a. l

b. Les conséquences de cette déforestation sont :
la destruction d’une faune et d’une flore que l’on ne
retrouve nulle part ailleurs ;
l une augmentation du taux de CO 2 et de l’effet de
serre (moins d’arbres pour capter le CO2 contenu dans
l’atmosphère).
De plus lorsque des arbres sont brûlés pour la déforestation ils libèrent le CO2 qui était stocké dans leurs
troncs.) ;
l

l une modification du climat local et mondial : la tempé-

rature augmente et les précipitations diminuent.

101 Sandra
Je calcule la distance parcourue à vélo c’est-à-dire
7
de 36 km.
les
9
7
× 36 km = (7 × 36 km) : 9.
9
252 km
= 28 km.
Or 7 × 36 km = 252 km et
9
Donc Clara a parcouru 28 km à vélo.
l

Je calcule la distance parcourue à pied.
36 km – (28 km + 2 km) = 6 km.
Donc Clara a parcouru 6 km à pied.
Nader
l 9 – 7 = 2 donc la distance parcourue à pied et à la
2
de la distance du triathlon.
nage représente les
9
2
de 36 km. Ce calcul permet d’obtenir
l Je calcule les
9
la distance parcourue à pied et à la nage.
2
× 36 km = (36 km : 9) × 2 = 4 km × 2 = 8 km.
9
Donc Clara a parcouru 8 km à pied et à la nage.
l

l 8 km – 2 km = 6 km.
Donc Clara a fait 6 km à pied.

102 1. a. l

23 18 5
5
+ = 3 + donc Amélie a parcouru
=
6
6 6
6

3 tours entiers et
l

5
d’un tour.
6

Baptiste a parcouru 3 tours entiers et

1
tour.
2

15
12
3
3
+
donc Indir a parcouru 3 tours
=
=3+
4
4
4
4
3
entiers et
d’un tour.
4
l

35 24 11
11
+
donc Dilan a parcouru 2 tours
=
=2+
12
12 12
12
11
entiers et
d’un tour.
12
l

CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

93

Le triangle rectangle ci-dessous, dont les longueurs des
côtés de l’angle droit sont 11 côtés de carreaux et 1 côté
de carreau, convient.

départ

Dilan
Indir
Amélie

Baptiste

b. Amélie a parcouru la plus grande distance (Dilan n’a
fait que 2 tours entiers).
2. a. 12 × 40 m = 480 m.
Donc un tour fait 480 m.
23
× 480 m = 1 840 m.
6
Donc Amélie a parcouru 1 840 m soit 1,84 km.
1,84 × 8 = 14,72.
Donc la note d’Amélie est 14,72.
l

l 3,5 × 480 m = 1 680 m.
Donc Baptiste a parcouru 1 680 m soit 1,68 km.
1,68 × 8 = 13,44.
Donc la note de Baptiste est 13,44.

15
× 480 m = 1 800 m.
4
Donc Indir a parcouru 1 800 m soit 1,8 km.
1,8 × 8 = 14,4.
Donc la note d’Indir est 14,4.
l

35
× 480 m = 1 400 m.
12
Donc Dilan a parcouru 1 400 m soit 1,4 km.
1,4 × 8 = 11,2.
Donc la note de Dilan est 11,2.
l

103 1. a. AB =

5
 AC
8

b. AC =

8
 AB
5

2. a. AB =

5
 BC
3

b. BC =

3
 AB
5

3. a. AC =

8
 BC
3

b. BC =

3
 AC
8

104 1. ➀

1
5
3
cm2   ➁
cm2   ➂
cm2.
2
4
8

9
× 4 = 9 donc l’aire du carré est 9 carreaux et le
4
côté du carré mesure 3 côtés de carreaux (ou 1,5 cm).

105 a. 577 + 348 = 925.
Donc il y a 925 membres au Congrès.
3
× 925 = 555.
5
Pour être adoptée une modification de la Constitution
doit obtenir au minimum 555 suffrages.
b. L’organisation d’un référendum coûte cher et demande
du temps.
De plus la plupart du temps le président dispose de la
majorité au Congrès. L’issue d’un vote par le Congrès
est donc plus « prévisible » que l’issue d’un référendum.
7
× 2 251 000 = 1 575 700.
10
Donc on a vendu 1 575 700 voitures « diesel ».

106

l

4
× 2 251 000 = 72 032.
125
Donc on a vendu 72 032 voitures « propres ».
l

l 72 032 × 20 = 1 440 640.
Donc on a vendu plus de 20 fois plus de voitures
« diesel » que de voitures « propres ».

b. Les avantages des voitures « diesel » :
À l’achat ces voitures sont moins chères que les voitures
« propres » et le diesel est le carburant le moins cher.
Le défaut majeur de ces voitures réside dans le fait
qu’elles sont très polluantes.
Les voitures « propres » sont très peu polluantes et elles
consomment très peu d’énergie.
Leur défaut est qu’elles sont chères à l’achat et que
dans le cas des voitures électriques elles ont encore
une faible autonomie.

107 1. a.

1
1
h+
h = 20 min + 30 min = 50 min
3
2

b.

1
5
h+
h = 10 min + 25 min = 35 min
6
12

c.

7
2
h+
h = 21 min + 40 min = 61 min
20
3

2. a.

2. a. 36 min =
b. 4 min =

4
1×4
1
h=
h
h=
60
15 × 4
15

c. 25 min =
11
× 4 = 5,5 donc l’aire du triangle rectangle est
8
5,5 carreaux.

b.

94

d. 800 s =

36
36 : 12
3
h=
h=
h
60
60 : 12
5

25
5×5
5
h=
h
h=
60
12 × 5
12

800
2 × 400
2
h=
h
h=
3 600
9 × 400
9

9
× 6 = 0,18 × 6 = 1,08.
50
Donc en 2000, 1,08 milliard de personnes soit
1 080 millions de personnes n’avaient pas accès à l’eau
potable.

