cours maths complet m redouaby1

Université Hassan II
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales de
Mohammedia
Année Universitaire 2008/2009

MATHEMATIQUES (Semestre 2)

– ANALYSE –
Professeur : M.REDOUABY
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ANALYSE
Contenu du cours :
A.

Fonctions à une variable réelle

B.

Fonctions à deux variables réelles

Séance n° 1

A. Fonctions à une variable réelle
1.Introduction
a)
b)
c)
d)
e)

Notion de fonction
Notion d’injection
Notion de surjection
Notion de bijection
Bijection et bijection réciproque

a) Notion de fonction
Définition
Une fonction est une relation entre deux
ensembles E et F telle que :


Chaque élément de E (ensemble des
antécédents) a au plus une image dans F
(ensemble des images)

E
X1

X2
X3
.
.
.
.
.
.

Xn

f

F
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
.
Ym



E = ensemble de départ,, contient ‘n’ éléments :

X1 ; X2 ; X3 ; …. ; Xn ,
Ce sont les antécédents


F = ensemble d’arrivé
arrivée, contient ‘m’ éléments :

Y1 ; Y2 ; Y3 ; …., Ym
Ce sont les images

Nous avons :

f (x1) y1 ; f (x2) y3 ; f (x3) y2 ;
…….. ;

f (xn) ym

Diapositive 8

Y1 est
Y3 est

l’image de X1 ; X1 est l’antécédent de Y1
l’image de X2 ; X2 est l’antécédent de Y3

……

Ym est

l’image de Xn ; Xn est l’antécédent de Ym

Pour que f soit une fonction,
chaque élément de E doit avoir
au plus une image dans F

Diapositive 9

Exemple
f

IR
x

I

IR
1
x

f est une fonction car :

xIR

, x a une image et une seule, sauf « 0 » qui
n’a pas d’image

Diapositive 10



Ainsi, par une fonction, un
élément de E ne peut jamais avoir
plus d’une image dans F

Diapositive 11

Exemple 1
E

f

X1

X2
X3

F
Y1
Y2
Y3

f est une fonction car :

f (x )  y ; f ( x )  y ; f (x )  y
2
2
1 1
3
2

Diapositive 12

Exemple 2
E

f

X1

X2
X3

F
Y1

f est une fonction car :

f (x )  y ; f ( x )  y ; x 3
1 1
2
1

n’a pas d’image

Chaque élément de E a au plus une image

Diapositive 13

Exemple 3
E

F

f

X1

Y1

X2
X3

Y2

f n’est pas une fonction car :

x1 a deux images

Y
1

et

Y
2

Diapositive 14

Remarque Importante
Fonction et Application
Une application est une fonction particulière.
C’est une fonction telle que chaque antécédent
a exactement une image (s’il y a un antécédent
qui n’as pas d’image alors c’est simplement une
fonction et non une application)

Diapositive 15

Exemple 1
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3
Y4

Chaque antécédent a une image et une seul, f est
donc mieux qu’une fonction, c’est une application

Diapositive 16

Exemple 2
E
X1

X2
X3
X4

x3

f

F
Y1
Y2
Y3
Y4

n’a pas d’image dans F, donc f n’est pas une
application, mais simplement une fonction

Diapositive 17

Exemple 3
f

IR
x

I

IR
1
x

f est simplement une fonction car et non une application
car 0 n’as pas d’image

Diapositive 18

Exemple 4
f

IR
x

I

IR
x2

f est une application car chaque élément de IR admet
une image et une seule « exactement une image »

Diapositive 19

b) Notion d’injection

« fonction injective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
injective lorsque chaque élément de F a au
plus un antécédent dans E : un antécédent ou
rien

Diapositive 20

Exemple 1
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3
Y4

Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est
donc une fonction injective

Diapositive 21

Exemple 2
E

f

F
Y1

X1

Y2

X2
X3

Y3
Y4

Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est
donc une fonction injective

Diapositive 22

Exemple 3
E

f

F
Y1

X1

X2
X3
X4

Y2
Y3
Y4

f n’est pas une fonction injective car :

Y1 a deux antécédents

:

x1

et

x2

Diapositive 23

Exemple 4

IR
x

IR

f

x2

I

f n’est pas injective car :
par exemple 1 a deux antécédents +1 et -1

IR
.
.
.
+1
0
-1
.
.
.

f

IR
.
.
1
0
.
.
.

