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Mouvement dans l’espace

D-IV/ MOUVEMENT DANS L’ESPACE

Pour étudier le mouvement d’un point matériel dans l’espace, et qui est caractérisé par
trois dimensions, on fait appel, en général, aux coordonnées cylindriques et aux coordonnées
sphériques.
1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES CYLINDRIQUES
(

)

Position du mobile : (figure 4.14)

M

Z
z

uz
M

O
X

z

z

m

u

XOY

(t )
OM

u

(t )
z (t )

Y

m

(u , u , u z )

(i , j , k )

u = cos .i + sin . j
u = sin .i + cos . j
uz = k

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Le vecteur position s’écrit donc :

OM = Om + mM = .u + z.u z

(4.40)

OM = i . .cos + j . .sin + k .z

(4.41)

L’étudiant peut remarquer l’équivalence entre cette dernière expression et la relation
déjà vue (6.3).
Le déplacement élémentaire est donné par l’expression :

ds 2 = d

2

+

2

d

2

+ dz 2

(4.42)

Vitesse du mobile :
Il suffit de dériver le vecteur position, exprimé en coordonnées cylindriques, par
rapport au temps, pour tomber sur le vecteur vitesse. Remarquons que le rayon polaire

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Mouvement dans l’espace

est une fonction du temps. Le vecteur unitaire u

est lui aussi variable avec le temps.

Seul u z = k est constant.

r = .u + z.u z

v=r=

dr
d
=u
+
dt
dt

du

En se rappelant de la relation (4.25) relative aux dérivées de

dt
du
dt

+ uz

et

dz
dt
du
dt

, nous

pouvons écrire :

v = .u +

.u + z.u z

(4.43)

Remarquons que la vitesse a trois composantes : radiale ( vr ) , transversale

azimutale ( vz ) .
Le module de la vitesse en coordonnées cylindriques est donné par l’expression :
2

v=

+ ( . )2 + z 2

(v )

et

(4.44)

Accélération du mobile :
En continuant l’opération de dérivation par rapport au temps nous arrivons à
l’expression de l’accélération du mobile :

a=

du
du
dv
= .u + .
+ . .u + . .u + . .
+ z.u z
dt
dt
dt

En utilisant la notation de Newton, et en se rappelant de la relation (4.25), nous
obtenons l’expression finale de l’accélération exprimée en coordonnées cylindriques :

a=(

.

2

).u + ( . + 2. . ) u + z.u z

(4.45)

La même expression peut être écrite sous la forme :

a=(

.

2

).u +

1 d
(
dt

2

. ) u + z.u z

(4.46)

Si z = 0 et = R = C , réapparaît alors la relation (31.4) de l’accélération du mouvement
circulaire uniforme.
te

Remarquons que l’accélération, comme la vitesse, a trois composantes : radiale ( ar ) ,

transversale ( a

) et azimutale ( az ) .

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Mouvement dans l’espace

2/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES SPHERIQUES
(

)

Position du mobile : (Figure 4.15)
Dans ce système la position du mobile est définie par la relation :

r (t )
OM

OM = r = r.ur

(t )

(4.47)

(t )
Rappelons les deux relations 4.17 et 4.18 entre les vecteurs de la base (ur , u , u ) et ceux
de la base (i , j , k ) :

ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k
u = sin .i + cos . j
u = cos .cos .i + cos .sin . j

Z

sin .k

Ligne de la
coordonnée

u

u
Ligne de la
coordonnée

M
r

u

O

Y

m
X

Ligne de la
coordonnée

Fig 4.15: Base des coordonnées
sphériques

Le déplacement élémentaire est donné par la relation :

ds 2 = dr 2 + (r sin .d )2 + (rd )2

(4.48)

