Nombres complexes Mr RAOUF

Nombres complexes
Forme algébrique d’un nombre complexe
1)Definition
Il existe un ensemble de nombres, appelé ensemble des nombres complexes et noté c,
vérifiant les propriétés suivantes :
1. c contient IR
2. c contient un nombre noté i vérifiant i  1
2

3. L'addition et la multiplication ont les même propriétés de calcul dans c et dans IR.
Propriétés : Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z  a  ib ,

a et b étant deux réels.
a est la partie réelle de z : a  Re( z ) et b est la partie imaginaire de z : b = Im( z )
z  a  ib est la forme algébrique de z
Operations dans

c.

Pour tous réels a, b, a' et b'

Addition . (a  ib)  (a'ib' )  (a  a' )  i(b  b' ) .
Multiplication (a  ib).(a'ib' )  (aa'bb' )  i(ab'ba' ) .
Inverse d’un complexe non nul. Si de plus a  0 et b  0 :

1
1.(a  ib)
a  ib

 2
a  ib (a  ib )(a  ib) a  b 2

Conjugué : On appelle conjugué du nombre complexe z  a  ib le nombre complexe noté z ,
défini par z  a  ib

z est réel si et seulement si z  z , z est imaginaire pur si et seulement si z   z .
Propriétés : a  Re( z ) 

zz
zz
et b  Im( z ) 
2
2

« Le conjugué marche bien avec tout » :
Pour tous nombres complexes z et z ' et n  IN

1
z

Pour tout nombre complexe non nul z,   

:

z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' et z n  z

n

1
 z'  z'
et   
z
z z

Exemple. Pour a réel et z complexe

5  ai  2 z  5  ai  2 z
3

;

(a  3i)2 (1  ai)7  (a  3i)2 (1  ai)7

 z 4  1  3ai z  ( z  1  3aiz )3
 
et 
1

iz
(1  i z )3


4

.

2) REPRESENTATION GEOMETRIQUE
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Complexes

Bac sx et T

Page 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u, v)

 A tout nombre complexe z  a  ib est associé l'unique
point M (a, b) On dit alors que z est l'affixe de M. on note z M

y

M(z=a+ib)

b



 

A tout vecteur du plan w  est associé

 

1

nombre complexe z w    i l’affixe de w

v

Si I  A * B alors z I 

0

u 1

a

x



RBM



un unique

z A  zB
2

Si w  0

v, w sont colinéaires 
vw 

zv
zw

zv
zw

est réel

est imaginaire pure

Opposé, conjugué d’un nombre complexe Affixe du vecteur AB
y

1

O
0

1

x
RBM

z est réel  M( z ) est sur l'axe des abscisses.
z  0 ,z est imaginaire pure  M( z ) est sur l'axe des
ordonnées privé de l’origine.

L’affixe du vecteur AB est z AB  z B  z A

z u  v  zu  zv

Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u, v)

1)Module :
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Page 2

Prop : z z  z

2

Si les points A ( z A ) et B ( zB ) alors AB= z B  z A
«Le module marche bien avec la multiplication»
Pour tous nombres complexes z et z ' et

n  IN

:

z.z '  z . z ' et z n  z

Pour tout nombre complexe non nul z,

et
Soit M ( z  x iy ) le module de z est :

Def

z' z'

z
z

Pour tous nombres complexes z et z′,

z  z'  z  z'

1  3  i1  3 



1  3   1  3 
2

1  ai
1  a2

1
Pour a réel
1  ai
1  (a) 2

2

(inégalité triangulaire)

 1 2 3  3 1 2 3  3  2 2

;

2)Argument d’un nombre complexe non nul:
Soit z  0 et M(z) On appelle argument de z une


mesure

y

 en radian de l’angle orienté (u, OM )


arg z    (u, OM )2 

M

Prop : Pour z1 et z 2 non nuls et n  

1

v

O0

A

1

u



arg( z1.z2 )  arg z1. arg z2  k 2



arg



arg(

x

RBM

1

z1

  arg z1  k 2

z2
)  arg z2  arg z1  k 2
z1

arg z1  n arg z1  k 2
n



.

.

Exemple
Z

5

-3

2i

-4i

1+i

-1-i

-1+i

argz
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1 1

z
z

«Le module ne marche pas bien avec l’addition»

z  OM  r  x 2  y 2

Exemple.

n

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Page 3

3)Forme trigonométrique et exponentielle
y

M (z=x+iy)

y

Forme

Ecriture de z

Algébrique

x  iy

Polaire

r, 

Trigonométrique

r (cos   i sin  )

Exponentielle

rei

1

r
v

r  z  x2  y2
0
O

u

1

x

x
RBM

  arg z est tel que :
cos  

x
y
et sin  
r
r

Les points remarquables du cercle trigonométrique

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Bac sx et T

Page 4

4)Vision géométrique
z AB  z B  z A

affixe d’un vecteur

B

A

Longueur d’un

AB= z B  z A

B

segment
A


angle entre u et AB

B

(u, AB )  arg( z B  z A )  k 2
A



(v, w)  arg(

angle entre deux

zw
zv

u

)  arg z w  arg z v  k 2
w

vecteurs


( AB, CD)  arg(

z D  zC
)  k 2
zB  z A

v

Racine nieme et Le second degré
cherche z une racine carré( resp 3ieme) de Z revient a résoudre l’équation : z2=Z (resp z3=Z)

z  a  ae
2

i



 z   ae

i



z  a  ae

2

n

i

 z  n ae

   2 k 
i

n 


Pour résoudre l’équation az 2  bz  c  0 , a, b et c étant des nombres complexes ,avec

a  0 , on calcule le discriminant   b 2  4ac puis on cherche  une racine carré de





  2   les solutions sont z ' 

b 
b 
; z' ' 
2a
2a

Conséquences

az 2  bz  c  a( z  z ' )( z  z ' ' )

Si a  b  c  0 alors z '  1 et z ' ' 

c
a

S  z ' z ' ' 

Complexes

P  z '.z ' ' 

c
a

Si a  b  c  0 alors z '  1 et z ' ' 

Si z '  m est une solution alors l ' autre solution est z ' ' 

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b
a

c
a

P
m

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