Exercice depuis olympiade avec corrigé

Exercice depuis olympiade avec corrigé
Enoncé :
Soit l’équation du seconde degré en x : x 2  (1  a ) x  a 2  0 et notant x1 et x2 les deux
racines s’ils existent
On demande de former une équation du second degré en t qui admette pour racines

t1 

x1
x2

et

t2 

x2
x1

1. A quelles conditions doit satisfaire a pour que cette équation en t ait des racines
1
?
4

2. Pour quelles valeurs de a l’une des racines de l’équation en t sera-t- elle égale à
3. Quelles sont alors les valeurs correspondantes de x ?

Corrigé :
1. Pour que l’équation en t admet des racines, il faut que l’équation x 2  (1  a ) x  a 2  0
admet des racine x1 et x2 et tels que

1

≠ 0 et

2

≠ 0.



Si 0 est une solution de l’équation x 2  (1  a ) x  a 2  0 cela entraine que a² = 0 d’où a = 0



L’équation x 2  (1  a ) x  a 2  0 admet des racines x1 et x2 cela entraine que
(1 + a)² - 4a² ≥ 0 signifie

– 3a² + 2a + 1 ≥ 0

L’équation – 3a² + 2a + 1 = 0 admet deux racines qui sont 1 et −

(1 + a)² - 4a² ≥ 0 signifie a ∈ [−

2. On suppose que 1 =
On a

et

1

1

+

et

2

2

= 1 + a (3).

cela entraine que
Si

2

1
4

3

car – 3 + 2 + 1 = 0

3

1

; 1] et on résulte que a ∈ [− ; 1] ∖ {0}

cela entraine que

1

=

1

4 2

(1)

3

sont les racines de l’équation x 2  (1  a ) x  a 2  0 d’où

On a d’après (1)



=

1

1

1

2

=

1

4 2

, on remplace

= 2a ou

2

1

= −2a.

= 2a, alors d’après (2),

1

=

2

dans (2) on obtient

1

²
4 2

. D’après (3) on aura (2a +

1. 2

= a² (2)
1

= a² signifie (2

2

2 )²

= a²

) = 1 + a signifie a =



Si

2

= −2a, alors d’après (2),

∈ [−

(On vérifie bien que
3.
 pour a =

, on a

 pour a =− 7, on a

1

1

=

1
3

= −

1
3

et
1

et

1

= − 2 . D’après (3) on aura − (2a +
1

; 1] ∖ {0} et − 7 ∈ [− ; 1] ∖ {0})
3

2

=
2

4
3

=−

4

2

) = 1 + a signifie a =− 7