L1 SEG (MATH II)Série Corrigée N°2 (Déterminants Systèmes d’équations linéaires)

BEN AHMED MOHSEN

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Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

L1 SEG (MATH II)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Déterminants/Systèmes d’équations linéaires
Exercice 1 :

Soit la matrice
Calculer

et en déduire

Exercice 2 :
Calculer et factoriser les déterminants suivants

.

;

.

;

.
Exercice 3 : (ISG-DS Avril 2010)
Résoudre par la méthode de Gauss le système suivant :

Exercice 4 : (ISG-SP 1993)
On considère la matrice
1) Calculer
2)
a) Vérifier que
b) En déduire une expression de
c) Retrouver le résultat de 1)

en fonction de

d) Résoudre le système suivant :

1

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Exercice 5 :
On considère la matrice
1) La matrice

est-elle inversible ?

2) Résoudre le système

Exercice 6 :
1) Calculer le rang de cette matrice

2) Résoudre le système suivant

Exercice 7 :
On considère la matrice carrée d’ordre 3

où

1)
a) Déterminer les valeurs de
b) Vérifier que pour

pour lesquelles

est inversible

, la matrice

est l’inverse de

2) Résoudre alors le système suivant

Exercice 8 :
Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel
1)

, les systèmes suivants
4)

2)

3)

2

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Exercice 9 : (ISG-SP 2009)
On considère la matrice
1) Calculer
2) Pour
Résoudre le système :
3) Pour
Résoudre le système :

Exercice 10 : (ISG-SP 2008)
Soit la matrice
1) Discuter suivant

le rang de

et déduire la dimension de

2) Résoudre le système :

3

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Série Corrigée N°2- CORRIGÉS
Déterminants/Systèmes d’équations linéaires
Corrigé 1 :

Or
On rappelle que :
i. Pour toute matrice carrée
ii.

par la suite

et pour

, on a

Ainsi

D’où

ou encore

Corrigé 2 :


4

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On trouve



Ce qui donne



D’où

Corrigé 3 : (ISG-DS Avril 2010)

D’où

5

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Corrigé 4 : (ISG-SP 1993)
1)
Calculons

:
En effet

Calculons

et

:

D’où le résultat
2)
a)

Par la suite :

b) Il en résulte que
D’où l’expression de
en fonction de

:

c)
Ainsi on retrouve le même résultat de la première question
d)
L’écriture matricielle du système sera :

;

où

Ce qui donne

et

Corrigé 5 :
1)
D’où

on remarque que

par la suite

n’est pas inversible

6

et

est inversible

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2)

D’où

Corrigé 6 :
1) Notons

Or

ce qui donne

D’où
2)

7

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D’où

Corrigé 7 :
1)
a)

Par la suite
b)

D’où

inversible si et seulement si
on a

pour tout

2)
L’écriture matricielle du système sera :

;

où

8

et

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Si

ou encore

Ce qui donne
Et
Si

D’où

Corrigé 8 :
1)

L’écriture matricielle du système
Calculons

Par la suite

sera :

où

:

inversible si et seulement si

 Si



9

;

et

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Par la suite



Par la suite



Par la suite
D’où
 Si

10

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D’où
 Si
D’où

2)
L’écriture matricielle du système

sera :
;

Où

Calculons

Par la suite
 Si

et

:

inversible si et seulement si



11

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Par la suite


Par la suite


Par la suite
D’où
 Si
D’où
 Si

D’où
3)
L’écriture matricielle du système
Calculons

sera :

où

:
12

;

et

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Par la suite
 Si

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inversible si et seulement si





Par la suite

D’où
 Si

D’où

13

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 Si

 Si

D’où

4)

L’écriture matricielle du système
Calculons

Par la suite

sera :

où

:

inversible si et seulement si

 Si

14

;

et

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D’où
 Si
;
 Si

;

Corrigé 9 : (ISG-SP 2009)
1)

D’où
2)

donc

est inversible

Ainsi
Et

15

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3)
Par la suite

D’où

Corrigé 10 : (ISG-SP 2008)
1)

 Si
Or
D’où
 Si

et

En effet
Or

d’où

Ainsi

est une droite vectorielle

2) L’écriture matricielle du système

sera :

où

 Si

Or

donc

Par la suite

D’où
16

et

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 Si

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D’où

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