Devoir regional 4 SC

Direction régionale
De l’enseignement
de Jendouba

Epreuve : Mathématiques
Durée : 3 H . 4 SC- exp .
Année scolaire : 2014 – 2015

Devoir de synthèse n° = 2

Exercice 1 ( 4 pts) :
Cocher la réponse exacte en justifiant la réponse :
1)La fonction f définie sur 1,1 par f ( x ) = ln (
a)paire

1 x
) est :
1 x

b)impaire

c) ni paire ni impaire

2) Si ABCD est un parallélogramme de l’espace , le vecteur AB  AC est égal à :
a) AB  DA
b) BC  BA
c) BA  DC
3)

1
(t ² sin t  )dt est égale à :
1
2



1

a) 0

b)

1
2

c) 1

ln(1  2 x)
alors :
4x
x 0

4) Si L = lim

1
2
Exercice 2 ( 6 pts) :

a) L = -

b) L = 0

c)

1
4

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct ( O, i, j , k ) , on considère les points A (2,1,0)
B(2,-1,-2) et C ( 0,1,-2) .
1)Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés .
2) En déduire que A , B et C déterminent un plan P d’équation : x + y – z - 3 = 0 .
3) Soit S l’ensemble des points M (x ,y, z) de l’espace tels que x 2 + y 2 + z 2 - 4 x –2 y + 4 z +5 = 0
a) Montrer que ( S ) est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R.
b) Montrer que ( P) et ( S ) se coupent suivant le cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC .
c) Montrer que le triangle ABC est équilatéral .
4) Soit  la droite passant par I et perpendiculaire au plan P .
a) Montrer qu’un système paramétrique de  est :
x  2  

 est un réel .
 y  1 
z  2  

b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection G du plan ( P ) et de la droite  .
c) Vérifier que G est le centre de gravité du triangle ABC .
d) En déduire le centre et le rayon du cercle ( C ) .
Exercice 3 ( 4pts) :
1

On donne les intégrales suivantes : I =


0

dx
x2 1

1

; J=



1

x  1dx et K =
2

0

1)Vérifier que I + K = J .

2) Soit f la fonction définie sur 0,1 par f ( x ) = ln (

x 2  1  x) .


0

x2
x2 1

dx

1

pour tout x de 0,1 .
x2 1
b) En déduire que I = - ln ( 2 - 1 ) .
3) a) En utilisant une intégration par parties montrer que J =
b) En déduire les valeurs de J et K .
a) Vérifier que f ’ ( x ) =

2 -K.

Exercice 4 ( 6 pts) :
Dans l’annexe ci-jointe ; ( C ) et  sont les courbes représentatives respectives dans un repère
2
2 ln x
orthonormé ( O, i, j ) des fonctions g et h définies sur 0, par g ( x ) = 3 et h ( x ) =
.
x
x
( C ) et  se coupent en un point d’abscisse  , soit A  l’aire du plan limitée par les courbes ( C )
,  et les droites d’équations respectives x =  et x = e .
1)a) Par une lecture graphique donner le signe de h ( x ) – g ( x ) .
1
b) Montrer que ln  = 2 .



2) Soit f la fonction définie sur 0, par f ( x ) =

1
- 1 + ln 2 x .
x2
a) Vérifier que f ’ ( x ) = h ( x ) - g ( x ) pour tout x  0 .
b) En déduire la valeur de A  .

3) a) Calculer lim f ( x ) . Interpréter graphiquement le résultat .
x 0

f ( x)
. Interpréter graphiquement le résultat.
x 
x 
x
c) Dresser le tableau de variation de f .
4) a) Calculer f ( 1 ) . Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution  dans 2,3 .

b) Calculer lim f ( x ) et lim

b) Tracer l’allure de la courbe ( C’ ) de f dans un repère orthonormé ( O, i, j ) .
On donne f (  )  - 0 , 3 .

Barème :
Exercice 1(4pts) :
1)0,5 – 0,5
2) 0,5- 0,5
3) 0,5 – 0,5
4)0,5-0,5

Exercice 2(6pts) :

Exercice 3( 4pts) :

Exercice 4 (6pts):

1)0,5
2)0,75
3)a) 1
b)1
c)0,75
4)a)0,5
b)0,5
c)0,5
d)0,5

1) 0,5
2)a) 1
b)0,5
3)a)1
b)1

1)a)0,5
b)0,5
2)a)0,5
b)0,5
3)a)0,25 – 0,25
b)0,25- 0,25 -0,25
c)1
4)a)0,25 – 0,5
b)1

Annexe

y

3

C
2

1


)

0

-1

-2

-3

1

α

2

e 3

4

5

6

7

x