Diapositive 24

IR 
x

Par contre
g

I

IR
x2

g est injective car :
 Si Y est négatif
 Si Y est positif

(Y  0) , alors Y n’a pas d’antécédent
(Y  0) ,Y a un seul antécédent : Y

Diapositive 25

A retenir
f est une fonction de E vers F. f est injective si
elle vérifie :

x ;x E
1 2

:

f (x )  f (x )  x  x
1
2
1 2

C’est-à-dire : deux antécédents ont la même
image si et seulement si ils sont égaux

Diapositive 26

Remarque
f est une fonction de E vers F. Si f est
injective alors : Card E  Card F

Card E = nombre des éléments de E
X1

X2
X3

E=

.
.
.
.
.
.

Xn

: Card E = n

Diapositive 27

Remarque
Méthode de la règle : Voir TD

Diapositive 28

c) Notion de surjection

« fonction surjective »
Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
sujective lorsque chaque élément de F a au
moins un antécédent dans E : un antécédent
ou plusieurs antécédents

Diapositive 29

« fonction surjective »
f est surjective si et seulement si :

yF

xE /

f (x)  y

Diapositive 30

Exemple 1
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3

Chaque élément de F a au moins un antécédent, f
est donc une fonction surjective

Diapositive 31

Exemple 2
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3

Chaque élément de F a au moins un antécédent, f
est donc une fonction surjective

Diapositive 32

Exemple 3
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3
Y4

f n’est :

y a deux antécédents x et x
1
1
4
ni surjective : y4 n’a pas d’antécédent
ni injective :

Diapositive 33

Remarque
f est une fonction de E vers F. Si f est
surjective alors : Card E  Card F

Card E = nombre des éléments de E

Diapositive 34

Remarque
Méthode de la règle : Voir TD

Diapositive 35

d) Notion de bijection

« fonction bijective »
Définition
f est une fonction bijective (ou une bijection) de
E vers F si et seulement f est une application
qui est à la fois injective et surjective
C’est-à-dire chaque élément de E a une image
et une seule et chaque élément de F a un
antécédent et un seul

Diapositive 36

Exemple 1
E

f

X1

X2
X3
X4

F
Y1
Y2
Y3
Y4

f est une bijection de E vers F :
 f est injective
 f est surjective

Diapositive 37

Exemple 2
E

f

X1

X2
X3
X4

F
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5

f n’est pas bijective de E vers F :
 f n’est pas surjective car y5 n’a pas d’antécédent

Diapositive 38

Exemple 3
E

f

X1

X2
X3
X4

F
Y1
Y2
Y3

f n’est pas une bijection de E vers F :
 f n’est pas injective
 f n’est pas surjective

Diapositive 39

Exemple 4
E
X1

X2
X3
X4

f

F
Y1
Y2
Y3

f n’est pas une bijection de E vers F car :
 f n’est pas une application : x3 n’a pas d’image

Diapositive 40

Remarque
f est une fonction de E vers F.
Si f est bijective alors :
Card E = Card F

Diapositive 41

e) bijection et bijection réciproque
E

f
f-1

F

Diapositive 42

f

E

F

X1

Y1
Y2
Y3
.
.
.

X2
X3
.
.
.
.
.
.

.
.
Yn

Xn

f -1
x

f
f-1

y

Diapositive 43

bijection et bijection réciproque
Comment passer de f à f-1 et inversement :

f (x)  y  f 1(y)  x

Diapositive 44

Ainsi si:

E
X1

X2
X3
.
.
.
.
.
.

Xn

f

F
Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
Yn

Diapositive 45

alors:

F

f -1

E
X1

Y1
Y2
Y3
.
.
.
.
.
Yn

X2
X3
.
.
.
.
.
.

Xn

Diapositive 46

Relation fondamentale entre f et f-1
f

E

F

f-1

x

xE:f 1f (x)  x

f
f-1

et

y

yF:f f 1(y)  y

Diapositive 47

Exemple

IR 
x
IR 

f

IR 

f-1

x2
IR 

I

x

I

On a : x IR 
et :

xIR 

x
f 1f (x)  x2  x  x

f f 1(x)  ( x )2  x

Diapositive 48

Exemple

IR*
x

I

IR
x
On a :
et :

f = ln

f-1 = exp
I

xIR*
xIR

IR
ln x
IR*
ex

f 1f (x)  eln x  x
f f 1(x)  ln ex  x

Diapositive 49

Séance n° 2