L’étudiant ne doit pas apprendre les lettres mais leurs sens. Remarquez
que = (OX , Om) et = (OZ , OM ) , mais vous pouvez trouver l’inverse
de cela dans d’autres références.
Vitesse du mobile :
Dérivons le vecteur position en coordonnées sphériques par rapport au temps :

v = r = r.u r + r.u

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Mouvement dans l’espace

Dérivons le vecteur u , puis organisons la nouvelle expression pour obtenir à la
fin :

ur =

i.cos cos + j cos sin

k sin

+ sin

i.sin + j cos

u

u

C'est-à-dire : ur = .u +

sin .u

Par remplacement on obtient l’expression finale de la vitesse en coordonnées
sphériques :

v = r.ur + r .u + (r sin ) .u
Les trois composantes sphériques du vecteur vitesse apparaissent clairement :

v = vr + v + v

v=

dr
d
d
ur + r
u + r sin
u
dt
dt
dt

(4.49)

La base orthogonale directe est constituée des vecteurs (ur , u , u ) qui dépendent de la
position du mobile, donc du temps. Elle est définie par les équations horaires r (t ) ,

(t )

et (t ) , qui nous permettent d’arriver aux valeurs algébriques v , v

des

et v

composantes sphériques du vecteur vitesse et de là, la détermination du vecteur vitesse.
Accélération du mobile :
En dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps, on arrive à l’expression du
vecteur accélération, soit :

a=

dv d
=
r.ur + (r sin ) .u + r .u
dt dt

a = ar + a + a

a = a 2r + a 2 + a 2

Nous donnons ci après l’expression finale du vecteur accélération, l’étudiant doit être en
mesure de s’assurer du résultat :

a = (r

r.

2

( r. + 2r .

r.
r.

2

.sin 2 ).ur +
2

.sin .cos ).u +

(4.50)

( r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos )u

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Là aussi, connaissant les équations horaires r (t ) ,
expressions algébriques a , a

et a

(t ) et

(t ) on arrive aux

des composantes du vecteur accélération et par

conséquent à la détermination du vecteur a .
Exemple 4.9 :
Le mouvement d’un point matériel M est défini en coordonnées cylindriques par
les composantes du vecteur position OM
et par l’angle polaire
tels
que OM = a.u + bt.k

=ct 2 ; sachant que a, b, c sont des constantes positives.

;

1/ Calculer la vitesse et l’accélération en fonction du temps.
2/ Calculer le rayon de courbure après un tour complet autour de l’axe OZ .
Réponse :
1/ Pour obtenir le vecteur vitesse on dérive le vecteur accélération :

(

dOM
d
=v =
au + btk
dt
dt
v =a

du
dt

+ bk

)

v = a. u + bk
= ct 2

v = 2actu + bk

= 2ct

Le module du vecteur vitesse :

v = 4 a 2 c 2t 2 + b 2
En dérivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération :

=

dv d
= (2act.u + bk )
dt dt

= 2ac

t. .u + u

= 2ac
= 2ac

d
(t.u )
dt

= 2ac t.

t.2ct.u + u

du
+ u .1
dt

= 2ac

2ct 2 .u + u

Son module est :

= 2ac 4c 2t 4 + 1
2/ Calcul du rayon de courbure.
Calculons d’abord la durée nécessaire pour que le mobile effectue un tour
complet :

= 2 = ct 2

t=

c

=

2
c

Remplaçant ensuite le temps par son expression que nous venons de trouver dans
l’expression de l’accélération normale et enfin, calculons le rayon de courbure :
Nous laissons à l’étudiant le soin de réaliser ce calcul de longue haleine pour
aboutir à la fin au résultat suivant :

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Mouvement dans l’espace

R=

v2

;

N

2

=

2
T

;

N

T

dv
4 a 2 c 2t
=
=
dt
4 a 2 c 2t 2 + b 2

dv
= !!!!!
dt

(

2

N

4 a 2 c 2t 2 + b 2

)

3

= 2ac

16a 2c + b 2
a 2c 2t 2 + b 2

2

v
R(t ) =
=
a N 2ac(16a 2c 4t 6 + 4c 2b 2t 4 + b 2 ) 12
R

2
c

=

(

8 a 2 c 2t 2 + b 2

2ac(128a 2c

3

(

)

3

2

+ b 2 1 + 16

2

))

1

2

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