Leçon 3 Espaces de Hilbert Fonctionnelles linéaires

Universite ABDELHAMID IBN BADIS-Mostaganem
Faculte des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Departement de Mathematiques
1ere Annee Master MIAS, Annee 2009/10
Matiere : Analyse Spectrale des Operateurs I
Responsable : S. M. Bahri
Lecon 3 -

1

Espaces de Hilbert : Fonctionnelles lineaires

Fonctionnelles lineaires dans un espace vectoriel general

De nition 1.1 Soit E un espace vectoriel. Les fonctionnelles lineaires sont
des fonctions f : E ! R telles que
f ( x + y) = f (x) + f (y) :

(1)

Notez que
Hf = ker f = fx 2 E j f (x) = 0g

est un sous espace vectoriel.
Exemples 1
par

1. Dans l'espace lineaire c0 ; considerer la fonctionnelle f de nie
f (x) =

ou (bi ) veri e

P

1
X

ai bi ;

1

jbi j < 1, c'est a dire, (bi ) 2 l1 .

Il est connu l'identi cation de la fonctionnelle f avec l'element (bi ) de l1 .
2. Dans l'espace vectoriel lp ; considerer la fonctionnelle f de nie par
f (x) =

1
X

ai bi ;

1

ou (bi ) est dans lq . Notez que
jf (x)j

1
X
1

jai j jbi j

kxklp kf klq < 1:

La fonctionnelle f est donc identi ee avec l'element (bi ) de lq .
3. Dans l'espace lineaire C [0; 1] ; considerer les fonctionnelles
R1
(a) F (x) = 0 x (t) f (t) dt; ou f est integrable; notez que
Z 1
jf (x)j max jx (t)j
jf (t)j dt:
t

1

0

(b)

(x) = x ( ) ; j

(x)j

kxkC :

4. Dans un espace de Hilbert H xonx y 2 H et de nissons la fonction
lineaire fy (x) = hx; yi :
Rb
Dans L2 [a; b] : hx; yi = a x (t) y (t)dt:

Pour un espace E, notons par E # l'espace de toutes les fonctionnelles sur

E.
Theoreme 2 Considerer f 6= 0: Alors
1. co dim Hf = 1;
2. si ker f = ker g (g est une autre fonctionnelle lineaire) alors il existe
telle que f = g;

6= 0

3. soit L ,! E et co dim L = 1: Alors il existe f 2 E # telle que ker f = L:
Preuve.
1. Prenons x0 ; f (x0 ) 6= 0; soit x0 = x0 =f (x0 ) et notons que f (x0 ) = 1. Alors
pour tout x 2 E;
y = x f (x) x0 2 ker f
et par consequent
x = f (x) x0 + y; (y 2 ker f )
et cette decomposition est unique. Donc
E=Hf = f (x0 + Hf ) :

2 Cg

ce qui implique
dim E=Hf = 1:
2. Prenons x = f (x) x0 + y et appliquons g :
g (x) = f (x) g (x0 ) ) g = g (x0 ) f:
3. dim E=L = 1 ) E=L = f
unique representation

0g

ou

0

= x0 + L et 8x 2 E il existe une

x = x0 + y; y 2 L:
De nissons f (x) = : Alors f (L) = 0 et f une fonctionnelle lineaire.

2

(2)

2

Fonctionnelles lineaires dans des espaces normes.
La norme d'une fonctionnelle

Soit maintenant X = (E; k k); nous appelons f 2 X # une fonctionnelle bornee
s'il existe C tel que
jf (x)j C kxk

(i.e. f est bornee sur les ensembles bornes).
Soit X l'ensemble de toutes les fonctionnelles bornees. C'est un espace
vectoriel [ f + g est une fonctionnelle lineaire bornee si f et g 2 X ].
De nissons une norme: pour f 2 X , soit
kf k = sup jf (x)j = kxk
x6=0

[Montrer que c'est une norme]. Alors
jf (x)j

kf k

kxk :