Premiers services

3
l
× 7 = 0,12 × 7 = 0,84.
25
Donc en 2010, 0,84 milliard de personnes soit
840 millions de personnes n’avaient pas accès à l’eau
potable.

Fautes

108

l

Le nombre de personnes qui n’avaient pas accès à
l’eau potable a donc diminué entre 2000 et 2010.
l

109 a. Vasarely arrive à produire un effet de perspective.
b. L’hexagone est constitué de 108 losanges identiques
dont 22 sont rouges.
22
11 × 2
11
.
=
=
108
54 × 2
54
11
de l’hexagone sont colorés en rouge.
Les
54

110 Première méthode : avec un tableur

Réussis

Deuxièmes services

36
Réussis
30
Fautes
66

30

=

96

5
× 96 = 60 donc Maria a réussi au total 60 services
8
et elle a fait au total 36 fautes (96 – 60 = 36).
l

l 36 – 30 = 6.
Maria a fait 6 fautes aux seconds services et elle a donc
fait 6 doubles fautes.

2
24
× 24 = 2 ×
= 2 × 8 = 16.
3
3
Donc 16 élèves ont un animal de compagnie.

112 a.

3
16
× 16 =
× 3 = 4 × 3 = 12.
4
4
Donc 12 élèves ont un chien.
b.

113 a.

2
40
× 40 = 2 ×
= 2 × 8 = 16.
5
5

3
16
× 16 = 3 ×
= 3 × 2 = 6.
8
8
Paul a mangé 6 chocolats.
b.



2
8,1 m
× 8,1 m = 2 ×
= 2 × 2,7 m = 5,4 m.
3
3
Donc après le premier rebond la balle rebondit à 5,4 m
de hauteur.

114

Sur cette feuille de calcul on lit que le numérateur est
240
.
240 et le dénominateur 336. La fraction est donc
336
On a saisi :
– dans la cellule B2 =5*A2
– dans la cellule C2 =7*A2
– dans la cellule D2 =B2+C2
Puis on a recopié les formules vers le bas (en tirant la
poignée vers le bas).
Deuxième méthode

5
5×k
elle est donc de la forme
7
7×k
où k est un nombre entier.
De plus (5 × k) + (7 × k) = 576 soit 12 × k = 576 et
576
= 48.
donc k =
12
48 × 5
240
La fraction est donc
.
soit
48 × 7
336
La fraction est égale à

111 l 66 – 36 = 30.
Maria a fait 30 fautes aux premiers services et elle a
donc effectué 30 seconds services.

l

2
5,4 m
× 5,4 m = 2 ×
= 2 × 1,8 m = 3,6 m.
3
3
Donc après le deuxième rebond la balle rebondit à 3,6 m
de hauteur.

l

2
3,6 m
× 3,6 m = 2 ×
= 2 × 1,2 m = 2,4 m.
3
3
Donc après le troisième rebond la balle rebondit à 2,4 m
de hauteur.

l

115 a. l Sur le schéma la part des billets vendus le
matin représente les

10
des billets.
15

2
2×5
10
donc la part des billets vendus
=
=
3
3×5
15
le matin est correcte.

De plus,

2
450
× 450 = 2 ×
= 2 × 150 = 300.
3
3
Donc on a vendu 300 billets le matin.

l

b.

billets vendus le matin
billets vendus
l’après-midi

l 30 + 66 = 96.
Maria a effectué au total 96 services.

CHAPITRE 5

Écritures fractionnaires

95

Les billets vendus l’après midi représentent les
billets restants c’est-à-dire les

3
des
5

c

c

3
de tous les billets.
15

c

3
450
× 450 = 3 ×
= 3 × 30 = 90.
15
15
Donc on a vendu 90 billets l’après-midi.

18
= 6 donc un huitième de la collection corres3
pond à 6 timbres.

116 a.

b. 8 × 6 = 48.
Donc il y a 48 timbres dans cette collection.

117

l En notant c la longueur commune du côté de ces
deux carrés on a :
30 cm
= 5 cm.
6 × c = 30 cm et donc c =
6
Donc la largeur du rectangle est 5 cm et sa longueur
est 10 cm.
l 5 cm × 10 cm = 50 cm2.
L’aire du rectangle est donc 50 cm2.

121
60 L

7 ?=6

2
7 —
7

18

9

1
4 ?=3 6 —
8

6
4 —
7

24

7

1

2
3 —
7

À l’aide de ces schémas on peut conclure que le réservoir contient 72 L quand il est plein.

118 a.

50
.
8

b. 28 × 5 = 140 et 28 × 6 = 168 donc tous les nombres
entiers compris entre 140 et 168 conviennent pour le
numérateur.
141
142 143
166
167
 ;
 ;
 ; … ;
et
Les 27 fractions
28
28
28
28
28
conviennent.

5
— 6
6

6

12 L = 72 L

3
— 15
9

6

3
× 62 kg = 46,5 kg.
4
Sur le schéma de droite l’eau pèse 46,5 kg.
46,5 kg + 8 kg = 54,5 kg donc sur le schéma de droite
le récipient et son contenu pèsent 54,5 kg.

l

120 l On peut décomposer la figure en deux carrés
qui ont les mêmes dimensions.

96

1

2

3
2 —
4

122 Ci-dessous un plan possible.
chambre
1
chambre
2

cuisine
salon
salle de bain

119 l 70 kg – 8 kg = 62 kg.
L’eau contenue dans le récipient quand il est plein pèse
62 kg.
l

1
2 —
3
5
3 ?=7 —
3

60 L = 12 L
5

jardin

30

3



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