Réduction Calcul de puissances d'une matrice

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Enoncés

1

Calcul de puissances d’une matrice
Exercice 1 [ 00811 ] [Correction]
Calculer An pour

2

A = 1

1

Exercice 2
Soit

[ 00812 ]

1
2
1


1

1

2

[Correction]
A=

cos θ
1
2 sin θ

2 sin θ
cos θ

!

(a) Déterminer deux réels α, β tel que A2 = αA + βI2 .
(b) Calculer An pour n ≥ 1.

Exercice 3
Soit

[ 00842 ]

[Correction]

0

M = 

1

..

.


1

 ∈ Mn (R) avec n ≥ 2

0

(a) Montrer que M est diagonalisable.
(b) Déterminer le polynôme minimal de M.
(c) Calculer M p pour p ∈ N.

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Corrections

Corrections

2
puis det(λIn − M) = (λ − (n − 1))(λ + 1)n−1 et donc sp(M) = {−1, (n − 1)}.
Soit f l’application linéaire canoniquement associée à M.

Exercice 1 : [énoncé]
A est diagonalisable avec Sp A = {1, 4}.
Pour Pn un polynôme vérifiant Pn (1) = 1n et Pn (4) = 4n , on a An = P(A).
Pn = 1n +
convient et donc
An =

n

f (x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xn ) ⇐⇒ x1 + ... + xn = 0
Donc E−1 est l’hyperplan d’équation x1 + ... + xn = 0.
Puisque En−1 est au moins une droite vectorielle, la matrice M est diagonalisable.
2ème méthode :
Par le calcul, on obverse que M 2 = (n − 1)In + (n − 2)M.
Par suite, M annule le polynôme scindé simple (X + 1)(X − (n − 1)) et donc M est
diagonalisable.

n

4 −1
(X − 1)
3

4n − 1
4 − 4n
A+
I3
3
3

(b) Le polynôme minimal de M est (X + 1)(X − (n − 1)) car en vertu de la première
méthode, la connaissance des valeurs propres de M détermine son polynôme
minimal sachant M diagonalisable et, pour la deuxième méthode, ce polynôme est
annulateur alors que les polynômes X + 1 et X − (n − 1) ne le sont pas.
Par division euclidienne X p = (X + 1)(X − (n − 1))Q + αX + β
En évaluant la relation en −1 et en n − 1, on obtient
avec
(
−α + β = (−1) p
α(n − 1) + β = (n − 1) p

Exercice 2 : [énoncé]
(a) α = tr A = 2 cos θ et β = − det A = − cos 2θ conviennent.
(b) Les racines de X 2 − 2 cos θX + cos 2θ sont cos θ + sin θ et cos θ − sin θ.
Réalisons la division euclidienne X n par X 2 − 2 cos θX + cos 2θ.


X n = X 2 − 2 cos θX + cos 2θ Q(X) + R(X)
avec deg R < 2,

Après résolution

R(cos θ + sin θ) = (cos θ + sin θ)n

β=

et
R(cos θ − sin θ) = (cos θ − sin θ)

n

d’où
Mp =

On obtient
R=

(cos θ + sin θ)n − (cos θ − sin θ)n
(X − cos θ − sin θ) + (cos θ + sin θ)n
2 sin θ

(n−1) p −(−1) p
n
(n−1) p +(n−1)(−1) p
n

α=

(

(n − 1) p − (−1) p
(n − 1) p + (n − 1)(−1) p
M+
In
n
n

et donc
An =

(cos θ + sin θ)n − (cos θ − sin θ)n
(A − (cos θ + sin θ)I2 ) + (cos θ + sin θ)n In
2 sin θ

Exercice 3 : [énoncé]
(a) 1ère méthode :

 λ

det(λIn −M) = 

−1

..

.

 λ − (n − 1)
−1 
 λ − (n − 1)
..
 = 
.
 
λ  
λ − (n − 1)

−1
λ

···
..

−1

.



−1
1

0
−1
 = (λ−(n−1))  .

 ..


0
λ

−1
λ+1
(0)

···
..

.







λ + 1
−1
(0)

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