(Nous ecrivons en general kf k a la place de kf k .)
Proposition 3 f est une fonctionnelle bornee si et seulement si f est une
fonctionnelle continue.
Preuve. \ =) "
jf (xn )

f (x0 )j = jf (xn

x0 )j

kf k kxn

x0 k ! 0

quand xn ! x0 :
\ (= "
Supposons f (xn ) ! 0 pour xn ! 0: Si f est non bornee, alors pour tout
n 2 N il existe xn , kxn k = 1 et jf (xn )j > n. Mais dans ce cas f xnn
1, ou
xn
une
contradiction.
n
Remarque 2.1 Si une fonctionnelle lineaire f est continue en x = 0 alors elle
est continue en tout point x.
Notez que si f est continue alors ker f est un sous espace ferme. [Il est non
trivial et nous ne montrons pas que l'inverse est vrai : si f 2 X # et ker f est
un sous-espace ferme alors f est continue.]
Revenons maintenant a la de nition de la norme d'une fonctionnelle lineaire.
A cause de l'homogeniete de sa de nition nous pouvons utiliser di erentes normalisations resultantes de di erentes expressions de la norme :
kf k = sup
x6=0

jf (x)j
kxk

= sup fjf (x)j : kxk
1
=
sup
f (x)=1 kxk
=

1
:
inf f (x)=1 kxk
3

1g

Donnons une interpretation de la derniere expression. Notez que la quantite
inf kxk =:

f (x)=1

f

est la distance de l'hyperplan fx : f (x) = 1g a 0. Ainsi la norme kf k est 1= f :
Cela signi que la fonctionnelle f sur la gure est inferieur a 1. De plus, une
fonctionnelle f est de norme 1 si, et seulement si, l'hyperplan fx : f (x) = 1g
"supporte la boule unite D (X). Notez ici que ceci ne signi pas que l'hyperplan
supportant et la boule unite doivent avoir un point commun.

3

Fonctionnelles lineaires bornees sur un espace
de Hilbert

Revenons maintenant a l'etude des fonctionnelles lineaires sur des espaces de
Hilbert. Le theoreme suivant decrit l'espace de toutes les fonctionnelles lineaires
sur un espace Hilbert.
Theoreme 4 (Representation de Riesz) Pour tout ' 2 H , il existe y 2 H
tel que ' (x) = (x; y). (Toute fonctionnelle lineaire continue sur un espace
de Hilbert est representee par un element du m^eme espace veri ant : ' (x) =
(x; y).) De plus k'k = kyk :
Preuve. Soit ker ' = L; co dim L = 1 et comme L L? = H. L? est de
dimension 1. Donc L? = f ybg pour un certain yb 2 H; yb de ni une fonctionnelle
lineaire par yb (x) = (x; yb). Alors
?

Donc

ker yb = fb
y g = L?

?

= L:

ker yb = ker ':

D'apres le point 2. du theoreme2 nous avons

(et y = yb represente ').
Maintenant,

' = yb
k'k = sup
x6=0

j(x; y)j
kxk

et l'egalite est veri ee si x = y.
Donc kyk = kyk :

4

kyk

4

Un exemple d'un espace de Hilbert non-separable

Soit H = span

2R

fei t g avec
1
T !1 2T

(f; g) = lim

Z

T

f (x) g (x)dx:
T

Notez que si alors . Donc H admet un ensemble non denombrable d'elements
deux a deux orthonormales. Ceci implique la non-separabilite de H.
Notez aussi que toute fonction continue a support ni "represente" un element
nul de H (car hf; f i = 0 pour une telle fonction). Donc, il faut ^etre prudent en
decrivant cet espace comme un espace de fonctions.

References
[1] John B. Conway, A course in functional analysis, second edition, Springer
1990.
[2] Kolmogorov & Fomine Elements de la theorie des fonctions et de l'analyse
fonctionnelle, Ellipses, 1999.
[3] B. Maury, Analyse Fonctionnelle, exercices et problemes corriges, Niveau
M1, ed. Ellipses, 2004. (cote : 515/485.2)
[4] Walter Rudin, Analyse fonctionnelle , second edition, McGrawHill, 1991.
[5] M. Samuelides & L. Touzillier, Analyse fonctionnelle, Cepadues-Editions
1989. (cote : 515/83)
[6] M. Samuelides & L. Touzillier, Problemes d'Analyse fonctionnelle et
d'Analyse Harmonique, Cepadues-Editions 1993. (cote : 515/129)

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